13.2　与三角形有关的线段 分层练习 2026-2027学年人教版数学 八年级上册

**基本信息** 初中数学“三角形的边”新授课同步练，分层设计科学，从基础夯实到拓展挑战，覆盖三边关系与稳定性，通过真题改编与情境应用，培养推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|三角形三边关系、稳定性|中考真题改编的选择填空，直接考查概念| |B层|等腰三角形与三边关系、倍长三角形|教材变式解答题，实际情境应用（如跳跃泥潭）| |C层|不等式与三边关系、非负数性质|作图题与推理证明题，体现核心素养推理能力|

13.2.2　三角形的中线、角平分线、高　分层练习 一、A层·基础夯实（课件中共 4 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：三角形的中线）(2026北京西城期末)如图，将一块透明的三角形匀质薄板(记作△ABC)放入由小正方形组成的网格图中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点D，E，F，G(都在网格线的交点上)中，△ABC的重心是（　　　　） A. 点D　　　　B. 点E C. 点F　　　　D. 点G 2. [选择题]（知识点：三角形的角平分线）(2026广西南宁月考)如图，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论中错误的是（　　　　） A. BD是△ABC的角平分线 B. CE是△BCD的角平分线 C. ∠2+∠3=(∠ABC+∠ACB) D. CE是△ABC的角平分线 3. [选择题]（知识点：三角形的高）(2026北京朝阳期末)下列四个选项中，线段AD是△ABC的高线的是（　　　　） A B C D 4. [选择题]（知识点：三角形的中线）(2026四川泸州期末改编,★★☆)在一次飞行器的展览中需要将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上(如图)，使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（　　　　） A. 三条角平分线的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三条高的交点处 D. 任意位置 二、B层·理解运用（课件中共 6 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：三角形的中线）(2026海南三亚期末)如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为28 cm，AB比AC长6 cm，则△ACD的周长为（　　　　） A. 31 cm　　　　B. 25 cm C. 22 cm　　　　D. 19 cm 2. [填空题]（知识点：三角形的中线）(2026江西上饶期末)如图，AD是△ABC的中线，DE是△ABD的中线，若△BDE的面积是3，则△ABC的面积是__________。 3. [证明题]（知识点：三角形的角平分线）(2026陕西渭南期末)如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE∥AB交BC于点E，EF∥BD交AC于点F。求证：EF平分∠CED。 解： 4. [填空题]（知识点：三角形的高）【学科特色·分类讨论思想】(2026天津武清月考)已知AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=30°，则∠BAC的度数为__________________。 5. [解答题]（知识点：三角形的高与面积）【学科特色·等积法】(2026湖北黄冈期中)如图，△ABC的边BC上的高为AF，中线为AD，AC边上的高为BG，已知AF=6，BD=10，BG=5。(1)求△ABC的面积；(2)求AC的长。 解： 6. [解答题]（知识点：三角形的中线与面积）(★★☆)如图，已知△ABC的面积为12，D，E分别是BC，AD的中点，连接BE，EF⊥BC于点F，BD=3。(1)求EF的长；(2)若CF=2，求四边形AEFC的面积。 解： 三、C层·拓展挑战（课件中共 3 道题归入本层） 1. [填空题]（知识点：三角形的高与面积）(2026广东东莞期中,★★☆)如图，把△ABC的三边BA，CB和AC分别延长一倍，得到的点为A′，B′，C′，连接A′B′，B′C′，A′C′，若△ABC的面积是5，则△A′B′C′的面积是__________。 2. [填空题]（知识点：三角形的高与等积法）(2026安徽合肥月考,★★☆)如图，BD是△ABC的高线，DE=2AD=2CE=2，AF是△ABE的高线，，则线段BE与AC的比值为__________。 3. [探究题]（知识点：三角形的高与等积法）【核心素养·推理能力】【聚焦中考·过程性学习】(2026江西宜春月考)在△ABC中，AB=AC，D为直线BC上任意一点，连接AD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BG是△ABC的高。【画图】(1)如图1，当点D在边BC上时，请画出△ABC中AC边上的高BG；【探究】(2)如图1，通过观察、测量，猜想DE，DF，BG之间的数量关系为____________；【证明】为了说明DE，DF，BG之间的数量关系，小明是这样做的：∵S△ABC=________+S△ACD，∴+________。∵AB=AC，∴____________。【运用】(3)如图2，当点D为BC中点时，试判断BG与DE的数量关系，并说明理由；【拓展】(4)如图3，当点D在CB的延长线上时，请直接写出DE，DF，BG之间的数量关系。 解： 参考答案与解析 一、A层·基础夯实 1. 答案：A 解析：∵三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，∴需要找△ABC中线的交点。如图，根据网格图的特点，取BC的中点M，取AC的中点N，连接AM，BN，AM与BN的交点为点D。故选A。 2. 答案：D 解析：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴BD是△ABC的角平分线，CE是△BCD的角平分线，∠2=∠ABC，∠3=∠ACB，∴∠2+∠3=(∠ABC+∠ACB)。∴只有D选项结论错误。故选D。 3. 答案：A 解析：根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高。只有A中线段AD符合条件。故选A。 4. 答案：B 解析：这个塔尖应该放在三角形薄板的重心的位置，根据重心的定义可知应该放在三角形薄板的三条中线的交点处。故选B。 二、B层·理解运用 1. 答案：C 解析：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∵△ABD的周长为28 cm，∴AB+BD+AD=28 cm，∵AB比AC长6 cm，∴AB-AC=6 cm，∴AC+BD+AD=22 cm。故△ACD的周长为22 cm。 2. 答案：12 解析：∵DE是△ABD的中线，∴BE=AE，∴S△ADE=S△BDE=3，∴S△ABD=2S△BDE=6，同理可得S△ABC=2S△ABD=12。故答案为12。 3. 答案：EF平分∠CED 解析：证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBE，∵DE∥AB，∴∠ABD=∠EDB，∴∠DBE=∠EDB，∵EF∥BD，∴∠DEF=∠EDB，∠FEC=∠DBE，∴∠DEF=∠FEC，∴EF平分∠CED。 4. 答案：100°或40° 解析：如图1，当高AD在△ABC的内部时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+30°=100°；如图2，当高AD在△ABC的外部时，∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-30°=40°。综上所述，∠BAC的度数为100°或40°。 5. 答案：(1)60；(2)24 解析：(1)∵△ABC的中线为AD，BD=10，∴BC=2BD=20，∵△ABC的边BC上的高为AF，AF=6，∴△ABC的面积=BC·AF=×20×6=60。(2)∵△ABC的边AC上的高为BG，∴△ABC的面积=AC·BG=60，∵BG=5，∴AC=24。 6. 答案：(1)EF=2；(2)四边形AEFC的面积为5 解析：(1)∵D是BC的中点，△ABC的面积为12，∴S△ABD=S△ABC=6，∵E是AD的中点，∴S△BDE=S△ABD=3，∵EF⊥BC，∴BD·EF=3，即×3·EF=3，∴EF=2。(2)∵D是BC的中点，BD=3，∴CD=BD=3，∵CF=2，∴DF=CD-CF=3-2=1，∴S△DEF=DF·EF=×1×2=1，∵S△ADC=S△ABC=6，∴S四边形AEFC=S△ADC-S△DEF=6-1=5。 三、C层·拓展挑战 1. 答案：35 解析：如图，连接AB′，BC′，CA′，由题意得，AB=AA′，BC=BB′，AC=CC′，∴△AA′B′的面积=△ABB′的面积=△ABC的面积=△BCC′的面积=△AA′C的面积=△BB′C′的面积=△A′C′C的面积=5，∴△A′B′C′的面积=5×7=35。故答案为35。 2. 答案：9/10 解析：∵，∴设AF=5a，则BD=6a，∵BD是△ABC的高线，AF是△ABE的高线，∴AF⊥BE，BD⊥AC，∴S△ABE=，∴BE·AF=AE·BD，∵DE=2AD=2CE=2，∴AD=CE=1，∴AC=AD+DE+EC=4，AE=AD+DE=3，∴BE·5a=3×6a，∴BE=，∴。 3. 答案：(2)BG=DE+DF；(3)BG=2DE；(4)DF=DE+BG 解析：(1)如图1所示。(2)BG=DE+DF。证明：∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴，∵AB=AC，∴BG=DE+DF。(3)BG=2DE。理由：如图2，∵点D为BC中点，∴BC=2BD，∴S△ABC=2S△ABD，∴，∵AB=AC，∴BG=2DE。(4)DF=DE+BG。详解：如图3，∵S△ADC=S△ADB+S△ACB，∴，∵AB=AC，∴DF=DE+BG。 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2.1　三角形的边　分层练习 一、A层·基础夯实（课件中共 4 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：三角形三边关系）(2025江苏连云港中考)下列长度(单位:cm)的3根小木棒能搭成三角形的是（　　　　） A. 1，2，3　　　　B. 2，3，4 C. 3，5，8　　　　D. 4，5，10 2. [填空题]（知识点：三角形三边关系）(2026陕西安康期末)若一个三角形的三边长均为整数，其中的两边长分别为1，5，则第三边的长为__________。 3. [选择题]（知识点：三角形的稳定性）(2026山东德州月考)下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（　　　　） A. 屋顶支撑架 B. 摄影机支架 C. 伸缩门 D. 旧木门钉木条 4. [填空题]（知识点：三角形的稳定性）(2026北京西城期中)在日常生活中，三角形的形状随处可见，工程建筑中经常采用三角形的钢结构，如图所示的是某工程实例图片，其中用到的数学依据是____________________。 二、B层·理解运用（课件中共 5 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：三角形三边关系）(2026浙江杭州期中)使用如图所示的两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（　　　　） A. ①②都可以　　　　B. 只有①可以 C. ①②都不可以　　　　D. 只有②可以 2. [填空题]（知识点：三角形三边关系）(2026河南许昌期中)小刚在平时跳跃泥潭障碍的训练中助跑跳跃距离为(4.5±0.1)米，在某次训练挑战中他不确定自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭(AB的长度)，于是测量了相关长度。由于米尺长度有限，小刚测得AC=2.2米，BC=2.1米。根据小刚的测量，他________完成这项训练挑战(填“能”或“不能”)。 3. [解答题]（知识点：等腰三角形与三边关系）【学科特色·教材变式】(2026湖北武汉期中)用一条长为22 cm的细绳围成一个等腰三角形。(1)能围成有一边的长是5 cm的等腰三角形吗？如果能，求出各边长，如果不能，请说明理由；(2)若该等腰三角形一腰长为a cm，求a的取值范围。 解： 4. [填空题]（知识点：三角形三边关系）(2026湖北仙桃期中,★★☆)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”。若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长可能为__________。 5. [解答题]（知识点：三角形三边关系）(2026天津滨海新区期中,★★☆)已知△ABC的三边长分别为a，b，c。(1)若a，b，c满足，试判断△ABC的形状；(2)化简：。 解： 三、C层·拓展挑战（课件中共 5 道题归入本层） 1. [作图题]（知识点：三角形的稳定性）六边形钢架ABCDEF由6条钢管铰接而成，如图所示，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接使之不能活动，方法很多，请至少画出三种方法。(只需画图，不必写出作法) 解： 2. [选择题]（知识点：不等式与三角形三边关系）(2026山东烟台期末,★★☆)已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在三边长分别为3，m，7的三角形，则m的整数解有（　　　　） A. 2个　　　　B. 3个 C. 4个　　　　D. 5个 3. [填空题]（知识点：三角形三边关系）(2026江苏宿迁月考,★★☆)如图，AC=6，BC=8，AB=10，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是________。 4. [填空题]（知识点：非负数的性质与三角形三边关系）(2026浙江金华期中,★★★)已知△ABC的三边长分别为a，b，c(a，b，c均为有理数)，且，则b的取值范围是____________________。 5. [解答题]（知识点：三角形三边关系）【核心素养·推理能力】【聚焦中考·过程性学习】(2026江苏宿迁月考节选)【阅读材料】在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小。其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式。这种方法称为同向不等式相加。核心原理：如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d。如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键。请思考并完成以下探究问题。【问题探究】(1)如图1，在△ABC中，当点P位于边BC上时(不与B，C重合)，AC+BC________PA+PB(填“＜”“＞”或“＝”)；(2)如图2，当点P位于△ABC内部时，求证：AB+AC＞PB+PC；(3)如图3，P，Q是△ABC内部的两点，连接BP，PQ，QC，使B，P，Q，C构成凸四边形。请参考(2)的证明方法，求证：AB+AC＞BP+PQ+QC。 解： 参考答案与解析 一、A层·基础夯实 1. 答案：B 解析：A.∵1+2=3，∴不能搭成三角形；B.∵2+3=5＞4，∴能搭成三角形；C.∵3+5=8，∴不能搭成三角形；D.∵4+5=9＜10，∴不能搭成三角形。故选B。 2. 答案：5 解析：设第三边的长为x，根据三角形的三边关系，得5-1＜x＜5+1，解得4＜x＜6，∵x为整数，∴x=5。 3. 答案：C 解析：伸缩门利用的是四边形的不稳定性，不是运用三角形的稳定性。故选C。 4. 答案：三角形具有稳定性 解析：工程建筑中采用三角形的钢结构，利用的是三角形的稳定性。 二、B层·理解运用 1. 答案：B 解析：5 cm＞4 cm，若将②分为两段，则不满足三角形的三边关系，∴只有①可以分为两段。故选B。 2. 答案：能 解析：根据“三角形两边之和大于第三边”，得AB＜AC+BC=2.2+2.1=4.3(米)，∵小刚助跑跳跃距离为(4.5±0.1)米，4.5-0.1=4.4＞4.3，即最小跳跃距离仍大于AB，∴他能跳过泥潭。故填“能”。 3. 答案：(1)能，其他两边长分别为8.5 cm，8.5 cm；(2)5.5＜a＜11 解析：(1)分情况讨论如下：①当5 cm为腰长时，底边长为22-5-5=12(cm)，∵5+5=10＜12，∴5 cm，5 cm，12 cm不能围成三角形；②当5 cm为底边长时，腰长为(cm)，∵5+8.5=13.5＞8.5，∴能围成三角形。综上所述，能围成有一边的长是5 cm的等腰三角形，其他两边长分别为8.5 cm，8.5 cm。(2)∵该等腰三角形一腰长为a cm，∴其底边长为(22-2a)cm，根据题意得，解得5.5＜a＜11，即a的取值范围为5.5＜a＜11。 4. 答案：3或8 解析：设第三条边的长为x，根据三角形的三边关系可得6-4＜x＜6+4，即2＜x＜10。若2x=4，则x=2；若2x=6，则x=3；若x=2×4，则x=8；若x=2×6，则x=12。∵2＜x＜10，∴第三条边的长可能为3或8。 5. 答案：(1)等边三角形；(2)-a+3b-c 解析：(1)∵|a-b|+(b-c)²=0，∴a-b=0，b-c=0，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形。(2)∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a-b＜c，b-c＜a，a+b＞c，∴a-b-c＜0，b-c-a＜0，a+b-c＞0，∴|a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a+3b-c。 三、C层·拓展挑战 1. 答案：答案不唯一，见解析 解析：如图所示。(答案不唯一，任意三种利用三角形稳定性的连接方式均可) 2. 答案：B 解析：解不等式x-m＜0，得x＜m，解不等式3x-5≥10，得x≥5，∴不等式组的解集为5≤x＜m，∵不等式组至少有两个整数解，∴m＞6，∵存在三边长分别为3，m，7的三角形，∴4＜m＜10，∴m的取值范围是6＜m＜10，∴m的整数解有3个。故选B。 3. 答案：16 解析：∵，∴AD=2CD，∴2BD+AD=2BD+2CD=2(BD+CD)，易得2(BD+CD)≥2BC，即2BD+AD≥2BC，∴当点D在线段BC上时，2BD+AD有最小值，为2BC的值，∵BC=8，∴2BD+AD的最小值为2BC=2×8=16。 4. 答案：1.75＜b＜5.25 解析：∵，∴b+c-2a=0，b+c-7=0，∴b+c=7，a=3.5，∴c=7-b，根据三角形的三边关系得|c-a|＜b＜c+a，∴|7-b-3.5|＜b＜7-b+3.5，即|3.5-b|＜b＜10.5-b，①当b≤3.5时，|3.5-b|=3.5-b，∴3.5-b＜b＜10.5-b，解得1.75＜b＜5.25，∵b≤3.5，∴1.75＜b≤3.5；②当b＞3.5时，|3.5-b|=b-3.5，∴b-3.5＜b＜10.5-b，解得b＜5.25，∵b＞3.5，∴3.5＜b＜5.25。综上所述，b的取值范围为1.75＜b＜5.25。 5. 答案：见解析 解析：(1)根据三角形三边关系，得PC+AC＞PA，∴PC+AC+PB＞PA+PB，即AC+BC＞PA+PB。故答案为＞。(2)证明：延长BP，交AC于点E，在△ABE中，AB+AE＞BE，BE=BP+PE，∴AB+AE＞BP+PE，在△PCE中，PE+EC＞PC，∴AB+AE+PE+EC＞BP+PE+PC，∴AB+AE+EC＞BP+PC，即AB+AC＞PB+PC。(3)证明：延长PQ交AC于点F，延长QP交AB于点E，在△AEF中，AE+AF＞EP+PQ+QF，在△EBP中，EP+EB＞BP，在△QFC中，QF+FC＞QC，∴AE+AF+EP+EB+QF+FC＞EP+PQ+QF+BP+QC，∴AE+AF+EB+FC＞PQ+BP+QC，即AB+AC＞BP+PQ+QC。 学科网（北京）股份有限公司 $