4.2 角（讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦初中数学“角”的核心知识点，从静态与动态定义切入，系统梳理角的表示方法、角度制换算、比较方法（度量法与叠合法）、角平分线及运算，延伸至钟表夹角、方位角等实际应用，构建从概念到应用的学习支架。 资料以“随学随练”“活学活用”串联知识点，结合钟表问题、方位角等现实情境培养数学眼光，通过角平分线多表达式及方程思想发展数学思维，题型分类与解题贴士规范数学语言。课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第四章 基本平面图形 4.2 角 课标要点 1. 理解角的静态与动态定义，掌握角的三种表示方法及角的分类标准，认识锐角、直角、钝角、平角、周角及其大小关系。 2. 掌握比较角的大小的两种方法（度量法和叠合法），理解角的和、差、倍、分的意义，能进行角的简单运算。 3. 理解角平分线的概念，能借助角平分线的定义解决有关角的计算问题，发展几何直观和运算能力。 学习重难点 学习重点 1. 掌握角的比较方法（度量法与叠合法），理解角平分线的概念，会进行角的和、差运算。 2. 能借助角平分线的定义进行角的计算，掌握角平分线相关的数学表达式。 学习难点 1. 角平分线定义的各种数学表达式的灵活运用（如∠AOB=2∠AOC），以及角平分线与角的和、差综合计算。 2. 叠合法比较角的大小的规范操作，以及含度分秒的角度运算中的进位与退位。 知识点 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 特别提醒 1. 角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，公共端点是角的顶点。 2. 角也可以看作由一条射线绕端点旋转形成的图形。 3. 角的表示方法：用三个大写字母（顶点在中间）或一个大写字母（顶点处只有一个角）表示。 随学随练 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）下列关于角的说法正确的是（   ） A．角是由有公共点的两条射线组成的图形 B．两条有公共端点的线段组成的图形叫作角 C．角是由一条射线绕它的端点旋转而成的图形 D．两条直线相交，组成的图形叫作角 【答案】C 【分析】本题考查角的定义，需根据角的静态与动态定义逐一判断各选项的正误，即可解题． 【详解】解：∵角的静态定义为有公共端点的两条射线组成的图形，动态定义为一条射线绕它的端点旋转而成的图形 ∴A选项中“有公共点”表述错误，应为“有公共端点”，故A错误，不符合题意． ∵角是由射线组成的，而非线段， ∴B选项错误，不符合题意． ∵C选项符合角的动态定义 ∴C选项正确，符合题意． ∵两条直线相交组成的图形包含四个角，不符合角的定义， ∴D选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26六年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）图中有______个角． 【答案】 【分析】数角时，按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角）避免重复和遗漏． 【详解】解：按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角），则： 以为开始边的有，4个角； 以为开始边的有，3个角； 以为开始边的有，2个角； 以为开始边的有，1个角； 共有个角． 故选：． 知识点 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 特别提醒 1. 角度制采用60进制，1°= 60'，1' = 60''。 2. 换算时，大化小乘60，小化大除以60。 3. 加法时“度加度、分加分”，满60向前进1；减法需借位时，借1°当60′。 随学随练 1.（2026·浙江·模拟预测）______． 【答案】 【详解】解： . 2．（25-26七年级下·全国·暑假作业）․ 【答案】， 【分析】本题考查度分秒的单位换算，度分秒之间的进率为，将原度数的小数部分乘以进率换算为分，即可得到结果． 【详解】解：． 知识点 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 特别提醒 解钟表夹角问题，特别要留心分针在动，时针同时也在动，不是静止的。核心速度：分针1分钟转6°，时针1分钟转0.5°。 随学随练 1.（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）计算3点整时，时针和分针的夹角________． 【答案】 【详解】解：钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是． 3点整时，时针指到3上，分针指到12上，时针和分针夹角是3份, ． ∴时钟上3点整时，时针和分针的夹角是． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）从时针指向4点开始，至少再经过( )分钟，时针恰好与分针重合． 【答案】 【详解】解：钟面上分为个大格，1个大格为，分针1分钟转，时针1分钟转， 时针指向4点时，时针与分针的夹角为， 设经过x分钟，时针和分针重合，则， 解得； 故至少再经过分钟，时针恰好与分针重合． 知识点 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 特别提醒 解方位角问题，特别要牢记以“北、南”为基准，先说“北/南”再说“偏东/西”，不能说成“东偏北”或“西偏南”。 随学随练 1．（25-26七年级下·广东湛江·期中）如图，货船与港口相距30海里，从港口看，货船的位置可描述为________方向． 【答案】南偏东 【分析】根据方位角的定义，通常以正北或正南方向为基准线，图中给出了与正东方向的夹角，利用互余关系求出与正南方向的夹角即可确定方向． 【详解】解：由图可知，射线与正东方向的夹角为， 正东方向与正南方向互相垂直，夹角为， 射线与正南方向的夹角为， 货船B在港口A的南偏东方向． 2．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下面图表是学校周边线路及相关信息，请同学们仔细阅读图1和表1中所给信息，回答下列问题： 路线 方向 距离（米） 书店→小丽家 北偏西 400 小玲家→学校 书店→学校 600 表1 (1)结合表1、图1中信息，把表1中空白的三处信息填完整． (2)根据图表信息，在图1中找到小丽家位置．（距离、角度等位置信息要标清楚） 【答案】(1) 解：补全表1如下： 路线 方向 距离（米） 书店→小丽家 北偏西 400 小玲家→学校 南偏东 1000 书店→学校 南偏西 600 表1 (2) 解：如图，小丽家位置即为所求： 【分析】本题考查了位置与方向，理解题意是解题的关键． （1）结合表1、图1中信息，即可求解； （2）根据表1可知，小丽家在书店的北偏西，且距离为400米，即可找到小丽家位置． 【详解】（1）略 （2）略 知识点 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 特别提醒 角平分线分得的两个角相等，但要注意双解情况（内角或外角平分线），且常与方程思想结合求角度。 随学随练 1.（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，是直线上一点，为射线，若平分，平分，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据角的平分线，平角的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图， ，平分，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 知识点 角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 特别提醒 进行加减乘除时，务必采用“度、分、秒”六进制，逢60进位或借位；单位换算要仔细，避免十进制混淆。 随学随练 1.（25-26七年级下·江西赣州·期末）如图，直线，相交于点，，若，则_________． 【答案】/度 【详解】解：∵直线，相交于点，，， ∴． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线，相交于点，射线平分，，，求的度数． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 射线平分， ． 知识点 角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 特别提醒 比较角的大小有三种方法：度量法、叠合法（顶点和一边重合，看另一边位置）、估测法。叠合时要注意角的开口方向和起始边对齐。 随学随练 1.（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）如图，直线m外有一定点O，点A是直线m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（    ） A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，∠β变小 D．，都变小 【答案】A 【详解】解：当点A从左向右运动时，变小，变大． 故选：A． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么_______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查角的大小比较，解题的关键是添加适当的辅助线．取格点E，使，作射线，则，然后比较和的大小，根据等量代换，即可作答． 【详解】解：如图，取格点E，使，作射线， 则， ∵， ∴， 故答案为：． 拓展 钟面角 1.记准转速：分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。 2. 套用公式：a点b分时，夹角β = |30a - 5.5b| 。若β>180°，则夹角取360°-β。 3.方程思想：设未知时间，利用追及角度差（速度差5.5°/分）列方程求解特殊角（如重合、垂直）问题。 活学活用 1.（2024·广东清远·一模）早上8点30分，时针与分针的夹角为_____． 【答案】/75度 【分析】本题根据钟表刻度的角度特征，确定8点30分时针与分针的位置，再计算两者的夹角即可． 【详解】钟表一周为，被平均分为个大格，因此每个大格的度数为， 8点30分时，分针指向数字，时针指向数字与的正中间，此时时针与分针间隔个大格， 因此夹角为． 2．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）4点12分，分针与时针的夹角为( )度． 【答案】54 【分析】整个钟面上有12个大格，把的角平均分成了12份，每个大格对应的角，分针60分钟转一圈，每分钟转；时针60分钟走1个大格，每分钟转据此解答． 【详解】解：4点整时，分针在12点方向，时针距离12点方向的角度为， 经过12分钟后，时针额外转动， 时针总角度为， 分针12分钟转动角度为， 夹角为． 3．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）在12点15分这个时刻，钟表盘面上时针和分针的最小夹角是( )． 【答案】 【分析】钟表盘面一周为，被平均分为12个大格，可得每个大格的度数为，时针每分钟转动，分针每分钟转动；12点整时，时针与分针重合，夹角为，分别计算15分钟内时针和分针各自转动的度数，用分针转动的度数减去时针转动的度数，即可得到两者的最小夹角． 【详解】解：分针15分钟转动的度数为：， 时针15分钟转动的度数为：， 12点15分时针与分针的最小夹角为：． 4．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）如图，观察时钟，回答问题： (1)分针多长时间转一圈？它的转速是多少？ (2)从0点(12时)开始到6时整，时针转动了多少度？ (3)从12时到12时30分，分针转动了多少度？ (4)中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是多少度？ 【答案】(1)60分钟，(度/分) (2) (3) (4) 【分析】本题考查钟面角． （1）分针60分钟转一圈，时钟的分针1min旋转一个“小格”，即； （2）时钟的时针旋转一个“大格”，即，从0点(12时)开始到6时整，走了六个“大格”，即可得出时针转动了， （3）从12时到12时30分，时间为30分钟，再乘以转速即可求解. （4）根据钟面角的定义以及钟面上时针、分针旋转过程中所成角度的变化规律进行计算即可． 【详解】（1）解：分针60分钟转一圈，时钟的分针旋转的度数为， 答：分针60分钟转一圈，它的转速是度/分； （2）解：时钟的时针旋转的度数为， 从0点(12时)开始到6时整，时针转动了， 答：从0点(12时)开始到6时整，时针转动了180°. （3）解：从12时到12时30分，分针转动了 答：从12时到12时30分，分针转动了180°. （4）解：从12时到12时15分时，时针转动了，分针转动了，中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是. 答：中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是. 拓展 角n等分线的有关计算 1. 明确等分比：n等分线将角分成n个相等小角，每个小角度数为原角度的。 2. 分类画图：看清内部射线位置，确定所求角包含几个等分单位，用“份数×单位角”计算。 3. 方程搭桥：当等分线组合复杂时，设每一份为x，根据已知角的度数或倍数关系列方程求解。 活学活用 1.（2025八年级上·全国·专题练习），射线是它的四等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等分线的有关计算．根据射线是它的四等分线，将均分为四份，根据图形可得是其中的3份，即可求解． 【详解】解：∵，射线是它的四等分线， ∴ ∴ 故选：C． 2.（2025八年级上·全国·专题练习），射线是它的三等分线，则________． 【答案】 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是它的三等分线，将角均分为三份，根据图形可得是其中的一份，即可求解． 【详解】解：∵，射线是它的三等分线， ∴ 故答案为：． 3．（25-26七年级上·江西新余·期末）已知，是内部的一条射线，则有三个角：，若其中一个角是另一个角的两倍时，则_________°． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据题意可分四种情况：①；②；③；④，根据角之间的关系讨论求解即可． 【详解】解：当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或； 故答案为：或或． 4．（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线． (1)若平分，求的度数． (2)小明说：“不论射线在的内部哪个位置，的度数始终保持不变．”你认为小明的说法是否正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)正确， ∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴，， ∴． 【分析】本题考查角平分线和角三等分线，角的和与差． （1）根据角平分线得到，再根据三等分线可得和的度数，最后利用可得答案； （2）正确，按照（1）的思路计算即可． 【详解】（1）∵，平分， ∴， ∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴， ， ∴； （2）略 题型 角的概念和表示 解题贴士 角由两条有公共端点的射线组成，用符号“∠”表示。三种表示法：三个大写字母（顶点在中间）、一个大写字母（顶点处唯一个角）、数字或希腊字母（如∠1、∠α）。 ▌例1（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】角的大小仅由两边张开的程度决定，放大镜仅放大图形的边长，不改变角两边的张开程度，因此角的度数不变． 【详解】解：∵角的大小只与角的两边张开的程度有关，与边的长度无关，放大镜只改变角两边的长度，不改变两边张开程度， ∴用7倍放大镜看的角，看到的角的度数仍为． ▌对点练1-1（25-26七年级上·河北衡水·期末）如图，的边经过的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的有关概念．一个角是由有公共顶点的两条射线组成的，因此边经过的点一定在射线上，据此作图求解即可． 【详解】解：如图所示，的边经过的点是，    故选：C． ▌对点练1-2（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 【答案】C 【详解】解：根据题意得：与表示同一个角，与表示同一个角，不可以用表示，一共有三个角，故A，B，D正确，不符合题意；C错误，符合题意． ▌对点练1-3（25-26七年级下·山东淄博·期中）下列图形中，能用，两种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角的表示方法，当顶点处只有一个角时，可以用一个大写字母表示，否则需用三个大写字母或数字表示． 【详解】解：当顶点处只有一个角时，可以用一个大写字母表示， ∴各个选项中能用表示角度的只有D选项， D选项中用，两种方法表示同一个角 题型 角的单位与角度制 解题贴士 角度制以度（°）为单位，1°=60′，1′=60″。换算乘60进率，大化小乘60，小化大除60。注意满60进1，借1当60，与时间换算类似。 ▌例2（25-26六年级下·黑龙江大庆·期中）______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． ▌对点练2-1（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）计算________分． 【答案】15 【详解】解：根据度分秒的换算规则，可得 ， 因此． ▌对点练2-2（25-26七年级上·天津和平·期末）计算：（1）________°； （2）_________； （3）__________． 【答案】 【分析】此题考查了度分秒之间的转换和角度的运算，熟练掌握度分秒之间的换算关系是解题的关键． （1）将秒转化为度除以60进制即可解答； （2）进行角度加法，需从秒开始计算，满60进一位； （3）进行角度减法，不够减时需借位． 【详解】（1）解：， 故答案为． （2）解： ， 故答案为． （3）解： ， 故答案为． ▌对点练2-3（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）角度换算： （1）用度，分，秒表示为_________； （2）若把化成以度为单位，则结果为_________ （3）=_________ 【答案】 【分析】本题考查角度之间的转换，掌握度、分、秒之间的转换关系是解题的关键． 角度换算涉及度、分、秒之间的进制转换（，）和角度加减运算中的借位规则． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）： 故答案为：． 题型 与方位角有关的计算题 解题贴士 先画出方向坐标（上北下南左西右东），标出方位角。注意“北偏东30°”是从北向东转30°。计算时利用互余（90°）或互补（180°）关系求角度。 ▌例3（25-26七年级下·重庆·期中）如图，是北偏东方向上的一条射线，是南偏西方向上的一条射线，则_______． 【答案】/度 【详解】解：∵是北偏东方向上的一条射线，是南偏西方向上的一条射线， ∴． ▌对点练3-1（25-26六年级下·山东淄博·期中）如图，点在点的北偏东，射线与所成的角是，则射线的方向是________． 【答案】南偏西 【分析】根据方向角的定义得到的度数，则可求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∴， ∴， ∴射线的方向是南偏西． ▌对点练3-2（25-26七年级下·重庆开州·期末）开州拥有丰富的红色文化和传统文化资源，其中举子园、刘伯承同志纪念馆、刘伯承同志故居都是著名景点．如图，点是举子园，刘伯承同志纪念馆位于举子园的北偏西方向，刘伯承故居位于举子园的南偏西方向，那么__________． 【答案】 【详解】解：由题意得，． ▌对点练3-3（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图，货轮甲从点O处出发，沿北偏东方向（即射线）航行，货轮乙从点O处出发，沿南偏东方向（即射线）航行，灯塔C刚好在货轮乙航行方向的反向延长线上． (1)灯塔C在点O的北偏西________方向上，在图中作出射线； (2)求的度数． 【答案】(1)50， 如图，射线即为所作， (2) 【分析】本题主要考查方位角的运用，掌握方位角的计算是关键． （1）根据反方向延长线作图即可得到点C的位置，由方位角的计算得到北偏西的角度； （2）根据方位角的计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：50； （2）解：∵， ∴． 题型 角的比较 解题贴士 比较角的大小有三种方法：度量法（用量角器量度数）、叠合法（顶点重合一边重合看另一边位置）、估算法。注意角的大小与边的长短无关，只与开口大小有关。 ▌例4（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 【答案】A 【分析】本题考查角的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 将平移，使和的顶点重合，即可解答． 【详解】解：将平移，使和的顶点重合，如图， 可知比大，于是有． 故选A． ▌对点练4-1（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，射线在的内部，射线在的外部．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是角的比较与运算，解题关键是结合图形得出角之间的关系． 根据题意得出各角之间的关系后，对选项进行判断即可． 【详解】解：射线在的内部， ， ，， 选项、选项结论正确，不符合题意， 射线在的内部，射线在的外部， ， ， 选项结论正确，不符合题意， 结合题意无法判断出与之间的关系，选项结论错误． 故选：． ▌对点练4-2（25-26七年级上·浙江舟山·期末）如图所示的正方形网格，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，由，即可解答． 【详解】解：由图可得，， ， 故答案为：． ▌对点练4-3（25-26七年级上·福建福州·期末）如图是的正方形网格，点A，B，C，D，O均为格点，则________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查角的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 先求出，，再比较大小即可． 【详解】解：由图，可知为等腰直角三角形， ∴， 由图，可知为直角三角形且，， ∴，即， ∴． 故答案为：． 题型 三角板中角度计算问题 解题贴士 一副三角板有90°、45°、45°和90°、60°、30°。拼角时两角相加或相减，注意顶点重合、边重合时角度可加可减。常见结果有15°、75°、105°、120°、135°、150°等。 ▌例5（2026·浙江丽水·二模）如图，一块三角尺中的与另一块三角尺的叠放在一起，使顶点与重合，角边与角边重合，角边与在重合一边的同侧，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角尺的特征判断和的度数，利用角的和差关系求解． 【详解】解：由图可知，， ∴． ▌对点练5-1（25-26七年级下·福建泉州·期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为_____． 【答案】/75度 【分析】先根据邻补角定义求出，再根据三角形内角和求出，然后利用角的和差计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． ▌对点练5-2（25-26七年级上·湖北荆门·期末）如图，将一个含角的三角尺的直角顶点摆放在直线上，若，则的度数是__________． 【答案】/57度 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，根据题意得求解即可． 【详解】解：根据题意得． 故答案为：． ▌对点练5-3（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，；） (1)与相等吗？说说你的理由； (2)若点E在的上方，设，求的度数． 【答案】(1)与相等，见解析 (2) 【分析】（1）根据角的和与差计算即可； （2）根据角的和与差计算即可． 【详解】（1）解：与相等．理由如下： 因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以． 题型 角平分线的有关计算 解题贴士 角平分线把角分成两个相等的角，即∠AOC=∠COB=½∠AOB。已知一半求全角用乘法，已知全角求一半用除法。注意多条角平分线时可设未知数列方程。 ▌例6（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的定义结合角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴， ∵平分， ∴． ▌对点练6-1（25-26八年级下·江西九江·期中）一个的角被角平分线平分，每个小角的度数为_____． 【答案】 /度 【分析】根据角平分线的定义，角平分线将原角分为两个相等的角，将原角度数除以2即可得到每个小角的度数． 【详解】解：根据角平分线的定义可知，角平分线将一个角分成两个大小相等的角， 已知原角为，因此每个小角的度数为：． ▌对点练6-2（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，已知O为直线上一点，，，且平分，．求的度数． 【答案】 【分析】先求出，根据，求出，根据平角，求出，因为平分，求出，根据，即可求出． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ， 平分， ， ， ． ▌对点练6-3（25-26七年级下·广东汕头·期中）如图，直线相交于点平分． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直的定义和平角的定义进行求解即可； （2）根据平角的定义和角平分线的定义，进行求解即可. 【详解】（1）解：， ， ，， ． （2）解：， ， 平分， ． 基础通关 一、单选题 1.（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）下列叙述正确的是（     ） A．线段可表示为线段 B．射线可表示为射线 C．直线和射线可以比较长短 D．角是由两条射线组成的图形 【答案】A 【详解】A、线段可表示为线段，故A正确； B、射线有方向，端点不同表示的射线不同，射线端点为，沿方向延伸，射线端点为，沿方向延伸，二者不是同一条射线，故B错误； C、直线和射线都是无限延伸的，没有确定长度，无法比较长短，故C错误； D、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，选项缺少“公共端点”的必要条件，故D错误； 故选：A． 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．平角就是一条直线 B．周角就是一条射线 C．小于平角的角是钝角 D．锐角是指大于而小于的角 【答案】D 【分析】本题考查平角、周角、钝角、锐角的定义，需根据各类角的概念逐一判断选项的正误． 【详解】解：∵平角是由一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，且方向相反时所构成的角，它有顶点和两条边，并非一条直线， ∴A选项错误，不符合题意． ∵周角是一条射线绕它的端点旋转一周所形成的角，它有顶点和重合的两条边，并非一条射线， ∴B选项错误，不符合题意． ∵小于平角的角包括锐角、直角、钝角，并非只有钝角， ∴C选项错误，不符合题意． ∵锐角的定义是大于而小于的角， ∴D选项正确，符合题意． 故选：D． 3．（25-26六年级下·山东淄博·期中）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走，据此即可解答． 【详解】解：整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走， 从10时40分到11时经过了20分钟， ， 时针走过的度数是． 4．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，琪琪一家要到革命圣地西柏坡参观，下列说法正确的是（     ） A．西柏坡在家东偏北方向 B．西柏坡在家北偏东方向 C．家在西柏坡南偏西方向 D．家在西柏坡西偏南方向 【答案】C 【分析】根据方向角的定义（通常以正北或正南方向为基准）及图形中的角度关系，结合方位角的相对性进行判断即可； 【详解】解：由图可知，以“家”为观测点，视线与正东方向的夹角为， 视线与正北方向的夹角为， 西柏坡在家北偏东方向，故A 表述不规范，B 错误； 根据方位角的相对性，方向相反，角度不变， 家在西柏坡南偏西方向（或西偏南方向） C正确，D错误． 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，用同一把三角尺比较和的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键；如图所示，明确与三角尺的的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C ． 二、填空题 6．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，下列四种说法：①与是同一个角；②也可用来表示；③图中共有三个角：，，；④与是同一个角．其中正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了角的概念，准确计算是解题的关键． 直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可． 【详解】解：由图可得，与是同一个角；图中共有三个角：，，；与是同一个角；不可用来表示， ∴①③④正确， 故答案为：①③④． 7．10．（2025八年级上·全国·专题练习）8条射线是的九等分线，，则相邻两条等分射线的夹角为_________． 【答案】 【分析】本题考查了等分线的有关计算．射线将角九等分，相邻射线夹角等于总角度除以等分数，即可求解． 【详解】解：∵，被九等分， 每个小角为﹒ 相邻两条等分射线的夹角即为﹒ 故答案为 8（24-25六年级下·山东烟台·期中）已知，，，将三个角按从小到大的顺序排列是_______ 【答案】 【分析】先根据角度单位的换算规则，将三个角统一单位，再比较角度大小，即可得到排序结果． 【详解】根据角度单位换算规则，可得，． 对进行换算：． ，即． 9．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，将两个直角三角形的直角顶点叠放在一起，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了角度的计算，首先确定这几个角之间的关系，来求出的度数，再求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，，平分，平分，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义得出，，根据平角的定义得出，根据角的和差关系即可求出． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 11．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度的和差计算，度分秒的换算． （1）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 12．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图，已知轮船A在灯塔O的北偏东方向上，轮船B在灯塔O的南偏东方向上，轮船C在的平分线上．求轮船C在灯塔O的北偏东多少度方向上？ 【答案】轮船C在灯塔O的北偏东的方向上 【分析】本题主要考查了与方位角有关的计算，角平分线的定义，根据方位角的描述求出的度数是解题的关键．根据方位角的描述求出，再由平角的定义可得，进而求出，据此可得答案． 【详解】解：∵轮船A在灯塔O的北偏东方向上， ∴， ∵轮船B在灯塔O的南偏东方向上， ∴， ∴， ∵轮船C在的平分线上， ∴， ∴， ∴轮船C在灯塔O的北偏东的方向上． 13．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，一块三角板的直角顶点在直线上，若． (1)请用圆规和直尺在边上确定一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）基础上，计算的大小． 【答案】(1) 如图，点为所求作的点． (2) 【分析】题目主要考查作一个角等于已知角，角度的计算，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意作一个角等于已知角即可； （2）根据图形求解即可． 【详解】（1）略 （2）由题意得，． 14．（25-26七年级下·山东淄博·期中）解答以下问题 (1)已知点在线段上，取的中点，的中点，，求； (2)如图，已知，平分，平分，则的度数为______． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了线段双中点模型和角的双角平分线模型．利用中点的定义和角平分线的定义即可解题． 【详解】（1）解：的中点为，的中点为， ，， ， ； （2）解：平分，平分， ，， ， ， ， ． 15．（23-24六年级下·山东淄博·期中）已知；和是直角． (1)如图1，当射线在内部时，请探究和之间的关系； (2)如图2，当射线，射线都在外部时，过点作射线，射线，满足，，求的度数． 【答案】(1) 解：， 证明：∵和是直角， ∴， 即，， ∴，， ∴， ∴； (2)． 【分析】本题考查了角之间的关系，解题的关键是理解题意，掌握角之间的关系，分情况讨论，正确计算． （1）根据题意得，得到，，可得，即可得； （2）根据题意计算得，根据，得，即可得． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得，， ∵，， ∴， ∴． 素养提升 1．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）对于如图所示的角，描述错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．若是的平分线，则 C． D．可以用表示 【答案】D 【分析】本题考查角的表示方法，角平分线的定义，角的和差关系；根据角度表示的方法：可以在角的两边上各取一个点，将角的顶点放在中间，用三个大写字母表示一个角；也可用一个希腊字母表示一个角；当一个顶点处只有一个角时，可用顶点的大写字母表示这个角，据此判断A、D选项；用角平分线的定义、角的和差关系可判断B、C选项． 【详解】解：A、由图可知：与表示同一个角，故A不符合题意； B、由角平分线的定义可得：若是的平分线，则，故B不符合题意； C、由图可知：，故C不符合题意； D、当一个顶点处有两个或两个以上角时，不能用顶点的大写字母表示角，不可以用表示，故D符合题意． 故选：D． 2．（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向为（     ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】利用角度的和差关系以及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∵，， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴射线的方向为：北偏西． 3．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和与差，由网格线可知，，可得：，又因为，可得． 【详解】解：如下图所示，由网格可知，， ， 即， ， ． 故选：B． 4．（24-25六年级下·山东东营·期中）如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有___________个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律． 根据图形数出即可得出前三个的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，钟表上显示的时间是1时30分．设时针与分针的交点为O，时针为，分针为，过点O在内部（为钝角）引一条射线，再作平分，平分，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查的是钟面角，角平分线的含义，角的和差运算，先求解，再画图，结合角平分线与角的和差运算可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 当射线在内部时， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． 故答案为： 6（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则______．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，熟练掌握网格特点和角的大小比较是解题关键．如图（见解析），根据网格特点可得，，，由此即可得． 【详解】解：如图，由网格可知，，，， 则， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·河南周口·期末）学校举办运动会，小明和小颖负责规划跳远场地．小明从点沿北偏东走30米到点，小颖从点沿南偏东走60米到点．现计划将跳远场地设置在方向上，且为助跑道起点，为沙坑远端．已知跳远场地标准为：助跑道至少35米，起跳板到沙坑近端1米，沙坑长7米． (1)按图上1厘米代表实际距离10米，画出、及的示意图； (2)通过测量计算，判断的长度是否符合跳远场地的要求？（图上距离精确到毫米） 【答案】(1) 如图，、及即为所求； (2) 解：符合要求；理由如下： 测量得图上距离约厘米，实际距离约52米， （米）， 因为，所以的长度符合跳远场地的要求． 【分析】本题主要考查了方位角的应用，解题的关键是熟练掌握方位角的定义． （1）根据方位角，画出图形即可； （2）先测量出图上距离约厘米，得出实际距离，然后进行比较即可． 【详解】（1）略 （2）略 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）在市场上称货物用的台秤的量程（称量的最大范围）一般是16kg，指示盘上的刻度是均匀的，把12kg蔬菜放在秤上，指示盘上的指针转了． (1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了多少度？ (2)若指针转了，这些蔬菜有多少千克？ 【答案】(1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了； (2)若指针转了，这些蔬菜有8kg． 【分析】（1）（2）先求出台秤指示盘指针最大转动角度，再利用台秤量程和指针转动度数之比即可求解. 【详解】（1）解：（1）由题可知：， 指针最多能转动， ， 把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了. （2）（2）由（1）可知，指针最多能转， ， 若指针转了，这些蔬菜有8kg． 9．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图1，直角三角尺的一个顶点在直线上，且，平分． (1)若，则的度数为___________． (2)将图1中的直角三角尺绕点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将直角三角尺从图2的位置继续绕点顺时针旋转，其他条件不变，点落在射线上时停止旋转，当旋转到下方时，请写出在此旋转过程中和的度数之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ，理由如下： 如图， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）先计算出，利用角平分线的性质求出，最后利用平角的性质求出即可； （2）先计算出，仿照（1）的解法，求出即可； （3）先用表示出，利用角平分线的性质表示出，再根据平角的性质表示出，从而得到和的之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由图可知，， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：略． 10．（25-26七年级上·湖北随州·期末）（1）已知平面上有，，，四点，请直接在图中，画出及射线； （2）在（）的条件下，若，平分，平分，求的度数； （3）如图，是内部的一条射线，，分别为，内部的一条射线，且，，若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】 （）如图， （）；（）． 【分析】本题考查了角、射线的画法，角平分线定义，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）画出及射线即可； （）作出，，然后通过角平分线定义，角度和差即可求解； （）由，，，，得，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：（）略； （）如图， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （）∵，，，， ∴，， ∴， ∴． ． 迁移创新 1．（25-26七年级下·福建福州·开学考试）综合与探究 【问题情境】 我校七年级3班智慧方舟小组利用一块含有角的直角三角板尝试进行玩转三角板的探究活动． O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 （1）如图1，当三角板的直角边与重合时，若，则 _____，_____； （2）在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 （3）如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，若，求的大小． 【答案】（1）18，108； （2）∵恰好是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴也是的平分线； （3） 【分析】本题考查了角度的计算，准确理解各个角之间的数量关系是解题的关键． （1）由，可以计算出，； （2）由恰好是的平分线，可得，再因为，可证； （3）先由已知条件可得，再由平分，得到，最后根据，求得． 【详解】解：（1）∵三角板的直角边与重合， ∴， ∴， ； 故答案为：18，108； （2）略 （3）∵，， 由条件可知， ∵平分， ∴， ∴ 2．（25-26七年级上·福建三明·期末）如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． (1)求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 【答案】(1) (2)①分钟； ②与的数量关系：． 理由：由（1）得相邻两根辐条夹角的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据题意，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，一周是，即可解答； （2）①根据角平分线的定义，求出，进而求出，根据水车以固定速度转一周需分钟，求出水车每分钟可以转动的角度，即可解答； ②推出，再根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴相邻两根辐条夹角的度数为； （2）解：①∵的平分线与水轮边缘交于点，，， ∴， ∴， ∵水车以固定速度转一周需分钟， ∴水车每分钟可以转动：， ∴所需时间为：（分钟）， 答：从竹筒装满水到开始倒水需要分钟； ②略 3．（24-25六年级下·山东淄博·阶段检测）（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如，，，．①小明利用三角尺作出了一个的角；②小乐利用三角尺作出了一个的角；除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出___________度的角（写出一种即可）． （2）如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，，，，在，）内作射线，，且，，则_____度； （3）如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中，，他把这两个三角形的顶点及边，重合在一起，三角形固定，将三角形绕点顺时针旋转，当边与重合时，停止运动．在此过程中，在，内作射线，，使，．这时，小明说“的度数可以用，表示出来”；小乐说“的度数无法用，表示出来”．请你判定一下谁的说法正确，并说明理由． 【答案】（1）75； （2）； （3）小明的说法正确，理由如下： ，，， ， ， ． 【分析】本题考查了角的和差倍分运算，三角板中角度的计算； （1）根据三角板的角度，可作出，，，，即可得解； （2）先求得，根据已知条件得出，根据，即可求解； （3）先得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 故答案为：75、105、135、150（任意一个即可）； （2）解：， ， ， ∵， ， ， 故答案为：； （3） 略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章 基本平面图形 4.2角 课时目标 1.理解角的静态与动态定义，掌握角的三种表示方法及角的分类标准，认识锐角、直 角、钝角、平角、周角及其大小关系。 2.掌握比较角的大小的两种方法（度量法和叠合法），理解角的和、差、倍、分的意 课标要点 义，能进行角的简单运算。 3.理解角平分线的概念，能借助角平分线的定义解决有关角的计算问题，发展几何直观 和运算能力。 学习重点 1.掌握角的比较方法（度量法与叠合法），理解角平分线的概念，会进行角的和、差运 算。 2. 能借助角平分线的定义进行角的计算，掌握角平分线相关的数学表达式。 学习重难点 学习难点 1.角平分线定义的各种数学表达式的灵活运用（如∠AOB=2∠AOC),以及角平分线与 角的和、差综合计算。 2. 叠合法比较角的大小的规范操作，以及含度分秒的角度运算中的进位与退位。 清主线 课时内容导图 1/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角的概念和表示 角的单位与角度制 静态定义 角定义 与方位角有关的计算题 动态定义 角的比较 锐角 常见考题 直角 三角板中角度计算问题 角分类 钝角 角平分线的有关计算 平角 钟面角 周角 角n等分线的有关计算 知识梳理 叠合法 静态动态混淆 角比较 角定义混淆 射线端点忽略 角 度量法 定义 射线与线段混淆 角平分线误解 易错点 角平分线 性质 等分点条件遗漏 等量关系 度分秒进制混淆 单位换算错误 和 进位退位失误 学法指导 角的和差 差 图形与数量对应 数形结合思想 倍分 量角器理解度量 角位置分类 分类讨论思想 数学思想 射线方向分类 角平分线转化为等量关系 转化思想 角和差转化为数量运算 理新知 教材全盘梳理 知识点 角的概念 1.角的定义： (1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两 条边.如图1所示，角的顶点是点O,边是射线OA、OB. A 0 (2)定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部。如图2 所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位 置OB是角的终边. 2/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 注意：(1)两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线：角的大小与角的两边的长短无关 (2)平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形 成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角. R 0 A A(B) 平角 周角 图1 图2 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 表示方法图示记法适用范用 (1)用三个大 ∠AOB任何情况都适 写字母表示 用，表示顶点的 ∠BOA字母写在中间 以某一点为顶点 (2)用一个大 的角只有一个 ∠0 写字母表示 时，可以用顶点 表示角 (3)用阿拉 任何情况都适用 伯数手表示 <1 (4)用希腊字 母表示 La 任何情况都适用 注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字 母 3.角的画法 (1)用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角. (2)用量角器可以画出任意给定度数的角、 (3)利用尺规作图可以画一个角等于己知角. 特别提醒 1. 角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，公共端点是角的顶点。 2.角也可以看作由一条射线绕端点旋转形成的图形。 3.角的表示方法：用三个大写字母（顶点在中间）或一个大写字母（顶点处只有一个角）表示。 随学随练 1.(25-26六年级下·全国·课后作业)下列关于角的说法正确的是（) A.角是由有公共点的两条射线组成的图形 B.两条有公共端点的线段组成的图形叫作角 C.角是由一条射线绕它的端点旋转而成的图形 D.两条直线相交，组成的图形叫作角 3/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26六年级上·重庆沙坪坝阶段检测)图中有 个角. B 知识点 2 角度制及其换算 1 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的60为1分，记作 “1'”,1'的60为1秒，记作“1””这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。 1周角=360°，1平角=180°，1°=60,1'=60”. 注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位， 从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进 位 特别提醒 1. 角度制采用60进制，1°=60,1'=60"。 2.换算时，大化小乘60，小化大除以60。 3.加法时“度加度、分加分”，满60向前进1；减法需借位时，借1°当60' 7随学随练 1.(2026浙江模拟预测)28.51°+2222'15”= 2. (25-26七年级下全国暑假作业)78.25°= 知识点3 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转 30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题. 特别提醒 解钟表夹角问题，特别要留心分针在动，时针同时也在动，不是静止的。核心速度：分针1分钟转 6°，时针1分钟转0.5° 4/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 随学随练 1.(25-26六年级下·黑龙江绥化：期末)计算3点整时，时针和分针的夹角 2.(24-25七年级上·安徽合肥开学考试)从时针指向4点开始，至少再经过( )分钟，时针恰好与 分针重合 知识点 4 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角.例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB 的方向是南偏西30°，这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角. 北 60。 西 南 注意：(1)正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示. (2)方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” (3)在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点 的正东、正西、正南、正北的方向. (4)图中的点O是观测点，所有方向线（射线）都必须以O为端点. 特别提醒 解方位角问题，特别要牢记以“北、南”为基准，先说“北南”再说“偏东西”，不能说成“东偏 北”或“西偏南” 随学随练 1.(25-26七年级下广东湛江·期中)如图，货船B与港口A相距30海里，从港口A看，货船B的位置可 描述为 方向。 北 40°东 5/26 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末)下面图表是学校周边线路及相关信息，请同学们仔细阅读图1 和表1中所给信息，回答下列问题： 路线 方向 距离（米） 书店一小丽家 北偏西30° 400 小玲家→学校 书店→学校 600 表1 北 小玲家 458 书店 30° 学校！ 图1 (1)结合表1、图1中信息，把表1中空白的三处信息填完整. (2)根据图表信息，在图1中找到小丽家位置.（距离、角度等位置信息要标清楚） 路线 方向 距离（米） 书店一小丽家 北偏西30° 400 小玲家一学校 南偏东45° 1000 书店一学校 南偏西60° 600 表1 知识点5 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如图所示，OC是 1 ∠AOB的角平分线，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,∠AOC=∠BOC=2∠AOB. 6/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样. 特别提醒 角平分线分得的两个角相等，但要注意双解情况（内角或外角平分线），且常与方程思想结合求角度， 随学随练 1.(25-26六年级下·山东烟台期末)如图，O是直线AB上一点，OC为射线，若OD平分∠A0C,OE平 分∠BOC,则∠DOE的度数为 B 2.(2425六年级下山东烟台期中)如图，∠A0C-号B0C=0°，OD平分∠4O8:求∠COD的度数。 B 知识点 6 角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB=∠1+∠2：∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1= ∠AOB-∠2 02 B 注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中（角的顶点与量角器的中心对齐）；②重合（一边与刻度 尺上的零度线重合)：③读数（读出另一边所在线的度数） (2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°， 75°，105°，120°，135°，150°，165°的角. 7/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 特别提醒 进行加减乘除时，务必采用“度、分、秒”六进制，逢60进位或借位：单位换算要仔细，避免十进制 混淆。 随学随练 1.(25-26七年级下江西赣州期末)如图，直线AB,CD相交于点0，∠C0E=90°，若∠A0C=35°， 则∠BOE= E B 2.(25-26七年级下陕西咸阳期中)如图，直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠BOC, ON⊥OM,∠CON=55°，求∠AOD的度数. B D 知识点 角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法.先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 方法2：叠合比较法.把其中的一个角移到另一个角上作比较. 如比较∠AOB和∠A'O'B'的大小：如下图，由图(1)可得∠AOB<∠A'O'B';由图(2)可得 ∠AOB=∠A'O'B';由图(3)可得∠AOB>∠A'O'B'· ,B' /B(B) B B B 0(0)A4)0(O)AC4)0(O)A (1) (2) (3) 8/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 特别提醒 比较角的大小有三种方法：度量法、叠合法（顶点和一边重合，看另一边位置）、估测法。叠合时要 注意角的开口方向和起始边对齐。 7随学随练 1.(25-26七年级上·云南昭通阶段检测)如图，直线m外有一定点O,点A是直线m上的一个动点，当点 A从左向右运动时，观察∠α和∠$的大小变化规律是() A.∠a变小，∠B变大 B.La,∠B都不变 C.∠a变大，∠B变小 D.∠a,∠B都变小 2.(25-26七年级上江苏南京期末)小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么∠AOB ∠COD(填“>”、“<”或“=”). 破疑难 核心素养拓展 拓展 1 钟面角 1.记准转速：分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。 2.套用公式：a点b分时，夹角阝=30a-5.5b|。若>180°，则夹角取360°-B。 3.方程思想：设未知时间，利用追及角度差（速度差5.5°分）列方程求解特殊角（如重合、垂直)问题。 活学活用 1.(2024广东清远一模)早上8点30分，时针与分针的夹角为一 2.(25-26七年级上四川达州开学考试)4点12分，分针与时针的夹角为( )度 9/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26七年级上四川达州开学考试)在12点15分这个时刻，钟表盘面上时针和分针的最小夹角是( 4.(25-26七年级上广西崇左阶段检测)如图，观察时钟，回答问题： 111212 10 22 9 3 8 4、 ,76 (①)分针多长时间转一圈？它的转速是多少？ (2)从0点(12时)开始到6时整，时针转动了多少度？ (3)从12时到12时30分，分针转动了多少度？ (④)中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是多少度？ 拓展 2 角n等分线的有关计算 1 1. 明确等分比：n等分线将角分成n个相等小角，每个小角度数为原角度的n· 2.分类画图：看清内部射线位置，确定所求角包含几个等分单位，用“份数×单位角”计算。 3.方程搭桥：当等分线组合复杂时，设每一份为x,根据已知角的度数或倍数关系列方程求解。 活学活用 1.(2025八年级上全国专题练习)∠DEF=96°，射线EG,EG,EG是它的四等分线，则∠DEG的度数 为() D G G G F A.24° B.48° C.72 D.96° 2.(2025八年级上全国专题练习)∠OP0=117°，射线PR,PR是它的三等分线，则∠OPR,= 10/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R 3.(25-26七年级上江西新余期末)已知∠A0B=60°，0C是∠A0B内部的一条射线，则有三个角： ∠AOB,∠AOC,∠BOC,若其中一个角是另一个角的两倍时，则∠AOC= 4.(24-25七年级上四川广安期末)如图，已知∠A0B=120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是 ∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线， M 备用图 (1)若OC平分∠AOB,求∠MON的度数. (2)小明说：“不论射线OC在∠AOB的内部哪个位置，∠MON的度数始终保持不变.”你认为小明的说法 是否正确？请说明理由. 通题型 解题能力构建 题型 角的概念和表示 解题贴士 角由两条有公共端点的射线组成，用符号“∠”表示。三种表示法：三个大写字母（顶点在中间） 一个大写字母（顶点处唯一个角）、数字或希腊字母（如∠1、∠）。 ■例1(2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二）)用一个7倍的放大镜看一个15°的角，看到 的角的度数为() A.15° B.105° C.30° D.150° 11/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■对点练1-1(25-26七年级上河北衡水·期末)如图，∠MON的边ON经过的点是() D·C A· ·B g A.点A B.点B C.点C D.点D ■对点练1-2(25-26六年级下·山东威海·期末)如图，下列说法错误的是() A.∠1与∠BOC表示同一个角 B.∠AOC与∠a表示同一个角 C.∠AOB也可以用∠O表示 D.图中共有三个角 ■对点练1-3(25-26七年级下山东淄博·期中)下列图形中，能用∠1，∠B两种方法表示同一个角的是 () A D D B BA+ 题型 2 角的单位与角度制 解题贴士 角度制以度（°）为单位，1=60′，1'=60”。换算乘60进率，大化小乘60，小化大除60。注意满 60进1，借1当60，与时间换算类似。 ■例2(25-26六年级下·黑龙江大庆期中)2036=°. 对点练2-1(25-26七年级上·福建宁德阶段检测)计算0.25°= 分. ■对点练2-2(25-26七年级上·天津和平·期末)计算：(1)3600”=°； (2)4829+67°41= 12/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)180°-60°564= ■对点练2-3(25-26七年级上·山东青岛阶段检测)角度换算： (1)8.32°用度，分，秒表示为 (2)若把3636'36化成以度为单位，则结果为 (3)501020-364935= 题型 与方位角有关的计算题 解题贴士 先画出方向坐标（上北下南左西右东），标出方位角。注意“北偏东30°”是从北向东转30°。计算时 利用互余(90°)或互补(180°)关系求角度。 ■例3(25-26七年级下·重庆期中)如图，0A是北偏东35°方向上的一条射线，0B是南偏西20°方向上 的一条射线，则∠AOB=」 北 B ■对点练3-1(25-26六年级下·山东淄博期中)如图，点M在点O的北偏东65°，射线OM与ON所成的 角是140°，则射线ON的方向是 北 M 西 东 N 南 ■对点练3-2(25-26七年级下·重庆开州期末)开州拥有丰富的红色文化和传统文化资源，其中举子园、 刘伯承同志纪念馆、刘伯承同志故居都是著名景点.如图，点O是举子园，刘伯承同志纪念馆A位于举子 园的北偏西67°方向，刘伯承故居B位于举子园的南偏西12°方向，那么∠AOB= 13/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 A。 西 东 南 ■对点练3-3(25-26七年级上甘肃兰州期末)如图，货轮甲从点0处出发，沿北偏东30°方向（即射线 OA)航行，货轮乙从点O处出发，沿南偏东50°方向（即射线OB)航行，灯塔C刚好在货轮乙航行方向 的反向延长线上 北N) 309 西 →东(E) 40° B 南 (1)灯塔C在点O的北偏西」 °方向上，在图中作出射线OC; (2)求∠AOB的度数. 题型 4 角的比较 解题贴士 比较角的大小有三种方法：度量法（用量角器量度数）、叠合法（顶点重合一边重合看另一边位置） 估算法。注意角的大小与边的长短无关，只与开口大小有关。 ■例4(25-26七年级上河北邯郸~阶段检测)如图，在由相同小正方形组成的网格中有∠α和∠9，估测 ∠a与∠B的大小关系为() A.∠a<∠B B.∠a=∠B c.∠a>∠B D.无法估测 】对点练41(25-26七年级上辽宁大连期末)如图，射线OC在∠A0B的内部，射线0D在∠A0B的外部. 14/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 下列结论错误的是() A A.∠BOC<∠AOB B.∠COD>∠AODC.∠AOB<∠AOD D ∠AOB>∠AOC ■对点练42(25-26七年级上：浙江舟山期末)如图所示的正方形网格，则∠ABC ∠DEF.(填 “>”“=”或“<”) ■对点练43(25-26七年级上福建福州期末)如图是4×4的正方形网格，点A,B,C,D,O均为格点， 则∠AOB ∠COD(填“>”或“=”或“<”). 题型 5 三角板中角度计算问题 解题贴士 副三角板有90°、45°、45°和90°、60°、30°。拼角时两角相加或相减，注意顶点重合、边重合时角度 可加可减。常见结果有15°、75°、105°、120°、135°、150°等。 【例5(2026浙江丽水·二模)如图，一块三角尺中的∠BAC与另一块三角尺的∠P0叠放在一起，使顶 点A与P重合，角边AC与角边PO重合，角边AB与P吧在重合一边的同侧，则∠QAB的度数等于() 15/26 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(P) A.25° B.20° C.15o D.10° ■对点练5-1(25-26七年级下·福建泉州期中)将一副三角板按照如图方式摆放，则∠ABC的度数为 E B 45 130% A CD ■对点练5-2(25-26七年级上湖北荆门期末)如图，将一个含30°角的三角尺的直角顶点摆放在直线1上， 若∠1=33°，则∠2的度数是 2 ■对点练5-3(25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测)将一副三角板中的两块直角三角尺的直角项点C按如 图方式叠放在一起（其中∠A=60°，∠D=30°：∠E=∠B=45°） D (1)∠ACE与∠BCD相等吗？说说你的理由； (2)若点E在AC的上方，设∠ACB=150°，求∠DCE的度数. 题型 6 角平分线的有关计算 16/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题贴士 角平分线把角分成两个相等的角，即∠AOC-∠COB=∠AOB。已知一半求全角用乘法，已知全角求 一半用除法。注意多条角平分线时可设未知数列方程。 ■例6(2026陕西西安模拟预测)如图，点0在直线AB上，OD平分∠B0C.若∠AOC=38°，则 ∠COD的度数为() C D A.38° B.52° C.71 D.76 ■对点练6-1(25-26八年级下·江西九江期中)一个60°的角被角平分线平分，每个小角的度数为 ■对点练6-2(2425六年级下·山东烟台·期中)如图，已知O为直线AB上一点，∠BOC=2∠COD, ∠BOC+∠DOE=90°，且OF平分∠AOE,∠BOC=28°.求∠DOF的度数， D A O I对点练6-3(25-26七年级下'广东汕头·期中)如图，直线AB、CD相交于点O,OF⊥CD,OE平分 ∠AOD,∠1=32° D (1)求∠3的度数： (2)求∠2的度数. 17/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 刷好题 课时巩固精炼 c基础通关 一、单选题 1.(25-26七年级下·黑龙江大庆·期中)下列叙述正确的是() A.线段AB可表示为线段BA B.射线CD可表示为射线DC C.直线和射线可以比较长短 D,角是由两条射线组成的图形 2.(25-26六年级下·全国·课后作业)下列说法正确的是() A.平角就是一条直线 B.周角就是一条射线 C.小于平角的角是钝角 D.锐角是指大于0°而小于90°的角 3.(25-26六年级下·山东淄博期中)如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数 是() 0 3 6 A.120 B.80° C.15° D.10° 4.(25-26八年级下河北石家庄·期末)如图，琪琪一家要到革命圣地西柏坡参观，下列说法正确的是（ 北 西 》东 西柏坡 南 35 家 A.西柏坡在家东偏北35°方向 B.西柏坡在家北偏东65°方向 C.家在西柏坡南偏西55°方向 D.家在西柏坡西偏南55°方向 5.(25-26七年级上浙江宁波·期末)如图，用同一把三角尺比较∠1和∠2的大小，下列结论正确的是 () 18/26 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 C.∠1<∠2 D.无法确定 二、填空题 6.(25-26七年级上辽宁铁岭期末)如图，下列四种说法：①∠1与∠BOC是同一个角：②∠AOB也可用 ∠0来表示；③图中共有三个角：∠AOB,∠AOC,∠BOC;④∠a与∠AOB是同一个角.其中正确的是 (填序号) B 7.10.(2025八年级上全国专题练习)8条射线OK,0K2,,0K是∠K0L的九等分线，∠K0L=153°， 则相邻两条等分射线的夹角为 8(24-25六年级下山东烟台期中)己知∠1=8120，∠2=81.2°，∠3=8150°”，将三个角按从小到大的 顺序排列是 9.(25-26七年级上四川成都期末)如图，将两个直角三角形的直角顶点O叠放在一起，若∠B0C=23°， 则∠AOD的度数为. D B 10.(25-26六年级下·山东威海期末)如图，∠COD=50°，OE平分∠AOC,OF平分∠BOD,则 ∠EOF的度数为一 D B 三、解答题 11.(2425七年级上河北邯郸期中)计算： 19/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (①)13128-32'15”： (2)583827"+4742'40" 12.(25-26七年级上：陕西渭南期末)如图，已知轮船A在灯塔O的北偏东3548方向上，轮船B在灯塔 O的南偏东74°方向上，轮船C在∠AOB的平分线上.求轮船C在灯塔O的北偏东多少度方向上？ 北W) 西 东 南(S) 13.(25-26七年级上·安徽合肥·期末)如图，一块三角板ABC的直角顶点A在直线MN上，若 ∠BAN=4214' B M ()请用圆规和直尺在边BC上确定一点D,使得∠BAD=∠BAW；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)基础上，计算∠MAD的大小 14.(25-26七年级下·山东淄博期中)解答以下问题 (I)已知点C在线段AB上，取AC的中点M,BC的中点N,AB=12,求MN; AMC N B (2)如图，已知∠A0B=120°，OM平分∠A0C,ON平分LBOC,则∠MON的度数为 M B 15.(23-24六年级下·山东淄博期中)已知；∠AOB和∠COD是直角. 20/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B E B D D 图1 图2 (1)如图1，当射线OB在∠COD内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系： ②如图2，当射线01射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE,射线OF,满足∠B0E=写∠B0C ∠AOF= ∠AOD,求∠EOF的度数. ©素养提升 1.(25-26七年级上广东佛山阶段检测)对于如图所示的角，描述错误的是() B C A.∠C与∠AOB表示同一个角 B.若OB是∠40c的平分线，则∠a40C C.∠BOC=∠AOC-∠au D.∠AOC可以用∠O表示 2.(25-26六年级下山东烟台期末)如图射线OA,OB的方向分别为北偏东56°和南偏西76°，射线0C 平分∠AOB,则射线OC的方向为() →东 A.北偏西24°B.北偏西28 C.北偏西29° D.北偏西38 3.(25-26七年级上·浙江湖州期末)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为 21/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 格点.如图，△ABC和△DEF的顶点均在格点上，试比较∠BAC与∠EDF的大小关系() A.∠BAC>∠EDF B.∠BAC<∠EDFC.∠BAC=∠EDF D.无法确定 4.(24-25六年级下山东东营期中)如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作.在∠A0B内画1 条射线，观察发现图中共有3个角：在∠AOB内画2条射线时，则图中共有6个角：在∠AOB内画3条射 线时，则图中共有10个角：按照此规律，在∠AOB内画n条射线时，图中共有」 个角. B D 5.(25-26七年级上·陕西西安·阶段检测)如图，钟表上显示的时间是1时30分.设时针与分针的交点为 O,时针为OB,分针为OA,过点O在∠AOB内部（∠AOB为钝角）引一条射线OC,再作OM平分 ∠AOC,ON平分∠BOC,则∠MON的度数为 B 6(2425七年级上江苏准安期末)如图所示的正方形网格中，点A、B、C是格点，则∠B2∠C (填“>”，“<”或“=”) 7.(25-26七年级上河南周口·期末)学校举办运动会，小明和小颖负责规划跳远场地.小明从点0沿北 偏东60°走30米到点A,小颖从点O沿南偏东60°走60米到点B.现计划将跳远场地设置在AB方向上， 且A为助跑道起点，B为沙坑远端.已知跳远场地标准为：助跑道至少35米，起跳板到沙坑近端1米，沙 22/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 坑长7米. 北 西 东 南 (1)按图上1厘米代表实际距离10米，画出OA、OB及AB的示意图： (2)通过测量计算，判断AB的长度是否符合跳远场地的要求？（图上距离精确到毫米） 8.(25-26七年级上·全国课后作业)在市场上称货物用的台秤的量程（称量的最大范围）一般是16kg, 指示盘上的刻度是均匀的，把12水g蔬菜放在秤上，指示盘上的指针转了270° (1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了多少度？ (2)若指针转了180°，这些蔬菜有多少千克？ 9.(25-26八年级下江西景德镇期中)如图1，直角三角尺的一个顶点0在直线AB上，且∠C0D=60° OE平分∠BOC E B 图1 图2 (1)若∠D0E=20°，则∠AOC的度数为 (2)将图1中的直角三角尺绕点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若∠DOE=40°，求∠AOC的 度数： (3)将直角三角尺从图2的位置继续绕点O顺时针旋转，其他条件不变，点D落在射线OA上时停止旋转， 当OC旋转到AB下方时，请写出在此旋转过程中∠AOC和∠DOE的度数之间的数量关系，并说明理由. 10.(25-26七年级上·湖北随州期末)(1)已知平面上有0，A,B,C四点，请直接在图1中，画出 ∠AOB及射线OC; 23/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B● M a A 图1 图2 (2)在(1)的条件下，若∠AOB=120°，OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,求∠DOE的度数： (3)如图2，OC是∠4OB内部的一条射线，OM,ON分别为∠A0C,∠BOC内部的一条射线，且 ∠MOC=2∠AOM,∠NOC=2∠BON,若∠AOB=n°，请直接写出∠MON的度数.（用含n的代数式表 示) 品迁移创新 1.(25-26七年级下·福建福州开学考试)综合与探究 【问题情境】 我校七年级3班智慧方舟小组利用一块含有45°角的直角三角板D0E尝试进行玩转三角板的探究活动， O为直线AB上一点，过点O在直线AB上方作射线OC,将一块三角板DOE的直角顶点与点O重合，射 线OC和三角板DOE均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线AB上方）， 】 D 图1 图2 图3 【操作探究】 (1)如图1，当三角板的直角边OE与OB重合时，若∠BOC=72°，则 ∠COD=°，∠A0C=°： (2)在(1)的条件下，将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时OE恰好是∠BOC的 平分线，试说明OD也是∠AOC的平分线： 【深入探究】 (3)如图3，旋转射线OC和三角板DOE,始终满足OC平分∠BOD,若∠COE=a,求∠AOD的大小. 2.(25-26七年级上福建三明期末)如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水 轮和支撑架等部件组成.某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装20根 辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装20个竹筒，依次记为M,M2,,M20,三角形 24/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AOB为支撑架，且∠AOB=54°. 竹筒 Ms 辐条 M 支撑架 图1 图2 (1)求出相邻两根辐条夹角的度数： (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心O逆时针转动，转动一周需3分钟.∠AOB的平分线与水轮边缘交于 点D,每个竹筒在D处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与OB的夹角为81°（即∠BOC=8I°）时， 竹筒开始倒水. ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟： ②当水轮转动到如图2位置时，判断∠AOM,与∠BOM5的数量关系，说明理由. 3.(2425六年级下·山东淄博阶段检测)(1)数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用 它们作出一些角，例如30°，45°，60°，90°.①小明利用三角尺作出了一个120°的角；②小乐利用三角 尺作出了一个15°的角：除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出 度的角（写出一种 即可)· B 图1 图2 (2)如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，∠AOB=∠DCO=90°， ∠A=45°，∠D0C=30°，在∠B0D(0°<∠B0D≤180)，∠A0C(0<∠A0C≤180)内作射线0P,00, 且∠POB=2∠D0P,∠Q0A=2∠Q0C,则∠P00=度： (3)如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中∠A0B=a,∠COD=B,他把 这两个三角形的顶点O及边OD,OB重合在一起，三角形AOB固定，将三角形COD绕点O顺时针旋转， 当边OC与OA重合时，停止运动.在此过程中，在∠BOD,∠AOC内作射线OP,O0,使 ∠BOD=3∠POD,∠AOC=3∠QOC.这时，小明说“∠PO0的度数可以用a,P表示出来”；小乐说“ 25/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠PO2的度数无法用a,P表示出来”，请你判定一下谁的说法正确，并说明理由. 26/26