第13章 三角形单元章节测评卷提优验收卷（B卷）2026-2027学年八年级数学上册人教版

**基本信息** 初中数学第13章三角形单元提优验收卷（B卷），聚焦三角形性质、全等、折叠等核心知识，通过分层试题与创新情境设计，强化几何直观与推理能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、内角计算等|如第1题结合实际情境考查三边关系，体现应用意识| |填空题|6/24|角平分线、高的性质等|如第12题三角形内心角度计算，强化空间观念| |解答题|9/96|折叠变换、新定义探究等|如25题“和谐三角形”新定义探究，融合推理能力与创新意识，契合真题命题趋势|

第13章 三角形单元章节测评卷提优验收卷（B卷） （考试时间：120分钟分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．如图，为估计池塘两岸，两点间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则，两点间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 2．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．下列条件：①；②；③；④，能确定是直角三角形的有（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 4．如图，在中，，，把沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，此时为（    ） A． B． C． D． 5．在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 6．如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点．则的度数为（   ）． A． B． C． D． 7．如图，在中，，，点是上一点，将沿线段翻折，使得点落在处，若，则（　　）    A． B． C． D． 8．有一道题目：“如图，在中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处，若，且中有两个内角相等，求的度数．”嘉嘉的答案是，淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面，还应该有另外一个值．”下列判断正确的是（　　） A．淇淇说的不对，就是 B．淇淇说得对，且的另一个值是 C．淇淇说得对，且的另一个值是 D．两人都不对，应有三个不同值 9．如图，在中，，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点，交于H，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，连接、，且平分，平分，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11．如图，中，，，点、分别在、上，连接并延长，交的延长线于，若，则的度数为 _________．    12．如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，O为三条角平分线的交点，则∠BOC＝______度． 13．如图,在中, ，点F为上一点于点D，过点D作于点E．若，则的度数为______． 14．如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______． 15．已知，是的高，且，所在直线相交所成的4个角中，有一个角的度数是，则的度数为_______． 16．如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，可调整的大小，使，则图中应______（填“增加”或“减少”） ______度． 三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C均在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留画图痕迹） (1)在图1中，作，使得； (2)在图2中，作，使得，其中点E在上． 18．（10分）已知的三边长为，，，且，，都是整数． (1)化简：； (2)若．且为偶数．求的周长． 19．（10分）如图，在中，点在边上． (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，，，的周长为22，则的周长为_____． 20．（10分）如图，在中，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 21．（10分）如图，在中，点D，E分别在边上，∠，与交于点F． (1)若，，则 ； (2)若，求证：． 22．（10分）如图，点，分别在射线，上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． (1)如图1，当时， ． (2)如图2，当，点，在射线，上任意移动时（不与点重合），的大小是否变化？若变，请说明理由；若不变，请求出的度数． (3)如图3，若（），请直接写出的度数（用含的式子表示）． 23．（12分）利用图形这一直观性语言，在一定程度上可以降低我们认识和理解抽象逻辑推理的难度；利用图形建构几何直观，可以轻松实现空间形式和数量关系的相互转化．让我们在如下的问题解决中体验一下吧！ (1)【模块探究】 如图1，求证： (2)【直观应用】 ①应用上述结论，若图2中，，则、、、、、的度数之和等于________．（直接给出结论，不必说明理由） ②应用上述结论，求图3所示的五角星中，、、、、的度数之和是多少？并证明你的结论． (3)【类比联系】 如图4，求、、、、、、的度数之和是多少？并证明你的结论．      24．（12分）在中，，点在边上，点在上，连接，． 【计算发现】 （1）如图1，当点在边（不与点，重合）上运动时，且点在边上时． ①若，，则______，______． 【猜想验证】 ②猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展思考】 （2）如图2，当点在边（不与点，重合）上运动，点在边所在的直线上时，若，求的度数． 25．（12分）我们定义： 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形” 概念理解： 如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O，B重合） (1)的度数为______，______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； (2)若，求证：是“和谐三角形”． (3)应用拓展： 在图2中画出：点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取点F，使，．若是“和谐三角形”，求的度数．    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形单元章节测评卷提优验收卷（B卷） （考试时间：120分钟分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．如图，为估计池塘两岸，两点间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则，两点间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到的取值范围，进而根据各选项数值即可求解． 【详解】解：由题意，，， ∴，即， 只有选项D中不可能是，两点间的距离，此选项符合题意， 故选：D． 2．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角尺可知，，结合，解答即可； 【详解】 解：如图，由三角尺可知，， ∴， ∴， ∴． 3．下列条件：①；②；③；④，能确定是直角三角形的有（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据三角形内角和为，结合直角三角形的定义，逐一计算每个条件中三角形的最大角，即可判断是否为直角三角形． 【详解】解：任意三角形内角和为，直角三角形有一个内角为， ①若， 代入得，解得， 是直角三角形； ②若， 则， 是直角三角形； ③若，变形得， 代入内角和公式得， 解得， 是直角三角形； ④若，变形得， 则 ， 是直角三角形； 综上，①②③④都能确定是直角三角形． 4．如图，在中，，，把沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，此时为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，图形折叠的性质，理解“折叠前后的图形全等，对应角相等”是解题关键． 先由得，再根据折叠的性质得，从而求出． 【详解】解： ，， ， 沿折叠形成， ． 故选：． 5．在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】当为直角三角形时，存在两种情况：或，根据三角形的内角和定理可得结论． 【详解】解：分两种情况： 如图，当时，   ， ， 如图，当时，    ∵，， ∴， ， 综上，则的度数为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，分情况讨论是本题的关键． 6．如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点．则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线，三角形内角和定理，解题的关键是熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．先由三角形内角和定理求出，根据角平分线得到，再由三角形的高得到，再根据三角形内角和定理求出，最后由邻补角的定义即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．如图，在中，，，点是上一点，将沿线段翻折，使得点落在处，若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的两个锐角互余、轴对称的性质等知识，先由直角三角形的两个锐角互余求得，由，求得，再由翻折的性质得，则． 【详解】解：，， ， ， ， 由翻折得， ， 故选：B． 8．有一道题目：“如图，在中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处，若，且中有两个内角相等，求的度数．”嘉嘉的答案是，淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面，还应该有另外一个值．”下列判断正确的是（　　） A．淇淇说的不对，就是 B．淇淇说得对，且的另一个值是 C．淇淇说得对，且的另一个值是 D．两人都不对，应有三个不同值 【答案】B 【分析】由轴对称的性质得到，分两种情况，应用三角形内角和定理，平角定义列出关于的方程，求出即可解决问题． 【详解】解：， ， 关于对称， ， 令，则， ， ， ， 中有两个内角相等，只有， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ， 或． 故选：B． 【点睛】本题考查角的计算以及轴对称的性质，关键是要分两种情况讨论，应用轴对称的性质列出关于方程． 9．如图，在中，，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点，交于H，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键． 利用三角形的高和角平分线的概念以及三角形外角的性质即可判断出①②③④的对错，即可求解． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， ①正确，符合题意； ②平分， ，， ，， ， ②正确，符合题意； ③，， ， ， 由①得，， ， ③错误，不符合题意； ④， ， ， ，， ， ， ④正确，符合题意． 故选C． 10．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，连接、，且平分，平分，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，首先求出，再证明即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，        ， 平分，平分， ， ， ， 由折叠可知：， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的定义以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理． 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11．如图，中，，，点、分别在、上，连接并延长，交的延长线于，若，则的度数为 _________．    【答案】/125度 【分析】由三角形的外角的性质，得到，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质--三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，掌握三角形的外角的性质是解题关键． 12．如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，O为三条角平分线的交点，则∠BOC＝______度． 【答案】130 【分析】根据三角形内角和定理求出，再用角平分线的定义求解． 【详解】解：在△ABC中， ∵∠BAC＝80°， ∴． 又∵O为三条角平分线的交点 ∴， ∴在中，． 故答案为：130°． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和三角形内角和定理，理解角平分线的概念以及掌握三角形的内角和定理是解答关键． 13．如图,在中, ，点F为上一点于点D，过点D作于点E．若，则的度数为______． 【答案】/68度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解答本题的关键，三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；利用三角形外角的性质先求出的度数，然后由得到的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数，即可得到答案． 【详解】 ， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 15．已知，是的高，且，所在直线相交所成的4个角中，有一个角的度数是，则的度数为_______． 【答案】135°或45° 【分析】分两种情况：（1）当∠A为锐角时，如图1；（2）当∠A为钝角时，如图2；根据四边形的内角和为360°以及三角形内角和为180°，即可得出结果． 【详解】解：分两种情况： （1）当∠A为锐角时，如图1， ∵∠DOC=45°， ∴∠EOD=135°， ∵BD、CE是△ABC的高， ∴∠AEC=∠ADB=90°， ∴∠A=360°-90°-90°-135°=45°； （2）当∠A为钝角时，如图2， ∵∠F=45°， 同理：∠ADF=∠AEF=90°， ∴∠DAE=360°-90°-90°-45°=135°， ∴∠BAC=∠DAE=135°， 综上所述，∠BAC的度数为45°或135°， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形的内角和和四边形的内角和，明确四边形的内角和为360°是关键，解题时要分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行计算． 16．如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，可调整的大小，使，则图中应______（填“增加”或“减少”） ______度． 【答案】 增加 5 【分析】本题考查了三角形外角的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理和外角的性质是解题关键． 延长，交于点，根据三角形内角和定理可得，根据三角形外角性质，即可求解． 【详解】解：延长，交于点， 而图中 应增加； 故答案为：增加，5． 三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C均在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留画图痕迹） (1)在图1中，作，使得； (2)在图2中，作，使得，其中点E在上． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 【分析】（1）将线段向左平移三个单位，再向下平移1个单位，得到线段，连接，则即为所求； （2）根据网格特点在上取格点E，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：根据平移可得：， ∴， 根据网格可得：，分别是两个大小相同的长方形的对角线， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：结合小正方形的特点可得：， ∴． 18．（10分）已知的三边长为，，，且，，都是整数． (1)化简：； (2)若．且为偶数．求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为或 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可求解； （2）根据完全平方公式以及非负数的性质求得的值，根据三角形的三边关系求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长为，，， ∴， ∴ ， （2）解：∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴， 即， ∵是偶数，则或， 当时，的周长为， 当时，的周长为， 综上所述，的周长为或． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减，因式分解的应用，熟练掌握三角形的三边关系，完全平方公式是解题的关键． 19．（10分）如图，在中，点在边上． (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，，，的周长为22，则的周长为_____． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形中线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得的度数，再由三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据三角形中线的定义可得，则可由三角形周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵为的中线， ∴， ∵的周长为22， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长． 20．（10分）如图，在中，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：，， ． ， ． ， ， ，即． 【分析】本题考查三角形的内角和定理和三角形的外角： （1）利用三角形的外角的性质，求解即可； （2）利用三角形的内角和定理和角的和差关系，求出，进行判断即可． 【详解】（1）解：，， ． 又， ； （2）略 21．（10分）如图，在中，点D，E分别在边上，∠，与交于点F． (1)若，，则 ； (2)若，求证：． 【答案】(1)70 (2) 证明：如图，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再根据即可解答； （2）设，由三角形内角和定理可得，再根据条件将转化为化简即可看到两角都等于β即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴。 故答案为：70． （2）略 22．（10分）如图，点，分别在射线，上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． (1)如图1，当时， ． (2)如图2，当，点，在射线，上任意移动时（不与点重合），的大小是否变化？若变，请说明理由；若不变，请求出的度数． (3)如图3，若（），请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）由可得，由角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质即可求出的度数； （2）由角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得，，进而可得，于是得解； （3）由可得，由（2）中的结论可得，进而可得结果． 【详解】（1）解：， ， ∵平分， ， 中，， ， 平分， ， 中，， ， 故答案为：； （2）解：的大小不变，，理由如下： 中，， 又∵平分，平分， ，， ， 中，， ， ， 答：当，当点，在射线，上任意移动时（不与点重合），的大小不变，； （3）解：若， 则， 由（2）可得：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，利用邻补角互补求角度，三角形的内角和定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 23．（12分）利用图形这一直观性语言，在一定程度上可以降低我们认识和理解抽象逻辑推理的难度；利用图形建构几何直观，可以轻松实现空间形式和数量关系的相互转化．让我们在如下的问题解决中体验一下吧！      (1)【模块探究】 如图1，求证： (2)【直观应用】 ①应用上述结论，若图2中，，则、、、、、的度数之和等于________．（直接给出结论，不必说明理由） ②应用上述结论，求图3所示的五角星中，、、、、的度数之和是多少？并证明你的结论． (3)【类比联系】 如图4，求、、、、、、的度数之和是多少？并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：如图所示，过点O作射线， ∵， ∴， ∴；    (2)①； ②，证明如下： 如图所示，由（1）的结论可知， ∵， ∴， 又∵， ∴    (3) 解：，证明如下： 如图所示，由（1）得结论可得， ∵， ∴， ∵， ∴．      【分析】（1）如图所示，过点O作射线，利用三角形外角的性质得到，由此即可证明； （2）①根据（1）的结论可得，再由，，即可得到；②由（1）的结论可知，再由，，即可得到； （3）如图所示，由（1）得结论可得，再由，，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：①由（1）的结论可知，， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：； ②略 （3）略 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和是解题的关键． 24．（12分）在中，，点在边上，点在上，连接，． 【计算发现】 （1）如图1，当点在边（不与点，重合）上运动时，且点在边上时． ①若，，则______，______． 【猜想验证】 ②猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展思考】 （2）如图2，当点在边（不与点，重合）上运动，点在边所在的直线上时，若，求的度数． 【答案】 （1）①； ②； 理由如下：如图令，， 由题意知，， ，， ， ， ． （2）的值为或 【分析】（1）①先求出，利用角的和差及三角形外角性质求出结论； ②如图1在线段上，由题意知，，，；，，可知与也即与的关系； （2）分情况讨论，如图2所示：有情况①点在点下方，情况②点在点上方，求解方法同（1）；具体分析见详解． 【详解】解：（1）①， ，， ， ， ②略 （2）如图2， 情况①，， ， ． 情况② 时， ， ，，， ， ， ， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．解题的关键是将各角度建立联系．易错点与难点在于分情况讨论． 25．（12分）我们定义： 在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形” 概念理解： 如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O，B重合）    (1)的度数为______，______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； (2)若，求证：是“和谐三角形”． (3)应用拓展： 在图2中画出：点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取点F，使，．若是“和谐三角形”，求的度数． 【答案】(1)；是 (2) 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是“和谐三角形”； (3)或 【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“和谐三角形”的概念判断； （2）利用三角形外角的性质求出的度数，再根据“和谐三角形”的概念证明即可； （3）根据平角的性质得到，根据平行线的性质得到，推出，得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“和谐三角形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为“和谐三角形”， 故答案为：；是； （2）略； （3）解：如图所示，即为所求；      ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是“和谐三角形”， ∴或， ∵， ∴或． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义，“和谐三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $