专题2.2 等腰三角形（8大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦等腰三角形核心知识点，系统梳理定义、"等边对等角""三线合一"性质及"等角对等边"判定，通过即学即练衔接概念与应用，以8类题型（概念辨析、角度计算、三线合一等）搭建从基础到综合的学习支架。 资料特色在于融入生活实例（如工人用等腰三角板检测横梁水平）培养数学眼光，通过逻辑推理证明题和尺规作图提升数学思维，规范书写要求强化数学语言表达。课中助力分层教学，课后练习题帮助学生查漏补缺，巩固知识应用。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.2等腰三角形 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01等腰三角形的性质 2.知识清单 知识点02等腰三角形的判定 题型01等腰三角形的相关概念 题型02利用等边对等角求角度 题型03三线合一的应用 等腰三角形 题型04等角对等边的应用 3.题型精讲 题型05确定等腰三角形的个数 题型06尺规作等腰三角形 题型07等腰三角形性质与判定的综合 题型08分类讨论思想与等腰三角形 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1理解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形“等边对等角”“三线合一” 的性质，能识别等腰三角形，运用性质进行简单计算与证明。 2.通过折纸观察、猜想验证、逻辑推理，经历等腰三角形性质的探究过程， 教学目标 发展几何直观与演绎推理能力，规范几何证明书写。 3.感受几何图形的对称美，体会数形结合思想：在合作探究中主动思考，增 强学习几何的信心，养成严谨说理的习惯。 1.重点 教学重难点 (1)理解等腰三角形的概念，分清腰、底边、顶角、底角等相关概念。 (2)掌握等腰三角形“等边对等角”的性质，并能利用该性质求解角度 1/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题。 (3)理解并运用等腰三角形“三线合一”性质，解决线段相等、垂直、 角平分线相关的简单证明与计算，区分性质适用条件，规范解题步骤。 2.难点 (1)等腰三角形“三线合一”性质的理解与灵活运用，区分顶角平分 线、底边上的中线、底边上的高三者之间的内在联系，避免混淆使用。 (2)结合等腰三角形性质进行逻辑推理证明，准确写出完整规范的几何证 明过程，同时解决等腰三角形多解分类讨论问题，防止漏解。 知识清单 知识点01等腰三角形的性质 等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. (2)等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】 (3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个 元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论. 【即学即练】1.己已知一个等腰三角形的顶角为100°，则它的底角的度数为（) A.35° B.40° C.45 D.50° 2.已知△ABC是等腰三角形，若AB=8cm,AC=4cm,则△ABC的周长是 cm 3.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E.AC的垂直平分线分别交AC、 BC于点F、G,连接AE、AG. 2/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G (1)△AEG的周长为12，求线段BC的长： (2)若∠BAC=115°，求∠EAG的度数. 知识点02 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定： 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法。 ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线： ④判定定理在同一个三角形中才能适用. 【即学即练】4.一个三角形的两个内角的度数分别为50°和70°，这个三角形是() A.锐角三角形B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 5.如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点.若∠BEC=∠AED,DE=2,则BE的长为 6.如图，在△ABF中，点D、C在BF上，连接AD、AC,∠I=∠2，∠3=∠4，过点F作EF⊥AD于 E E B4 D C (I)求证：△ADF是等腰三角形： (2)求证：AE=DE 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01等腰三角形的相关概念 【典例1】(25-26八年级下·河北保定期末)等腰三角形的两边长分别为6和13，则它的周长为() A.32 B.25 C.25或32 D.25或19 【变式1】(25-26八年级下·广东深圳期末)已知△ABC是等腰三角形，顶角∠A=80°，则底角∠B= 【变式2】(25-26七年级下·湖南长沙阶段检测)等腰三角形的一条边长为3Cm,另一边长为8cm,则它 的周长为 【变式3】(25-26七年级下·陕西西安期末)若实数m,n满足m-25+(12-nm)=0,且m,n恰好是等 腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 题型02利用等边对等角求角度 【典例1】(2026山东威海模拟预测)己知△4EC≌△ADB.若∠A=50°，∠ABD=45°，则∠1的度数为 () A.40° B.25° C.20° D.15° 【变式1】(25-26七年级下·陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,点E在边BC上，延长 AC至点D,使得CD=CE,连接DE,CF是△CDE的中线，若∠FCE=52°，则∠A的度数为() 4/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B SD A.38° B.28 C.32° D.34° 【变式2】(26-27八年级上·湖北武汉·开学考试)如图，在△ABC中，AB=AC,AD=AE, ∠BAD=40°，则∠EDC= D 【变式3】(25-26七年级下·上海浦东新·期末)如图，在RIAACE中，∠AEC=90°，AB=AF, CB=CD,则∠DBF的度数为 的 E D 题型03 三线合一的应用 【典例1】(25-26七年级下·山西运城期末)工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如 图所示，在底边中点处做一个记号D,再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂 线是不是通过记号D,就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是() U铅锤 A.垂线段最短 B.两点之间，线段最短 C.等腰三角形的两个底角相等 D.等腰三角形的“三线合一” 【变式1】(25-26八年级上四川南充期中)如图，在△ABC中，AC=CB,AD是BC边上的中线，CE 是LACB的角平分线，若AB=4,SMc=6,则CE的长度为() 5/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.4 B.5 C.6 D.7 【变式2】(25-26七年级下·甘肃白银期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AE平分∠BAC,DE垂直 平分AB,垂足为点D,连接CE,∠B=50°，则∠BCE的度数为 【变式3】(25-26七年级下·辽宁本溪·期末)如图，在△ABC中，AB=AC=5,D为BC中点，点P,Q 分别是AD,AC上的动点，若△ABC的面积为12，则CP+PO的最小值为 题型04等角对等边的应用 【典例1】(25-26八年级下·陕西咸阳阶段检测)如图，点D为△ABC右侧一点，连接ADCD,若 ∠B=∠ACB,∠ACD=∠D,AB=4,则AD的长为() A.2 B.4 C.5 D.8 【变式1】(25-26八年级下~重庆南岸·期末)如图，在△ABC中，点E是△ABC内一点，连接EB,EC, ED垂直平分AB,若∠EBC=∠ECB,EC=4,则点A,E之间的距离为() 6/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E A.3 B.4 C.5 D.6 【变式2】(25-26七年级下·上海普陀·期末)如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D, DE BC交AC于点E.如果EC=2AE,DE=6,那么AC= 【变式3】(2026海南省直辖县级单位·二模)如图，在△ABC中，AB=AC,BC=2.5,∠B=72°，以点 C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M,交CB于点N,再分别以点M,N为圆心，大于2MN的 长度为半径作弧，两弧相交于点P,作射线CP交AB于点D.则AD= 题型05确定等腰三角形的个数 【典例1】(25-26八年级上黑龙江哈尔滨期末)如图，在△ABC中，AB=BC=CA,点O在△ABC内， OA=OB=OC,图中一共有()个等腰三角形. A.4 B.3 C.2 D.1 【变式1】(25-26八年级上全国期中)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD,CE是角平分线， 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则图中的等腰三角形共有() A.8个 B.7个 C.6个 D.5个 【变式2】(25-26八年级上河南洛阳期末)如图，∠A=72°，∠B=36°，CD平分∠ACB,ED平分 ∠CDA,则图中的等腰三角形有() B A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【变式3】(23-24八年级上：浙江宁波开学考试)如图，∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED=72°，则图中 的等腰三角形有 个. 4 D 题型06尺规作等腰三角形 【典例1】(25-26八年级下山东青岛期末)已知：线段a,b,求作：△ABC,使AB=AC=a,高 AD=b.(用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹) a b 【变式1】(25-26九年级下陕西西安期中)如图，已知∠ABC=80°，点E在边BC上，请利用尺规作图 法在∠ABC内部求作一点P,使得∠PBE=40°，且△PBE是等腰三角形.（作出一个即可，保留作图痕迹， 不写作法) 8/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B EC 【变式2】(2026陕西宝鸡模拟预测)如图，已知∠O及边上两点A,B.请用尺规作图法，求作△ABP」 使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形，且点P到OA,OB的距离相等，（作出符合题意的一个等腰三角 形即可，保留作图痕迹，不写作法) B 【变式3】(25-26八年级下·全国课后作业)作图题 a a (1) (2) (1)如图(1)，已知∠和线段a,请用尺规作一个等腰三角形，使它的一个内角等于∠“，腰长等于a. (2)在(1)中，如果把∠a变成图(2)中的∠P,其他条件不变呢？ 题型07 等腰三角形的性质与判定的综合 【典例1】(25-26七年级下·内蒙古包头期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AE平分∠BAC,DE垂 直平分AB,垂足为点D,连接CE,∠B=50°，则∠BCE的度数为() D A.10° B.15o C.20° D.25o 【变式1】(25-26八年级下·辽宁沈阳·期末)如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧 1 交BC于点D'再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N, 9/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 作直线MN交AB于点E,若AB=I0,AC=6,则△ADE的周长为 M D N 【变式2】(25-26七年级上江苏南京开学考试)如下图，有一个长方形纸片ABCD,AB=20厘米， AD=I2厘米，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE,再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE 与BC交于点F,aCEF的面积是( )平方厘米. D B E 【变式3】(25-26八年级下·陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°， ∠DBC=60°，BD=6,求AD的长. B ■ D 题型08 分类讨论思想与等腰三角形 【典例1】(26-27七年级上：江苏南京开学考试)若一个等腰三角形的周长是36Cm,且其中一边的长为 8cm,则这个等腰三角形的腰长是() A.8cm B 14cm C.8cm或14cm D.无法确定 【变式1】(25-26七年级下·河南周口期末)等腰三角形周长为20，一边长为6，则腰长为 【变式2】(25-26七年级下·福建福州期末)等腰三角形的周长为36，一腰上的中线把周长分为1：2两部 分，则这个等腰三角形的底边长为 【变式3】(25-26七年级下·河北石家庄·期末)一个三角形的两边b=3,c=4. ()当各边均为整数时，可以组成_个不同的三角形 (2)若此三角形是等腰三角形，求其周长. 10119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26七年级下陕西咸阳期未)如图，AB∥CD,则∠CAB=140°，AC=CE,∠CEA的度数为 B A.70° B.60° C.50° D.40° 2.(25-26八年级下四川达州阶段检测)等腰三角形一个角等于50°，则它的底角的度数是（) A.70°或40° B.65°或70° C.50°或65° D.55°或65 3.(25-26七年级下广东揭阳·期末)等腰三角形周长为16cm,一边长为4m,该等腰三角形的底边长为 () A.4cm B.8cm C.8cm或4cm D.5cm 4.(25-26七年级下·陕西西安期末)如图，△ABC≌aDEF,点E在BC边上，AC与EF相交于点G,若 ∠F=32°，GC=GE,则∠I的度数为() B A.64° B.116 C.120° D.126 5.(25-26七年级下辽宁沈阳期末)如图，在△ABC中，AB=AC,BC=8,SMC=24,AC的垂直平 分线EF分别交边AC,AB于点E,F.若D为BC边的中点，M为线段EF上的一个动点，则△CDM周 长的最小值为() 11/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.7 B.8 C.10 D.12 二、填空题 6.(25-26七年级下山东菏泽期末)如图，在3×3的正方形网格中，点A,B均在格点处，若点C也在格 点处，且△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有_ 处 ------- 1 7.（26-27九年级上全国课后作业)如图，在。ABC中，点D是AB的中点，CD=24B,则∠ACB B 8.(25-26七年级下·上海·期末)已知一个等腰三角形的周长是20Cm,其中一条边长为4Cm,那么该三角 形的底边长为 cm 9.(25-26八年级下陕西汉中期末)如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB,AB的垂直平分线MN交AC 于点D,连接BD,若△BCD的周长是I3,AB=8,则BC的长为一 10.(25-26七年级下·陕西咸阳·期末)如图，等腰△ABC的底边AC长为4，D是边AC的中点，点M在 12119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 线段BC的垂直平分线EF上，若△CDM周长的最小值为IO,则△ABC的面积是 E B F 三、解答题 11.(25-26八年级下·河南郑州期末)如图，△ABC的高BD与CE相交于点O,OD=OE,AO的延长线 交BC于点M.求证：△ABC是等腰三角形， D M 12.(25-26七年级下陕西咸阳阶段检测)已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a=4,b=6. (1)若c的长为小于6的偶数，求c的长： (2)在(1)的条件下，判断△ABC的形状， 13.(25-26七年级下陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，AB=AC,D是边BC的中点，点M,N分别 在线段AB,AD上，且AM=MN, (①)MN与AC平行吗？请说明理由； (2)若∠BAC=40°，点N在线段BM的垂直平分线上，求∠DBN的度数. 14.(25-26七年级下河北张家口期末)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,点F在ED上， AC=AD,∠BAF=∠EAD,∠ACB=∠ADB 13119 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AB=AF: (2)若AC⊥BD,求证：∠BAF=2∠DAF 15.(25-26七年级下陕西西安期末)【问题情境】 如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD,以AD为直角边向右作直角△ADE,其中∠ADE=90°， ∠BAC+2∠DEA=180°，AE与BC交于点F. 【问题梳理】 (I)如图1，若∠ABC=∠ACB=45°，AD=AF,求∠ADF的度数； C E 图1 【问题探究】 (②)如图2，过点D作DM⊥AC于点M,点N为AB边上一点，过点N作NP⊥AB交AE于点P,连接DP, 延长DM至点H,使得MH=NP,连接AH,若AM=AW,求线段DM、PN、DP之间的数量关系，并 说明理由， C D M E P N B 图2 能力提升 14119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(25-26七年级下陕西西安期末)等腰三角形周长是19，其中一边长是5，则等腰三角形的底边长是 () A.5 B.5或9 c.9 D.7 2.(25-26八年级下·陕西西安期末)如图，在△ABC中，E为边AC上一点，连接BE,过点C作 CD⊥BE,垂足为D,且BD=ED,∠A=∠ABE,若AC=8,BC=5,则BD的长为() B D A.3 B.2 C.1.5 D.1.2 3.(25-26七年级下·陕西咸阳期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD,CE分别是△ABC的 中线和高，已知∠ACE=40°，则∠BAD的度数为() D A.35° B.30° C.25 D.20° 4.(25-26七年级下陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=100°，DE垂直平分AB,分别交AB、 BC于点D、E,连接AE,若∠EAB=2LCAE,则∠B的度数为() E B A.16° B.32 C.26° D.30° 5.(25-26七年级下·宁夏银川期末)如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，点E是边AB的中点，点 P是AD上一动点，连接PB、PE,已知AD=6,则PB+PE最小值为() 15119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.6 C.9 D.12 二、填空题 6.(25-26七年级下甘肃白银期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的中线，∠BAD=50°， 则∠B的度数为 7.(25-26七年级下河北承德期末)已知等腰三角形的一条边长是4，另一条边长是7，那么这个三角形 的周长是 8.(25-26七年级下陕西咸阳·阶段检测)如图，△ABC中，OD,OE分别是AB、BC边上的垂直平分线， OD、OE相交于点0，连接OA、OB、OC,已知∠0AB=15,∠ABC=40°，则∠0CB的度数为°. D B E 9.(25-26七年级下山东威海期末)如图，在△ABC中，BI,CI分别平分∠ABC,∠ACF交于点I,过 点I作DI∥BC交AB于点D,交AC于点E.若BD=8cm,DE=3cm,则CE等于 C B 10.(25-26七年级下·河北张家口期末)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,E、F两 动点分别在线段AD、线段AB上运动，若∠BAC=40°，当BE+EF最小时，∠BED的度数为 16119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B 三、解答题 11.(2026陕西西安·一模)如图，点O在直线I上，请用尺规作图法，作等腰直角三角形MO，使得点 N在直线I上，点M在直线I外（保留作图痕迹，不写作法）· O 12.(2026陕西渭南模拟预测)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E在BC边上，连接AC、AE, AD=BE,∠B=∠ACB.求证：AE=CD B 13.(2026江苏南通三模)如图，在等腰△ABC中，BA=BC,点F在AB边上，延长CF交AD于点E, BD=BE,∠ABC=∠DBE (I)求证：AD=CE: (2)若∠ABC=30°，∠AFC=45°，求∠EAB的度数. 14.(25-26七年级下河南开封期末)综合与实践 【问题情境】 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料， 最后到达空间站B.为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径， 【数学建模】：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站所在直线1的对称点B,连接AB, 与直线的交点即为最优燃料点C,此时路径AC+CB最短. 【推理论证】：如图3，在直线I上另取任意一点C,连接AC,BC,B'C,只要说明 17119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC+CB<AC'+C'B'即可. 证明：直线I是点B,B的对称轴，点C,C在1上， ∴CB=,CB'=_, ∴AC+CB=AC+CB'= :在△AC"B中，AB<AC+C"B, ∴.<AC'+CB,即AC+CB最小. 陨石带 好 图1 图4 【问题解决】 (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A,B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线 段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决.请补全上述推理论证： (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径： (3)如图4，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC.若点P在AD上移动，点Q在AC上移动，如何确定 PC+P的最小值？ 15.(25-26七年级下·陕西咸阳·期末)【初步感知】 B D B 图① 图② 图③ (I)如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是△ABC外一点，且AD⊥CD于点D.数学活动课上， 老师组织同学们展开了如下探究：过点B作BE⊥CD,交DC的延长线于点E,可以构造全等三角形，则 CD与BE的数量关系是 【问题探究】 (2)如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E在边AB上，AD⊥CE于点D,若CD=2, DE=15 =7,求ABCE的面积； 【问题解决】 (3)如图③，△ABC是某公园的一片玫瑰园，∠ABC=90°，AB=BC,为了进一步满足市民游玩需求，现要 18119 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 对玫瑰园进行扩建，在小路CB的延长线上的点D处修建了一座观景塔，以A为直角顶点，线段AD为直 角边向左侧作Rt△ADE,AD=AE,在小路AB与EC的交点处修建游客服务中心F,求小路DC与FB之 间的数量关系.（观景塔及游客服务中心大小忽略不计）， 19119 专题2.2 等腰三角形 教学目标 1.理解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形 “等边对等角”“三线合一” 的性质，能识别等腰三角形，运用性质进行简单计算与证明。 2.通过折纸观察、猜想验证、逻辑推理，经历等腰三角形性质的探究过程，发展几何直观与演绎推理能力，规范几何证明书写。 3.感受几何图形的对称美，体会数形结合思想；在合作探究中主动思考，增强学习几何的信心，养成严谨说理的习惯。 教学重难点 1.重点 （1）理解等腰三角形的概念，分清腰、底边、顶角、底角等相关概念。 （2）掌握等腰三角形 “等边对等角” 的性质，并能利用该性质求解角度问题。 （3）理解并运用等腰三角形 “三线合一” 性质，解决线段相等、垂直、角平分线相关的简单证明与计算，区分性质适用条件，规范解题步骤。 2.难点 （1）等腰三角形 “三线合一” 性质的理解与灵活运用，区分顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三者之间的内在联系，避免混淆使用。 （2）结合等腰三角形性质进行逻辑推理证明，准确写出完整规范的几何证明过程，同时解决等腰三角形多解分类讨论问题，防止漏解。 知识点01 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【即学即练】1．已知一个等腰三角形的顶角为，则它的底角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形顶角为， ∴底角度数为． 2．已知是等腰三角形，若，则的周长是 _______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形定义分情况讨论腰长，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当腰长为时，底边长为，由于，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去； 当腰长为时，底边长为，满足三角形三边关系，可以构成三角形，此时的周长为． 3．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、．的垂直平分线分别交、于点、，连接、． (1)的周长为12，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得出，再由周长得出，等量代换可得出，即； （2）由等边对等角得出，由三角形内角和定理得出，则，再由角的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交、于点、．的垂直平分线分别交于点， ∴，， ∵的周长为12， ∴， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 知识点02 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定： 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【即学即练】4．一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和为求出第三个内角的度数，再根据三角形的分类标准判断三角形的类型即可． 【详解】解：∵三角形内角和为，已知两个内角分别为和 ∴第三个内角的度数为 ∴该三角形的三个内角分别为，，，三个角都小于，都是锐角，且三个角互不相等 ∴这个三角形是锐角三角形，不是钝角三角形、直角三角形，也不是等腰三角形． 5．如图，在中，点D，E分别是边的中点．若，，则的长为________． 【答案】4 【分析】根据三角形中位线，等腰三角形的判定和性质求解即可； 【详解】解：∵点D，E分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，在中，点D、C在上，连接、，，，过点F作于E． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：是的外角， ， ，，， ， ， 是等腰三角形． (2)证明：由（1）得， ， ． 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，再由，可证明，得到，则是等腰三角形 （2）由三线合一定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 题型01 等腰三角形的相关概念 【典例1】（25-26八年级下·河北保定·期末）等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分腰长为、腰长为两种情况讨论，结合三角形三边关系排除不成立的情况后计算周长． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为和， 分两种情况讨论： ①当腰长为时，三边长为，，， ， 不能构成三角形； ②当腰长为时，三边长为，，， ， 能构成三角形，周长为． 【变式1】（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知是等腰三角形，顶角，则底角______． 【答案】/度 【分析】根据等腰三角形的性质，底角相等，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：在等腰中，顶角， 则底角， 设，则， 根据三角形内角和定理得， 即， ， 解得， 即． 【变式2】（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）等腰三角形的一条边长为，另一边长为，则它的周长为______． 【答案】 【分析】分两种情况：腰长为和腰长为，根据构成三角形的条件验证能否构成三角形后，计算符合条件的周长即可． 【详解】解：当腰长为时，则该等腰三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，则该等腰三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期末）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是_________． 【答案】 【分析】根据非负式子和为0它们分别等于0求出，，再结合等腰三角形性质及三边关系求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∵， ∴只能是作腰， ∴的周长是：. 题型02 利用等边对等角求角度 【典例1】（2026·山东威海·模拟预测）已知．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全等三角形性质可得，由等腰三角形性质可求的度数，结合角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，点在边上，延长至点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形的三线合一求出，再求出，继而根据三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）如图，在中，，，，则________． 【答案】/度 【分析】设，，则有与，联立方程解方程组即可． 【详解】解：依题意，设，， ①， ②， 由得， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】三角形的内角和定理求出，等边对等角，结合平角的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴. 题型03 三线合一的应用 【典例1】（25-26七年级下·山西运城·期末）工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”和重力方向是竖直向下的解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形底边上的中线与高线重合，而铅垂线方向始终竖直向下，当铅垂线通过底边中点时，说明底边与铅垂线垂直，即底边水平，从而判断屋梁是不是水平， ∴这其中蕴含的数学道理是等腰三角形的“三线合一”． 【变式1】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由三角形中线的性质得出，从而可得，由等腰三角形的性质可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】连接，根据等腰三角形和线段垂直平分线的性质可得，得到，又由线段垂直平分线的性质可得，得到，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，，为中点，点，分别是，上的动点，若的面积为12，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：，为中点， 垂直平分， ， 如图，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ， 即的最小值为． 题型04 等角对等边的应用 【典例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点为右侧一点，连接，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据等角对等边，由 可得 ，由 可得 ，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，点是内一点，连接，，垂直平分，若，，则点，之间的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，根据等角对等边得出，再根据线段垂直平分线的性质得出，从而求得的长． 【详解】解：连接，如图 ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， 即点A，E之间的距离为4． 【变式2】（25-26七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，的平分线交于点，交于点．如果，，那么_________． 【答案】 9 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义证得，从而得到，再结合求出，最后由求解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ，， ， ． 【变式3】（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．则________． 【答案】 【分析】由题意得，射线为的角平分线，利用等边对等角，等角对等边求解即可． 【详解】，， ， 由题意得，射线为的角平分线， ， 在中，， ，， ． 题型05 确定等腰三角形的个数 【典例1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和及外角性质定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理． 根据角平分线的定义、三角形内角和及外角性质定理确定各个角的度数，根据有两个相等内角的三角形是等腰三角形进行判断即可． 【详解】解析:∵， ∴ ∵是角平分线， ∴， ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴等腰三角形有，共8个． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 【变式3】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 题型06 尺规作等腰三角形 【典例1】（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知：线段a，b，求作：，使，高．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】 【详解】解：先作一条直线，在直线上取点D，过D作直线的垂线，再以点D为圆心，线段的长为半径画弧，交垂线于点A，连接，此时；以A为圆心，线段的长为半径画弧，交第一步的直线于B、C两点，连接、，此时即为所求三角形． 【变式1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点在边上，请利用尺规作图法在内部求作一点，使得，且是等腰三角形．（作出一个即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，即为所求； 【分析】先作出的平分线，则点在的平分线上，然后根据等腰三角形的定义和垂直平分线的判定画垂直平分线即可作图． 【详解】略 【变式2】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）如图，已知及边上两点A，B．请用尺规作图法，求作，使得是以为腰的等腰三角形，且点P到，的距离相等．（作出符合题意的一个等腰三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，为所求， 【分析】先作的角平分线，再以为圆心，长为半径画弧，交角平分线于点即可作出． 【详解】以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． 分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点． 作射线，则是的角平分线． 以为圆心，长为半径画弧，交射线于点，则 即为所求． 连接、，则为以为腰的等腰三角形，即，且点在的角平分线上，故到、的距离相等． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）作图题 (1)如图（1），已知和线段a，请用尺规作一个等腰三角形，使它的一个内角等于，腰长等于a． (2)在（1）中，如果把变成图（2）中的，其他条件不变呢？ 【答案】(1)和都是所求三角形 (2)是所求三角形 【分析】（1）这样的等腰三角形有两种情况：①锐角为等腰三角形底角时：作法：作，截取．以为圆心，为半径画弧交于点，连接，则即为以为底角，为腰的等腰三角形．②锐角为等腰三角形顶角时：作法：作，在角的两边上分别截取．连接，即为以为顶角，为腰的等腰三角形． （2）这样的等腰三角形只有一个，此时是等腰三角形的顶角．作法：作，分别截取．连接，即为以为顶角，为腰的等腰三角形． 【详解】（1）略 （2）略 题型07 等腰三角形的性质与判定的综合 【典例1】（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一性质及线段垂直平分线性质得出及的度数，进而求解. 【详解】解：连接， ，， ，， 平分， ， 垂直平分， ， ， ，平分， 垂直平分， ， ， 【变式1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 【答案】 【分析】根据作图可得，是的垂直平分线，得到，再通过线段等量代换将的周长转化为，进而求出三角形周长． 【详解】解：由作图可知，， ， ， 由作图可知，直线是的垂直平分线， 点在直线上， ， ， 将代入得，， ，， ． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）如下图，有一个长方形纸片，厘米，厘米，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点，的面积是( )平方厘米． 【答案】32 【分析】根据折叠易得，长，利用等腰直角三角形的性质求得的长度，的面积． 【详解】解：由折叠的性质知，第二个图中，， ∴， 第三个图中， ∴，则， ∴， ∴的面积(平方厘米)． 【变式3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，，求的长． 【答案】6 【分析】在中，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数，进而得到，据此求解即可． 【详解】解：在中，，， ，                 是的外角， ，                 ． 题型08 分类讨论思想与等腰三角形 【典例1】（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】未明确的边是腰还是底，需分类讨论并验证三角形三边关系. 【详解】解：当为腰长时，底边长为， ∵，不能构成三角形， ∴此情况不成立； 当为底边长时，腰长为， ∵，能构成三角形， ∴腰长为. 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）等腰三角形周长为20，一边长为6，则腰长为______． 【答案】6或7 【分析】结合等腰三角形的性质及三角形三边关系，由题意得，已知边未明确是底边还是腰，需分类讨论，再根据三角形三边关系判断结果是否符合题意． 【详解】解：①当等腰三角形的底边长为时， 腰长， 此时三角形三边长为， ，符合三角形三边关系， 能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为时， 底边长， 此时三角形三边长为 ，符合三角形三边关系， 能构成三角形； 综上，等腰三角形的腰长为或． 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期末）等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，先根据周长和比例求出两部分的长度，再分两种情况计算腰长与底边长，最后利用三角形三边关系验证是否成立，即可得到底边长； 【详解】解： 等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分. 分成的两部分周长分别为，. 设等腰三角形的腰长为，底边长为； 分两种情况讨论： ① 若腰长与半腰长的和为，则， 解得； 则， 此时三角形三边长为； ，不满足三角形两边之和大于第三边，所以此情况不成立，舍去； ② 若腰长与半腰长的和为，则， 解得， 则， 此时三角形三边长为， ，，满足三角形三边关系，此情况成立. 综上，这个等腰三角形的底边长为； 【变式3】（25-26七年级下·河北石家庄·期末）一个三角形的两边，． (1)当各边均为整数时，可以组成 个不同的三角形． (2)若此三角形是等腰三角形，求其周长． 【答案】(1) (2)周长为或 【分析】（1）根据三角形的三边关系，得出第三边的取值范围，再结合整数得到第三边的可能取值，即可得解； （2）根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：一个三角形的两边，， 第三边的取值范围为，即， 各边均为整数， 第三边的可能取值为2、3、4、5、6， 可以组成5个不同的三角形． （2）解：当等腰三角形的腰长为，底边为时，满足三角形的三边关系，可以组成三角形， 此时周长为； 当等腰三角形的腰长为，底边为时，满足三角形的三边关系，可以组成三角形， 此时周长为； 综上可知，等腰三角形的周长为或． 一、单选题 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，则，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质求得，再利用等边对等角结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）等腰三角形一个角等于，则它的底角的度数是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：①当的角是这个等腰三角形的顶角时，②当的角是这个等腰三角形的底角时，根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：①当的角是这个等腰三角形的顶角时， 则它的底角的度数是； ②当的角是这个等腰三角形的底角时， 则它的底角的度数是； 综上，它的底角的度数是或． 3．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）等腰三角形周长为，一边长为，该等腰三角形的底边长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质，分为腰长和底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断，舍去不能构成三角形的情况即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 当为腰长时， 底边长为， ∵ ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴ 此种情况舍去； ② 当为底边长时，腰长为， ∵ ，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴ 该等腰三角形的底边长为．. 4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，，点E在边上，与相交于点G，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得到，根据等边对等角得到，根据三角形内角和定理及对顶角相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线分别交边，于点，．若为边的中点，为线段上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】连接，，先证明，，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为10． 【详解】解：连接，． ∵，点D是边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵，当点A、M、D共线时取等号， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 二、填空题 6．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 【答案】8 【详解】解：如图，点，，，，，，，即为所求． ∴满足条件的点C的位置有8处． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D是的中点，，则_______． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形的性质得出，，再根据三角形内角和定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵点D是的中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即． 8．（25-26七年级下·上海·期末）已知一个等腰三角形的周长是，其中一条边长为，那么该三角形的底边长为___________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论：当为底边长时，当为腰长时，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：∵等腰三角形的周长是，其中一条边长为， ∴当底边长为时，腰长为，此时三边长分别为，，，由可得满足三角形三边关系，符合题意； 当腰长为时，底边长为，此时三边长分别为，，，由可得不满足三角形三边关系，不符合题意，舍去； 综上所述，该三角形的底边长为． 9．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接，若的周长是，，则的长为______． 【答案】 【分析】由可得，由垂直平分线的性质可得，结合等量代换可得的周长即为，从而计算出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长为， ∴． 10．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，等腰的底边长为4，是边的中点，点M在线段的垂直平分线上，若周长的最小值为10，则的面积是________． 【答案】16 【分析】连接，先得出，，再得出周长的最小值为，进而求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵等腰的底边长为4，是边的中点， ∴，， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∴周长的最小值为， 又∵周长的最小值为10， ∴， ∴， ∴的面积是． 三、解答题 11．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵与是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】先证明，得出，再证明，得出，最后根据等腰三角形的判定方法，得出结论即可． 【详解】略 12．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知的三边分别为a，b，c，且，． (1)若c的长为小于6的偶数，求c的长； (2)在（1）的条件下，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】（1）先利用三角形三边关系确定的取值范围，再结合为小于的偶数的条件求出的值； （2）根据边长特征判断三角形形状． 【详解】（1）解：∵在中，三边长为，，，且，， ∴ ，即 ， ∵为小于的偶数， ∴，即的长为； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴是等腰三角形． 13．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是边的中点，点，分别在线段，上，且． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，点在线段的垂直平分线上，求的度数． 【答案】(1)平行，理由如下： ∵是边的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）先证明，再结合等腰三角形的定义进行等量代换证明平行； （2）先根据平行线的性质得到，然后由线段垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形的定义以及三角形内角和定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∵点在线段的垂直平分线上， ∴ ∴ ∴ 14．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，四边形的对角线，交于点，点在上，，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； (2)∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 【分析】（1）通过角的和差关系得到，再结合已知条件用证明，从而证得； （2）根据等腰三角形三线合一得到，结合可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 15．（25-26七年级下·陕西西安·期末）【问题情境】 如图，在中，点在边上，连接，以为直角边向右作直角，其中，，与交于点． 【问题梳理】 (1)如图1，若，，求的度数； 【问题探究】 (2)如图2，过点作于点，点为边上一点，过点作交于点，连接，延长至点，使得，连接，若，求线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴． ∴ ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【分析】（1）根据已知角度可得到，进而得到，接着在中，根据已知角得到，最后根据等边对等角求出的度数． （2）首先根据已知条件，得出和的关系，然后运用两边及夹角相等判定和全等，得出对应边和对应角相等，通过代换得到，再次运用边角边定理判定和全等，得到，结合已知条件即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． （2）略 一、单选题 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）等腰三角形周长是，其中一边长是，则等腰三角形的底边长是（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况讨论，将边长为的边分别作为腰长和底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到底边长的所有可能结果． 【详解】解：情况：若边长为的边是等腰三角形的腰长； ∵周长为， ∴底边长为， ∵，满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时底边长为； 情况：若边长为的边是等腰三角形的底边长，则腰长为， ∵，满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时底边长为； 综上，等腰三角形的底边长为或． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形中，，，分别是的中线和高，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用垂线的定义求出顶角的度数，再利用等腰三角形“三线合一”的性质求解． 【详解】解：是的高， ， ． ∵， ． ，是的中线， 平分， ． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，垂直平分，分别交、于点、，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得出，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，进而得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 5．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，点E是边AB的中点，点P是AD上一动点，连接PB、PE，已知，则最小值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】利用等边三角形的性质和轴对称，将转化为，根据两点之间线段最短，确定最小时的情况，进而求解． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形的角平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当、、共线时，最小，即最小，最小值为的长． 又∵是中点，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴． 二、填空题 6．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，是的中线，，则的度数为_______． 【答案】/40度 【分析】根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴，即， ∵， ∴ 7．（25-26七年级下·河北承德·期末）已知等腰三角形的一条边长是4，另一条边长是7，那么这个三角形的周长是__________． 【答案】15或18 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分为腰长和底边两种情况讨论，结合三角形三边关系判断能否组成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当为腰长时，三角形的三边长分别为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形，此时周长为， 当为底边时，三角形的三边长分别为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形，此时周长为， 综上所述，这个三角形的周长是或． 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，中，，分别是、边上的垂直平分线，、相交于点，连接、、，已知，则的度数为_____°． 【答案】25 【分析】根据垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角，得到，求出，继而根据垂直平分线的性质与等边对等角进行求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，分别平分，交于点，过点作交于点，交于点．若，，则等于_______． 【答案】5 【分析】首先根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质可知，从而可知，根据等角对等边可证，同理可证，再根据线段的和与差求出的长度． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 10．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段、线段上运动，若，当最小时，的度数为________． 【答案】 【分析】连接，先证明得到，从而推出当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小，过点C作于点交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，、，同理可得，则，利用三角形外角的性质得到，进而得到，可知，求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小， 如图，过点C作于点交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，的度数为． 三、解答题 11．（2026·陕西西安·一模）如图，点在直线上，请用尺规作图法，作等腰直角三角形，使得点在直线上，点在直线外（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 【分析】过点作直线的垂线，再以为圆心，任意长为半径画弧，分别交和直线的垂线于点，即可． 【详解】略 12．（2026·陕西渭南·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在边上，连接、，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【分析】先利用平行线的性质、等角对等边以及相关已知条件证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】略 13．（2026·江苏南通·三模）如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明即可； （2）根据三角形外角的性质可得，利用全等三角形的性质即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26七年级下·河南开封·期末）综合与实践 【问题情境】 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后到达空间站．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 【数学建模】：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作关于能源站所在直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 【推理论证】：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． 【问题解决】 (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的，转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 【答案】(1)；；； (2)如图， 即为最短路径； (3)过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【分析】（1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将转化为，再结合三角形三边关系，证明该线段长度为最小值； （2）通过作两点关于两直线的对称点，将折线转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径即可； （3）过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 15．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【初步感知】 (1)如图①，在中，，，D是外一点，且于点D．数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：过点B作，交的延长线于点E，可以构造全等三角形，则与的数量关系是_________________； 【问题探究】 (2)如图②，在中，，，点E在边AB上，于点D，若，，求的面积； 【问题解决】 (3)如图③，是某公园的一片玫瑰园，，，为了进一步满足市民游玩需求，现要对玫瑰园进行扩建，在小路的延长线上的点D处修建了一座观景塔，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作，，在小路与的交点处修建游客服务中心F，求小路与之间的数量关系．（观景塔及游客服务中心大小忽略不计）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用证明，再利用全等三角形的性质即可解答； （2）如图2：过B作于F，则，利用证明可得，再求得，最后利用三角形的面积公式求解即可； （3）如图：过E作于H，则，即，证明，易得、，再证明可得，即，进而完成解答． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ∴，， ， 又∵， ∴， ． （2）解∶如图2：过B作于F，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为． （3）解：如图：过E作于H，则，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ， ∴，即， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $