第2章 特殊三角形（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 聚焦特殊三角形单元，以轴对称、直角三角形性质及应用为核心，融合无人机表演、台风预警等真实情境与《蝶几图》文化素材，梯度设计基础巩固与创新应用，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形识别、逆命题、勾股定理基础|结合数学美情境，考查几何直观与概念辨析| |填空题|6/18|尺规作图、角平分线性质、台阶最短路径|融入传统文化，强化空间观念与模型意识| |解答题|8/72|全等证明、旋转动态几何、台风影响判断|设计分层探究（如旋转三角尺面积变化），突出推理能力与应用意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章特殊三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.数学之美，美不胜收.下列所示图案中，属于轴对称图形的是() 阿基米德螺旋线 笛卡尔心形线 赵爽弦图 D 斐波那契螺线 2.关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是() A.逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B.逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C.逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D.逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 3,下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是() A.2,3,4 B.5,6,7 C.3,4,5 D.1,2,3 4.马年春节期间，“凤鸣曲周”无人机表演在河北省曲周县凤凰文体中心震撼上演.在彩排期间，小冀 在平地上操控无人机，从点A处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点B处，如图所示，则点A 与点B之间的距离是() 777777777777777777 A.3 B.4 C.5 D.6 SABD =24 5.如图，在四边形 中，BD平分∠ABC,CD1BC,点E在边BC上，DE=MD,若 ABCD. Sn=1B则Sa的值为（) ,则 118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E A.5.5 B.6.5 C.11 D.12 6.如图，将长方形纸片ABCD沿着EF折叠，点A,B分别落在A',B处，A'B交AD于点G.如果 ∠EFB=a,则∠A'GE的度数为() D B E 1 A.90°- B.2a-90° D.2@ 7.如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，BD=4CD=4,以AB为腰在AB的左侧作等腰Rt△ABE, ∠ABE=90°，连接EC,则△EBC的面积为() 4 D A.8 B.10 C.12 D.14 8.如图，点c是∠40B内的一点，点S,C分别是点C关于OA,O 的对称点， CC交0A于 于点D,交 OB于点B.若 CC2 =12cm CDE的周长是()m ,则 A.12 B.13 C.15 D.18 218 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=4,其面积为12，AC的垂直平分线EF分别交AB,AC边于点 E,F,若点D为BC边的中点，点P为线段EF上的一个动点，则△PCD周长的最小值为() D A.12 B.10 C.8 D.6 10.己知：△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,C、D、E三 点共线，连接BD、BE.给出四个结论：①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE:④ BE=AE+AC其中正确的结论个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.如图，己知。ABC,按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于2 BC的长为半径作弧，两弧相 交于两点M、N;②作直线MN交AB于点D,连接CD.若∠ACD=90°，BD=3,AC=4,则△ACD的 周长为 M B 12.如图，AB=AC,∠BAC=90°，BE⊥AD于点E,CD⊥AD于点D.若BE=8,CD=3,则DE的长 是 318 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 l3.如图，三级台阶每一级的长宽高分别是5cm,3cm和lcm,A和B是这个台阶的两个相对的端点，点 A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 cm 5 14.《蝶（同“婕”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集，如图为某蝶几设计图，其中△ADC 和△ABC为两个全等的等腰直角三角形，且点F与点B关于直线CE对称，分别连接CF、DF,若 ∠CFD=25°，则∠BCE= 年 睫 几 固 15.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB=∠BAD,AE平分∠CAD,交BC于点E,过点 E EFAC 作 C,分别交4、4D于点F、G,则下列结论正确的是 ①LBAC=90°；②∠AEF=∠EAD:③∠BAE=∠BEA:④∠AEF=30°. E D 16.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,点D为BC边的中点，EF为AB边的垂直平分线，分别交 AB于点B,交AC于点F,点M为EF上任意一点.若等腰三角形ABC的面积为40，BC=8,则 BM+DM的最小值为 418 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) I7.如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在△ABC外，连结AD,AE,DE,DE交AB于点F, ∠DAB=∠EAC,∠B=∠D,AD=AB. E (I)求证：△ABC≌△4ADE (2)若∠EAC=30°，∠BAE=35°，求∠D的度数. 18.如图，一架无人机悬停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB=24米，点A与地面上点C (点B,C处于同一水平面上)的距离AC=26米，且BC=10米. A (1)求∠ABC的度数： (2)现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，连接CD,当点D恰好在边AC的垂直平分线上时， 求这架无人机向下飞行的距离AD的长. 19.如图，在△ABC中，AB=15,BC=12,AC=9.延长AC到点D,连接BD. 518 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ()求证：AD⊥BC: (2)若命题“线段BD比线段CD长8”是真命题，求线段AD的长， 20.我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形 成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B,已知点C为一海 港，且点C与直线AB上A,B两点的距离分别为300km和400km,且AB=500km,以台风中心为圆心周 围250km以内为受影响区域： C A B (1)求证：∠ACB=90°： (2)海港C受台风影响吗？为什么？ 21,己知△ABC,∠B=90°，CD平分∠ACB交AB于点D D B (I)如图I,过点D作DE⊥AC于点E,说明：△BCD≌aECD: (2)如图2，在(1)的条件下，延长ED交CB的延长线于点F,说明：CF=AC; (3)如图3，点H为AC上一点，连接DH,AC+CH=10,AD=DH,求BC的长 22.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线1经过点C,过A作AD⊥1，垂足为D,过B 作BE⊥I,垂足为E. 618 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (I)求证：△ADC≌△CEB. (2)若AD=5,DE=13,求BE的长； (3)如图2，延长AD至F,连接CF,过点C作CG⊥CF,且CG=CF,连接BG交直线I于点H,若 S.cm=12,CD=6,求4F的长。 23.如图，己知在直角△ABC中，∠ABC=90°，E为AC边上一点，连接BE,过E作ED⊥AC,交BC 边于点D F G E E D B D B D B 图1 图2 图3 (I)如图2，作∠ABC的角平分线交AC于点F,连接DF,若∠BDE=∠CDF ①求证：△ABF≌aDBF: AE+DE=2BE ②求证： (2)如图3，若∠C=45°，将△BCE沿BE折叠，得到△BEF,且BF与AC交于点G,连接AD,DF,点E DE 在AC边上运动的过程中，当BF⊥AC时，请求出DA的值. 24.在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=90°，把一块含30°角的三角尺DEF的直角顶点D放在AC的中 点上（三角尺的短直角边为DE,长直角边为DF),将三角尺DEF绕点D按逆时针方向旋转. 718 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Bh B ① ② ③ (I)在图①中，DE交AB于点M,DF交BC于点N, ①求证：DM=DN: ②在这一过程中，三角尺DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN,请说明四边形DMBN的面积是否发 生变化，若发生变化，请说明是如何变化的：若不发生变化，求出其面积. (2)将三角尺继续旋转至如图②的位置，延长AB交DE于点M,延长BC交DF于点N,DM=DN是否仍 然成立？若成立，请给出证明.若不成立，请说明理由. (3)继续旋转至如图③的位置，延长FD交BC于点N,延长ED交AB于点M,将三角尺DEF绕点D按逆 时针方向任意旋转的过程中，连接MN, ①判断△DMN的形状是否发生变化，若不变化，直接写出它的形状： ②△DMN的面积是否存在最小值？若存在，直接写出面积的最小值 818 第2章 特殊三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．数学之美，美不胜收．下列所示图案中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A，C，D：沿着任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能互相重合，因此不是轴对称图形，故A，C，D不符合题意； B：沿着竖直居中的直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，因此它是轴对称图形，故B符合题意． 2．关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 【答案】A 【分析】先找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换得到逆命题，再和选项对比得到答案． 【详解】解：原命题“同旁内角互补，两直线平行”中，条件为“同旁内角互补”，结论为“两直线平行”. ∵逆命题的定义是将原命题的条件与结论互换得到新命题， ∴该命题的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”. 对照选项可知A正确． 3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．5，6，7 C．3，4，5 D．1，2，3 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，若三角形三边满足最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可得出答案． 【详解】解：A选项，，，，不能构成直角三角形，不符合题意； B选项，，，，不能构成直角三角形，不符合题意； C选项，，，，能构成直角三角形，符合题意； D选项，，不满足三角形三边关系，且，不能构成直角三角形，不符合题意． 4．马年春节期间，“凤鸣曲周”无人机表演在河北省曲周县凤凰文体中心震撼上演．在彩排期间，小冀在平地上操控无人机，从点A处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点B处，如图所示，则点A与点B之间的距离是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】依题意，根据勾股定理可得点A与点B之间的距离是． 5．如图，在四边形中，平分，，点在边上，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，过点作于点，由角平分线的性质可得，证明，则有，同理可得，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，同理可得， ∴， 即， ∴， 故选：． 6．如图，将长方形纸片沿着折叠，点，分别落在，处，交于点．如果，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，，，求出，根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵将长方形纸片沿着折叠，点，分别落在，处，交于点． ∴，，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，在中，为边上的高，，以为腰在的左侧作等腰，，连接，则的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】过点作，交的延长线于点，根据一线三垂直模型证得，得到，套用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为边上的高，是等腰三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是（     ） A．12 B．13 C．15 D．18 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质可得，再由三角形的周长公式可得答案． 【详解】解：由轴对称的性质可得， ∴的周长． 9．如图，在中，，，其面积为12，的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，则当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，据此可得答案． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， ∴的周长的最小值为． 10．已知：与都是等腰直角三角形，，，，三点共线，连接、．给出四个结论：①；②；③；④其中正确的结论个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】证明，即可判断①；由全等三角形的性质得，由等腰直角三角形的性质得，即得到，即可判断②；由②可得，即可判断③；根据三角形的三边关系可判断④，综上即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵，， ∴， 即，故④错误； 综上，正确的结论有①②③，共个． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，已知，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．若，，，则的周长为__________． 【答案】12 【分析】首先利用垂直平分线的性质得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：由作图得，垂直平分 ∴ ∵， ∴ ∴的周长为． 12．如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 【答案】5 【分析】首先证明，得到，再利用，求解即可． 【详解】解：∵， ，， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 13．如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 【答案】13 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点B最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得，， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是； 故答案为：13 14．《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集，如图为某蝶几设计图，其中和为两个全等的等腰直角三角形，且点与点关于直线对称，分别连接，若，则 __________． 【答案】 【分析】根据全等三角形性质得出，，利用对称性质得出，进而得到，利用等腰三角形性质求出，最后利用角的和差关系及对称性求解． 【详解】解：和为两个全等的等腰直角三角形， ，， ， 点与点关于直线对称， ，， ， ， ， ， ． 15．如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、，则下列结论正确的是________． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的定义、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故①正确； 平分， ， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ， ， ， 不一定等于， 不一定等于， 故④不成立； 综上所述，结论正确的是①②③． 16．如图，在等腰三角形中，，点D为边的中点，为边的垂直平分线，分别交于点E，交于点F，点M为上任意一点．若等腰三角形的面积为40，，则的最小值为_______． 【答案】10 【分析】连接，由三线合一定理得到，根据三角形的面积公式求出；根据线段垂直平分线的性质得到，则可推出当A、M、D三点共线时，有最小值，最小值为10． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在等腰三角形中，，点D为边的中点， ∴， ∵等腰三角形的面积为40，， ∴， ∴； ∵为边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当A、M、D三点共线时，有最小值，最小值为10． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．如图，在中，点在上，点在外，连结，，，交于点，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)， ， ， 又，， ； (2) 【分析】（1）利用“角边角”即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， 又， ， 又， ∴， ， ． 18．如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当点恰好在边的垂直平分线上时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 【答案】(1) (2)这架无人机向下飞行的距离的长为米 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，在中，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是直角三角形，． （2）解：设米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米，米，                         在中，， ，                                 解得， 答：这架无人机向下飞行的距离的长为米． 19．如图，在中，．延长到点D，连接． (1)求证：； (2)若命题“线段比线段长8”是真命题，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵，，， ， 即， ∴是直角三角形，， ∴． (2)14 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形从而证明结果； （2）设为x，再表示的长，利用勾股定理构造方程求出的长度，进一步解出线段的长． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴, ∴． 20．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)证明：，，， ． 是直角三角形，即； (2)解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 21．已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 【答案】(1)解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； (2)解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3)5 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，即可得出结果； （3）作于点，由全等得到，由（1）可知，进而得到，根据线段的和差关系得到，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴. 22．如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线l于点H，若，，求的长． 【答案】(1)证明：直线经过点，，垂足为，，垂足为， ， ， ， 在和中， ， ； (2)8 (3)8 【分析】（1）由，，得，因为，所以，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，因为，所以； （3）作于点，则，由，推导出，而，可证明，得，，则，再证明，得，由，求得，则，即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的长是． （3）解：如图，作于点，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 线段的长为． 23．如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点．          (1)如图，作的角平分线交于点，连接，若 ①求证：； ②求证：； (2)如图，若，将沿折叠，得到，且与交于点，连接，，点在边上运动的过程中，当时，请求出的值． 【答案】(1)①证明：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ②证明：过点作交的延长线于点， 由（1）可得 ， ， ， ， ， ，， ，， ； (2) 【分析】（1）①通过角度转换得到，再通过角平分线的定义可得，即可解答； ②过点作交的延长线于点，证明，再根据等腰直角三角形的三边关系即可解答； （2）连接，证明，可得，再得，证明，推出，则可得证明为等腰直角三角形，即可解答． 【详解】（1）①略；②略 （2）解：如图，连接， ∵， ∴, 当时， ∴， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵将沿折叠，得到， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 24．在中，，，把一块含角的三角尺的直角顶点放在的中点上（三角尺的短直角边为，长直角边为），将三角尺绕点按逆时针方向旋转． (1)在图①中，交于点，交于点． ①求证：； ②在这一过程中，三角尺与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化，若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积． (2)将三角尺继续旋转至如图②的位置，延长交于点，延长交于点，是否仍然成立？若成立，请给出证明．若不成立，请说明理由． (3)继续旋转至如图③的位置，延长交于点，延长交于点，将三角尺绕点按逆时针方向任意旋转的过程中，连接， ①判断的形状是否发生变化，若不变化，直接写出它的形状； ②的面积是否存在最小值？若存在，直接写出面积的最小值． 【答案】(1)①证明：连接． 是等腰直角三角形，，，为中点， ∴，，，， ∴， ∴ ． 在与中， ， ． ②四边形的面积不发生变化． 由①知． ， ． ∵，点D是的中点， ∴， 四边形的面积为． (2)解：仍然成立．证明如下： 连接． 由①知，，， ∴，即 ． (3) ①解：的形状不变，是等腰直角三角形，理由略 ②的面积存在最小值，最小值为 【分析】（1）①连接，根据等腰三角形的性质得到，，，根据同角的余角相等得到，即可证明，从而得证结论； ②由得到，因此，求出的面积，得出的面积，即可解答； （2）连接，同（1）证明即可； （3）①连接，根据对顶角相等得到，由（1）①得到，因此是等腰直角三角形； ②由得到当时取得最小值，此时的面积最小．根据的面积求出的最小值，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）①的形状不变，是等腰直角三角形，理由如下： 连接， ∵， ∴， 由（1）①有， ∴， ∴是等腰直角三角形． ②解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴若，则取得最小值，此时的面积最小． 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为1，的面积最小为． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章特殊三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 1 2 4 5 6 8 10 答案 B A C C A B B A C C 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.12 12.5 13.13 14.20° 15.①②③ 16.10 三、解答题(（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(I):∠DAB=∠EAC ∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE. ∴.∠DAE=∠BAC 又AD=AB,∠D=∠B, :AABC2aADE(ASA）,-一4分 (2)40° 【分析】(1)利用“角边角”即可证明△ABC≌△ADE: (2)根据全等三角形的性质可得AE=AC,再由等腰三角形的性质可得∠AEC=∠C=75°，即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：△ABC2AADE, :AE=AC, 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AEC=∠C, 又：∠EAC=30° .∠AEC=∠C=75° 又：∠BAE=35°， .∠BAC=65°， .∠B=180°-∠BAC-∠C=40°， .∠B=∠D=40°.-----8分 18.(1)∠ABC=90° 169 (②)这架无人机向下飞行的距离D的长为12米 【分析】(1)根据勾股定理的逆定理即可解答； (2)设AD=x米，在Rt△BDC中，利用勾股定理列方程即可求解. 【详解】(1)解：AB2+BC2=242+102=676,AC2=262=676, ∴.AB2+BC2=AC2 △ABC是直角三角形，∠ABC=90°.—4分 (2)解：设AD=x米， ,点D恰好在边AC的垂直平分线上， :CD=AD=x米， BD=(24-米 在Rt△BDC中，DC2=BD+BC2, .x2=(24-x)2+102 解得x19。 169 答：这架无人机向下飞行的距离4D的长为12米.一8分 19.(1)证明：：AC=9,BC=12,AB=15, 92+122=81+144=225=152 2/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， .AD⊥BC.4分 (2)14 【分析】(1)利用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形从而证明结果； (2)设CD为x,再表示BD的长，利用勾股定理构造方程求出CD的长度，进一步解出线段AD的长. 【详解】(1)略 (2)解：设CD=x,则BD=x+8, ,在RtABCD中，BC2+CD2=BD2, :122+2=(x+82 解得x=5, CD=5, .AD=AC+CD=9+5=14.8分 20.(1)证明：：AC=300km,BC=400km,AB=500km, .AC2+BC2=AB2 :△ABC是直角三角形，即∠ACB=90°；—4分 (2)解：海港C受台风影响，理由如下 如图，过点C作CD LAB于D, C .CD 1 :CD=4C:BC_300x400=240(km）. AB 500 .250>240 ∴海港C受台风影响.-—8分 【分析】(1)利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形： (2)过点C作CD⊥AB于D,再利用三角形面积得出CD的长，结合题意，即可求解. 3/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)略 21.(I)解：：DE⊥AC, .∠AED=∠CED=90°=∠B, ,CD平分∠ACB, .∠ACD=∠BCD, 又CD=CD」 .△BCD≌AECD(AAS) --2分 (2)解：·∠ABC=90° .∠ABF=90°=∠AED .∠BDF=∠ADE, .∠A=∠F, .∠ACD=∠BCD,CD=CD. △ACD≌AFCD(AAS) .CF=AC:--5分 (3)5 【分析】(I)利用AAS证明△BCD≌△ECD即可； (2)证明△ACD≌aFCD,即可得出结果； (3)作DE⊥AC于点E,由全等得到AH=2AE,由(I)可知△BCD≌△ECD,进而得到CE=BC,根据 线段的和差关系得到AC+CH=2BC=10,即可得出结果， 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：作DE⊥AC于点E, A .∠AED=∠DEH=90°， 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=DH,DE=DE, RIAADE≌Rt△HDE(HL) .AE=EH, .AH =2AE, 由(I)可知，△BCD≌AECD .CE=BC. .AC=CE+AE=BC+AE, .AC+CH=AC+AC-AH =2BC+2AE-AH=2BC+AH-AH =2BC=10. BC=5.—8分 22.(I)证明：直线I经过点C,AD⊥1，垂足为D,BE⊥1，垂足为E, ∴.∠ADC=∠CEB=90°. :∠ACB=90°， .∠CAD=∠BCE=90°-∠ACD, 在△ADC和△CEB中， ∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠CEB AC=CB .△ADC≌△CEB(AAS) 3分 (2)8 (3)8 【分析】(1)由AD11,BE⊥1，得∠ADC=∠CEB=90°，因为∠ACB=90°，所以 ∠CAD=∠BCE=90°-∠ACD,而AC=CB,即可根据AAS证明△ADC≌△CEB: (2)由全等三角形的性质得AD=CE=5,因为DE=13,所以CD=BE=DE-CE=8； (3)作GL⊥I于点L,则∠CLG=∠FDC=∠BEH=90°，由CG⊥CF,推导出∠LCG=∠F,而GC=CF, 可证明△CLG≌△FDC,得GL=CD=6,CL=FD,则GL=BE,再证明△GHHL≌aBHE,得HL=HE,由 Sm方6C1=l2,求得CH=4:剥CB+Ca=20l=8:雨可求相A=8 【详解】(1)略 (2)解：由(1)得△ADC≌△CEB, 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=CE=5,CD=BE, .DE=13 .CD=BE=DE-CE=13-5=8. BE的长是8， -5分 (3)解：如图2，作GL⊥1于点L,则∠CLG=∠FDC=∠BEH=90°， D G 图2 ·.CG⊥CF ∠FCG=90°， .∠LCG=∠F=90°-∠FCD 在aCLG和△FDC中， ∠CLG=∠FDC ∠LCG=∠DFC CG=FC ∴.ACLG≌AFDC(AAS) ∴.GL=CD=6.CL=FD .CD=BE, ∴.GL=BE, 在△GHL和△BHE中， ∠GHL=∠BHE ∠GLH=∠BEH GL=BE ∴.△GHL≌△BHE(AAS) .HL=HE, 1 .S.comCH·GL=x6CH=12 2 2 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴CH=4, .CE=CH-HE,CL=CH+HL=CH +HE, .CE+CL=CH-HE+CH+HE=2CH=8, AD=CE,FD=CL ∴.AF=AD+FD=CE+CL=8. ∴线段AF的长为8 --10分 23.(I)①证明：∠BDE=∠CDF, ∴.∠CDE=∠BDF. :DE⊥AC, .∠DEC=∠ABC=90°， .∠A+∠C=∠EDC+∠C=90°， .∠EDC=∠A, .∠A=∠BDF, BF平分∠ABC, .∠ABF=∠DBF, BF=BF, ∴△ABF≌ADBF(AAS) 3分 ②证明：过点B作BT⊥BE交ED的延长线于点T, E D B 由(1)可得△ABF≌ADBF .AB=BD :∠ABC=∠EBT=90°， .∠ABE=∠DBT, 7/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BDT=∠CDE=∠A, △ABE≌aDBT(ASA) :AE=DT,BE=BT, .AE+DE=DT+DE=ETET=√BE2+BT2=√2BE .AE+ED=2BE -6分 DF 2 (2)DA2 【分析】(I)①通过角度转换得到∠A=∠BDF,再通过角平分线的定义可得∠ABF=∠DBF,即可解答； ②过点B作BT⊥BE交ED的延长线于点T,证明 ABE≌ADBT(ASA) 再根据等腰直角三角形的三边关 系即可解答： (2)连接AF,证明EF=ED,可得∠EFD=22.5°，再得∠AFD=90°，证明 △AED≌△ABD(HL) 推出 ∠FDA=45°，则可得证明△DFA为等腰直角三角形，即可解答. 【详解】(1)①略；②略 (2)解：如图，连接AF, G B .∠ABC=90°，∠C=45°， .∠BAC=45° 当BF⊥AC时，∠BAC+∠C=∠ABG+∠BAC=90° ∴.∠ABG=∠C=45°， ∴.∠CBG=45°， ,将△BCE沿BE折叠，得到△BEF, .CE=FE,BC=BF,∠EFB=∠C=45°， 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BC=BF=BA, ·∠AFB=180°-ABF =67.5° 2 .:∠EFB=∠C=45°， .∠FEG=45°， :DE⊥AC, ∴LEDC=LC=45°，∠FED=∠FEG+∠AED=135 ∴.CE=ED=EF, ∠EFD=∠EDF-180°-∠FED=225° 2 .∴∠DFA=∠EFB+∠AFB-∠EFD=90°， ,将△BCE沿BE折叠，得到△BEF, ∴∠FBE=∠CBE=∠FBC=22.50 2 ∠AEB=∠C+∠CBE=67.5°，∠ABE=∠ABG+∠FBE=67.5°， ∴.∠AEB=∠ABE, ..AE=AB, ·'∠AED=∠ABD=90°，AD=AD, ∴△AED≌△ABD(HL) :∠ADE=∠ADB=180°-∠EDC=67.5 2 ∴.∠ADF=∠ADE-∠EDF=45° ∴△FAD为等腰直角三角形， .DF√2 DA2.-10分 24.(1)①证明：连接BD 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是等腰直角三角形， ,为中点， ① ·△ABC AB=BC∠ABC=90°DAC 六∠A=∠C=450,BD1AC, BD=AD=D-4C,∠AD=∠CBD-ABC=-4S, ∴.∠BDC=90° ∴.∠CDW+∠BDN=90° ∠EDF=90° .∴.∠MDB+∠BDW=90° ∴.∠MDB=∠CDN 在△BDM与△CDN中， ∠MBD=∠C BD=CD ∠MDB=∠NDC' ∴aBDM≌aCDW(ASA) .DM=DN -3分 ②四边形DMBN的面积不发生变化. 由①知△BDM≌△CDN, ·SARDM=SACDN ∴.S网边形DMBN=S,BnM+S,BDN=S,cDN+S,BDN=S,BC 5m号4B8C=*2x2=2,点D是AC的中点 1 1 ×2=1 ∴四边形DMBN的面积为l.--6分 (2)解：DM=DN仍然成立.证明如下： 10112 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接BD M 由①知BD=CD,∠MDB=∠CDN,∠ABD=∠ACB=45° .180°-∠ABD=180°-∠ACB,即∠DBM=∠DCN=135 ∴△BDM≌ACDN(ASA) DM=DN.---9分 (3) ①解：△DMN的形状不变，是等腰直角三角形，理由略 1 ②△DMN的面积存在最小值，最小值为2 【分折】（山)①连接BD根据等腰三角形的性质得到∠MBD=∠C=4S,BD=AD=D=)4C。 2 ∠BDC=90° 根据同角的余角相等得到∠MDB=∠CDN,即可证明 BDM≌aCDN(ASA) 从而得证结 论； ②由△BDM≌ACDN得到8aw-S.a,因ts=S.r,求△1BC的面积，得出ABDC的面积 即可解答； (2)连接BD,同(1)证明 BDM≌ACDN(ASA)即可； (3)①连接BD,根据对顶角相等得到∠MDN=90°，由(1)①得到DM=DN,因此△DMN是等腰直角 三角形： ②白S.nwDM-DN=号DN得到当DN⊥BC时DV取得最小值，此时△DMN的面积最小.根据 2 △BDC的面积求出DN的最小值，即可解答. 【详解】(1)略 (2)略 (3)①△DMN的形状不变，是等腰直角三角形，理由如下： 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接BD, A B :∠EDF=90°， ∴.∠MDN=∠EDF=90°， 由(I)①有△BDM≌△CDN, .DM DN, ∴.△DMN是等腰直角三角形. ②解：，△DMN是等腰直角三角形，DM=DN, -IDM.DN-IDN' .S.DAw 21 ∴若DN⊥BC,则DN取得最小值，此时△DMN的面积最小. 当DN⊥BC时，S.c-号BC-DN 2 SAnCD=1,BC=2, “2x2DN=1 .DW=1, ÷Dv的城小位为1，△DwN的面积最小为am0N-×r 2 2-12分 12112