3.3探索与表达规律 同步练习 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦“探索与表达规律”，通过基础观察、规律抽象、模型应用三层递进设计，培养抽象能力与推理意识，适配新授课知识巩固与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|图形/数字规律识别|如第1题中国结小正方形数量，通过具体图形观察初步感知规律| |提升层|规律符号化表达|如第3题多项式规律，要求用代数式抽象概括规律，发展符号意识| |综合层|规律应用与拓展|如第20题链条长度问题，结合实际情境建立模型并解决问题，体现应用意识|

· 3.3 探索与表达规律同步练习 · 2026-2027学年北师大版数学七年级上册 一、单选题 1．如图1所示的中国结是我国特有的手工编织品，它是按照一定的规律编制而成的，如图2是其抽离出的平面图形，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…；则第㊿个图形小正方形的个数为（   ） A．245 B．246 C．254 D．255 2．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，……，按此规律排列，则第个图形中小圆圈的个数为（　　）    A． B． C． D． 3．按一定规律排列的多项式：，，，，，，…，根据上述规律，则第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 4．小明用长度相同的木棒按如图所示的规律拼摆图形，第个图形所需木棒的根数可以表示为（   ） A． B． C． D． 5．如图，下列各圆中三个扇形上标记的数字之间都有相同的规律，则根据此规律，可以得出图中b的值为(    ) A．143 B．140 C．123 D．120 6．新定义：符号“f”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一）：，，，（1），（2），… 运算（二）：，，，，… 利用以上规律计算：（   ） A． B． C．0 D． 7．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为81，我们看到第一次输出的结果为27．第二次输出的结果为第2025次输出的结果为（   ） A．1 B．3 C．9 D．27 8．如图是用★和◎按一定规律拼成的．第1个图案中有3个◎，第2个图案中有6个◎，第3个图案中有9个◎，第4个图案中有12个◎…，依此规律，第206个图案中◎的个数为（   ） A．600个 B．612个 C．615个 D．618个 9．根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，的值是（    ） A． B．510 C． D．512 10．将整数1，2，3，，按如图所示的方式排列．这样，第1次转弯的是2，第2次转弯的是3，第3次转弯的是5，第4次转弯的是7，，则第次转弯的是（   ） A．71 B．72 C．73 D．74 二、填空题 11．公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫做“形数”．如图为正方形数，根据图中点的数量规律，第个图形中的点数为______． 12．观察数列，，，，，，，，，，，，，，，，…，数列中第150个是______． 13．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为32，我们发现第一次输出的结果为16，第二次输出的结果为8，…，则第2025次输出的结果为____． 14．如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第4列的数是_______．    15．定义一种对正整数n的“F”运算： ①当n为奇数时，；②当n为偶数时， （其中k是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取，则： 若，则第100次“F”运算的结果是_____． 三、解答题 16．观察下列各等式，并回答问题： ；；；；… (1)填空：______（n是正整数）； (2)计算：______（直接写出结果） (3)求的值． 17．数学探究： (1)计算下列两个数的积（这两个数的十位上的数相同，个位上的数的和等于10），你发现结果有什么规律？ ，，，． (2)你能用所学知识解释这个规律吗？ (3)利用你发现的规律计算：，，，． 18．如图，用“8字砖”铺设地面，1块地砖有2个正方形，2块地砖拼得5个正方形，3块地砖拼得8个正方形，…，照此规律拼下去． (1)4块地砖拼得的正方形的个数为_______________个； (2)请用含n的代数式表示n块地砖拼得的正方形的个数为_______________个； (3)若m块地砖拼得的正方形的个数是，求m的值． 19．【观察思考】 如图，这是由基本图形组成的一系列图案，其中第个图案由个基本图形组成；第个图案由个基本图形组成；第个图案由个基本图形组成；……按此规律排列下去． 【规律发现】 （1）第个图案有 个基本图形；第（是正整数）个图案有 （用含的式子表示）个基本图形． 【规律应用】 （2）摆第个图案需要多少个基本图形？ 20．自行车是很多同学家校往返的重要交通工具，如图，某款自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． (1)观察图形填写下表： 链条节数（节） 2 3 4 链条长度（） (2)如果节链条的总长度是，求与之间的关系式； (3)晓明同学的同款自行车链条生锈断了，需要在淘宝网上采购并自行安装，该型号自行车的链条（安装前）由90节这样的链条组成，那么晓明需要购买该型号链条的总长度是多少？实际安装长度是多少？ 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B A C B D C C 11． 【分析】本题考查了图形的规律型问题，根据图形找到点的数量的变化规律即可求解，根据已知图形找到点的数量的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第个图有个点； 第个图有个点； 第个图有个点； 第个图有个点； ； ∴第个图有个点； 故答案为：． 12． 【分析】观察数列发现，可以将分母相同的分数分成一组，即分组如下：，（ ，，），（ ，，，，），（ ，，，，，，），…，每组分别有1、3、5、7…个数；前n组共有个分数．求第150个数是多少，将150拆分成12的平方加6，即可得出第150个数是第13组的第6个数，据此得出这个分数． 【详解】解：观察数列，发现： 分母为1的分数有1个，； 分母为2的分数有3个，； 分母为3的分数有5个，； 分母为4的分数有7个，； …… 规律：分母为n的分数有个； 前n个分母的分数总个数是． 所以，数列中第150个是分母为13的第6个数，即． 13．4 【分析】本题考查了数字的变化规律，通过计算，探究出运算结果的循环规律是解题的关键． 先通过计算，找到程序框图的规律，结果从第3次运算开始，结果每3次运算循环一次，则第次输出的结果与第3次输出的结果相同，即可求解． 【详解】当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， 当时，输出结果为， …… 从第3次运算开始，结果每3次运算循环一次， ， 第次输出的结果与第3次输出的结果相同， 第次输出的结果是4， 故答案为：4． 14．2022 【分析】观察图表可知，第n行第一个数是，所以第45行第一个数是，即可得到第45行，第4列的数． 【详解】解：观察图表可知，第n行第一个数是， ∴第45行第一个数是， ∴第45行，第4列的数是， 故答案为：2022． 【点睛】本题考查数字类规律探究，解题的关键是准确找出数字排列的规律． 15．4 【分析】本题考查有理数的混合运算和数字的规律，解答本题的关键是理解新定义中的运算法则，掌握有理数混合运算的计算方法． 根据题意，写出前几次的运算结果，发现其中的规律，通过计算得出从第5次开始，结果就只有1、4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：当，则第1次“F”运算的结果是：， 第2次“F”运算的结果是：， 第3次“F”运算的结果是：， 第4次“F”运算的结果是：， 第5次“F”运算的结果是：， 第6次“F”运算的结果是：， 第7次“F”运算的结果是：， 第8次“F”运算的结果是：， … 观察以上结果，从第5次开始，结果就只有1、4两个数循环出现， 且当次数为奇数时，结果是1，次数为偶数时，结果是4， 而第100次是偶数，所以最后结果是4． 故答案为：4． 16．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律型——数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． （1）先根据所给的式子找出第一项的分子是1，分母是两个相邻的数的积，第二项和第三项的分母分别是这两个相邻的数，分子是1，它们是差的形式，据此即可写出； （2）根据（1）所得的规律，先拆项，再用抵消法计算即可求解； （3）先拆项，再用抵消法计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，． 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 17．(1)十位数乘以十位数加一作为结果的百位，两个个位相乘作为结果的个位和十位． (2) 解：设十位数字为x，个位数字为y，一个数为，则另一个数为， ， 前一项就是十位数乘以十位数加一，后一项就是两个个位数字相乘． (3)；；；． 【分析】本题考查了数字类规律，由题意得出十位上数字乘以十位上数字加一的积作为千位和百位数字，两个个位上的数字相乘的结果作为十位和个位的数字，由此进行计算即可得出答案，根据题意得出规律是解此题的关键． （1）先计算结果，根据结果找出数字规律， （2）设十位数字为x，个位数字为y，一个数为，则另一个数为，按照（1）的规律进行验证即可． （3）按照（1）的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴十位数乘以十位数加一作为结果的百位，两个个位相乘作为结果的个位和十位． （2）略 （3）解：； ； ； ． 18．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律即可求解． （1）由图可知：4块地砖拼得个正方形； （2）由1块地砖有2个正方形，2块地砖拼得5个正方形，3块地砖拼得8个正方形，4块地砖拼得个正方形，…，照此规律拼下去，n块地砖拼得的正方形的个数为个正方形，即可求解； （3）由题意可知：，即可求解； 【详解】（1）解：由图可知：4块地砖拼得个正方形； （2）解：由1块地砖有2个正方形，2块地砖拼得5个正方形，3块地砖拼得8个正方形，4块地砖拼得个正方形，…， 照此规律拼下去，n块地砖拼得的正方形的个数为个正方形， 故答案为：； （3）解：由题意可知：，解得：， 的值为． 19．（1）；；（2）个 【分析】本题考查图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形变化的规律是解题的关键． （1）根据所个图形的基础图形的数量发现规律即可解决问题； （2）根据发现的规律解决问题即可． 【详解】解：（1）第个图案基础图形的个数：个； 第个图案基础图形的个数：个； 第个图案基础图形的个数：个； 第个图案基础图形的个数：个； ； 第个图案基础图形的个数为个； 故答案为：；； （2）摆第个图案的基础图形的个数为个． 20．(1) (2) (3)， 【分析】此题主要考查了函数关系式，根据题意得出节链条的长度与每节长度之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图形找出规律计算4节链条的长度即可； （2）由（1）写出表示链条节数的一般式； （3）根据（2）计算时，特别注意自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短． 【详解】（1）解：根据图形可得出： 2节链条的长度为：， 3节链条的长度为：， 4节链条的长度为：． 故答案为：； （2）由（1）可得节链条长为：； ∴与之间的关系式为：； （3）当． 故晓明需要购买该型号链条的总长度是； 因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短， 故这辆自行车链条的总长为厘米， 所以90节这样的链条总长度是117厘米． 答案第6页，共7页 答案第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $