4.3 《多边形和圆的初步认识》预习讲义——2026--2027学年北师大版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦北师大版七年级上册“多边形和圆的初步认识”，系统梳理多边形定义、顶点边内角对角线及n边形对角线条数与分割三角形个数规律，圆的圆心半径弧扇形圆心角概念及圆心角计算，通过挖空填写、结论总结、易错提醒构建学习支架，衔接平面图形基础与后续复杂图形学习。 该资料以两日打卡任务分层设计，通过从特殊多边形归纳n边形规律培养推理意识，数形结合助学生直观理解概念与计算发展几何直观，预习训练覆盖基础与易错点，课中辅助教师高效教学，课后便于学生自检查漏，提升自主学习能力。

北师大版七年级上册预习 第四章 基本平面图形 第 3 节 多边形和圆的初步认识 📅 两日预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・多边形认识模块）】 ✅ 达成目标：理解多边形的概念，掌握多边形的顶点、边、内角、对角线，能计算n边形的相关数量 通读课本 P128-P129 多边形的概念内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-3」的挖空填写。 熟记多边形的定义，理解顶点、边、内角、对角线的概念，掌握n边形的顶点数、边数、内角数和对角线条数。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能正确说出n边形从一个顶点出发的对角线条数和分割成三角形的个数。 【Day2 预习任务（建议 30min・圆和扇形模块）】 ✅ 达成目标：理解圆和扇形的概念，掌握圆心角的计算方法，能解决简单的扇形圆心角问题 通读课本 P129-P130 圆和扇形的内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 4-5」剩余挖空填写。 掌握圆的定义、圆心、半径，理解弧、扇形、圆心角的概念，能按比例计算圆心角的度数。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能熟练计算扇形圆心角的度数，能区分弧、扇形、圆心角等概念。 一、核心知识点梳理 知识点 1：多边形的定义 三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形（polygon），它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。 多边形的定义包含三个要素： （1）由线段组成（不能有曲线）； （2）线段首尾顺次相连（封闭图形）； （3）相邻线段不在同一直线上。 如没有特别说明，本书所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧。 ⚠️易错提醒：圆、扇形、圆弧都不是多边形，因为它们含有曲线；不封闭的图形也不是多边形。 知识点 2：多边形的相关概念 在多边形ABCDE中： （1）顶点：点A，B，C，D，E是多边形的顶点（相邻两条边的公共端点）； （2）边：线段AB，BC，CD，DE，EA是多边形的边（组成多边形的各条线段）； （3）内角：∠EAB，∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEA是多边形的内角（可简称为多边形的角，相邻两条边所组成的角）； （4）对角线：AC，AD都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫作多边形的对角线。 💡重要结论：n边形有n个顶点、n条边、n个内角。 知识点 3：多边形的对角线 （1）从n边形的一个顶点出发，可以引出 条对角线。 （因为不能连接自己和相邻的两个顶点，所以减去3） （2）这些对角线把n边形分割成 个三角形。 （3）n边形共有 条对角线。 例如： 三角形：从一个顶点出发0条对角线，分割成0个三角形，共有0条对角线； 四边形：从一个顶点出发1条对角线，分割成2个三角形，共有2条对角线； 五边形：从一个顶点出发2条对角线，分割成3个三角形，共有5条对角线； 六边形：从一个顶点出发3条对角线，分割成4个三角形，共有9条对角线。 💡重要结论：从一个顶点出发的对角线条数 = n-3；分割成三角形的个数 = n-2。 知识点 4：正多边形 各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形。 常见的正多边形有：正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形等。 一个正多边形有n条边，这个多边形就叫作正n边形。 特别提醒：各边相等或各角相等的多边形不一定是正多边形，必须同时满足"各边相等"和"各角相等"两个条件。 例如：菱形各边相等，但各角不一定相等，所以菱形不一定是正四边形；矩形各角相等，但各边不一定相等，所以矩形不一定是正四边形。 ⚠️易错提醒：正多边形必须同时满足"各边相等"和"各角相等"，二者缺一不可。 知识点 5：圆的相关概念 （1）圆的定义：平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。 （2）圆心：固定的端点O称为圆心。 （3）半径：线段OA称为半径。 （4）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫作圆弧，简称弧，记作，读作"圆弧AB"或"弧AB"。 （5）扇形：由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫作扇形。 （6）圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角。 💡重要结论：圆的两个要素是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 知识点 6：圆心角的计算 一个周角为360°，所以一个圆的所有圆心角的度数之和为360°。 如果将一个圆分割成若干个扇形，可以根据各扇形圆心角的度数比，按比例分配360°，求出每个扇形的圆心角的度数。 例如：将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1:2:3，求这三个扇形的圆心角的度数。 解：因为一个周角为360°，所以分成的三个扇形的圆心角分别是： 360° × = 60°， 360° × = 120°， 360° × = 180°。 💡重要结论：各扇形圆心角的度数之和等于360°，可按比例分配计算。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：圆、扇形是多边形。多边形是由线段组成的封闭图形，圆和扇形含有曲线，所以不是多边形。 易错点2：各边相等的多边形就是正多边形。正多边形必须同时满足"各边相等"和"各角相等"，二者缺一不可。 易错点3：从n边形一个顶点出发的对角线条数是n-2。从一个顶点出发，不能连接自己和相邻的两个顶点，所以是n-3条对角线，这些对角线把多边形分成n-2个三角形。 易错点4：弧就是半圆。弧是圆上任意两点间的部分，半圆是特殊的弧，但弧不一定是半圆。 易错点5：扇形是多边形。扇形由一条弧和两条半径组成，含有曲线，所以不是多边形。 易错点6：圆心角的顶点可以在圆上。圆心角的顶点必须在圆心，顶点在圆上的角不是圆心角。 二、基本概念定义 多边形：由若干条不在同一直线上的____首尾顺次相连组成的__封闭__平面图形。 对角线：连接多边形____两个顶点的线段叫作多边形的对角线。 正多边形：各边____、各角也____的多边形叫作正多边形。 圆：平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转____，另一个端点A所形成的图形叫作圆。 扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条____所组成的图形叫作扇形；顶点在____的角叫作圆心角。 三、数学思想方法 1. 数形结合思想 多边形和圆的初步认识既有代数计算（如对角线条数、圆心角度数），又有几何图形（如多边形、圆、扇形）。通过图形可以直观地理解概念，通过计算可以精确地求解问题，体现了数形结合思想。利用图形帮助理解对角线、圆心角等概念，是数形结合思想的重要应用。 2. 从特殊到一般的思想 多边形的对角线规律是从特殊的三角形、四边形、五边形、六边形出发，归纳出一般的n边形的对角线条数和分割三角形个数的规律。这种从特殊到一般的思想方法，是数学中常用的研究方法，有助于我们发现和总结规律。 3. 分类讨论思想 在研究多边形时，需要按边数分类（三角形、四边形、五边形等），按凹凸分类（凸多边形、凹多边形），按是否正多边形分类。通过分类讨论，可以全面考虑各种情况，系统地掌握多边形的性质。 4. 转化思想 在研究多边形时，常常通过对角线将多边形分割成三角形，将复杂的多边形问题转化为简单的三角形问题来解决。这种转化思想是数学中重要的思想方法，体现了"化繁为简、化未知为已知"的数学思维。 5. 方程思想 在计算圆心角的度数时，常常根据各扇形圆心角的度数比，设未知数，利用"各圆心角之和为360°"列方程求解。这种方程思想是解决比例分配问题的常用方法，体现了代数方法在几何问题中的应用。 四、预习训练 一、选择题 1.（2025-2026学年·北师大版同步）下列图形中，属于多边形的是（　　　） A. 圆 B. 三角形 C. 扇形 D. 圆弧 2.（2025-2026学年·北师大版同步）下列是正多边形的是（　　　） A. 六条边都相等的六边形 B. 三条边都相等的三角形 C. 四条边都相等的四边形 D. 四个角都是直角的四边形 3.（2024-2025学年·北师大版同步）下列说法正确的是（　　　） A. 扇形是由弧、线段围成的多边形 B. 弧是半圆 C. 半圆是弧 D. 过圆心的线段是半径 4.（2024-2025学年·江苏苏州期末）从多边形一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成6个三角形，则此多边形的边数为（　　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5.（2024-2025学年·重庆沙坪坝期末）过七边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成的三角形个数是（　　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6.（2024-2025学年·陕西西安期末）从七边形的一个顶点出发画对角线，这些对角线最多可以将七边形分割为多少个三角形（　　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7.（2024-2025学年·贵州威宁期末）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引12条对角线，则这个多边形是（　　　） A. 十三边形 B. 十四边形 C. 十五边形 D. 十六边形 8.（2025-2026学年·北师大版同步）下列说法正确的是（　　　） A. 由不在同一直线上的几条线段相连所组成的封闭图形叫作多边形 B. 一条弧和经过弧的两条半径围成的图形叫作扇形 C. 三角形是最简单的多边形 D. 扇形是圆的一部分，所以扇形是多边形 9.（2025-2026学年·华东师大版同步）将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为2:3:4，则最大的扇形的圆心角的度数为（　　　） A. 80° B. 120° C. 160° D. 200° 10.（2024-2025学年·北师大版同步）一个扇形的圆心角为120°，则这个扇形的面积占整个圆面积的（　　　） A. B. C. D. 二、填空题 11.（2025-2026学年·北师大版同步）在一个圆中任意画三条半径，可以把这个圆分成______个不同的扇形。 12.（2025-2026学年·北师大版同步）过多边形的一个顶点能引出10条对角线，则这个多边形的边数是______。 13.（2024-2025学年·陕西西安期末）从正多边形的一个顶点出发有15条对角线，则该正多边形的边数是______。 14.（2024-2025学年·北师大版同步）从多边形的一个顶点出发的对角线可以把n边形分割成______个三角形。 15.（2025-2026学年·华东师大版同步）将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1:2:3，则最小的扇形的圆心角的度数为______。 16.（2024-2025学年·北师大版同步）正八边形有______个顶点，______条边，______个内角，从一个顶点出发可以引出______条对角线。 三、解答题 17.（2025-2026学年·北师大版同步）将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1:2:3，求这三个扇形的圆心角的度数。 18.（2024-2025学年·北师大版同步）如图，将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角分别占整个圆的20%、30%、50%，求这三个扇形的圆心角的度数。 19.（2024-2025学年·北师大版同步）从八边形ABCDEFGH的顶点A出发，可以画出多少条对角线？分别用字母表示出来。这些对角线把八边形分成多少个三角形？ 20.（2025-2026学年·北师大版同步）已知从m边形的一个顶点出发共有4条对角线；从n边形的一个顶点出发的所有对角线把n边形分成7个三角形。求m + n的值。 21.（2024-2025学年·华东师大版同步）将一个圆分割成甲、乙、丙三个扇形，它们的圆心角的度数比为3:2:1，求这三个扇形的圆心角的度数。 22.（2025-2026学年·北师大版同步）一个多边形的边数为n。 （1）这个多边形有多少个顶点、多少条边、多少个内角？ （2）从这个多边形的一个顶点出发，可以引出多少条对角线？ （3）这些对角线把这个多边形分成多少个三角形？ （4）当n = 10时，求（2）和（3）的结果。 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级上册预习 第四章 基本平面图形 第 3 节 多边形和圆的初步认识 📅 两日预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・多边形认识模块）】 ✅ 达成目标：理解多边形的概念，掌握多边形的顶点、边、内角、对角线，能计算n边形的相关数量 通读课本 P128-P129 多边形的概念内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-3」的挖空填写。 熟记多边形的定义，理解顶点、边、内角、对角线的概念，掌握n边形的顶点数、边数、内角数和对角线条数。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能正确说出n边形从一个顶点出发的对角线条数和分割成三角形的个数。 【Day2 预习任务（建议 30min・圆和扇形模块）】 ✅ 达成目标：理解圆和扇形的概念，掌握圆心角的计算方法，能解决简单的扇形圆心角问题 通读课本 P129-P130 圆和扇形的内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 4-5」剩余挖空填写。 掌握圆的定义、圆心、半径，理解弧、扇形、圆心角的概念，能按比例计算圆心角的度数。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能熟练计算扇形圆心角的度数，能区分弧、扇形、圆心角等概念。 一、核心知识点梳理 知识点 1：多边形的定义 三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形（polygon），它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。 多边形的定义包含三个要素： （1）由线段组成（不能有曲线）； （2）线段首尾顺次相连（封闭图形）； （3）相邻线段不在同一直线上。 如没有特别说明，本书所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧。 ⚠️易错提醒：圆、扇形、圆弧都不是多边形，因为它们含有曲线；不封闭的图形也不是多边形。 知识点 2：多边形的相关概念 在多边形ABCDE中： （1）顶点：点A，B，C，D，E是多边形的顶点（相邻两条边的公共端点）； （2）边：线段AB，BC，CD，DE，EA是多边形的边（组成多边形的各条线段）； （3）内角：∠EAB，∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEA是多边形的内角（可简称为多边形的角，相邻两条边所组成的角）； （4）对角线：AC，AD都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫作多边形的对角线。 💡重要结论：n边形有n个顶点、n条边、n个内角。 知识点 3：多边形的对角线 （1）从n边形的一个顶点出发，可以引出 （n-3） 条对角线。 （因为不能连接自己和相邻的两个顶点，所以减去3） （2）这些对角线把n边形分割成 （n-2） 个三角形。 （3）n边形共有 条对角线。 例如： 三角形：从一个顶点出发0条对角线，分割成0个三角形，共有0条对角线； 四边形：从一个顶点出发1条对角线，分割成2个三角形，共有2条对角线； 五边形：从一个顶点出发2条对角线，分割成3个三角形，共有5条对角线； 六边形：从一个顶点出发3条对角线，分割成4个三角形，共有9条对角线。 💡重要结论：从一个顶点出发的对角线条数 = n-3；分割成三角形的个数 = n-2。 知识点 4：正多边形 各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形。 常见的正多边形有：正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形等。 一个正多边形有n条边，这个多边形就叫作正n边形。 特别提醒：各边相等或各角相等的多边形不一定是正多边形，必须同时满足"各边相等"和"各角相等"两个条件。 例如：菱形各边相等，但各角不一定相等，所以菱形不一定是正四边形；矩形各角相等，但各边不一定相等，所以矩形不一定是正四边形。 ⚠️易错提醒：正多边形必须同时满足"各边相等"和"各角相等"，二者缺一不可。 知识点 5：圆的相关概念 （1）圆的定义：平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。 （2）圆心：固定的端点O称为圆心。 （3）半径：线段OA称为半径。 （4）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫作圆弧，简称弧，记作，读作"圆弧AB"或"弧AB"。 （5）扇形：由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫作扇形。 （6）圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角。 💡重要结论：圆的两个要素是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 知识点 6：圆心角的计算 一个周角为360°，所以一个圆的所有圆心角的度数之和为360°。 如果将一个圆分割成若干个扇形，可以根据各扇形圆心角的度数比，按比例分配360°，求出每个扇形的圆心角的度数。 例如：将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1:2:3，求这三个扇形的圆心角的度数。 解：因为一个周角为360°，所以分成的三个扇形的圆心角分别是： 360° × = 60°， 360° × = 120°， 360° × = 180°。 💡重要结论：各扇形圆心角的度数之和等于360°，可按比例分配计算。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：圆、扇形是多边形。多边形是由线段组成的封闭图形，圆和扇形含有曲线，所以不是多边形。 易错点2：各边相等的多边形就是正多边形。正多边形必须同时满足"各边相等"和"各角相等"，二者缺一不可。 易错点3：从n边形一个顶点出发的对角线条数是n-2。从一个顶点出发，不能连接自己和相邻的两个顶点，所以是n-3条对角线，这些对角线把多边形分成n-2个三角形。 易错点4：弧就是半圆。弧是圆上任意两点间的部分，半圆是特殊的弧，但弧不一定是半圆。 易错点5：扇形是多边形。扇形由一条弧和两条半径组成，含有曲线，所以不是多边形。 易错点6：圆心角的顶点可以在圆上。圆心角的顶点必须在圆心，顶点在圆上的角不是圆心角。 二、基本概念定义 多边形：由若干条不在同一直线上的__线段__首尾顺次相连组成的__封闭__平面图形。 对角线：连接多边形__不相邻__两个顶点的线段叫作多边形的对角线。 正多边形：各边__相等__、各角也__相等__的多边形叫作正多边形。 圆：平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转__一周__，另一个端点A所形成的图形叫作圆。 扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条__半径__所组成的图形叫作扇形；顶点在__圆心__的角叫作圆心角。 三、数学思想方法 1. 数形结合思想 多边形和圆的初步认识既有代数计算（如对角线条数、圆心角度数），又有几何图形（如多边形、圆、扇形）。通过图形可以直观地理解概念，通过计算可以精确地求解问题，体现了数形结合思想。利用图形帮助理解对角线、圆心角等概念，是数形结合思想的重要应用。 2. 从特殊到一般的思想 多边形的对角线规律是从特殊的三角形、四边形、五边形、六边形出发，归纳出一般的n边形的对角线条数和分割三角形个数的规律。这种从特殊到一般的思想方法，是数学中常用的研究方法，有助于我们发现和总结规律。 3. 分类讨论思想 在研究多边形时，需要按边数分类（三角形、四边形、五边形等），按凹凸分类（凸多边形、凹多边形），按是否正多边形分类。通过分类讨论，可以全面考虑各种情况，系统地掌握多边形的性质。 4. 转化思想 在研究多边形时，常常通过对角线将多边形分割成三角形，将复杂的多边形问题转化为简单的三角形问题来解决。这种转化思想是数学中重要的思想方法，体现了"化繁为简、化未知为已知"的数学思维。 5. 方程思想 在计算圆心角的度数时，常常根据各扇形圆心角的度数比，设未知数，利用"各圆心角之和为360°"列方程求解。这种方程思想是解决比例分配问题的常用方法，体现了代数方法在几何问题中的应用。 四、真题训练 一、选择题 1.（2025-2026学年·北师大版同步）下列图形中，属于多边形的是（　　　） A. 圆 B. 三角形 C. 扇形 D. 圆弧 【答案】 B 【解析】 本题考查多边形的定义。多边形是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。 【解答】 解：根据多边形的定义，多边形是由线段组成的封闭图形。 A. 圆是由曲线组成的，不是多边形； B. 三角形是由三条线段首尾顺次相连组成的封闭图形，是多边形； C. 扇形含有曲线，不是多边形； D. 圆弧是曲线，不是封闭图形，不是多边形。 故选：B。 2.（2025-2026学年·北师大版同步）下列是正多边形的是（　　　） A. 六条边都相等的六边形 B. 三条边都相等的三角形 C. 四条边都相等的四边形 D. 四个角都是直角的四边形 【答案】 B 【解析】 本题考查正多边形的定义。正多边形必须同时满足"各边相等"和"各角相等"两个条件。 【解答】 解：A. 六条边都相等的六边形，各角不一定相等，不一定是正六边形； B. 三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个角都相等，所以是正三角形； C. 四条边都相等的四边形是菱形，各角不一定相等，不一定是正方形； D. 四个角都是直角的四边形是矩形，各边不一定相等，不一定是正方形。 故选：B。 3.（2024-2025学年·北师大版同步）下列说法正确的是（　　　） A. 扇形是由弧、线段围成的多边形 B. 弧是半圆 C. 半圆是弧 D. 过圆心的线段是半径 【答案】 C 【解析】 本题考查圆的相关概念。根据弧、扇形、半径的定义逐一判断。 【解答】 解：A. 扇形含有曲线，不是多边形，故本选项错误； B. 弧是圆上任意两点间的部分，不一定是半圆，故本选项错误； C. 半圆是特殊的弧，故本选项正确； D. 半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，过圆心的线段不一定是半径，故本选项错误。 故选：C。 4.（2024-2025学年·江苏苏州期末）从多边形一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成6个三角形，则此多边形的边数为（　　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】 C 【解析】 本题考查多边形对角线分割三角形的规律。从n边形的一个顶点出发的对角线把n边形分割成（n-2）个三角形。 【解答】 解：设这个多边形的边数为n。 因为从n边形的一个顶点出发的对角线把n边形分割成（n-2）个三角形， 所以n - 2 = 6， 解得n = 8。 所以这个多边形是八边形。 故选：C。 5.（2024-2025学年·重庆沙坪坝期末）过七边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成的三角形个数是（　　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】 B 【解析】 本题考查多边形对角线分割三角形的规律。从n边形的一个顶点出发的对角线把n边形分割成（n-2）个三角形。 【解答】 解：七边形的边数n = 7， 从一个顶点出发的对角线把七边形分割成的三角形个数为： n - 2 = 7 - 2 = 5。 故选：B。 6.（2024-2025学年·陕西西安期末）从七边形的一个顶点出发画对角线，这些对角线最多可以将七边形分割为多少个三角形（　　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】 B 【解析】 本题考查多边形对角线分割三角形的规律。从n边形的一个顶点出发的对角线把n边形分割成（n-2）个三角形。 【解答】 解：七边形的边数n = 7， 从一个顶点出发画对角线，最多可以将七边形分割成的三角形个数为： n - 2 = 7 - 2 = 5。 故选：B。 7.（2024-2025学年·贵州威宁期末）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引12条对角线，则这个多边形是（　　　） A. 十三边形 B. 十四边形 C. 十五边形 D. 十六边形 【答案】 C 【解析】 本题考查多边形的对角线。从n边形的一个顶点出发，可以引出（n-3）条对角线。 【解答】 解：设这个多边形是n边形。 因为从n边形的一个顶点出发，可以引出（n-3）条对角线， 所以n - 3 = 12， 解得n = 15。 所以这个多边形是十五边形。 故选：C。 8.（2025-2026学年·北师大版同步）下列说法正确的是（　　　） A. 由不在同一直线上的几条线段相连所组成的封闭图形叫作多边形 B. 一条弧和经过弧的两条半径围成的图形叫作扇形 C. 三角形是最简单的多边形 D. 扇形是圆的一部分，所以扇形是多边形 【答案】 C 【解析】 本题考查多边形和扇形的概念。根据定义逐一判断。 【解答】 解：A. 多边形是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形，"相连"不一定是"首尾顺次相连"，故本选项错误； B. 扇形是由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形，不是任意两条半径，故本选项错误； C. 三角形是最简单的多边形，正确； D. 扇形含有曲线，不是多边形，故本选项错误。 故选：C。 9.（2025-2026学年·华东师大版同步）将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为2:3:4，则最大的扇形的圆心角的度数为（　　　） A. 80° B. 120° C. 160° D. 200° 【答案】 C 【解析】 本题考查圆心角的计算。一个周角为360°，按比例分配即可。 【解答】 解：因为一个周角为360°，三个扇形的圆心角的度数比为2:3:4， 所以最大的扇形的圆心角的度数为： 360° × 4/(2+3+4) = 360° × 4/9 = 160°。 故选：C。 10.（2024-2025学年·北师大版同步）一个扇形的圆心角为120°，则这个扇形的面积占整个圆面积的（　　　） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查扇形面积与圆心角的关系。扇形面积占整个圆面积的比例等于圆心角占360°的比例。 【解答】 解：因为整个圆的圆心角为360°，扇形的圆心角为120°， 所以这个扇形的面积占整个圆面积的比例为： 120° ÷ 360° = 。 故选：B。 二、填空题 11.（2025-2026学年·北师大版同步）在一个圆中任意画三条半径，可以把这个圆分成___6___个不同的扇形。 【答案】 6 【解析】 本题考查扇形的概念。每两条半径和它们之间的弧组成一个扇形，三条半径两两组合，可以组成6个扇形（包括大扇形和小扇形）。 【解答】 解：三条半径把圆分成3个小扇形，每两个相邻的小扇形又可以组成1个较大的扇形，共有3个，三个小扇形组成整个圆（不算扇形），所以共有3 + 3 = 6个不同的扇形。 故答案为：6。 12.（2025-2026学年·北师大版同步）过多边形的一个顶点能引出10条对角线，则这个多边形的边数是__13____。 【答案】 13 【解析】 本题考查多边形的对角线。从n边形的一个顶点出发，可以引出（n-3）条对角线。 【解答】 解：设这个多边形的边数为n。 因为从n边形的一个顶点出发，可以引出（n-3）条对角线， 所以n - 3 = 10， 解得n = 13。 故答案为：13。 13.（2024-2025学年·陕西西安期末）从正多边形的一个顶点出发有15条对角线，则该正多边形的边数是__18____。 【答案】 18 【解析】 本题考查多边形的对角线。从n边形的一个顶点出发，可以引出（n-3）条对角线。 【解答】 解：设该正多边形的边数是n。 因为从n边形的一个顶点出发有（n-3）条对角线， 所以n - 3 = 15， 解得n = 18。 故答案为：18。 14.（2024-2025学年·北师大版同步）从多边形的一个顶点出发的对角线可以把n边形分割成___（n-2）___个三角形。 【答案】 n-2 【解析】 本题考查多边形对角线分割三角形的规律。从n边形的一个顶点出发的对角线把n边形分割成（n-2）个三角形。 【解答】 解：从n边形的一个顶点出发，向不相邻的顶点引对角线， 可以引出（n-3）条对角线， 这些对角线把n边形分割成（n-2）个三角形。 故答案为：n-2。 15.（2025-2026学年·华东师大版同步）将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1:2:3，则最小的扇形的圆心角的度数为__60°____。 【答案】 60° 【解析】 本题考查圆心角的计算。一个周角为360°，按比例分配即可。 【解答】 解：因为一个周角为360°，三个扇形的圆心角的度数比为1:2:3， 所以最小的扇形的圆心角的度数为： 360° × = 360° × 1/6 = 60°。 故答案为：60°。 16.（2024-2025学年·北师大版同步）正八边形有__8____个顶点，__8____条边，___8___个内角，从一个顶点出发可以引出__5____条对角线。 【答案】 8；8；8；5 【解析】 本题考查多边形的相关概念。n边形有n个顶点、n条边、n个内角，从一个顶点出发可以引出（n-3）条对角线。 【解答】 解：正八边形的边数n = 8， 所以正八边形有8个顶点，8条边，8个内角。 从一个顶点出发可以引出的对角线条数为： n - 3 = 8 - 3 = 5。 故答案为：8；8；8；5。 三、解答题 17.（2025-2026学年·北师大版同步）将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1:2:3，求这三个扇形的圆心角的度数。 【答案】 60°，120°，180° 【解析】 本题考查圆心角的计算。一个周角为360°，按比例分配即可。 【解答】 解：因为一个周角为360°，三个扇形的圆心角的度数比为1:2:3， 所以这三个扇形的圆心角的度数分别为： 360° × = 360° × 1/6 = 60°， 360° × = 360° × 2/6 = 120°， 360° × = 360° × 3/6 = 180°。 答：这三个扇形的圆心角的度数分别为60°，120°，180°。 18.（2024-2025学年·北师大版同步）如图，将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角分别占整个圆的20%、30%、50%，求这三个扇形的圆心角的度数。 【答案】 72°，108°，180° 【解析】 本题考查圆心角的计算。一个周角为360°，用360°乘以各扇形所占的百分比即可。 【解答】 解：因为一个周角为360°， 所以三个扇形的圆心角的度数分别为： 360° × 20% = 72°， 360° × 30% = 108°， 360° × 50% = 180°。 答：这三个扇形的圆心角的度数分别为72°，108°，180°。 19.（2024-2025学年·北师大版同步）从八边形ABCDEFGH的顶点A出发，可以画出多少条对角线？分别用字母表示出来。这些对角线把八边形分成多少个三角形？ 【答案】 5条对角线，分别是AC，AD，AE，AF，AG；分成6个三角形。 【解析】 本题考查多边形的对角线。从n边形的一个顶点出发，可以引出（n-3）条对角线，这些对角线把n边形分割成（n-2）个三角形。 【解答】 解：八边形的边数n = 8， 从顶点A出发，不能连接A本身和相邻的顶点B、H， 所以可以画出的对角线有：AC，AD，AE，AF，AG，共5条。 这些对角线把八边形分成的三角形个数为： n - 2 = 8 - 2 = 6。 答：可以画出5条对角线，分别是AC，AD，AE，AF，AG；这些对角线把八边形分成6个三角形。 20.（2025-2026学年·北师大版同步）已知从m边形的一个顶点出发共有4条对角线；从n边形的一个顶点出发的所有对角线把n边形分成7个三角形。求m + n的值。 【答案】 m + n = 16 【解析】 本题考查多边形的对角线。从n边形的一个顶点出发，可以引出（n-3）条对角线，这些对角线把n边形分割成（n-2）个三角形。 【解答】 解：因为从m边形的一个顶点出发共有4条对角线， 所以m - 3 = 4， 解得m = 7。 因为从n边形的一个顶点出发的所有对角线把n边形分成7个三角形， 所以n - 2 = 7， 解得n = 9。 所以m + n = 7 + 9 = 16。 21.（2024-2025学年·华东师大版同步）将一个圆分割成甲、乙、丙三个扇形，它们的圆心角的度数比为3:2:1，求这三个扇形的圆心角的度数。 【答案】 甲：180°，乙：120°，丙：60° 【解析】 本题考查圆心角的计算。一个周角为360°，按比例分配即可。 【解答】 解：因为一个周角为360°，甲、乙、丙三个扇形的圆心角的度数比为3:2:1， 所以甲扇形的圆心角的度数为： 360° × = 360° × = 180°， 乙扇形的圆心角的度数为： 360° × = 360° × = 120°， 丙扇形的圆心角的度数为： 360° × = 360° × = 60°。 答：甲、乙、丙三个扇形的圆心角的度数分别为180°，120°，60°。 22.（2025-2026学年·北师大版同步）一个多边形的边数为n。 （1）这个多边形有多少个顶点、多少条边、多少个内角？ （2）从这个多边形的一个顶点出发，可以引出多少条对角线？ （3）这些对角线把这个多边形分成多少个三角形？ （4）当n = 10时，求（2）和（3）的结果。 【答案】 （1）n个顶点，n条边，n个内角；（2）(n-3)条；（3）(n-2)个；（4）7条，8个。 【解析】 本题考查多边形的相关概念和对角线规律。n边形有n个顶点、n条边、n个内角，从一个顶点出发可以引出（n-3）条对角线，这些对角线把n边形分割成（n-2）个三角形。 【解答】 解：（1）n边形有n个顶点，n条边，n个内角。 （2）从n边形的一个顶点出发，不能连接自己和相邻的两个顶点， 所以可以引出（n-3）条对角线。 （3）这些对角线把n边形分成（n-2）个三角形。 （4）当n = 10时， 从一个顶点出发可以引出的对角线条数为：n - 3 = 10 - 3 = 7； 这些对角线把多边形分成的三角形个数为：n - 2 = 10 - 2 = 8。 学科网（北京）股份有限公司 $