第1章勾股定理重难点精练卷2026-2027学年数学八年级上册北师大版

**基本信息** 聚焦勾股定理重难点，融合数学文化（赵爽弦图、《周髀算经》）与现实情境（无人机配送、风筝节），通过基础计算、最短路径、规律探究等梯度设计，培养几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|勾股数、方位角应用、弦图证明|第4题以赵爽弦图考数学史，第7题圆柱表面盘绕路径体现空间观念| |填空题|6|折叠问题、蚂蚁爬行最短路径|第12题结合长方体展开图，考查空间想象与转化思想| |解答题|5|规律探究、实际应用|第20题借《周髀算经》勾股数表培养推理意识，第21题问题串设计提升综合应用能力|

第1章勾股定理重难点精练卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024） 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A． B．，， C． D． 2．如图所示，在水塔的东北方向处有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑工地，在间建一条直水管，则水管的长为（   ） A． B． C． D． 3．《醉翁亭记》中写道：“…射者中…”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（    ） A． B． C． D． 4．下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（　　） A．刘徽 B．祖冲之 C．赵爽 D．秦九韶 5．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段 AB的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A． B． C． D． 6．如图，直角中，，将沿折叠得，点的对应点为点，则点到的距离为（　　） A． B． C． D． 7．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 8．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C． D．10 9．一个外轮廓为长方形的机器零件剖面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得出两圆孔中心A，B之间的距离为（    ） A． B． C． D． 10．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 11．在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和3，则斜边长为__________． 12．如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，则一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要走的最短路程为 __________ 13．已知直角三角形两条直角边的长分别为，，斜边长为，若 则 的值为________． 14．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 15．如图，在中，，，，若动点P从点A出发，以的速度沿折线运动．设运动时间为，当点P运动到与点A和点B的距离相等的位置时，t的值为______．    16．如图，图中四边形A，B，C，D都是长方形，且每一个长方形的长是宽的2倍，四边形E，F，G都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形G的边长为，则长方形A，B，C，D的面积之和为__________． 三、解答题 17．如图，某物流公司的全自动无人机从仓库（A）出发，由于中央区域有信号塔障碍，该无人机需要先向正东方向飞行到C处后，再向正北方向飞行到达配送点（B）现在升级后的导航系统支持该无人机直线飞行跨越障碍，求该无人机现在从仓库到配送点的最短路径． 18．如图，在中，，，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．10月日五华风筝节在长乐游泳中心举行，曾彬同学买了一个风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 20．《周髀算经》是我国现存最早的数学典籍，书中对勾股定理和勾股数有过一定的描述（满足的三个正整数，称为勾股数）．请观察下面表格中的勾股数，并利用规律解决以下问题： a b c … … … (1)观察猜想：当时， ______， ______； (2)初探规律：当时， ______（n为正整数）； (3)归纳证明：用含n的等式归纳出这些勾股数之间的规律（n为正整数），并解释结论的合理性． 21．【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第1章勾股定理重难点精练卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C D C A C B B 1．C 【分析】本题考查勾股数，掌握相关知识是解决问题的关键．勾股数必须是三个正整数，且满足 ． 【详解】解：A：不是正整数，故不符合； B： 不是正整数，故不符合； C： 是正整数，且 ，故符合； D： 是正整数，但 ，故不符合． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解题的关键．首先明确东北方向和东南方向间刚好是一直角，即，接下来根据勾股定理可知，据此代入数值计算即可解答． 【详解】水塔的东北方向和东南方向夹角刚好是一直角，即， 是直角三角形， ， 故选：． 3．A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，箭在投壶外面部分的最大长度为， 最小长度为， ∴箭在投壶外面部分的长度不可能是. 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查了“弦图”的理解，熟练掌握数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理，是解题的关键．根据赵爽用“弦图”证明了勾股定理，进行解答即可． 【详解】解：数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理． 故选：C． 5．D 【分析】本题考查勾股定理，结合正方形网格，结合勾股定理逐一画图计算后判定即可． 【详解】解：A．如图，，故本选项不符合题意； B．如图，，该选项不符合题意； C．如图，，该选项不符合题意； D．在正方形网格中找不到这样的格点，使得，该选项符合题意． 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理和三角形面积公式，连接交于E，过D作于点H，利用勾股定理和等面积法得到、和，再次利用勾股定理求得和． 【详解】解：连接交于E，过D作于点H，如图， ∵将沿折叠得， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， 则，解得 ． 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为6米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为（米）， 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了勾股定理与正方形面积公式的综合应用，解题的关键是利用勾股定理建立三个正方形面积的关系，结合已知条件求出相关正方形面积，再根据阴影部分与该正方形的面积关系得出答案． 先由勾股定理得出直角三角形三边平方的关系，即对应正方形面积的关系；将该关系代入已知等式求出目标正方形的面积；最后根据阴影部分面积是目标正方形面积的一半，计算出阴影面积． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ 由勾股定理得． ∵ 正方形面积等于边长的平方，且，，， ∴ ． 又∵ ， ∴ 将代入得：． 化简得，解得． ∵ 阴影部分面积等于面积的一半， ∴ 阴影部分面积． 故选：C． 9．B 【分析】本题考查了勾股定理，根据图中信息，先运算得出，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：观察图中的数据，得出 在中，, 故选：B 10．B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，确定直角三角形进行求解是解题的关键． 根据已知条件得到，在中利用勾股定理计算即可； 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ， 即门铃恰好自动响起，则的长为米； 故选：． 11． 【分析】本题主要考查勾股定理；在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，据此解答即可． 【详解】解：由勾股定理，斜边长为； 故答案为 ． 12． 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是关键． 解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为（米），宽为米． 于是最短路径为：（米）． 故答案为：米． 13．5 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，代入已知数值计算即可． 【详解】解：由勾股定理， 得 ， 所以 ， 故答案为 ：5． 14．38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 15．或 【分析】本题考查了勾股定理和与线段有关的动点问题，熟练掌握分类讨论的数学思想是解决问题的关键． 根据题意可知，然后分两种情况讨论：当点在上和当点在上，即可求得的值． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得，， 当点在上时，且，    ∴， 即， 解得； 当点在上时，且，    则点为的中点， 此时， 即． ∴当点P运动到与点A和点B的距离相等的位置时，t的值为或． 故答案为：或． 16．32 【分析】本题主要考查了勾股定理，注意在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．根据长方形和正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：A与B的面积和的2倍等于E的面积；C与D的面积和的2倍等于F的面积；而E，F的面积的和等于G的面积． 【详解】解：由图可得，每一个长方形的长是宽的2倍， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴. 即A、B、C、D的面积之和为． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查勾股定理，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴从仓库到配送点的最短路径为． 18．(1) 证明：， ． ，又， ． 在和中， ， ． ，． ． (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理，解答时证明三角形全等是关键； （1）根据条件可以得出，进而得出，即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ． ， ， 19．(1) (2) 能成功，理由如下： 假设能上升， 如图，延长至点F，使，连接， ， 在中，， ，余线剩， ， 能成功上升． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）过点A作于点E，在中，由勾股定理得出的长可推出结果； （2）假设能上升，如图，延长至点F，使，连接，根据勾股定理求出的长，可推出结论． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点E， 则， 在中，由勾股定理得： ， ； （2）略 20．(1)60，61 (2) (3) 解： 当时， ， ； 由题意可得，，， ． 所以结论成立． 【分析】本题主要考查了勾股数、勾股定理、数字规律等知识定，熟练掌握勾股数是解题的关键． （1）根据表格中的数据即可解答； （2）根据表格中的数据找出规律即可解答； （3）根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，． 故答案为：60，61． （2）解： 当时， ∴． （3）略 21．（1）；（2）；（3）700米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理求得斜边的长，再利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求得，根据计算即可求解； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】解：（1），，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），，， ， ， ，， ， 点D为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长度为700米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $