专题2.4 直角三角形（6大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学直角三角形核心知识，系统梳理概念、性质（两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半）及判定（两角互余、一边中线等于这边一半），衔接HL全等判定，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过“即学即练”即时巩固，“典例+变式”分层突破，结合三角板与平行线等实践题，培养几何直观与推理意识，规范书写提升数学语言表达。课中助力教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题2.4 直角三角形 教学目标 1.理解直角三角形概念，掌握直角三角形两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半的性质，能识别直角三角形，运用性质完成角度、线段的计算与简单证明。 2.通过观察、猜想、证明探究直角三角形性质，经历几何推理过程，体会转化思想，提升识图能力与演绎推理能力，规范几何书写步骤。 3.感受直角三角形在生活中的应用价值，体会几何严谨性；主动参与课堂探究，培养合作意识，增强学习几何的自信心。 教学重难点 1.重点 （1）掌握直角三角形两锐角互余的性质，熟练进行角度推算。 （2）理解并运用直角三角形斜边上中线等于斜边一半的核心性质，求解线段长度。 （3）能够根据条件判定直角三角形，区分直角三角形相关性质的适用场景，规范书写推理过程，解决基础几何计算题与证明题。 2.难点 （1）直角三角形斜边上中线性质的推导与灵活运用，在复杂图形中找准斜边及对应中线，准确建立线段数量关系。 （2）综合运用直角三角形性质结合已学等腰、等边三角形知识进行多步推理，准确分析图形条件，构建完整严谨的几何证明思路，避免推理逻辑漏洞。 知识点01 直角三角形的概念 直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质. 【即学即练】1．如图,在中,,分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点、,作直线分别交、于点、,连接.若,则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可得，由垂直平分线的性质可知，根据角之间的关系即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 由尺规作图可知，是的垂直平分线， ， ， ． 2．在一个直角三角形中，一个锐角是，则另一个锐角的补角的度数为________． 【答案】 /160度 【详解】解：直角三角形的两锐角互余，已知一个锐角为， 另一个锐角的度数为， 互补的两个角和为， 另一个锐角的补角的度数为. 3．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则长为______． 【答案】 3 【分析】根据垂直的定义得到，利用同角的余角相等证明，结合利用证明，根据全等三角形对应边相等得到，结合线段的和差关系计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 知识点02 直角三角形的性质 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 【即学即练】1．如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵在中，，，点为的中点， ∴． 2．如图，在和中，点，，在同一条直线上，，．若，，则_______． 【答案】9 【分析】利用平角定义和直角三角形两锐角互余的性质，证明，结合已知条件利用证明，从而得出对应边相等，最后根据线段和差关系求解． 【详解】解：点，，在同一条直线上，， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 3．如图，在中，，点在边上，点在边上，点与点关于直线对称．若，求的度数． 【答案】 【详解】在中，，， ， 点在边上，点在边上，点与点关于直线对称， ， ， ． 知识点03 三直角三角形判定 直角三角形判定 两个角互余的三角形是直角三角形. 在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD， 求证：△ABC是直角三角形． 证明：∵AD=CD， ∴∠A=∠1． 同理∠2=∠B． ∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°， 即2（∠1+∠2）=180°， ∴∠1+∠2=90°， 即：∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形． 【即学即练】1．如图，在中，，点E在边上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质进行求证即可． 【详解】证明：，， ，， ∴， ∴， ，， ， ， ，即， ． 2．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】 证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】略 3．如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：，为延长线上一点， ， 在和中， ， ， ； (2)证明：， ， ， ． 【分析】（1）运用证明可得； （2）根据可得，进而即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 题型01 利用直角三角形的两锐角互余求角度 【典例1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， 又 ∵是的角平分线， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，于点，平分交于点．若，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出，结合得到，再由角平分线定义得，最后根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：， ． 在中，， ． ， ， 平分， ， 在中，三角形内角和为， ． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，交于点，则的度数为_____°． 【答案】65 【分析】由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再由，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 【答案】 【分析】由直角三角形两个锐角互余得出，，得到，由角平分线的定义得出，最后由三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 题型02 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例1】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用三角形内角和为，计算各选项中三角形的内角度数，判断是否存在直角，即可得出结论． 【详解】解：三角形的三个内角满足， A ， ，得， 是直角三角形，不符合题意； B ， ， 是直角三角形，不符合题意； C ， ， 是直角三角形，不符合题意； D ， ， 解得，三角形中不存在的角， 不是直角三角形，符合题意． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则___________，是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：，直角． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，，则___________，是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定．由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：，直角． 题型03 斜边的中线等于斜边的一半 【典例1】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，，垂足为B，点D是的中点，连接，若，则的长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用直角三角形斜边中线定理，直接计算中线长度即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∵点D是的中点，， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·江西上饶·期末）图1是某脚手架的实物图，图2是其示意图，，是的中点，若，则支撑杆的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，即可求解． 【详解】解：，是的中点，， ， 支撑杆的长为． 【变式2】（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，E，F分别是边的中点，若，则________． 【答案】4 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案 ． 【详解】解：∵，点E为的中点， ∴ ． 【变式3】（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，是的中点，于点，连结．若，，则_________°． 【答案】 【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出，利用直角三角形斜边中线定理得到，算出后推导出，再结合已知判定为等腰三角形，最后借助三角形内角和求出的度数． 【详解】解：连接， ∵，， ∴在中，， ∵是中点， ∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， 在中，根据三角形内角和：． 题型04 用HL证全等 【典例1】（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，，垂足为，，点在上，，，依据上述条件可以判定．这种判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据垂直定义和平行线性质得出，再由得出，最后结合利用定理即可判定． 【详解】解：， ， ， ， 和都是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 【答案】 【分析】利用即可证明． 【详解】解：∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则全等的依据是． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，为直角，与相交于点，与相等，请在图中找出两对全等三角形． 【答案】，． 【分析】根据，，得出；利用得出，进一步利用“”得出． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式3】（2026·湖南长沙·二模）如图，，，垂足分别为B，D，且． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)12 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质求出，求出和的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型05 全等的性质和HL综合 【典例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】证明，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，进而得到，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ，， ， ， ， ， ， 的面积是． 【变式2】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在和中，，，若，则__________． 【答案】 【分析】根据已知条件利用定理证明，得出，再利用直角三角形两锐角互余求出，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：， 与均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，于点E，于点F，，． (1)求证：； (2)已知，，求、的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴， ∴； (2)， 【分析】（1）证明得到； （2）证明，得到，即，代入解得，再根据勾股定理求． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵ ∴． 题型06 直角三角形与三角板的问题 【典例1】（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，把直尺摆放在直角三角板上，，直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点B作，先根据直角三角形两锐角互余得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出，，即可求解． 【详解】解：过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点在一块直角三角板上，其中，于点，于点，连接．若，则的度数是（    ） A．10° B．15° C．20° D．30° 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上，角平分线将角分成相等的两部分是解题的关键． 根据到角两边距离相等的点在角平分线上，判断平分，再结合的度数求出的度数． 【详解】解：，，， 是的平分线． ， ． 故选：B． 【变式2】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）将直尺和三角板如图放置，，求________． 【答案】 【分析】，． 【详解】解：如图，由直尺得，， ， 由三角板得，， ． 【变式3】（23-24七年级下·河南安阳·期末）综合与实践 问题情境： 数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．如图1，已知，直角三角板中，，将其顶点A放在直线上，并使边于点D，与相交于点H． （1）试判断边与直线的位置关系并说明理由； 操作探究： （2）如图2，将图1中三角板的直角顶点B放在平行线之间，两直角边，分别与，相交于点E，F，得到和，试探究与的数量关系并说明理由； 下面是小明不完整的解答过程，请你补充完整． 解：，理由： 过点B作直线，如图4所示． 因为（已知） 所以（______________） 所以，________（______________） 因为________， 所以 深入探究： （3）受小明启发，同学们继续探究下列问题． 在图2中作线段和，使它们分别平分和的顶角，如图3，请直接写出的度数． 【答案】 解：（1），理由如下： ∵直线于点D， ， ∵， ∴， ∴； （2）平行于同一条直线的两条直线互相平行；，两直线平行，同位角相等；；（3） 【分析】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据题意得到，即可判定； （2）过点B作直线，根据平行线的判定与性质求解即可； （3）根据角平分线定义及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，理由： 过点B作直线，如图4所示． 因为（已知） 所以（平行于同一直线的两直线平行） 所以，（两直线平行，同位角相等） 因为， 所以； （3），理由如下： 如图3，过点O作，则， ， ， ， ∵和分别平分， ， ∴， 即． 一、单选题 1．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得， 是的中点，， ，两点间的距离为， 故选：C． 2．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用得到，然后结合得到，等量代换得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，于点D，平分交于点E，交于点F，，，，则的长为（     ） A． B．5 C．7 D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理可得，则可得，利用勾股定理可得，再根据角平分线的性质定理可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 作过点E作， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即. 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可证得与，得到，，再计算出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分，与交于点M，于点D，于点E，与交于点F，若，则为（     ） A．2.5 B．2 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】取的中点G，连接，设，，再利用x、y表示、，列方程即可得到x的值． 【详解】解：取的中点G，连接， 设，， 可得， ∵，， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∵， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 6．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是________． 【答案】或 【分析】要分类讨论，当等腰三角形的顶角是钝角或等腰三角形的顶角是锐角两种情况，然后作出示意图，在锐角三角形中，由可得，结合，即可求出顶角度数；在钝角三角形中，由可得，根据邻补角的性质即可解答． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图： ∵ ∴， ②当为钝角三角形时，如图： ∵， ∴ ∴， 综上所述，等腰三角形的顶角度数为或． 7．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据“”判定，利用全等三角形对应角相等得出，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 在中，． 8．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则___________． 【答案】10 【分析】利用垂直的定义得到，由平角的定义及同角的余角相等得到，利用证得，由全等三角形对应边相等得到，，由即可求出长． 【详解】解：，， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 则． 9．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，点是边上一点，连接，于点，，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】由角平分线的判定定理求出的大小，再由直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：，，， 平分， ， ， ． 10．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，连接，若，则的长为__________． 【答案】10 【分析】由折叠可得，点是的中点，再根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为， ∴， ∴点是的中点， ∵， ∴， ∴． 三、解答题 11．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在等腰直角中，，，，为中点，连接并延长交于点，连接，，求证：． 【答案】证明：，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 在中，， ． 【分析】利用等腰直角三角形的性质，垂直性质，三角形的内角和为结合题目条件推导即可． 【详解】略 12．（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ； (2)证明：作于点N， ， ， ， ∵， ， ， ，， ∴平分， ； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形性质证明结论即可； （2）作于点N，证明，得出，进而得出平分，即可得出结论； （3）作于点P，作于点Q，证明，证明得出，得出，设，求出，结合，求出k值即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点P，作于点Q， ∵平分， ， ， 同理：， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ． 13．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． (1)求的度数． (2)如图，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴平分， ∵，， ∴，， ∴． 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，即得，同理可得，进而得到，即可求解； 利用平行线的性质可证，再根据角平分线的性质证明即可． 【详解】（1）解：∵为的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 14．（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：如图1，过点C作交的延长线于点F， ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，，点C在的内部， ∴点C在的平分线上， ∴是的平分线； (2)证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，垂足为E， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 由（1）可知：是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点C作交的延长线于点F，利用三角形面积公式求得，然后根据角平分线的判定定理，即可证明结论； （2）在上截取，连接，首先证明，易得是线段的垂直平分线，进而可得，再证明，进而利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 15．（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【答案】(1)证明：平分，平分， 设，， ，， ； (2)证明：过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ． 平分． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （2）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 一、单选题 1．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件是高, ，,得出,,又因为是角平分线,得出． 【详解】解： , 是角平分线 2．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明为等边三角形，得出，，再证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线，交，，于点，，，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直平分得出，，，根据是边的垂直平分线得出，根据直角三角形两锐角互余的性质及外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵垂直平分于点，点在上，， ∴，， ∴，，，， ∴，即， ∵是边的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如图，分别以的边，为直角边，向外作等腰直角三角形，，连接，，，交于点，连接．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】首先利用证明，可得，；利用三角形外角性质以及全等三角形的性质可证；利用全等三角形面积相等及底边相等可得对应高相等，进而根据角平分线的判定定理证得平分；对于，现有条件无法证明． 【详解】解：由题意得， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故D成立，不符合题意； ∵， ∴， 设与交于点，， ∵ ∴， ∴，故B成立，不符合题意； 过点作于点，过点作于点， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ， ∴平分，故C成立，不符合题意； 现有条件不足以证明，故A不一定成立，符合题意． 5．（25-26七年级下·山东济南·期末）已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论： ①；②；③；④；⑤平分． 其中结论正确的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用等腰直角三角形，，全等三角形性质，等量关系，角平分线定义推导判断即可． 【详解】解：，，， 和是等腰直角三角形，，故④正确， ，， 在和中， ， ， ，，，故①正确， ，，故②正确， ，平分，故⑤正确， ，故③正确． 二、填空题 6．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，连接，则的长为_____． 【答案】 【分析】首先利用三线合一性质得到，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 7．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在和中，，，、、、四点共线，若要用“”直接判定，则可以添加的条件是：______________． 【答案】 【分析】根据题意容易判断，已有一组直角边对应相等，因此添加一组斜边相等． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴若要用“”证明还需要添加的条件为“一组斜边相等”，即． 8．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，D为中点，交于F，，则的长为______ ． 【答案】3.9 【分析】由D是中点且，得是的垂直平分线，所以．由，结合邻补角关系，推出E在的外角平分线上，所以E到的距离与E到的距离相等．过E作延长线的垂线，垂足为G，利用角平分线性质得，再证明，得到对应边相等．根据的长度，结合线段和差关系列等式，求解的长度． 【详解】连接， ∵是中点，， ∴是的垂直平分线， ∴ ． 过作，交的延长线于． ∵，且， ∴， 即平分． 又，， ∴，且． 在和中，， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴， 代入， 得． 9．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】过点作于，根据直角三角形两锐角互余的性质得出，进而证明，得出，，，根据得出，进而证明，得出，进而得出，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，斜边的中垂线交于点F，交的外角平分线于点E，于点G，垂直的延长线于点M，连接交于点N，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________________（填序号）． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理可判断①；由①知，根据三角形的内角和可判断②；根据正方形的性质、平行线的判定以及可判断③；由线段垂直平分线的性质和三角形的面积可判断④． 【详解】解：∵平分，，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ∴，故①正确； 由①知， 又∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，平分， ∴， 由②知， ∵， ∴， 由图可知， ∴， ∴不能判断，故③错误； 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∵，，且， 若， 则有， 即， 由①知， 即， 那么就有， 而题目给出的条件无法推出此结论，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②． 三、解答题 11．（25-26七年级下·山东东营·期末）已知：如图，在等腰中，，点是线段延长线上一点，点在线段上，连接交于点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：是等腰三角形，， ， 又， ， ， ∵， ∴； (2) 【分析】由等腰三角形的性质得，进而得到，即得，再根据平行线的性质即可求证； 由等腰三角形和直角三角形的性质可得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：等腰中，，， ， 由（1）知：， ． 12．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)证明：，， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）根据直角三角形的性质，可求，再根据垂直平分线的性质，可得，从而，，最后计算即可求解； （2）根据三角形外角的性质，先求，，再证即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 点M在边的垂直平分线上， ， ， ， ， 则的度数为． （2）略 13．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 【答案】(1)解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； (2)解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3)5 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，即可得出结果； （3）作于点，由全等得到，由（1）可知，进而得到，根据线段的和差关系得到，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴. 14．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，．点是直线上任意一点，连接，过点作，且，过点作，垂足为，连接，分别交，于点，． (1)如图1，当点在线段上时，与相等吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，若，，设的面积为，四边形的面积为，则________；（直接写出结果） (3)如图2，当点在线段的延长线上时，点是线段的中点吗？说明理由． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)6 (3)解：点是线段的中点，理由如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即点是线段的中点． 【分析】（1）证出即可； （2）先求出的面积，再证出，则，进而可得的长，求出的面积，然后根据求解即可； （3）先证出，则，进而可得，再证出，则，由此即可得． 【详解】（1）解：略． （2）解：∵，， ∴， ∵，，即， ∴， 由（1）已证：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为，四边形的面积为， ∴ ． （3）解：略． 15．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (1)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段上时，过点C作垂足为点G，过点B作垂足为点H． ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的结论． 解：，． ，， ． 则在中，． ． 在和中， ，，， ____________（）． ②若，，则____________． 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点C在线段上时，过点B作垂足为点M，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美． 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段上且顶点C在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落．在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答．愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻辑的眼光看待世界． 【答案】(1)①；②5 (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）①根据题意，利用全等三角形的判定即可证明； ②利用全等三角形的性质即可解答； （2）根据题意及角度等量代换，证明，即可解答； （3）过作交直线于，证明，得到，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：①， ， ，， ， 则在中，， ， 在和中， ，，， ； ②∵， ∴，， ∴； （2）解：略 （3）解：过作交直线于， 由三角板可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.4直角三角形 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01直角三角形的概念 知识点02直角三角形的性质 2.知识清单 知识点03直角三角形的判定 题型01利用直角三角形的两锐角互余求角度 直角三角形 题型02锐角互余的三角形是直角三角形 题型03斜边上的中线等于斜边的一半 3.题型精讲 题型04用HL证全等 题型05全等三角形的性质与HL综合 题型06直角三角形与三角板的问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解直角三角形概念，掌握直角三角形两锐角互余、斜边上中线等于斜边 一半的性质，能识别直角三角形，运用性质完成角度、线段的计算与简单 证明。 教学目标 2.通过观察、猜想、证明探究直角三角形性质，经历几何推理过程，体会转 化思想，提升识图能力与演绎推理能力，规范几何书写步骤。 3.感受直角三角形在生活中的应用价值，体会几何严谨性；主动参与课堂探 究，培养合作意识，增强学习几何的自信心。 1.重点 教学重难点 (1)掌握直角三角形两锐角互余的性质，熟练进行角度推算。 (2)理解并运用直角三角形斜边上中线等于斜边一半的核心性质，求解线 1/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 段长度。 (3)能够根据条件判定直角三角形，区分直角三角形相关性质的适用场 景，规范书写推理过程，解决基础几何计算题与证明题。 2.难点 (1)直角三角形斜边上中线性质的推导与灵活运用，在复杂图形中找准斜 边及对应中线，准确建立线段数量关系。 (2)综合运用直角三角形性质结合已学等腰、等边三角形知识进行多步推 理，准确分析图形条件，构建完整严谨的几何证明思路，避免推理逻辑漏 洞。 知识清单 知识点01直角三角形的概念 直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 斜边 直角边 直角顶点 A 直角边 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是 有一个角是90°·直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每 种三角形都有其特殊的性质！ 【即学即练】1，如图，在刷AABC中，∠C=90心分别以点AB为圆心，大于4B的长为半径画弧，两弧交于 点M、N,作直线MN分别交BC、AB于点D、E,连接AD.若∠B=32°，则∠CAD的度数为() 2/23 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 米W A.24° B.28° C.32 D.26° 2.在一个直角三角形中，一个锐角是70°，则另一个锐角的补角的度数为 3.如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D、E,若DE=2,BE=1,则 AD长为 知识点02直角三角形的性质 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角 三角形 【即学即练】1.如图，在△ABC中，∠ACB=9O°，AB=12,点D为AB的中点，则CD的长度为() A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图，在△ACE和△BCF中，点E,C,F在同一条直线上，∠E=∠F=∠ACB=90°，AC=BC.若 AE=3,BF=6,则EF= 3/23 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，点E在边AC上，点E与点B关于直线CD对称 若∠A=40°，求∠ADE的度数. 知识点03三直角三角形判定 直角三角形判定 两个角互余的三角形是直角三角形 在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 如图：己知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD, 求证：△ABC是直角三角形. 证明：，AD=CD, ∴.∠A=∠1. D 同理∠2=∠B. .∠2+∠B+∠A+∠1=180°， 即2（∠1+∠2）=180°， ∴.∠1+∠2=90°， 即：∠ACB=90°， ∴.△ABC是直角三角形. 【即学即练】1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点E在边AC上，AB=EC,AC=ED,DE‖AB.求 证：CD⊥BC, 4/23 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B 2.如图，AB⊥CD,垂足为B,E是线段AD上一点，CE交AB于F,∠A=∠C.求证：△CED是直角 三角形. A B D 3.如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D在BC上，E为AC延长线上一点，且AD=BE.延长 AD交BE于点F (I)求证：CD=CE: (2)求证：AF⊥BE. 题型精讲 题型01 利用直角三角形的两锐角互余求角度 【典例1】(25-26七年级下·福建泉州期末)如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D,若 ∠B=38°，∠C=62°，则∠DAE的度数是() ED 5/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.12° B.14° C.18o D.22° 【变式1】(25-26七年级下·重庆·期末)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC交BC于 点E.若∠B=70°，∠DAE=20°，则∠C的度数是(). B DE A.10 B.20° C.30 D.40 【变式2】(25-26七年级下陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=130°， DA⊥AC交BC于点D,则∠ADC的度数为°. A 【变式3】(25-26七年级下福建福州期末)如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高， ∠ACE=20°，∠B=50°，∠ADC= 题型02锐角互余的三角形是直角三角形 【奥例】(25八年级上全国专想练习》在ABC中，A-B-写C,则ABC是《) 3 A.等边三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【变式1】(25-26七年级下·吉林长春·期末)具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是() A.∠A+∠B=∠C B.∠A+∠B=90° C.∠A:∠B.∠C=123 D.∠A=∠B=∠C 【变式2】(2025八年级上全国专题练习)在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，则∠C= △ABC是 三角形. 6/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【变式3】(2025八年级上全国专题练习)在△ABC中，∠A=40°，∠C=50°，则∠B= 0 △ABC是 三角形 题型03 斜边的中线等于斜边的一半 【典例1】(25-26八年级下·云南玉溪期中)如图，在△ABC中，AB⊥BC,垂足为B,点D是AC的中 点，连接BD,若AC=6,则BD的长为() D B A.6 B.5 C.4 D.3 【变式1】(25-26八年级下江西上饶期末)图1是某脚手架的实物图，图2是其示意图，∠ACB=90°， D是AB的中点，若AB=80cm,则支撑杆CD的长为() 图1 图2 A.40cm B.60cm C.80cm D.120cm 【变式2】(2026江苏徐州模拟预测)如图，在△ABC中，AD1BC,E,F分别是边AB,AC的中点， 若AB=AC=8cm,则DE= cm E D 【变式3】(25-26八年级下·浙江台州期末)如图，在△ABC中，E是AC的中点，AD⊥BC于点D,连 结BE.若AE=BD,∠DAC=20°，则∠EBC=。 7/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B D AD⊥BC∠DAC=20° ∴，在Rt△ADC中，∠C=90°-20°=70°， ,E是AC中点， ∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得DE=AE=EC= AE=BD, .BD=DE, :.△BDE为等腰三角形， .∠EBC=∠BED. .DE=EC. .△DEC为等腰三角形， .∠EDC=∠C=70°， .∠BDE=180°-70°=110° 在ABDE中，根据三角形内角和：∠EBC=180°-∠BDE_180°-110 =350 2 题型04用HL证全等 【典例1】(25-26七年级下·山东淄博期末)如图，AB⊥CF,垂足为B,AB∥DE,点E在CF上， CE=FB,AC=DF,依据上述条件可以判定△ABC≌aDEF.这种判定三角形全等的依据是() 8/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.AAS B.ASA C.SSS D.HL 【变式1】(25-26七年级下福建福州期末)如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，AC=BD,即可证明 △ACB2△BDA,全等的依据是 (用字母表示) C D B 【变式2】(25-26七年级下全国课后作业)如图，∠A,∠D为直角，AC与DB相交于点E,BE与EC 相等，请在图中找出两对全等三角形。 【变式3】(2026湖南长沙二模)，如图，CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D,且BC=CD D C (I)求证：△ABC≌△ADC: (2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积. 题型05全等的性质和HL综合 【典例1】(25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，点E在R1△ABC的边BC的延长线上，过点E作 9/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE⊥BE,连接BD,若AB=BD,AC=BE=7,DE=3,则CE的长为() B A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 【变式1】(25-26七年级下四川达州期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当 长为半径画弧，分别交AC,AB于点M,N,再分别以点MN为圆心，大于MN的长为半径画弧，两 弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,点E在AB上.若AC=7,CD=3,AB=9,当DE长度最小时， △BDE的面积是( M E B A.1 B.2 C.3 D.6 【变式2】(25-26八年级下·陕西渭南期末)如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，∠ACB=20° 若AC=DB,则∠ABD=」 0 D 【变式3】(25-26八年级下广东茂名期中)如图，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BD=CD, BE=CF (I)求证：DE=DF: (2)已知AC=20,BE=4,求AB、EC的长. 题型06直角三角形与三角板的问题 10/23 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(25-26八年级上·全国·阶段检测)如图，把直尺摆放在直角三角板ABC上， ∠C=90°，∠A=30°，直尺与三角板的边分别交于点D,E,F,G,若∠CGD=24°，则∠AFE的度数是 () >,B E F A.24° B.36° C.30° D.54° 【变式1】(25-26八年级下·全国课后作业)如图，点0在一块直角三角板ABC上，其中∠ABC=30°， OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,连接OB.若OM=ON,则∠ABO的度数是() 0 M B A.10° B.15° C.20° D.30° 【变式2】(2026新疆乌鲁木齐·二模)将直尺和三角板如图放置，∠1=37°，求∠2= 【变式3】(23-24七年级下河南安阳期末)综合与实践 问题情境： 图1 图2 图3 图4 数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动.如图1，己知∥，直角三角板 ABC中，∠B=90°，将其顶点A放在直线上，并使边AB1于点D,AC与相交于点H. (1)试判断边BC与直线马的位置关系并说明理由； 操作探究： (2)如图2，将图1中三角板ABC的直角顶点B放在平行线之间，两直角边AB,CB分别与4,12相交于 点E,F,得到∠1和∠2，试探究∠1与∠2的数量关系并说明理由： 11/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 下面是小明不完整的解答过程，请你补充完整， 解：∠1+∠2=90°，理由： 过点B作直线BN∥4，如图4所示. 因为h"h(已知) 所以BNIL( 所以∠1=∠ABN,∠2= 因为 +∠NBC=∠ABC,∠ABC=90 所以∠1+∠2=90° 深入探究： (3)受小明启发，同学们继续探究下列问题. 在图2中作线段E0和FO,使它们分别平分∠I和∠2的顶角，如图3，请直接写出∠EOF的度数， 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26八年级下·陕西商洛·期中)如图、两段公路AB,BC互相垂直，公路AC的中点D与点B被湖 隔开，若测得AC的长为4km,则B,D两点间的距离为() A.Ikm B.1.5km C.2km D.3km 2.(25-26八年级下四川成都期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点E在CA的延长线上，EP⊥BC于 点P,EP交AB于点F,若AB=5,AE=2,则BF的长为() 12123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.3 D.4 3.(25-26七年级下山东烟台期末)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,BF平分∠ABC交AD于点 E,交AC于点F,AC=13,AD=12,BC=14,则AE的长为() B D 9 A.2 B.5 C.7 n. 4.(25-26八年级下陕西咸阳期末)如图，点E,F分别在△ABC的边AC上，AE=EF,BE⊥AC,过 点F作FD⊥BC,垂足为D,且EF=FD.若∠A=75°，则∠ABC的度数为() C D A.50° B.60° C.45° D.55 5.(25-26八年级下陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，AB=AC,CM平分∠ACB,与AB交于点M, AD⊥BC于点D,ME⊥BC于点E,MF⊥MC与BC交于点F,若CF=I0O,则DE为() M B A.2.5 B.2 C.3 D.3.5 13123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 设 C FE DG DE=x EF=y 可得DC=CF-EF-DE=10-x-y, AB=AC,AD⊥BC, ..BD=DC=10-x-y, 二、填空题 6.(25-26八年级下四川达州阶段检测)已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，则这个等 腰三角形的顶角是 7.(25-26八年级下陕西咸阳期末)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，BC=DC,连接AC, ∠BCA=50°，则∠CAD的度数为 D 8.(25-26七年级下·辽宁阜新期未)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,分别过点B,C作 过点A的直线的垂线BD,CE,若BD=6,CE=4,则DE= D 9.(25-26八年级下·陕西渭南期末)如图，在△ABC中，∠B=90°，点D是AB边上一点，连接CD, DE⊥AC于点E,BD=DE,若∠ACD=20°，则∠A的度数为 B 10.(25-26八年级下·辽宁铁岭期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC按如图方式折叠， 14/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 使点B与点A重合，折痕为DE,连接CE,若CE=5,则AB的长为 =-B 三、解答题 11.(25-26七年级下辽宁沈阳期末)如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,EB⊥BC, D为AB中点，连接CD并延长交BE于点E,连接AE,∠AEC+2∠BEC=I80°，求证：∠EAB=∠ACD 4 D 12.(25-26七年级下福建福州：期末)在四边形ABDC中，点F在边AB上，DF=CD,连接CF, DE⊥CF于E,连接AD交CF于点M, B D M E (I)求证：FE=CE: (2)若∠B=90°，∠AFD+∠ACD=180°，求证：∠DAB=∠DAC: (3)在(2)的条件下，若AC=6BF,ME=1,求MF. 13.(25-26七年级下·甘肃白银期末)如图，在△ABC中，∠A=90°，P为边BC上的一点，D为BP的中 点，E为CP的中点，过点D作DF⊥BP交AB于点F,过点E作EG⊥CP交AC于点G, D P E (1)求∠FPG的度数. (2)如图，连接FG,若FG‖BC,求证：AG=PG 14.(26-27八年级上全国开学考试)如图，点D是△ABC外一点，连接AD,CD,过点C作CE1AB, 15123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 垂足为E.AD=7,CE=4,AB=13,△ADC的面积为14. (I)求证：AC是∠BAD的平分线： (2)若AB-AD=2BE,求证：CD=BC」 15.(26-27八年级上·湖北武汉：开学考试)已知△ABC中，BE平分∠ABC,BE交AC于点E,CD平分 ∠ACB,交AB于点D,BE与CD交于点O. 图1 图2 (①)如图1.求证：∠B0C=90+)∠BAC: 2 (2)如图2，连接OA,求证：OA平分∠BAC. 能力提升 一、单选题 1.(25-26七年级下辽宁大连期末)如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=40°， ∠C=80°，则∠EAD的度数为() E DC A.15o B.20° C.25 D.30° 2.(25-26八年级下广东深圳期末)如图，在等腰△ABC中， AB=BC,∠ACB=60°，∠E=∠D=90°，AE=CD,则∠EAD的值为() 16123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ A.120° B.135° C.145o D.150° 3.(25-26七年级下山东威海期末)如图，在△ABC中，CF垂直平分AB于点F,DE是边AC的垂直 平分线，交AC,CF,CB于点D,O,E,连接OA,OB.若∠ACF=25°，则∠BOE的度数为() D E A.45° B.35 C.25o D.15° 4.(25-26七年级下·安徽宿州期末)如图，分别以△ABC的边AB,AC为直角边，向外作等腰直角三角 形ABD,ACE,连接BE,CD,BE,CD交于点F,连接AF.下列结论中不一定成立的是() B A.∠DAF=∠DCA B.∠EFC=90° C.FA平分LBFC D.BE=CD 5.(25-26七年级下·山东济南期末)已知：如图，在△ABC,△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC, AD=AE,点C,D,E三点在同一条直线上，连接BD,BE.以下四个结论： E ①BD=CE:②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE:④∠BAE+∠DAC=I80°：⑤DA平分∠EDB 17123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中结论正确的个数是() A.5 B.4 C.3 D.2 二、填空题 6.(25-26八年级下·甘肃平凉期末)如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD,点E,点F分别 是AC,BD的中点，EF=25,连接AF,则AC的长为 B FD 7.(25-26八年级下·陕西汉中期末)如图，在RIAABC和R1△EDF中，∠BAC=∠DEF=90°，AE=CF, A、E、C、F四点共线，若要用“HL”直接判定RIAABCS≌RtAEDF,则可以添加的条件是： B D A 8.(25-26七年级下四川达州期末)如图，在△ABC中，D为AB中点， DE⊥AB,∠ACE+∠BCE=180,EF⊥BC交BC于F,AC=3.2,BC=4.6,则BF的长为 B D B ,且 E C G ∠ACE+∠ECG=180° ∠ACE+∠BCE=1809 .∠ECG=∠BCE 即EC平分∠BCG】 18123 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又EF⊥BC,EG⊥AC, .EG=EF,且∠G=∠EFC=90° EC=EC 在RtAECG和RtECF中，{ EG=EF :.RIECGS≌RIAECF(HL), .'.CG=CF AE=BE 在RtAEG和RIABEF中，{EG=EF, .RIAAEGS≌RIABEF(HL), .AG=BF ..AG=AC+CG=AC+CF=AC+(BC-BF). 、BF=AC+BC-BF, ..2BF=AC+BC, 代入AC=3.2,BC=4.6 得BF-32146-3.9 2 9.(25-26七年级下·辽宁沈阳期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点E是BC边上的一点， 过点B作BF⊥AE交AE的延长线于点F,延长FB至点G,使得FG=AF,连接CG交AF于点H,若 AF=6,BF=2,则△ACH的面积为一· E 10.(25-26七年级下四川达州期末)如图，在Rt△ABC中，斜边BC的中垂线DE交AC于点F,交 ∠BAC的外角平分线于点E,EG⊥AC于点G,EM垂直BA的延长线于点M,连接BE交AC于点N,现 有下列结论：①△BEM≌△CEG;②LBEC=90°；③AE∥BC;④SAMs=2SACE.其中正确的结论有 (填序号). M B 19123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(25-26七年级下山东东营期末)己知：如图，在等腰△DBF中，DE⊥BF,点A是线段BD延长 线上一点，点c在线段EF上，连接AC交Dr于点M,ABDF, 2 A M (I)求证：AC⊥BF: (2)若∠B=50°，求∠AMD的度数. 12.(25-26八年级下陕西咸阳期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，边BC的垂直平分 线与边AB交于点M,点E在线段AM上，连接CE,CM,且∠ACE=30°. M B (1)求∠ECM的度数： (2)求证：△ECM是等腰三角形， 13.(25-26七年级下·辽宁沈阳期末)己知△ABC,∠B=90°，CD平分∠ACB交AB于点D D D B B (I)如图1，过点D作DE⊥AC于点E,说明：△BCD≌aECD: (②)如图2，在(1)的条件下，延长ED交CB的延长线于点F,说明：CF=AC; (3)如图3，点H为AC上一点，连接DH,AC+CH=10,AD=DH,求BC的长 14.(25-26七年级下山东青岛期末)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC.点D是直线AB上任 20/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 意一点，连接CD,过点C作CE⊥CD,且CE=CD,过点E作EF⊥AC,垂足为F,连接BE,分别交 AC,CD于点M,N. D D 图1 图2 (I)如图1，当点D在线段AB上时，AD与CF相等吗？为什么？ (2)在(1)的条件下，若AB=6,AD=2,设△BNC的面积为S,四边形ADNM的面积为S2,则 S1-S2= 一；（直接写出结果） (3)如图2，当点D在线段BA的延长线上时，点M是线段BE的中点吗？说明理由. 15.(25-26七年级下·山东菏泽·期末)【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”·今天，就让 我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体 会数学与生活的联系。 在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC;在△DEF中，∠FDE=90°，∠FED=30°.我们将用三种不同方式摆 放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (I)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段EF上时，过 点C作CG⊥EF垂足为点G,过点B作BH⊥EF垂足为点H. B C D 图1 ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的 结论 解：∠CAB=90°，∴.1+∠2=180°-∠CAB=90°. :CG⊥EF,BH⊥EF, 21123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠CGA=∠AHB=90° 则在Rt△CGA中，∠I+∠3=90° .∠2=∠3 在△CGA和△AHB中， ∠CGA=∠AHB,∠2=∠3，AC=AB .△CGA≌ (AAS). ②若CG=2,BH=3,则GH=」 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点C在线段DF上 时，过点B作BM⊥DE垂足为点M,请你猜想线段BM,MD,DC之间的数量关系，并说明理由.在这 个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美 D M A 图2 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段DF上且顶点C在线段DE上时，若 AD=6,连接BD,求△ABD的面积.此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法， 迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力. E D B A 图3 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落.在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大 22123 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答.愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻 辑的眼光看待世界 23/23