2.2 等腰三角形及其性质（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦等腰三角形及其性质核心知识点，系统梳理从定义（等腰、等边三角形）到性质（等边对等角、三线合一、轴对称性），再到应用（角度边长计算、尺规作图、分类讨论）的知识脉络，构建定义辨析、性质推导、技能应用的学习支架。 资料通过对比等腰与等边三角形定义及性质差异培养抽象能力，设置易错提醒与分类讨论题型发展推理意识，结合随学随练与综合证明题强化几何符号语言表达。课中辅助教师突破三线合一等重难点，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，提升解决复杂几何问题的能力。

第二章 特殊三角形 2.2 等腰三角形及其性质 课标要点 1.理解等腰三角形、等边三角形的定义，掌握等腰三角形的腰、底边、顶角、底角等基本概念，明晰等腰三角形与等边三角形的从属关系，能准确识别等腰三角形的各组成部分。 2.经历等腰三角形性质、等边三角形性质的探索、猜想与证明过程，掌握等腰三角形“等边对等角、三线合一”与等边三角形“内角都等于60°”的核心性质，能熟练运用文字语言与几何符号语言表述性质。 3.掌握等腰三角形“三线合一”的重要性质，明确等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，理解该性质的几何内涵与适用条件。 4.了解等腰三角形的轴对称性，知晓等腰三角形是轴对称图形，其对称轴为顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在直线，结合轴对称性质理解等腰三角形边角等量关系。 5.能运用等腰三角形的性质，进行三角形角度、边长的计算，解决角度求值、边长求解、简单几何说理与证明问题。 6.掌握等腰三角形的基础作图方法，能根据已知条件作出等腰三角形，规范作图步骤，结合图形性质分析图形特征。 7.初步学会运用分类讨论思想解决等腰三角形相关问题，结合三角形内角和、三边关系，规避解题中的漏解、错解问题，培养严谨的几何思维。 学习重难点 重点： 1.掌握等腰三角形与等边三角形的定义与基本概念，熟练运用等腰三角形与等边三角形的性质进行角度、边长的计算与几何说理。 2.深刻理解并熟练运用等腰三角形“三线合一”性质，掌握其几何语言表达，能运用该性质解决线段垂直、线段相等、角相等的证明与计算问题。 3.掌握等腰三角形的轴对称特征，能结合轴对称性质分析等腰三角形的边角关系，解决基础图形变换问题。 4.熟练掌握等腰三角形与等边三角形基础题型的解题思路，规范几何推理与书写格式。 难点： 1.精准理解“三线合一”的本质内涵，明确该性质仅适用于等腰三角形，且针对顶角与底边对应的三线，避免滥用、错用性质。 2.运用分类讨论思想解决等腰三角形问题，针对腰与底边不明确、顶角与底角不明确的题型，全面分类讨论，结合三角形三边关系、内角和定理排除无效情况。 3.在复杂图形、折叠、组合几何图形中，挖掘等腰三角形、等边三角形的隐含条件，结合全等三角形、轴对称知识完成多步综合推理。 4.灵活整合等腰三角形与等边三角形的性质，构建完整逻辑推理链，解决综合性求值、证明题型，突破单一性质解题的思维局限。 知识点 等腰三角形与等边三角形的定义 1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫作等腰三角形。 2.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 2.等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫作等边三角形。 特别提醒 等边三角形是特殊的等腰三角形，属于等腰三角形范畴。等腰三角形包含一般等腰三角形和等边三角形两类。 随学随练 1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长是（    ） A．12 B．15 C．9 D．6 2．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2 知识点 等腰三角形的性质（重点） 1. 等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 2. 等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合（简写成“三线合一”）。 易错提醒 1）三线合一仅适用于等腰三角形底边，腰上的高、中线、角平分线不重合； 2）等边对等角、三线合一必须在同一个三角形中使用； 3）已知等腰三角形边长、角度时，需分类讨论，易漏解。 随学随练 1．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 3．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，于点D，E为上一点，且，连接．若，求的度数． 知识点 等边三角形的性质（重点） 1. 等边三角形的性质：等边三角形的各个内角都等于60°。 易错提醒 1）不可将等边三角形的三线合一、三角60°性质套用到普通等腰三角形； 2）等边三角形任意两角、任意两边均相等，无需区分腰与底、顶角与底角。 随学随练 1．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·二模）如图，是等边的高，若，则的长为_________． 3．（2026·陕西西安·一模）如图，在等边中，D、E分别为、延长线上一点，且满足，连接、，求证：． 知识点 尺规作图——作等腰三角形 1. 已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图（1）），求作这个等腰三角形。 作法：如图（2），①作线段AB=a； ②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； ③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形。 特别提醒 作图依据：等腰三角形两腰相等，依托尺规作等长线段完成，核心是确定顶点位置。 随学随练 1．（25-26九年级上·云南昆明·期中）用直尺和圆规作等腰，使为顶角．下列四个选项中，符合要求的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知：线段a，b，求作：，使，高．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 拓展 等腰三角形与等边三角形定义核心对比 1. 定义与图形属性对比 类别 等腰三角形 等边三角形 边长特征 有且仅有两条边相等 三条边全部相等 图形关系 基础三角形图形 特殊的等腰三角形，属于等腰三角形的子集 对称轴情况 是轴对称图形，仅有1条对称轴（顶角平分线所在直线） 是轴对称图形，有3条对称轴 2. 从属关系辨析 ①等边三角形满足等腰三角形“两边相等”的定义要求，因此所有等边三角形都是等腰三角形； ②普通等腰三角形仅两条边相等，不满足三边相等条件，因此等腰三角形不一定是等边三角形。 活学活用 1．（25-26七年级下·山东青岛·期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（     ） A． B． C． D．或 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则的值是（    ） A．5 B．7 C．8 D．14 拓展 等腰与等边三角形性质差异对比 对比维度 等腰三角形 等边三角形 角度性质 满足等边对等角，仅两腰对应的两个底角相等，顶角与底角度数不等；内角无固定数值，内角和为180° 三个内角完全相等，度数固定为60°，任意两边均可对等角，完全满足等边对等角性质 特殊线段性质 （三线合一） 仅底边对应的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，两腰对应的线段无此性质 三组线段均满足三线合一，任意内角平分线、对边中线、对边高线都互相重合，是等腰三角形三线合一性质的延伸 活学活用 1．如下图，是等边三角形，，是边上两点，，．求的度数． 2．如图，在中，是边上的一点，且． (1)求证：； (2)求的大小． 题型 等腰三角形的定义 解题贴士 有两条边相等的三角形为等腰三角形；解题时通过边长计算、角度推导，找出一组相等边即可判定，常结合三角形三边关系、内角和求解边长、角度。 ▌例1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）等腰三角形周长是，其中一边长是，则等腰三角形的底边长是（     ） A． B．或 C． D． ▌例2．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）等腰三角形一个外角等于，则它的三个内角的度数分别为______． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）在等腰中，若，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C．或 D． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·北京海淀·期中）等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（    ） A．8 B．9 C．9或12 D．12 ▌对点练1-3．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知等腰的两边x，y满足，求的周长． ▌对点练1-5．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）已知是的三边长，． (1)求的取值范围． (2)若是等腰三角形，的周长是多少． 题型 等边对等角 解题贴士 等腰三角形两腰对应的底角相等，根据已知角度，结合三角形内角和180°，列式求解未知角；遇外角题型，利用外角性质辅助计算。 ▌例1．（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，点在边上，与交于点，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·四川泸州·期末）如图，在中，，，边上的高为，则的度数为________． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点可在槽中滑动．若，则的度数是_____． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，点A、D、C、F在一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型 三线合一 解题贴士 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，已知其一条件，可直接推导另外两个条件，用于垂直证明、线段平分、角度平分、边长计算。 ▌例1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，于点，，则点到所在直线的距离是（     ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，是的中线，，则的度数为_______． ▌对点练1-1．（2026·江苏无锡·二模）如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（     ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D．三角形具有稳定性 ▌对点练1-2．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，等腰的底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为_____． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． (1)求证：． (2)若，求的度数． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 题型 等边三角形的性质 解题贴士 等边三角形三边相等，三个内角均为60°；每条边上均满足三线合一；可直接利用边角相等、60°特殊角，求解边长、角度、证明全等。 ▌例1．（25-26八年级上·云南红河·期末）如图，为等边三角形，，点E为延长线上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． ▌例2．（2026·陕西·中考真题）如图，为等边三角形，点在的延长线上，，．求证：． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知是等边三角形，是边上的任意一点，点在同一条直线上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·上海金山·期末）在等边中，若过点作，垂足为点，则________． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·四川·期中）如图，在一个面积为16的等边三角形纸片中取三边的中点，若连接各个中点．则阴影部分的面积是______． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在等边中，，平分， 点E在的延长线上，且 ，求的长． ▌对点练1-5．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求． 题型 尺规作图——作等腰三角形 解题贴士 易错：①作图半径选取错误，无法交于一点；②未保留作图弧痕，考试扣分；③混淆高、腰、底边的作图条件，图形不符合题意；④未写最终作图结论。 ▌例1．（25-26八年级下·山东青岛·期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，． 求作：等腰，使得点，分别在，上，且底边上的高为． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）利用直尺和圆规作，使，以下作法正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ ▌对点练1-2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，线段，请利用圆规和无刻度直尺作等腰，，使得的面积为． 基础通关 1．（2026·内蒙古通辽·二模）若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（     ） A． B． C． D．或 2．（25-26七年级下·江西抚州·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的第三边长是（   ） A． B． C． D．或 3．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）民乐县是全国串番茄单品冠军产地，菜农培育的串番茄藤蔓支架可抽象为等腰三角形，若等腰三角形的一个底角为，则其顶角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．无法确定 5．（25-26七年级下·山西运城·期末）工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 6．（2026·福建三明·二模）如图，点在线段的垂直平分线上，若，则_____°． 7．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 8．（2026·江苏南通·三模）如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 9．（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，从A处观测C处的仰角，现以点D为圆心，长为半径画弧，交于点B． (1)求的度数． (2)从C处观测A，B两处的视角是多少度？ 10．（25-26八年级上·福建厦门·期中）“三等分角”大约是公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，求度数． 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，等边的边长是，动点M、N分别从点A，点C同时出发，沿、匀速运动，点M，点N的运动速度分别是，，当点M运动时，求点M，点N两点间的距离． 12．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在 中，，过B作 交于点 D．过点D作于点E，交于点F． (1)求证：； (2)过点A作于点G，若，求证：． 素养提升 1．（25-26七年级下·四川达州·期末）若实数a，b满足，且a，b恰好是等腰的两条边长，则的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）我们称等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形中，则它的“特征值”为（     ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，是甲、乙、丙三位同学用尺规作图的方法作等腰，下列说法正确的是（    ） A．甲、乙正确，丙错误 B．甲、丙正确，乙错误 C．乙、丙正确，甲错误 D．甲、乙、丙都正确 4．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，直线分别与边交于点D，E，则的度数是_________． 5．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点是内一点，连接，，若，则的面积为______． 6．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，点C在线段上，． (1)找出一个与全等的三角形，并说明理由； (2)若，求的度数． 7．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，过点作于点，点在上，连接，与互余． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的长． 迁移创新 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集，如图为某蝶几设计图，其中和为两个全等的等腰直角三角形，且点与点关于直线对称，分别连接，若，则 __________． 2．（25-26七年级下·山西太原·期末）如图，等腰三角形中，． (1)在图1中，仅用无刻度的直尺和圆规作出边上的高（不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图2，在（1）的条件下，点为边上一点（不与端点重合），射线于点，直线分别与射线，边交于点，．若，小亮发现，并将说理过程梳理为如下思路图，请补全①②③处空缺的内容． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 特殊三角形 2.2 等腰三角形及其性质 课标要点 1.理解等腰三角形、等边三角形的定义，掌握等腰三角形的腰、底边、顶角、底角等基本概念，明晰等腰三角形与等边三角形的从属关系，能准确识别等腰三角形的各组成部分。 2.经历等腰三角形性质、等边三角形性质的探索、猜想与证明过程，掌握等腰三角形“等边对等角、三线合一”与等边三角形“内角都等于60°”的核心性质，能熟练运用文字语言与几何符号语言表述性质。 3.掌握等腰三角形“三线合一”的重要性质，明确等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，理解该性质的几何内涵与适用条件。 4.了解等腰三角形的轴对称性，知晓等腰三角形是轴对称图形，其对称轴为顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在直线，结合轴对称性质理解等腰三角形边角等量关系。 5.能运用等腰三角形的性质，进行三角形角度、边长的计算，解决角度求值、边长求解、简单几何说理与证明问题。 6.掌握等腰三角形的基础作图方法，能根据已知条件作出等腰三角形，规范作图步骤，结合图形性质分析图形特征。 7.初步学会运用分类讨论思想解决等腰三角形相关问题，结合三角形内角和、三边关系，规避解题中的漏解、错解问题，培养严谨的几何思维。 学习重难点 重点： 1.掌握等腰三角形与等边三角形的定义与基本概念，熟练运用等腰三角形与等边三角形的性质进行角度、边长的计算与几何说理。 2.深刻理解并熟练运用等腰三角形“三线合一”性质，掌握其几何语言表达，能运用该性质解决线段垂直、线段相等、角相等的证明与计算问题。 3.掌握等腰三角形的轴对称特征，能结合轴对称性质分析等腰三角形的边角关系，解决基础图形变换问题。 4.熟练掌握等腰三角形与等边三角形基础题型的解题思路，规范几何推理与书写格式。 难点： 1.精准理解“三线合一”的本质内涵，明确该性质仅适用于等腰三角形，且针对顶角与底边对应的三线，避免滥用、错用性质。 2.运用分类讨论思想解决等腰三角形问题，针对腰与底边不明确、顶角与底角不明确的题型，全面分类讨论，结合三角形三边关系、内角和定理排除无效情况。 3.在复杂图形、折叠、组合几何图形中，挖掘等腰三角形、等边三角形的隐含条件，结合全等三角形、轴对称知识完成多步综合推理。 4.灵活整合等腰三角形与等边三角形的性质，构建完整逻辑推理链，解决综合性求值、证明题型，突破单一性质解题的思维局限。 知识点 等腰三角形与等边三角形的定义 1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫作等腰三角形。 2.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 2.等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫作等边三角形。 特别提醒 等边三角形是特殊的等腰三角形，属于等腰三角形范畴。等腰三角形包含一般等腰三角形和等边三角形两类。 随学随练 1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知等腰三角形两边长分别为3和6，则该三角形的周长是（    ） A．12 B．15 C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，题目未明确腰和底边，需要分情况讨论，再验证能否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当3为底边长时，两腰长均为6， ∵，满足三角形三边关系， ∴此时三角形周长为； ②当3为腰长时，底边长为6， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，故此情况舍去； 因此三角形的周长为15． 2．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系．结合等腰三角形的定义与三角形三边关系，逐一判断各选项是否能构成等腰三角形． 【详解】解：A、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； B、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； C、有两边长为2，符合等腰三角形定义，且，满足三边关系， ∴可构成等腰三角形，该选项符合题意； D、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 知识点 等腰三角形的性质（重点） 1. 等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 2. 等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合（简写成“三线合一”）。 易错提醒 1）三线合一仅适用于等腰三角形底边，腰上的高、中线、角平分线不重合； 2）等边对等角、三线合一必须在同一个三角形中使用； 3）已知等腰三角形边长、角度时，需分类讨论，易漏解。 随学随练 1．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边对等角、三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【答案】20 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20． 3．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，于点D，E为上一点，且，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】先根据垂直定义可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ． 知识点 等边三角形的性质（重点） 1. 等边三角形的性质：等边三角形的各个内角都等于60°。 易错提醒 1）不可将等边三角形的三线合一、三角60°性质套用到普通等腰三角形； 2）等边三角形任意两角、任意两边均相等，无需区分腰与底、顶角与底角。 随学随练 1．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·贵州遵义·二模）如图，是等边的高，若，则的长为_________． 【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质以及三线合一求解． 【详解】解：∵是等边的高， ∴． 3．（2026·陕西西安·一模）如图，在等边中，D、E分别为、延长线上一点，且满足，连接、，求证：． 【答案】 证明：在等边中， ，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】根据等边三角形的性质得到，进而得到，利用判定定理证明，从而得出结论． 【详解】略 知识点 尺规作图——作等腰三角形 1. 已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图（1）），求作这个等腰三角形。 作法：如图（2），①作线段AB=a； ②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； ③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形。 特别提醒 作图依据：等腰三角形两腰相等，依托尺规作等长线段完成，核心是确定顶点位置。 随学随练 1．（25-26九年级上·云南昆明·期中）用直尺和圆规作等腰，使为顶角．下列四个选项中，符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图作等腰三角形；逐项判断各选项的作法是否符合要求即可． 【详解】解：由题知，四个选项所作的三角形均是等腰三角形，但前三个选项的等腰三角形的顶角不是，只有选项D中等腰三角形的顶角是，故选项D中等腰三角形符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知：线段a，b，求作：，使，高．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】 【详解】解：先作一条直线，在直线上取点D，过D作直线的垂线，再以点D为圆心，线段的长为半径画弧，交垂线于点A，连接，此时；以A为圆心，线段的长为半径画弧，交第一步的直线于B、C两点，连接、，此时即为所求三角形． 拓展 等腰三角形与等边三角形定义核心对比 1. 定义与图形属性对比 类别 等腰三角形 等边三角形 边长特征 有且仅有两条边相等 三条边全部相等 图形关系 基础三角形图形 特殊的等腰三角形，属于等腰三角形的子集 对称轴情况 是轴对称图形，仅有1条对称轴（顶角平分线所在直线） 是轴对称图形，有3条对称轴 2. 从属关系辨析 ①等边三角形满足等腰三角形“两边相等”的定义要求，因此所有等边三角形都是等腰三角形； ②普通等腰三角形仅两条边相等，不满足三边相等条件，因此等腰三角形不一定是等边三角形。 活学活用 1．（25-26七年级下·山东青岛·期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】分两种情况：①当腰长为时，②当底边长为时，再结合三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：①当腰长为时，则底边长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，舍去； ②当底边长为时，则腰长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； 综上，该等腰三角形的腰长为． 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则的值是（    ） A．5 B．7 C．8 D．14 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系，得到，再根据等腰三角形的定义即可得出结果. 【详解】解：由题意，且， 故， 又∵图中三角形有一个是等腰三角形， 故. 拓展 等腰与等边三角形性质差异对比 对比维度 等腰三角形 等边三角形 角度性质 满足等边对等角，仅两腰对应的两个底角相等，顶角与底角度数不等；内角无固定数值，内角和为180° 三个内角完全相等，度数固定为60°，任意两边均可对等角，完全满足等边对等角性质 特殊线段性质 （三线合一） 仅底边对应的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，两腰对应的线段无此性质 三组线段均满足三线合一，任意内角平分线、对边中线、对边高线都互相重合，是等腰三角形三线合一性质的延伸 活学活用 1．如下图，是等边三角形，，是边上两点，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握利用等边三角形得角，结合外角定理和等腰三角形性质求角度是解题的关键． 先由等边三角形得，用三角形外角性质求，再由得． 【详解】解：为等边三角形， ， 又， ． ， ． 2．如图，在中，是边上的一点，且． (1)求证：； (2)求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角的和差． （1）先由得是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论； （2）先由已知得，则，再根据计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵，即， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型 等腰三角形的定义 解题贴士 有两条边相等的三角形为等腰三角形；解题时通过边长计算、角度推导，找出一组相等边即可判定，常结合三角形三边关系、内角和求解边长、角度。 ▌例1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）等腰三角形周长是，其中一边长是，则等腰三角形的底边长是（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况讨论，将边长为的边分别作为腰长和底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到底边长的所有可能结果． 【详解】解：情况：若边长为的边是等腰三角形的腰长； ∵周长为， ∴底边长为， ∵，满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时底边长为； 情况：若边长为的边是等腰三角形的底边长，则腰长为， ∵，满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时底边长为； 综上，等腰三角形的底边长为或． ▌例2．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）等腰三角形一个外角等于，则它的三个内角的度数分别为______． 【答案】，， 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的外角的性质．由外角性质求出相邻内角，再根据等腰三角形的性质讨论可能情况． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角等于， 与这个外角相邻的内角是． 当的内角是顶角时，底角度数为，此时三个内角为，，； 当的内角是底角时，另一个底角也为，但，不符合三角形内角和定理，故舍去． 因此三个内角为，，． 故答案为，， ▌对点练1-1．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）在等腰中，若，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形内角和为，若为底角，则两个底角的和为，不符合三角形内角和定理， ∴只能是等腰的顶角， ∴底角为． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·北京海淀·期中）等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（    ） A．8 B．9 C．9或12 D．12 【答案】D 【分析】需分情况讨论，①当为腰长，为底边长时，②当为腰长，为底边长时，验证能否构成三角形后计算周长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长，为底边长时， ∵， ∴2，2，5无法构成三角形，此情况舍去． ②当为腰长，为底边长时， ∵， ∴2，5，5可以构成三角形， 则它的周长为． 综上所述，这个等腰三角形的周长为12． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 【答案】等腰三角形 【分析】根据，是的两边可知，进而根据得到，可知的形状一定是等腰三角形． 【详解】解：∵，是的两边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的形状一定是等腰三角形． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知等腰的两边x，y满足，求的周长． 【答案】13或14 【分析】本题考查非负性，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，根据非负性求出的值，再分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， 且， ，，                 当x是腰，y是底边时，，能组成三角形， 此时的周长， 当y是腰，x是底边时，，能组成三角形， 此时的周长， 综上，的周长为13或14． ▌对点练1-5．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）已知是的三边长，． (1)求的取值范围． (2)若是等腰三角形，的周长是多少． 【答案】(1) (2)15或18 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可； （2）根据，c必须与a或b相等，再分两种情况：和，结合（1）所求的c的取值范围，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是的三边长， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴c必须与a或b相等， 当时，满足，即此时能构成三角形， ∴此时的周长； 当时，满足，即此时能构成三角形， ∴此时的周长； 综上所述，的周长是15或18． 题型 等边对等角 解题贴士 等腰三角形两腰对应的底角相等，根据已知角度，结合三角形内角和180°，列式求解未知角；遇外角题型，利用外角性质辅助计算。 ▌例1．（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形性质可得，再根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴． ▌例2．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，点在边上，与交于点，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴． ∴； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形外角的性质． （1）由得到，证明，即可得解； （2）利用全等三角形的性质，得到，利用等边对等角，求出，再利用三角形外角的性质即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，，则． ∵， ∴． ∴ ∴． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·四川泸州·期末）如图，在中，，，边上的高为，则的度数为________． 【答案】/20度 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，根据三角形高的定义求出的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵边上的高为， ∴，即， ∵， ∴ ． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，，点可在槽中滑动．若，则的度数是_____． 【答案】/度 【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，，即， 故答案为： ． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，点A、D、C、F在一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 题型 三线合一 解题贴士 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，已知其一条件，可直接推导另外两个条件，用于垂直证明、线段平分、角度平分、边长计算。 ▌例1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，于点，，则点到所在直线的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ，即点到所在直线的距离是． ▌例2．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，是的中线，，则的度数为_______． 【答案】/40度 【分析】根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴，即， ∵， ∴ ▌对点练1-1．（2026·江苏无锡·二模）如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（     ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D．三角形具有稳定性 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可． 【详解】解：这种做法依据的数学原理是：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合． 理由：∵，， ∴． ∵是重锤所在的直线， ∴是水平的． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，等腰的底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 【答案】7 【分析】本题考查将军饮马模型、等腰三角形性质、垂直平分线性质、利用三角形面积求高，解题的关键在于灵活运用将军饮马模型找出动点在什么位置得到最小值． 本题连接，由于是等腰三角形，点D为边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可解题． 【详解】解：连接，如图所示：    是等腰三角形，点是边的中点， ， ， ， 解得， 是的垂直平分线， 点关于直线的对称点为， 的长为的最小值， 的周长的最小值为． 故答案为：7． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，再利用进行求解即可． 【详解】（1）证明：，是边上的中线， ， 又， ， ， ； （2）解：， ，是边上的中线， ． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形的面积； （1）由等腰三角形的性质“三线合一”，即可得证； （2）由三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明： ，为中点， ． （2）解：的面积 （）． 题型 等边三角形的性质 解题贴士 等边三角形三边相等，三个内角均为60°；每条边上均满足三线合一；可直接利用边角相等、60°特殊角，求解边长、角度、证明全等。 ▌例1．（25-26八年级上·云南红河·期末）如图，为等边三角形，，点E为延长线上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． ▌例2．（2026·陕西·中考真题）如图，为等边三角形，点在的延长线上，，．求证：． 【答案】证明：∵为等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 【分析】根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得，，，再由，结合即可证明． 【详解】略 ▌对点练1-1．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知是等边三角形，是边上的任意一点，点在同一条直线上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边对等角，等边三角形的性质，三角形外角的性质，根据等边三角形的性质得到，由等边对等角和三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·上海金山·期末）在等边中，若过点作，垂足为点，则________． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，可得平分，即可计算出的度数． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ∴平分， ． ▌对点练1-3．（25-26七年级下·四川·期中）如图，在一个面积为16的等边三角形纸片中取三边的中点，若连接各个中点．则阴影部分的面积是______． 【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的中位线分割与面积计算，解题的关键是理解连接三边中点后原三角形被等分为4个全等小等边三角形，再结合阴影部分的组成计算总面积． 先利用中位线性质，将原等边三角形分成4个面积相等的小等边三角形，每个面积为原三角形的；再根据阴影部分的构成，计算两部分阴影的面积和． 【详解】解：连接等边三角形三边中点，原三角形被分成4个全等的小等边三角形，每个小等边三角形的面积， 其中1个完整小等边三角形为阴影，面积为4； 该小等边三角形被高分成2个全等的直角三角形，每个面积为，其中1个直角三角形为阴影，面积为2；阴影部分总面积， 故答案为：． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在等边中，，平分， 点E在的延长线上，且 ，求的长． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得出，，，利用三角形内角和定理求出角的度数证明． 【详解】解：是等边三角形，平分，， ，，， ． 又， ， ， ． 【点睛】重点掌握三线合一． ▌对点练1-5．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合“”进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，然后求出结果即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ， ， 即， 在 中   ， ∴； （2）解：是等边三角形， ， 又由（）得， ． 题型 尺规作图——作等腰三角形 解题贴士 易错：①作图半径选取错误，无法交于一点；②未保留作图弧痕，考试扣分；③混淆高、腰、底边的作图条件，图形不符合题意；④未写最终作图结论。 ▌例1．（25-26八年级下·山东青岛·期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，． 求作：等腰，使得点，分别在，上，且底边上的高为． 【答案】如图，即为所求； 【分析】先作的平分线，再在角平分线上截取，再过作角平分线的垂线，交于即可. 【详解】解：作图依据：由作图可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即为所求． ▌对点练1-1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）利用直尺和圆规作，使，以下作法正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图，根据基本尺规作图，利用等角对等边和线段垂直平分线的性质、平行线的性质推理解答即可． 【详解】解：图①中，则，符合题意； 图②中，不符合题意； 图③中根据平行线和角平分线的作图可得，则，符合题意； 图④中作图为垂直平分线，可得，不符合题意； 故选：C． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，线段，请利用圆规和无刻度直尺作等腰，，使得的面积为． 【答案】如图，即为所求． 【分析】由面积得边上的高为，先作线段的垂直平分线交于点，再截取即可． 【详解】解：设边上的高为， 的面积为． ，即， 解得， 故作线段的垂直平分线，并在垂直平分线上截取即可． 基础通关 1．（2026·内蒙古通辽·二模）若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】需分两种情况讨论腰长，根据三角形任意两边之和大于第三边验证是否能构成三角形，再计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为腰长，为底边长时 ∵，符合三角形三边关系 ∴该三角形周长为 ； 当为腰长，为底边长时 ∵，符合三角形三边关系 ∴该三角形周长为 因此等腰三角形的周长为或． 2．（25-26七年级下·江西抚州·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的第三边长是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，需分情况讨论第三边的可能取值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的情况，得到正确结果. 【详解】解：∵等腰三角形已知两边长为和，第三边有两种可能，分情况讨论： ∴当第三边长为， ∵ ， ∴不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去； 当第三边长为， ∵ ，满足三角形三边关系，可以构成三角形； ∴第三边长为. 3．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）民乐县是全国串番茄单品冠军产地，菜农培育的串番茄藤蔓支架可抽象为等腰三角形，若等腰三角形的一个底角为，则其顶角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为，即可计算出顶角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角为， ∴该等腰三角形两个底角的和为， 又∵任意三角形的内角和为， ∴顶角的度数为． 4．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形定义，构成三角形三边关系．根据题意分情况讨论即可． 【详解】解：∵当为等腰三角形时， ①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 综上，的长为3． 故选：A． 5．（25-26七年级下·山西运城·期末）工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”和重力方向是竖直向下的解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形底边上的中线与高线重合，而铅垂线方向始终竖直向下，当铅垂线通过底边中点时，说明底边与铅垂线垂直，即底边水平，从而判断屋梁是不是水平， ∴这其中蕴含的数学道理是等腰三角形的“三线合一”． 6．（2026·福建三明·二模）如图，点在线段的垂直平分线上，若，则_____°． 【答案】55 【分析】由线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得，，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴，， ∴，， ∴． 7．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 已知等腰中，是边的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，平分顶角，因此只需将的度数除以即可得到的度数． 【详解】解：∵在等腰中，，是边的中点， ∴平分（等腰三角形三线合一）， ∵， ∴ ， 故答案为：． 8．（2026·江苏南通·三模）如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明即可； （2）根据三角形外角的性质可得，利用全等三角形的性质即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，从A处观测C处的仰角，现以点D为圆心，长为半径画弧，交于点B． (1)求的度数． (2)从C处观测A，B两处的视角是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意得，，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 又∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 10．（25-26八年级上·福建厦门·期中）“三等分角”大约是公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，求度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质可得，，由外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，等边的边长是，动点M、N分别从点A，点C同时出发，沿、匀速运动，点M，点N的运动速度分别是，，当点M运动时，求点M，点N两点间的距离． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得，，进而求出，证得是等边三角形，从而得出点M，点N两点间的距离即可． 【详解】解：是边长为的等边三角形， ，， 点M，点N的运动速度分别是，，点M运动时 ， 是等边三角形 点M，点N两点间的距离是． 12．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在 中，，过B作 交于点 D．过点D作于点E，交于点F． (1)求证：； (2)过点A作于点G，若，求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； (2)证明：∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）根据同角的余角相等，即可证明； （2）证明，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 素养提升 1．（25-26七年级下·四川达州·期末）若实数a，b满足，且a，b恰好是等腰的两条边长，则的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由非负数性质求a，b的值，再分类讨论等腰三角形腰长，最后结合三边关系计算周长即可． 【详解】解：∵，即， ∴，， 解得，， a，b恰好是等腰的两条边长，故分两种情况讨论： ①当腰长为3时，三边长为3，3，4， ∵， ∴三角形存在，周长为， ②当腰长为4时，三边长为4，4，3， ∵， ∴三角形存在，周长为， 综上，的周长为或． 2．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）我们称等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形中，则它的“特征值”为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分为顶角和为底角两种情况讨论，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，结合“特征值”的定义计算即可． 【详解】解：①当为顶角时，底角度数为， 特征值； ②当为底角时，顶角度数为， 特征值； 综上，该等腰三角形的特征值为或， 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，是甲、乙、丙三位同学用尺规作图的方法作等腰，下列说法正确的是（    ） A．甲、乙正确，丙错误 B．甲、丙正确，乙错误 C．乙、丙正确，甲错误 D．甲、乙、丙都正确 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图−圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键．根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可． 【详解】解：甲图：以点为圆心，为半径作弧，交于点， ∴， ∴为等腰三角形， 乙图：作的垂直平分线，交于点， ∴， ∴为等腰三角形， 丙图：所作的， ∴， ∴是等腰三角形， ∴甲、乙、丙都正确． 故选：D． 4．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，直线分别与边交于点D，E，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】先根据等腰直角三角形的性质，求出的度数．因为中，是直角，所以可结合三角形内角和定理得到的度数．观察和与内角的关系，利用三角形外角的性质，建立和的数量关系．对得到的数量关系做变形，直接推导的度数． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． 5．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点是内一点，连接，，若，则的面积为______． 【答案】16 【分析】过点作于点，过点作，交延长线于点，先证出，则，再求出的长，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 6．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，点C在线段上，． (1)找出一个与全等的三角形，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，的度数，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，过点作于点，点在上，连接，与互余． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由如下： ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 又∵与互余， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，，根据三角形内角和得到，根据余角的定义得到，即，可知； （2）根据垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形三线合一求出为中点，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， 又∵，， ∴． 迁移创新 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集，如图为某蝶几设计图，其中和为两个全等的等腰直角三角形，且点与点关于直线对称，分别连接，若，则 __________． 【答案】 【分析】根据全等三角形性质得出，，利用对称性质得出，进而得到，利用等腰三角形性质求出，最后利用角的和差关系及对称性求解． 【详解】解：和为两个全等的等腰直角三角形， ，， ， 点与点关于直线对称， ，， ， ， ， ， ． 2．（25-26七年级下·山西太原·期末）如图，等腰三角形中，． (1)在图1中，仅用无刻度的直尺和圆规作出边上的高（不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图2，在（1）的条件下，点为边上一点（不与端点重合），射线于点，直线分别与射线，边交于点，．若，小亮发现，并将说理过程梳理为如下思路图，请补全①②③处空缺的内容． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（1）已知为等腰三角形，，等腰三角形三线合一，边上的高同时是的垂直平分线； （2）根据平行线性质即可求解． 【详解】（1）解：分别以点、为圆心，大于的等长线段为半径画弧，两弧交于上下两点；连接两交点，得到的垂直平分线，该线与交于，且经过点A；线段即为边上的高，保留圆弧、交点、直线痕迹即可． （2）解：由同位角相等，两直线平行： ，同位角相等，； 由两直线平行，同位角相等： ，②； 已知，结合， 得； 由内错角相等，两直线平行：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $