第2章 特殊三角形 单元提升卷 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦特殊三角形单元复习，融合传统文化（如花卉纹样轴对称）与生活应用（如简便衣架），通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，考查等腰三角形、直角三角形、全等三角形等核心知识，适配初中数学单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|轴对称图形、直角三角形性质、全等三角形判定|第1题以传统文化纹样考轴对称，第5题辨析假命题强化概念理解| |填空题|6题/18分|逆命题真假、等腰三角形周长、网格角度计算|第15题结合衣架设计考等边三角形性质，体现应用意识| |解答题|8题/72分|作图、全等证明、动态几何（旋转）|第24题旋转背景下探究等腰三角形存在性，提升推理与创新能力|

第2章 特殊三角形 单元提升卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．在中国传统文化中，有一种特殊的花卉纹样．下列四个花卉纹样分别代表玉簪花、杏花、水仙花和茶花其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，是斜边上的高线，，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，若则下列结论中不成立的是（　　） A． B． C．DA平分 D． 4．如图，在AB、BC、CD、DE中是四根长度相同的小木棒，A、C、E三点共线，BC⊥CD于点C，若AC=6，CE=8，则一根小木棒的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 5．下列命题中，假命题是（　　） A．面积相等的两个三角形全等 B．等腰三角形的两底角相等 C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D．直角三角形的两个锐角互余 6．已知一个等腰三角形的两边长分别是3和6，则该等腰三角形的周长为　　 A．15 B．12 C．12或15 D．9或15 7．在锐角中，，，高，则BC的长度为（　　） A．16 B．15 C．14 D．13 8．如图，D、E为等边△ABC边AB、BC上的点，连结DE，∠ADE和∠DEC的角平分线恰好过 AC边上同一点F。若要知道△ABC 的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长?该三角形是（　　） A．△ADF B．△BDE C．△CEF D．△DEF 9．如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 10．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，给出结论：①；结论②．下列判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 二、填空题（每题3分，共18分） 11．命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是　 　（填“真”/“假“”）命题 12． 周长为13，那么边长为整数的等腰三角形共有　 　个. 13．如图，在中，点D，E在上，，，若，则的度数为　 　． 14．如图是边长均为的小正方形网格，，，，均在格点上，则　 　． 15．校园科技节上，小华展示了一件小发明作品——“简便衣架”.该衣架在使用时能轻松地收拢，套进衣服后松开即可.如图①，衣架杆OA=OB=20cm，当衣架收拢时，∠AOB=60°，如图②，此时A，B两点之间的距离是　 　cm. 16．如图，已知和，，点是的中点，连接，，，设．则当　 　时，为等边三角形．（用含的代数式表示） 三、解答题（共8题，共72分） 17．如图所示的直角三角形ABD是某等腰三角形对称轴的一侧，请补全该等腰三角形.(只需画出图形) 18．如图，在和中，已知，以及可以选择的条件①；②． （1）选择 条件（填序号）使得，并给出证明； （2）若边与交于点G，，，求的长． 19．如图，一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西25°的方向行驶20海里到达B地，再由B地向北偏西35°的方向行驶20海里到达A地，求A，C两地相距多少海里? 20．在中，D是的中点，，垂足分别为E、F，且．求证：是等腰三角形． 21．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，CE平分∠ACB． （1）直接写出∠ACE的度数． （2）若CD⊥AB于点D，∠CDF=75°，求证：△CFD是直角三角形． 22．我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且． （1）求证：． （2）由（1）可得伞圈在伞圈上滑动．如图1，伞打开时，；当伞缩拢到图2状态时，时，伞圈下滑的距离长是多少？ 23．已知：如图，在四边形中，，点是中点，连接、、，且． （1）求证：． （2）若，求证：是等边三角形． 24．如图，在中，，为上任意一点（不与点，点重合），连接．将绕点逆时针旋转至，且，连接，，与相交于点． （1）求证； （2）若，，求四边形的周长的最小值； （3）若，且，当为等腰三角形时，求的长． 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】轴对称图形 【解析】【解答】解：、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 、此选项中的特殊的花卉纹样是轴对称图形，故此选项符合题意； 、此选项中的特殊的花卉纹样不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故答案为：． 【分析】根据平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形，据此逐项分析即可． 2．【答案】C 【知识点】直角三角形的性质 【解析】【解答】解：∵是斜边上的高线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：C． 【分析】根据题意得，从而求出的度数. 3．【答案】D 【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【解答】解：A、∵， ∴， ∴， ∴，故A不符合题意； B、如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分，故C不符合题意； D、∵， ∴，故D符合题意； 故答案为：D． 【分析】根据全等三角形对应角相等得，从而得，即可判断A成立；根据全等三角形对应角相等以及三角形外角的性质得，即可判断B成立；根据全等三角形的性质以及等腰三角形“等边对等角”的性质得，即可判断C成立；根据全等三角形对应边相等得，即可判断D不成立. 4．【答案】A 【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：作BG⊥AC，DH⊥CE，如图， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ 同理： ∴ 在中， 故答案为：A. 【分析】作BG⊥AC，DH⊥CE，利用"AAS"证明，则最后利用勾股定理计算即可. 5．【答案】A 【知识点】等边三角形的判定；真命题与假命题；全等三角形的概念；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余 【解析】【解答】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，为假命题； BCD、说法均正确，为真命题； 故答案为：A. 【分析】全等三角形是形状和大小都相同的三角形，面积相等不一定全等. 6．【答案】A 【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念 【解析】【解答】当腰为3时，， 、3、6不能组成三角形； 当腰为6时，， 、6、6能组成三角形， 该三角形的周长为． 故答案为：A． 【分析】分腰为3和腰为6两种情况，先根据三边关系判断，然后计算周长即可． 7．【答案】C 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理 【解析】【解答】解：如图， AD是锐角△ABC的高， ，， 在中， 在中， 故答案为：C. 【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD长，在Rt△ACD中，由勾股定理求出CD长，然后根据线段的和差关系求BC长即可. 8．【答案】A 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：过点O作OG⊥AC于点G， OH⊥DE于点H， OM⊥BC于点M， 连接OE， GM， OC， 如图， ∵ DF是∠ADE的平分线， OG⊥AC， OH⊥DE， ∴OG=OH. 在Rt△DGO和Rt△DHO中， ， ∴Rt△DGO≌Rt△DHO(HL)， ∴DG=DH， ∵O为△ABC的内心， ∴CO平分∠ACB， ∵OG⊥AC， OM⊥BC， ∴OG=OM， ∴OH=OM. 在Rt△CGO和Rt△CMO中， ， ∴Rt△CGO≌Rt△CMO(HL)， ∴CG=CM. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴△CGM为等边三角形， ∴CG=CM = MG. ∵O为正△ABC的内心， 在Rt△EHO和Rt△EMO中， ， ∴Rt△EHO≌Rt△EMO(HL)， ∴EH=EM， ∴△CDE的周长=CD+DE+CE =CD+DH+EH+CE =CD+DG+EM+CE =CG+CM =2CG = AC. ∴△ABC的周长 =AB+AC+BC=3AC=3△CDE的周长， ∴要知道△ABC的周长，则只需要知道△CDE的周长即可. 故答案为：A. 【分析】过点O作 于点G， 于点H， 于点M， 连接OE， GM， OC， 利用三角形的内心是三个内角平分线的交点和角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，得到 ， 从而计算得到 的周长为AC，进而得出 的周长的周长，则结论可得. 9．【答案】B 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】 解：，，，，∴由勾股定理得， ∵将沿翻折，使得点C与点B重合． ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故选：B． 【分析】由勾股定理可知，由翻转的性质知、、，则在中求DE长，需知道BD长，又中，，再次利用勾股定理即可算出BD。当然也可以使用面积法来求DE，因为前面用勾股定理能算出BC与BD的长，则AD长就知道了，此时利用就可求出DE长。 10．【答案】A 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：由作图可得：平分，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故②正确， 故答案为：A． 【分析】由作图得到平分，，即可得到，然后根据同角的余角相等即可判断①；推导，得到，即可判断②． 11．【答案】假 【知识点】真命题与假命题；逆命题 【解析】【解答】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形互为全等三角形， 该逆命题为假命题， 故答案为：假. 【分析】根据逆命题即为将原命题的题设和结论交换位置，据此写出原命题的逆命题，进而即可判断. 12．【答案】3 【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定 【解析】【解答】解：周长为13， 边长为整数的等腰三角形 边长只能是：3，5，5；4，4，5；6，6，1；共3组. 故答案为：3 【分析】根据已知条件，利用三角形三边关系，结合边长是整数进行分析可得答案。 13．【答案】 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：∵AC= AE，BC=BD， ∴∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD， 设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°， ∴∠A=180°-2x°，∠B=180°-2y°， ∵∠DCE=180°-(∠AEC+∠BDC)=180°-(x°+y°)=20°， ∴x°+y°=160°， ∵∠ACB+∠A+∠B=180°， ∴∠ACB+(180°-2x°)+(180°-2y°)=∠ACB+360°-2(x°+y°)=∠ACB+360°-2×160°=180°， ∴∠ACB=140°， 故答案为：140°． 【分析】根据题意，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程，求解，即可得出结论. 14．【答案】 【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】解：观察得：，构造Rt△ABE和Rt△DCF，如图所示： 由网格可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【分析】在网格中利用勾股定理得AB=CD，构造Rt△ABE和Rt△DCF，由网格可知，，，可得，然后根据全等三角形的性质即可求解. 15．【答案】4 【知识点】等边三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵OA=OB=20cm，∠AOB=60° ∴△AOB是等边三角形 ∴AB=20cm 故答案为：20. 【分析】由OA=OB，∠AOB=60°可知△AOB是等边三角形，即可得出答案. 16．【答案】 【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：如图所示： ∵，点是的中点， ∴分别是的中线， ∴， 即， ∴， ∵为等边三角形， ∴， 即，， ∵，且， ∴， 则， 即， 则， 故答案为：． 【分析】先由斜边上的中线等于斜边的一半，得出，再结合等边三角形的性质，可得，，最后运用三角形的内角和性质列式计算化简，即可作答． 17．【答案】解：如图，即为所求. 【知识点】等腰三角形的对称性；尺规作图-等腰（等边）三角形 【解析】【分析】分两种情况进行讨论：当AD或BD所在直线作为等腰三角形对称轴时，根据等腰三角形的性质直接画出图形即可. 18．【答案】（1）解：选择②，证明如下： ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ． 【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】（1）选择②，先求出，然后依据“”即可得证结论； （2）根据全等三角形对应角相等得，由等腰三角形的判定得，最后根据线段和差关系计算即可． （1）选择②，理由： ∵， ， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ． 19．【答案】解：如图，连接AC，由已知得∠BCD＝25°，∠ABE＝35° ∵CD∥BE ∴∠EBC＝∠BCD＝25° ∴∠ABC＝∠ABE＋∠EBC＝35°＋25°＝60° ∵AB＝BC＝20 ∴△ABC是等边三角形 ∴AC＝AB＝20 即A，C两地相距20海里. 【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质 【解析】【分析】连接AC，由题意得：，根据平行线的现在得到：进而求出∠ABC的度数，即可证明△ABC是等边三角形，进而即可求解. 20．【答案】证明：∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；线段的中点 【解析】【分析】根据中点的定义可得到，再根据全等三角形判定定理可得，从而可得到，根据等角对等边可得到，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案. 21．【答案】（1） （2）证䎳：， . 又， . 又， ， 是直角三角形. 【知识点】垂线的概念；角平分线的性质；直角三角形的性质 【解析】【解答】解：（1）∵∠A=30°，∠B=60° ∴∠ACB=180°-30°-60°=90° ∵ CE平分∠ACB ∴∠ACE =∠ACB=45° 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得∠ACB=90°；根据角平分线的性子即可求得∠ACE 的值； （2）根据三角形内角和定理，可得∠BCD的值；根据有理数的减法运算，可直接得出∠DCF的值；最后再根据三角形内角和定理，可得∠CDF的值，即可判定三角形. 22．【答案】（1）证明：在和中，， ∴， ∴． （2）解：如图1，∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 如图2，设交于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 答：伞圈下滑的距离长是． 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】 （1）由于公共边，可结合已知利用“”证明，则； （2）由结合已知可证明是等边三角形，则，再由（1）的结论可知当时可证明是等边三角形，所以，设交于点，则，，利用勾股定理可得，再利用等腰三角形三线合一可得即可． （1）证明：在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图1， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 如图2，设交于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 答：伞圈下滑的距离长是． 23．【答案】（1）证明：∵是斜边上的中线，∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：在和中，点是中点，∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】（1）先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可； （2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，再由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可得，同理可得出，则，又，即可证明结论． （1）证明：∵是斜边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：在和中，点是中点， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 24．【答案】（1）证明：∵，，， ∴； （2）解：由（1）得， ∵四边形的周长， 所以当最小时，周长最小， ∴当时，周长最小， ，， ， 四边形周长的最小值是； （3）解：∵， ， ，又， ，， 如果为等腰三角形，分三种情况讨论： 当时， ， ，则点不存在； 当时， ，， ∴， 点为的中点， ∴； 当时， ， ， ， ， ， 综上得，当为等腰三角形时，的长为或． 【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】（1）利用即可证明； （2）当最小时，周长最小，即当时，周长最小，据此求解即可； （3）分当、和时，三种情况讨论，利用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定和性质求解即可． （1）证明：∵，，， ∴； （2）解：由（1）得， 因为四边形的周长 ， 所以当最小时，周长最小，即当时，周长最小， ，， 时， 四边形周长的最小值是； （3）解：∵， ， ，又， ，， 如果为等腰三角形，分三种情况讨论： 当时， ， ，则点不存在； 当时， ，， ∴， 点为的中点， ∴； 当时， ， ， ， ， ， 综上得，当为等腰三角形时，的长为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $