专题07 二次函数中线段、周长、面积最值问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建二次函数最值问题突破体系，提炼坐标转化、对称变换等核心方法，逻辑递进覆盖线段、周长、面积三类几何量。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|设动点坐标转化二次函数；对称化折为直；割补/铅垂高法|整合几何模型（将军饮马等）与函数性质，建立“几何量→代数表达式→最值”转化链| |题型归纳|5类（每类1典例+2变式）|线段：两点距离公式；线段和差：对称转化；周长/面积：函数建模+范围验证|从单一线段到组合图形，由静态到动态，渗透数形结合与分类讨论思想| |压轴挑战|6综合题|多知识点融合（平移/对称/面积比）|对接中考压轴命题趋势，强化复杂情境下的模型迁移与运算推理能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07二次函数中线段、周长、面积最值问题的五类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 题型五、利用二次函数求面积最值的问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：在抛物线背景下，求动点构成的线段长、图形周长或面积的最大/最小值，常涉及水平宽×铅 垂高、将军饮马等模型。 -解题方法：设动点坐标，用两点距离或铅垂高公式表示目标量，转化为二次函数；周长最值常用对称变 换化折为直：面积最值可用割补法或水平宽×铅垂高。 ~易错提醒：忽略自变量取值范围致顶点处取不到：水平宽×铅垂高公式中铅垂高符号处理错误；将军饮马 对称点选错；未区分线段与水平/竖直距离的代数表达。 ◆◆ 夙题型归纳 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 典例1(25-26九年级下河南安阳·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=心+bx(a≠0)的图象经 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过A(-2-10),B(3,0)两点. (1)求该抛物线的表达式： (②)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，过点P向x轴作垂线，交线段AB于点Q,求线段PO的最大 值： (3)连接OA,将线段OA沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度，若线段OA与抛物线无交点，请直接写出m 的取值范围。 题型模版 1.特征：在坐标系中，动点在函数图象上，求线段长度（如两点间距离）的最大值或最小值。 2方法：设动点坐标，用两点距离公式表示线段长度的平方，转化为二次函数，配方求顶点得最值。 空式11(2026湖北荆州二模)如图，抛物线"=+2r+ca<0)与产轴交于4，B,0 两点，与'轴交 C(0,3) 于点 点P是抛物线上的动点，过点P作PMLx轴交直线BC于点M,点P的横坐标为m VA B 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点. 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①求线段PM长度的最大值： ②若I≤m≤1+l,直接写出m取何值时线段PM的长度最大（可用含t的代数式表示m): (3)点P是'轴右侧抛物线上一点（不与点B重合），当点M关于直线PC的对称点N落在y轴上时，求点 P的坐标 变式12(2026河北邯都二模)二次函数如图，二次函数=(x-2-2图象的顶点为Q,恒过点 A(0,2 ，二次函数为=-(x-b+2b图象的顶点为P, (1)a= Q点的坐标 (2)若直线PQ与y轴的交点到x轴的距离为10，求b的值： (3)当Pp⊥x轴时，设两条抛物线交于点B,C(点B在点C左侧)，求四边形PBQC的面积： (④)线段PQ是否存在最小值，若存在，直接写出最小值，若不存在，请说明理由. 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 典例2(2026海南省直辖县级单位一模)如图，已知抛物线'=t+x+C过点 B(3,0)C(0,3) 和点 3/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B (1)求该抛物线的函数关系式； (2)已知点P是BC上方的抛物线上一点，作PD⊥x轴于点D,求PD+OD的最大值： (3)当m-1≤x≤m+2,函数y有最小值为0，求m的值. 题型模版 1特征：求两条或多条线段和的最小值，常含动点，需化曲为直或构造函数。 2方法：将军饮马作对称化折线为直线：或用二次函数表示线段和，配方求顶点，注意取值范围。 变式2-1(25-26九年级下河南南阳期中)如图，抛物线y=-x2+4ax+5a与x轴交于A,B两点，与y轴 C(0,5 交于点 ,P是抛物线上的任意一点，设点P的坐标为m心，过点P作PM上》轴于点M作 PN⊥x轴于点N. B (1)求抛物线的函数表达式， (②)当O<m<5时，是否存在一点P,使得PM+PN的长度最大？若存在，求出m的值及PM+PN的最大 值；若不存在，请说明理由。 (3)若在矩形PMON内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而增大，请直接写出m的取值范围. 变式2-2(2026安徽阜阳二模)平面直角坐标系中，如图1，二次函数y=2+bx+c的图象与x轴交于 4〔30），8两点，与'销交于声C,顶点为D,点P是能物战上4，C丙点之间的一动点 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA 图1 图2 图3 (1)求这个抛物线的解析式： (2)如图2，过点P作PE⊥AC于点E. ①求线段PE的最大值： E,EF⊥y ②如图3，过点作 于点F,设”=2PE+BF,求”的最大值。 F 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 典例3(2026河南周口模拟预测)已知抛物线'=ar+c+C经过4-，0)和B(4,0) 两点，其顶点为D E B (1)如图，当C=8 时，求抛物线'=ar+hx+c 的解析式 (2)点E在y轴正半轴上，且到原点的距离为2，当BD-ED最大时，求点D的坐标. 题型模版 1特征：求两条线段差的最大值，动点在函数图象上，常利用三角形三边关系或函数建模。 2方法：作对称点转化为共线问题（差最大用三角形三边关系），或用坐标表示差为二次函数求最值。 ▣mB(3,0)C(0,-3) 变式3-1(2026江苏宿迁二模)抛物线’=r+r+C经过点A、B、C,已知B 5/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： ②如图1，点D是抛物线对称轴上一动点，求当MD-C 取最大值时，点D的坐标； (3)如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点0重合，直线y=x+1(>0)与抛物线相交于点P、卫（点 P在左边)，过点P作x轴平行线交抛物线于点R,当k发生改变时，请说明直线QR过定点，并求定点坐 标. 变式3-2(2026湖北瘦阳一模)在平面直角坐标系中，抛物线'=-+6r+C的图象经过 0,3),B(6,3)两 点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作PD上x轴于点D,交直线OB于点C,设点P的 横坐标为. B 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，当点C为PD中点时，求m的值： d=PC-CD (3)令 ①求d关于m的函数解析式： ②当d随的增大而减小时，请直接写出的取值范围. 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 奥剑4(25-26九年级上黑龙江佳木斯期末)如图，抛物线'"=+r+C交x轴于点4L0),C3,0),交 y轴于点B. (1)求抛物线的解析式： (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标. 题型模版 1.特征：动点形成图形，求周长最大值或最小值，常需用函数表示各边之和。 2方法：设动点坐标，用两点距离公式表示各边，建立周长的二次函数，配方求顶点最值，注意几何约束。 =ax2+2x+c 变式41(2026黑龙江鸡西·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 A(-1,0) 与x轴交于 B(3,0) 两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点. B (1)求抛物线的表达式： (2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小，请直接写出点M的坐标； 变式42(25.26九年级下-江苏南京阶段检测)如图，抛物线'=+c+(a>0)与x箱交于点4(-，0) 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B(3,0) 与y轴交于点C,且B,C两点间的距离为32 B (1)求抛物线的解析式： (2)如图，点E是线段AB上一点（不与点A,B重合），过点E作EF⊥x轴，交抛物线于点F,过点F作 FG⊥y EOGF 轴，交y轴于点G,求四边形 周长的最大值及此时点B的坐标. 题型五、利用二次函数求面积最值的问题 典例5(2026甘肃平凉·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物 y=am2+5x+e(a、C为常数，且 a≠0)与*轴交于1(4,0)、B(-(0 两点，与》轴交于点C, 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点M是x轴下方抛物线上一点，连接AC、AM、CM,当△ACM的面积最大时，求点M的坐 标； 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图2，点E是抛物线对称轴上的动点，点F是y轴上的动点，在(2)的条件下，连接AF、EF、 EM,当△ACM的面积最大时，求AF+EF+ME的最小值， 题型模版 1特征：动点在函数图象上，求三角形或四边形面积的最大值或最小值，常选水平底或铅锤高。 2方法：设动点坐标，用铅锤法或割补法表示面积，建立二次函数，配方求项点最值并验证范围。 变式51(25-26九年级上湖北宜昌期末)如图，已知抛物线：y=-t+x+C与轴交于点 A(2m+1,0) 点B(m-2,0),与》轴交于点C,对称轴为直线= 和点 E A (备用图) 1)求b,c,m的值： (2)点P是直线AC上一动点（不与点A,C重合），过点P作PO‖y轴，交抛物线L于点O,若点E是点P 关于直线QC的对称点，且点E落在y轴上，求点P的横坐标； (3)直线I:y=a-3-4(k为不等于0的常数)与抛物线L交于点M,N,求△AMN面积的最小值. 变式5-2(2026四川内江·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=心2+br+c与x轴交于 A-3,0)、BL,0)两点，与y轴交于点C(0,-3). 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M:O B A 图1 图2 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)如图1，点D是直线AC下方抛物线上一个动点，求四边形ABCD面积的最大值及此时点D的坐标； (3)如图2，点N为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点M，直线y=x+k-I(k为常数) 交抛物线于E、F两点（点E、F分别在抛物线对称轴的两侧），直线NF交x轴于点P,直线NE 交x轴于点Q.试探究MP·MQ是否为定值？若为定值，求出MPMQ的值：若不是定值，请说明理由. ◆◆ 同压轴挑战一支克高难压轴，炎政思维上限 一、解答题 1.(25-26九年级上·河南周口期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=-x2-2x+3 的图象（记为 G)与挂交于点4，D,与y轴交于点C,三次函数=+x+C的图象（记为）经过点4，C,直线 =1与两个图象G,G分别交于点MN与精交于点P 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求b,c的值； (2)当点P在线段AO上时，求MN的最大值. 2.(2026河南周口·模拟预测)已知抛物线y=r+x+c经过 ,A(-1,0)B(4,0) 和 两点，其顶点为D 如图，当0=8时，求抛物线 =ax+bx+c 的解析式， (2)点E在y轴正半轴上，且到原点的距离为2，当BD-ED最大时，求点D的坐标 3.(2526九年级上云南曲靖期末)如图，抛物线)=+r+3与x轴交于 A(-1,0)B(3,0) 两点，与y 轴交于点C B (1)求抛物线的解析式： (2)点D是抛物线上一点，且 △MBn=8 ,求点D的坐标： (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请 说明理由。 y=x2+bx+c 4.(25-26九年级上·天津东丽期末)已知：二次函数 的图象与x轴交于A,B两点，其中A -3,0) 点坐标为 与轴交于点C,点D(-2-) 在抛物线上. 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求抛物线的解析式： (2)抛物线的对称轴上有一点P,使△PAD周长最小，求P点坐标； (3)Q为直线BD下方抛物线上一点，求△BDO面积的最大值： 5.（25-26九年级上广东惠州期中)如图，抛物线'=+hr+3a≠0 与x轴交于A,B两点，与y轴交 于点C,已知点A的坐标是，0)】 抛物线的对称轴是直线x=1」 y x=1 y x=1 11111 B 1 1 备用图 (1)直接写出点B的坐标. (2)在对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标和PA+PC的最小值. (3)第一象限内的抛物线上有一动点M,过点M作MN⊥x轴，垂足为N,连接BC交MN于点Q.依题意补 全图形，当 Mg+√2C2 的最大值时，求点M的坐标 6. （2026江苏锁江模)如图，=次画数-+c+c的图象与产销交于4、84,0 两点(A在B的 左侧)，与'”轴交于点C04),点P在抛物线上，连接8C、BP, 12/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D D B B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (②如图1，若点P在第一象限，连接AP交BC于点D.记△DBP 为，。DC4的面积为.当 面积为， S<9时，则点P的横坐标“的取值范围是 (3)如图2，直线OP交抛物线于另一点Q ①若点P、点的横坐标分别是m、n,则mn= ②连接CP、C2,记△PC2的面积为S,求S的最小值. 13/13函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07二次函数中线段、周长、面积最值问题的五类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 题型五、利用二次函数求面积最值的问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：在抛物线背景下，求动点构成的线段长、图形周长或面积的最大/最小值，常涉及水平宽×铅 垂高、将军饮马等模型。 -解题方法：设动点坐标，用两点距离或铅垂高公式表示目标量，转化为二次函数；周长最值常用对称变 换化折为直：面积最值可用割补法或水平宽×铅垂高。 ~易错提醒：忽略自变量取值范围致顶点处取不到：水平宽×铅垂高公式中铅垂高符号处理错误；将军饮马 对称点选错；未区分线段与水平/竖直距离的代数表达。 ◆◆ 夙题型归纳 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 典例1(25-26九年级下河南安阳·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=心+bx(a≠0)的图象经 1/61 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过A(-2-10),B(3,0)两点. (1)求该抛物线的表达式： (②)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，过点P向x轴作垂线，交线段AB于点Q,求线段PO的最大 值： (3)连接OA,将线段OA沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度，若线段OA与抛物线无交点，请直接写出m 的取值范围. 【答案】()少=-x+3x 25 (24 3)0<m<3或m>7 【分析】(1)利用待定系数法即可求解： (2)利用待定系数法直线AB解析式武为)=2x-6,设P(B,D+3p）,则(D,2p-6),可求出 25 4，,然后根据二次函数的性质求解即可： (3)利用待定系数法求出平移前线段10的解析式为'=5x,可得平移后线段40的解析式为'=5(x-m） 由二次函数的对称性可得点 A(-2,-10) 5,-10) 的对称点为 再分别求出当线段40经过B(3,0)和(5，-10) 时对应m的值，结合图象即可得出答案 2/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=ax2+bx(a≠0) A(-2,-10)B(3,0) 【详解】(1)解：，抛物线 的图象经过 两点， [4a-2b=-10 .9a+3b=0, [a=-1 解得b=3, y-2+3x (2)解：设直线AB解析式为y=c+C, [-2k+c=-10 则3k+c=0, [k=2 解得c=-6, ∴.直线AB解析式为y=2x-6, :PQ1x轴， 设Pp,-p+3p）,则(p.2p-6), ,P2=-p2+3p-(2p-6) =-p2+3p-2p+6 =-p2+p+6 + 25 :当P=2时，PQ取最大值为4： (③)解：设平移前线段A0的解析式为y=x, 代入A(-2,-10)得-21=-10， 解得：1=5， 3/61 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.平移前线段AO的解析式为y=5x y=-x2+3x= 3 :抛物线对称轴为x=2, :点A(-2,-10)关于对称轴x=2的对称点(5，-10)， ~线段AO向右平移m个单位长度， ∴平移后线段A0的解析式为 =5(x-m) 当平移后线段40经 过B30),则56-m)=0 解得：m=3, 当平移后线段40经过5-10)，则55-m)-10 解得：m=7, ∴结合图象得，若线段AO与抛物线无交点，m的取值范围为0<m<3或m>7 题型模版 1.特征：在坐标系中，动点在函数图象上，求线段长度（如两点间距离）的最大值或最小值。 2方法：设动点坐标，用两点距离公式表示线段长度的平方，转化为二次函数，配方求顶点得最值。 变式11(2026湖北荆州二模)如图，抛物线”=r+2x+c(a<0)与'轴交于4B(30叭 两点，与'轴交 (0,3) 于点 点P是抛物线上的动点，过点P作PMLx轴交直线BC于点M,点P的横坐标为m. VA 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： 4/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点. ①求线段PM长度的最大值： ②若1≤m≤1+l,直接写出m取何值时线段PM的长度最大（可用含t的代数式表示m): (3)点P是y轴右侧抛物线上一点（不与点B重合），当点M关于直线PC的对称点N落在y轴上时，求点 P的坐标. 【答案】（①y=-x+2x+3 9 (2)0线段PM长度的最大值为4： ②当>1H1≤.0<1≤时，当m=141时，线段PW的长度0大 3 当21+1月 63 2时，当2时，线段PM的长度最大： 当3 3 +1<3,即2≤1<2时，当m=时，线段pM的长度最大 )点P的坐标为3-2，-2+4W2）或3+v2,-2-42) 【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式即可： (②①先求出直线BC的解折式为=-x+3,则P(mm+2m+3列M(mm+3),得到 PM = m 3)2 9 2+ 4,利用二次函数的性质求最值即可： ②通过当0<1s),1<1<33于 2,2 1<2,2≤1<2时三种情况讨论PM的最值： (3)分点P在第一、第四象限两种情况利用CM=PM列方程求解即可. B(3,0),C(0,3) y=ax2+2x+c(a<0) 【详解】(1)解：把 代入抛物 得， 9a+6+c=0 c=3, 5/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=-1 解得： 1c=3, y=-x2+2x+3 抛物线的解析式为 (2)解：①设直线BC的解析式为y=x+b, (3,0)C(0,3) 把 代入得， [3k+b=0 b=3, k=-1 解得：c=3, ∴.直线BC的解析式为y=-x+3: :PM⊥x轴交直线BC于点M,点P的横坐标为m, .Pm,-m2+2m+3,M(m,-m+3) w-(m2+-4--+ 由题意可知，0<m<3,-1<0, :当m=2时，PM取最大值为4， 9 即线段PM长度的最大值为4： (32,9 包PM=m+3m=m24的对称轴为m=30<m<3,≤m≤+ 2 :当>0,1+1s3 ,即0<1≤2时，当m=1+1时，线段PM的长度最大： 当侵+}2.用时1动当m:能股pw的长度果大 6/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 3 当 1+1<3。即21<2时，当m=1时，线段pM的长度最大 (3)解：①当点P在第一象限时（如图）， PM⊥x轴， .PMI‖y轴， ∴.∠CNM=∠PMW 由轴对称的性质可得，CM=CN,PC⊥MN, ∴.∠CNM=∠CMN,∠PDM=∠CDM=90°， ∴.∠PMN=∠CMN, DM=DM, ..ACDMPDM(ASA) ∴.CM=PM: Pm,-m2+2m+3,M(m,-m+3),C(0,3) .Vm2+(-m+3-3}=(m2+2m+3)-(m+3), 解得，m=3-V2或0（舍）， “点P的坐标为3-V5-2+42) ②当点P在第四象限时（如图）， 同理可得CM=PM, ∴Vm2+(-m+3-3)}=（-m+3)-(-m2+2m+3)」 7/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得，m=3+V2或0（舍）， 点P的坐标为3+v2,-2-42) B M x 综上可得，点P的坐标为5-2，-2+42)成3+2，-2-4) 座式12(2026河北邯郸二模)二次函数如图，二次函数1=a(:-2-2图象的顶点为9，恒过点 A(0,2) 二次函数为=-(x-b}+2 图象的顶点为P. A (1)a= Q点的坐标 (②)若直线P№与y轴的交点到x轴的距离为10，求b的值： (3)当P№1x轴时，设两条抛物线交于点B,C(点B在点C左侧)，求四边形PBQC的面积： (④)线段PQ是否存在最小值，若存在，直接写出最小值，若不存在，请说明理由. 8/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】1， (2,-2) 5 (24或5 3)6v3 65 ④存在， 【分析】①将点40,2)代入=(x-2-2即可求出“的值：进而得到顶点Q的坐标： (2)设直线P№的解析式为y=ax+10或直线P巴的解析式为y=c:-10,将顶点Q的坐标代入求解出解析 式，再将=次函数为=-(《-b+2办图象的顶点为P心6,20）代入直线P的解折式即可求解， y=(x-2)}2-2 (3)由题意可得P2,4)”乃=-(-2}+4：联立2=-(x-2}+4:求出B,c两点的横坐标，再求出 PQ=6,即可求解： 2)2,36 (4)利用勾股定理求出P吧 5b+ 5,再根据二次函数的性质即可求解。 【详解】d)解：将点40,2)代入”=(x-2-2,得0-2-2=2， 解得a=1: :片=(x-2}-2 (2,-2) (2)解：由题意得直线P吧与y轴的交点的坐标为 .10)或0.-10） 当直线P吧与y轴的交点的坐标为 0,10) 时， 设直线PQ的解析式为y=x+10 9/61 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由1)知 (2,-2) 则-2=2k+10,解得k=6, ∴.直线P9的解析式为y=-6x+10, 三次国数片任-+2”副象的项为62山 .2b=6b+10, 解得b§ 4； 当直线P口与y箱的交点的坐标为Q-10)时， 设直线P9的解析式为y=c-10, 则-2=2k-10,解得k=4, ∴.直线PQ的解析式为y=4x-10 二次函数为=-(x-b}+2 图象的顶点为P(626) ∴.2b=4b-10, 解得b=5: 综上，b的值为4或5： (3)解：：P1x轴，号 (2-2)P(b,2b) .b=2,则2b=4, P24) P2=4-(2)=6 :为=-(x-2}+4 4=(x-2}-2 联立y=-(x-2+4则(x-2-2=-(x-2}+4 10/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得*2±V5 B,C 2-V3,2+V3 两点的横坐标分别为 ∴四边形P80C的面积为2P0-(化-，)=×6x[2+3)-2-5]=65: (4)解：存在， 2,-2)P6,2b) .2236 令b+引+ 5>0, ·当bs、2 36 时，y有最小值5， 2 36_6W5 5时，P有最小值V55 题型二、 利用二次函数求线段和最值的问题 典圆2(2026寿南省直辖县级单位一模)如图.已知抛物线=-t++“过点B(60和点C0,3). D B (1)求该抛物线的函数关系式： 11/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知点P是BC上方的抛物线上一点，作PD⊥x轴于点D,求PD+OD的最大值： (3)当m-1≤x≤m+2,函数y有最小值为0，求m的值. 【答案】（①=-x+2x+3 21 24 (3)1或0 【分析】(1)待定系数法求解析式，即可求解； ②)设飞-+21+3)，D,0)表示出PD+0D,根据二次函数的性质，即可求解： (3)先求得抛物线对称轴为直线x=1,分m+2<1,m-1<1且m+2>1,m-1≥1，三种情况结合二次函 数的性质，分类讨论，即可求解 【详解】山)解：抛物线'=-t+r+c过点B(30)和点C(0,3) 「-9+3b+c=0 .(c-3 b=2 解得：c=3 =-x2+2x+3 .该抛物线的函数关系式为 (2)解： P,-f+21+3).D,0),其中0<1<3， m+on=f++3i=++3-=-+. -1<0 21 PD+OD的最大值为4： ()解：)=+2x+3-x-+4,对称辅为直线x=1, 当y=0时，-x2+2x+3=0 12/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=-1x2=3 解得： ,a=-1<0 ∴在对称轴左侧函数y随着x的增大而增大，在对称轴右侧函数'随着x的增大而减小. 故分以下三种情况讨论： ①若m+2≤1，即m≤-1 则当x=m-1时，函数y有最小值为0 ∴.m-1=-l,解得：m=0(舍去) ②若m-1<1且m+2>1,即-1<m<2 当x=m+2时，函数y有最小值为0， .m+2=3,解得：m=1. 当x=m-1时，函数y有最小值为0， ∴m-1=-1,解得：m=0, ∴.m=0或1 ③若m-1≥1，即m>2 则当x=m+2时，函数y有最小值为0， ∴m+2=3,解得：m=1(舍)， 综上，m的值为l或0 题型模版 1特征：求两条或多条线段和的最小值，常含动点，需化曲为直或构造函数。 2方法：将军饮马作对称化折线为直线：或用二次函数表示线段和，配方求顶点，注意取值范围。 变式2-1(25-26九年级下河南南阳期中)如图，抛物线y=-a2+4a+5a与x轴交于A,B两点，与y轴 C(0,5) m,n) 交于点 P是抛物线上的任意一点，设点P的坐标为 ,过点P作PM1y轴于点M作 PW⊥x轴于点N. 13/61 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的函数表达式。 (2)当0<m<5时，是否存在一点P,使得PM+PW的长度最大？若存在，求出的值及PM+PN的最大 值；若不存在，请说明理由 (3)若在矩形PMON内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而增大，请直接写出m的取值范围. 【答案】(0y=-x2+4x+5 45 (2)存在，4 (3)m<-l或0<m<4 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)根据题意得出A(-1,0),B(5,0).确定当0<m<5时，n>0,然后确定 PM+PN=- 结合二次函数的性质求解即可： (3)根据题意得出抛物线的对称轴为直线x=2,设点C关于对称轴对称的点为D,则 (4,5) ,然后结合 函数图象分情况分析即可求解。 【详解】(1)解：，点 C(0,5) 在抛物线'=-ar+4r+5a上， .5a=5, 解得a=1. y=-x2+4x+5 ∴抛物线的函数表达式为 (2)存在.点P的坐标为 m川，为抛物线上任意一点： 14/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.n=-m2+4m+5. 令-x2+4x+5=0, 解得x=-1或x=5. 4-L0),B5,0) .当0<m<5时，n>0. ,PM+PN=m+n=-m2+5m+5=- 2,45 m-2) +4 ,-1<0 5 45 当m= 2时，PM+PN有最大值，最大值为4 (3)：y=-x2+4x+5 ∴抛物线的对称轴为直线x=2, D(4,5) 设点C关于对称轴对称的点为D,则 如图，分情况讨论： y M C A ①当m<-l时，此时y随x的增大而增大. ②当-1<m<O时，抛物线不在矩形PMON内部，不符合题意. ③当0<m<4时，此时y随x的增大而增大. ④当4≤m<5时，抛物线不在矩形PMON内部，不符合题意. ⑤当m>5时，y随x的增大而减小，不符合题意. 综上所述，m的取值范围为m<1或0<m<4 15/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式2-2(2026安徽阜阳二模)平面直角坐标系中，如图1，二次函数y=a2+bx+c的图象与x轴交于 A-3,0),B两点，与'轴交于点C,顶点为 1,4). 点P是抛物线上A,C两点之间的一动点. 图1 图2 图3 (1)求这个抛物线的解析式： (2)如图2，过点P作PE⊥AC于点E. ①求线段PE的最大值： ②如图3，过点E作F1y 于点F,设w=V2PE+E ,求”的最大值。 【答案】（少=-(x+}+4 9√2 25 (2)①8；②8 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求解、二次函数的最值问题、直线方程的应用以及几何图形中 的线段关系分析。 (-3,0) (1)根据抛物线的顶点坐标设顶点式，将 代入即可解答： PE-rQ (2)①设P飞，--21+3列，过点P作PQ⊥x轴交4C于点，1+3)，经分析，线段PE=2 根据 3)29 PQ=--31=（+2)+4可得当=-2时，P四有最大值4，从而得到线段PE的最大值：②经分析， 3 9 16/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -12-t 2+t V2PE=P四=y,-o=-子-31，结合图形，求出交点E的横坐标为g=2,故F=-x=2,代 入可得 w2PE+F子-3++引+名根据次两数的性质。 【详解】()解：设抛物线的解析式为)=(x+)+4。 将1(-3,0)代入得：0=a(-3++4 解得a=-1, 抛物线的解折式为=-(+1旷+4，即y=-r-2x+3。 C(0,3) (2)解：①由(1)知 设直线AC的解析式为y=x+b -3k+b=0 [k=1 将A(-3,0),C(0,3)代入得： b=3,解得b=3, ∴直线AC的解析式为y=x+3, 设P飞t-2+3列，过点P作P四1轴交4C于点01+3) A 图2 ∴.P9=（-12-21+3-(t+3)=-2-30 OA=0C=3. :∴△AOC为等腰直角三角形， .∠AC0=45°， 17/61 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P2⊥x,OC⊥AB, ∴.P9∥C0 ∴.∠PQE=∠AC0=45° :PE⊥AC, ∴aPEO为等腰直角三角形， :PB=P0.m45-5p0 2 P0=-2-31=- :当3 9 时，PQ有最大值4， √29_92 :PE的最大值为2×48 ②由O知2PE=P0,Pk,-1-21+3)Qg1+3) 延长FE交P吧于点G, 图3 :PQ∥COEF⊥y EG1P0,则 yE=yG :△PEQ 为等腰直角三角形， .PG=QG 18/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .-2-21+3-y%=y%-(t+3) %%=-1+6 2 -12-1+6 把=2巴代入直线AC的解析式y=x+3 -2-t 可得交点E的横坐标x= 2 EF⊥y 轴， ∴.EF=-xE= 12+1 2 -t=- 2 22 -3< 50 当 25 2时，w取得最大值，最大值为8， 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 奥剑3(2026河南周口模拟预测)已知抛物线”=am+加+C经过1(-1,0)B(4,0)两点，其原点为D. E B (如图，当0=8时，求抛物线”=a++ 的解析式。 (②)点E在y轴正半轴上，且到原点的距离为2，当BD-ED最大时，求点D的坐标. 19/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】（①）少=-2x2+6r+8 g 【分析】(1)利用交点式设抛物线解析式，代入点(0,8)求出a. (2)利用抛物线的对称性可知对称轴上的点到A、B的距离相等，将BD-ED转化为AD-ED,利用三 角形两边之差小于第三边，当A、E、D三点共线时取得最大值，求出直线AE与对称轴的交点即可 【详解】(1)解：“抛物线'=r+x+c经过4-1,0)B4,0) 经过 和 设抛物线的解析式为y=a(c+lx-4), c=8,即抛物线过点(0,8)， ∴.8=a(0+100-4)=-4a. .a=-2, ∴.y=-2(x+10(x-4)=-2(x2-3x-4)=-2x2+6x+8 (2)解：：点E在y轴正半轴上，且到原点的距离为2， ∴.E(0,2) ”抛物线'=ar+br+ A(-1,0)B(4,0) 经过 和 ·对称轴为直线x=1+43 22 3 ~点D为抛物线的顶点，且D在对称轴直线x=2上， 3 又，对称轴直线x=2是线段4B的垂直平分线， 对称轴上的任意一点到A、B两点的距离相等，即DA=DB, .BD-ED=AD-ED. 在△ADE中，AD-ED≤AE, 当且仅当A、E、D三点共线，且点E在线段AD上时，AD-ED=AE取得最大值， 设直线AE的解析式为 y=a+b(k≠0) 20/61 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(-1,0),E(0,2), 「-k+b=0 k=2 b=2,解得b=2, ∴直线AE的解析式为y=2x+2, 3 ~点D在对称轴x=2上， 3 ∴y=2×。+2=3+2=5 2 3 题型模版 1特征：求两条线段差的最大值，动点在函数图象上，常利用三角形三边关系或函数建模。 2方法：作对称点转化为共线问题（差最大用三角形三边关系），或用坐标表示差为二次函数求最值。 变式3-1(2026江苏宿迁二模)抛物线'=r+br+ 经过点4、B、C,己知B ,B(3,0)C(0,-3) B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： ②如图1，点D是抛物线对称销上一动点，求当HD-CD取最大值时，点D的坐标， (3)如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点0重合，直线y=:+k>0)与抛物线相交于点P、)(点 P在左边)，过点P作x轴平行线交抛物线于点R,当k发生改变时，请说明直线QR过定点，并求定点坐 标. 【答案】①少=r-2x-3 ②-6) 21/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0,-1) (3)过定点，且定点坐标为 ,见解析 【分析】(1)先根据点B坐标，点C坐标，利用待定系数法求解可得： (2)连接AC,并延长交对称轴直线x=1于点M,因为 AD-CD≤AC ,所以当A,C,D三点共线时， AD-CD 取得最大值，且最大值为4C,求解即可： （设P,）,,）,得到是方程--1=0的两个根，所以+=，=， ；确定 x2m+n=y R(-x,乃)，设直线QR的解析式为y=mx+n,根据题意，得-xm+n=乃，得到直线QR的解析式为 y=()r-,当x=0时，=小，赦发生改变时，直线O过定点，且定点坐标为0，) 【详解】（解：抛物线）=r+r+C经过点4、B、C,且日 mB(3,0)C(0,-3) 9+3b+c=0 .c=-3 b=-2 解得c=-3, y=x2-2x-3 故抛物线解析式为 (2)解：因为抛物线解析式为)=r-2x-3=(x--4 所以抛物线的对称轴为直线=1，顶点坐标为亿-4)， 令=0，得-2x-3=(x-1-4=0 解得515=3 22/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故10) 连接AC,并延长交对称轴直线x=1于点M, AD-CD≤AC 因为 所以当A,C,D三点共线时， AD-CD 取得最大值，且最大值为AC, 放当点D与点M重合时，HD-CD 取得最大值， 设AC的解析式为y=-3,将点A的坐标代入得：-k-3=0,解得k=-3, ·直线4C的解析式为y=-3x-3. 当x=1时，y=-3×1-3=-6, 此时4电-6) 故点D的坐标为亿-6) (3)解：因为抛物线解析式为)=r-2x-3=(x-)-4 所以抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为 (1,-4) 因为抛物线平移，使其顶点E与原点O重合， 6y=x2 所以新抛物线的解析式为 设Py）0(,5) 因为直线y=ax+1(k>O)与抛物线相交于点P、)(点P在左边)， 23/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以，是方程 2=G+1k>0) 的两个根， 所以是方程--1=0 两个根， 所以+3=水污=1 ； 因为过点P作x轴平行线交抛物线于点R, 所以点P,点R关于y轴对称， 所以R(,y) 设直线QR的解析式为y=mr+n, x2m+n=y2 根据题意，得-xm+n=y, 所以片片=(+x)m 所似，+1-(+1)=km kx2 +1-kx-1=km 所以 m=X2- 解得 所以”=乃-(65)压 =kx2+1-22+xx2 =(x+x2)x2+1-x32+x1x =x22+xx2+1-x22+xx2=2xx2+1=2×(-1)+1=-1 ∴直线2”的解析式为=(：-)x-1, 当x=0时，y=1, 24/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故发生改变时，直线过定点，且定点坐标为 0,-1) 变式3-2(2026湖北襄阳一模)在平面直角坐标系中，抛物线'=-r+br+C。 A(0,3),B(6,3) 的图象经过 两 点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作PD⊥x轴于点D,交直线OB于点C,设点P的 横坐标为. VA B 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，当点C为PD中点时，求m的值： d=PC-CD (3)令 ①求d关于m的函数解析式： ②当d随m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围. 【答案】()y=-r+6x+3 gm5v (0<ms5+V37 2 -m2+5m+3 30dm2-5m-35+37 2 <m<6);② -m2+6m+3 <5+v57或 (6<m<3+23) 2 6<m<3+2V3 【分析】本题考查了二次函数综合. (1)用待定系数法即可解答： 25/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)求出直线OB解折式：设P(mm2+6m+3),则”2， 根据PD⊥x轴于点D,点C为PD中 点，列出等式，即可解答： (3)①先求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，再进行分类讨论即可；②根据①中的解析式，结合二次函 数的增减性进行分类讨论即可. 【详解】(1)解：把 〔0,3)B6,3)代入y=-f+r+c得： c=3 -36+6b+c=3, c=3 解得：b=6, y=-x2+6x+3 ∴抛物线的解析式为 (2)解：设直线OB解析式为y=c, (6,3 将点 代入得：3=6队 1 解得：k= 2 1 ∴直线OB解析式为y=2x, -x 设P(am+6m+列则cmnj。 :PD⊥x轴于点D,点C为PD中点， m=m+6m+. 解得：m=5+V37 2 (负值舍去)： (3)解：①当y=0时0=-x2+6x+3., 26/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=3+2W3 解得： (负值舍去)， ∴.抛物线交x轴正半轴于点 3+25,0j 1 设P(m,-m'2+6m+3),则Cm2m,D(m,0） 当0<m<5+V37 2时，PC=-m2+6m+3-1m m=-m2+11 m+3,CD-m, 2 2m+3、 d=PC-CD=PC-CD=-m2+1 m=-m2+5m+3. 2 当5+)7<m<6时，PC=-m2+6m+3 2 2m=-m2+ m+3,CD=1 2 n, =c-cm-c-c--(m+a+3-m-m-3, 当6<m<3+25时，PC-m-(m+6m+3到=m-m-3,CD= 21 d-PC-CDCD-PC-m3 (0<ms5+V37 2 -m2+5m+3 综上：dm2-5m-35+37 m<6): 2 -m2+6m+3 (6<m<3+2V3) ②当0<m< 5+V37 2时，d=-m2+5m+3” a=-1<0开口向下，对称轴为直线m=2 2 5 5+37 当2下m 2d随m的增大而减小： 当5+)3团<m<6时：日=m-5m-3 2 a=1>0开口向上，对称轴为直线m=) 2· 27/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当m< 2d随m的增大而减小，不符合题意，舍去： 当6<m<3+25 d=-m2+6m+3 时， a=-1<0开口向下，对称轴为直线m=3, :当6<m<3+25 时，d随的增大而减小. 5 5+√37 综上： <m< 2 2 或6<m<3+23 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 典例4(2526九年级上黑龙江佳木斯期末)如图，抛物线'=r+r+C交x轴于点 1,o).C3.0),交 y轴于点B. (1)求抛物线的解析式： (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标. 【答案】(0)少=-4+3 ②P2) 【分析】（①将点A、C坐标代入y=r+r+e 即可得解： (2)连接BC与对称轴的交点即为P,连接PA,PB,再根据直线BC的解析式与对称轴求解P的坐标即 可 28/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+b+c=0 【详解】(1)解：将点A、C坐标代入得， 9+3b+c=0 b=-4 解得c=3, 抛物线的解析式为：y-4+3 (2)解：y=r-4x+3=(x-2}-1 ∴对称轴为直线x=2 如图，连接BC与对称轴的交点即为P,连接PA,PB, 此时△PAB的周长=AB+PA+PC=AB+PB+PC=AB+BC最小，点P即为所求， 当t=0 时 y=x2-4x+3=3 B(0,3) 设直线BC的解析式为y=ac+b, [3k+b=0 将B(0,3),C(3,0)代入得，b=3 k=-1 解得：b=3, ÷直线BC的解析式为y=-x+3 当x=2时，y=-2+3=1 2961 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(2,1) 题型模版 1.特征：动点形成图形，求周长最大值或最小值，常需用函数表示各边之和。 2方法：设动点坐标，用两点距离公式表示各边，建立周长的二次函数，配方求顶点最值，注意几何约束。 变式41(2026黑龙江鸡西二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线"=+2x+ A(-1,0) 与x轴交于 B(3,0) 两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点. (1)求抛物线的表达式： (2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小，请直接写出点M的坐标： 【答案】)'=-r+2x+3 (②)点M的坐标为(0,3) 【分析】(1)由已知条件，运用待定系数法，求得a,c的值，从而求得抛物线的表达式： (2)先求出点D坐标，点M为y轴上一点，连接DM,BM,作点D关于y轴的对称点D',连接D'M, D'B,则有D'M=DM,则DM+MB=D'M+MB≥D'B,由此可得，当点M为D'B与y轴的交点时 DM+MB有最小值，运用待定系数法，求出直线DB的解析式，从而求得该直线与y轴交点，即可得到点 M的坐标 【详解】()解：：抛物线’=+2x+C与辅交于 A(-1,0)B(3,0) 两点， 将1-10)B3,0) y=ax2+2x+c 代入抛物线 30/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (-1)2a+2×(-1)+c=0 可得：32a+2×3+c=0 「a=1 解得：c=3, y=-x2+2x+3 ∴抛物线的表达式为： (2)解：如图1，作DE⊥x轴于点E,连接DB D B 图1 y=-x2+2x+3=-(x-1}+4 D(1,4) ∴抛物线顶点 B3,0,DL4).DE1x轴于点E, ∴，DE=4,EB=3-1=2,∠DEB=90°， 在Rt△DEB中， DB=DE2+EB2=4+22=25 ..BDM DB+DM+MB=25+DM+MB 的周长为： 如图2，点M为y轴上一点，连接DM,BM,作点D关于y轴的对称点D',连接DM,D'B,则有 D'M=DM, ∴.DM+MB=D'M+MB≥D'B, ∴当点M为DB与y轴的交点时，DM+MB有最小值，最小值为D'B的长. 31/61 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA D D M B 图2 D04 ,点D与点D关于y轴对称， D14) B3,0) 设直线D'B的解析式为：y=c+b, 「-k+b=4 3k+b=0, k=1 解得，b=3, ∴直线DB的解析式为：y=-x+3, 令x=0,则y=3, .当△BDM的周长最小时，M的坐标为 0,3) 变式42(25-26九年级下江苏南京阶段检测)如图，抛物线 =+s+c(a>0)与x箱交于点4(-1,0) B(3,0 ,与y轴交于点C,且B,C两点间的距离为3V2 32/61 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求抛物线的解析式： (②)如图，点E是线段AB上一点（不与点A,B重合），过点E作EF⊥x轴，交抛物线于点F,过点F作 FG⊥y EOGF 轴，交y轴于点G,求四边形 周长的最大值及此时点E的坐标 【答案】（①少=r-2x-3 21 四边形EOGF周长最大值为2 V2 【分析】(1)根据B,C两点间的距离为 ，求得点坐标，由待定系数法即可求解： (2)分两种情况讨论，即点E在线段A0上，或点E在线段B0上，设 F(n,n2-2n-3) 列出四边形 EOGF周长的表达式，利用二次函数的性质，即可求解。 【详解】(1)解：由题意可得点C在y轴负半轴， 设C0m) 根据勾股定理可得OC2+OB2=BC2, 即m+32=(32). 解得m=-3(正数舍去)， .C(0,-3) 设抛物线的解析式为 =a(x+1(x-3) 33/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把C(0-3) 代入可得 -3=-3a, 解得a=1, 所以抛物线的解析式为'=(x+(x-3)-2-2x-3 (②)解：设点E(m0),则Fmn-2m-列 当点E在线段AO上时，-1≤n≤0 边形B0G得长-28+2-2-2-(-2r42+6=-a- 当n=0时，取得最大值，此时无法组成四边形，故不符合题意： 当点E在线段BO上时，0<n≤3 四随形5oc周长-2E+20F=-2-2加-+2n=2r+6+6-a+号. 当n 2时，四边形EOGF周长取最大值，为2 即5传0时：四边形0GP周长最大值为 21 题型五、利用二次函数求面积最值的问题 典例5(2026甘肃平凉二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线'=+5x+c(“、C为常数，且 a0)与'轴交于1(4,0)、B(-1,0 两点，与》轴交于点C 34/61 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，点M是x轴下方抛物线上一点，连接AC、AM、CM,当△ACM的面积最大时，求点M的坐 标； (3)如图2，点E是抛物线对称轴上的动点，点F是y轴上的动点，在(2)的条件下，连接AF、EF、 EM,当△ACM的面积最大时，求AF+EF+ME的最小值. 【答案】()少=r+5x+4 ②(2-2) 3 【分析】(1)待定系数法求解即可； (2)作MD/y轴交AC于点D,求得AC所在直线的函数表达式，设点M的坐标为 m.m2+5m+4）,则 点D的坐标为 m,m+4 ,用合m的二次函数表示出△ACM的面积，再利用二次函数的性质求解即可： (3)作MNIx轴交抛物线于点N,则点N与点M关于抛物线的对称轴对称，连接NE,作点A关于y轴 的对称点G,推出当N、E、F、G四点在一条直线上时，AF+EF+ME最小，最小值为NG的长，据 此求解即可， 【详解1（山解：将1(-4,0）、.8(-1,0代入=+5x+e, 16a-20+c=0 得a-5+c=0, 35/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=1 解得c=4, y=x2+5x+4 抛物线的函数表达式为 (2)解：作MD/y轴交AC于点D, 0衣 图1 y=x2+5x+ 在 中，令x=0 y=4 ，得 “点C的坐标为0,4) 由1-40)C(0,4) 得1C所在直线的函数表达式为'=x+4 设点M的坐标为mm+5m+4） 则点D的坐标为 m,m+4) .DM=m+4-m2+5m+4=-m2-4m ,-=x4x(-m-4m）=-2m+4m侧=-2m+2y+8 -2<0, “当m=-2时，8最大，此时点M的坐标为2-2) C3)解：由(2)可知当△1C/的面积最大时，点M的坐标为-2-2列 5 由A(-4,0)、B(-1,0)可得抛物线的对称轴为x=一2， 作MNI‖x轴交抛物线于点N,则点N与点M关于抛物线的对称轴对称，连接NE,作点A关于y轴的对称 36/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点G,连接FG、EG、NG, 六点N的坐标为 -3,-2)ME=NEAF=GF .AF+EF +ME GF +EF+NE. :FG+EF≥EG,EG+NE≥NG, .FG+EF+NE≥NG 当N、E、F、G四点在一条直线上时，AF+EF+ME最小，最小值为NG的长， BO 图2 过点N作NH⊥x轴于点H, A(-4,0 ,点G与点4关于'轴对称， ·点G的坐标为 4,0) :N-3,-2)G(4,0).MH1x轴， ∴NH=2,GH=7, NG=NH2+GH2=53 ∴.AF+EF+ME 的最小值为V53 题型模版 1.特征：动点在函数图象上，求三角形或四边形面积的最大值或最小值，常选水平底或铅锤高。 2方法：设动点坐标，用铅锤法或割补法表示面积，建立二次函数，配方求顶点最值并验证范围。 变式5-1(25-26九年级上湖北宜昌期末)如图，己知抛物 L:y=-x2+bx+C与轴交于点 (2m+1,0) 37/61 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点B(m-2,0),与)轴交于点C,对称轴为直线x1 和 E (备用图) (1)求b,c,m的值： (2)点P是直线AC上一动点（不与点A,C重合），过点P作PO‖y轴，交抛物线L于点，若点E是点P 关于直线QC的对称点，且点E落在y轴上，求点P的横坐标； (3)直线I:y=a-3k-4(k为不等于0的常数)与抛物线L交于点M,N,求△AMN面积的最小值. 【答案】(1)b=2,c=3,m=1 ②35 (3)8 b =1 【分析】(1)根据二次函数的对称性得到 2m1+m-2包。2x可，求b2,m,得到 2 A(3,0) 8(-10),然后将43,0)代入解析式求出c=3。 (2②首先得到抛物线解析式为'=-+2x+3,求出C(03 ),得到∠0C1=∠01C=45°，然后求出 ∠POC=∠EC0=67.5°，得到PC=PO,设P(p,p+3),则(p-P+2p+3),然后表示出PC,P代 入求解即可： (③)由：y=-3-4知，直线过点G34),则行4G1轴，且4G=4,联立直线与抛物线的解折式 38/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 消去y得一元二次方程，可求得M与N的横坠标，再由S=5.a+S=2u-,可得关于k的函 数关系式，即可求得面积的最小值. 【详解】(d)解：抛物线：+r+C与轴交于点1(2m+0)和点B(m-2,0), 对称轴为直线 x=1, 2m+1生m-2-1.2x可1 b 2 ∴.b=2,m=1: 13,0).B-1,0) 将43,0)代入L:y=-+2x+c得，0=-3+2x3+e, c=3: (2)解：，b=2,c=3, =-x2+2x+3 ∴抛物线解析式为 .当x=0时，y=3 C(0,3) :40) ∴.OA=OC, ∴.∠0CA=∠0AC=45°， ,点E是点P关于直线QC的对称点，且点E落在y轴上， ÷∠Bc0=∠Pc0=l80-∠0cA=675, POly轴， .∠P0C=∠EC9=67.5° ∴.∠POC=∠PCg, 39/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..PC=PO, 4(3,0）C0,3) 设直线AC的表达式为y=+e, 3d+e=0 得le=3, [d=-1 解得e=3, “直线AC的表达式为y=-x+3, 设P(n,-p+3),则(，-p+2p+3) :P0=-p2+2p+3-(-p+3)=-p2+3pPC=2p +3p=p 解得P=0(合去)或P=3-2 点P的横坐标为3-V2: (3)解：直线：y=cx-3k-4(k为不等于0的常数)与抛物线L交于点M,N, 当x=3时，y=3k-3k-4=4, “直线：y=-3张-4过G(3,-4) 过点 A3,0). .AG⊥x轴，且AG=4, y=kx-3k-4 联立直线与抛物线的解析式得： y=-x2+2x+3, x2+(k-2)x-3k-7=0 整理得， 40/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △=(k-22-4×1×(-3k-7)=(k+4)2+16>0 y-2-++46女2-c+0+6 2 .xw-xM=Vk+4)2+16 Sw=Sm+5m4Gk,-=24kw-x=20k+4+16 ÷当=4时，《+4+16 有最小值16， .AMN 2×V16=2×4=8 的面积有最小值 变式5-2(2026四川内江·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=2+bx+c与x轴交于 A-3,0)、B1,0)两点，与y轴交于点C0,-3). VA B M:O 图1 图2 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)如图1，点D是直线AC下方抛物线上一个动点，求四边形ABCD面积的最大值及此时点D的坐标： (③)如图2，点N为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点M,直线y=+k-l(k为常数) 41/61 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 交抛物线于E、F两点（点E、F分别在抛物线对称轴的两侧），直线NF交x轴于点P,直线E 交x轴于点Q.试探究MP,MQ是否为定值？若为定值，求出MP,Mg的值；若不是定值，请说明理由. 【答案】①)=r+2x-3 75 315 (②)四边形ABCD面积的最大值为8；点D的坐标为2'4) 16 (3)是定值，定值为3 【分析】(1)先写出交点式，再代入点C坐标求解即可： (②)过点D作DTV轴，交4C于点T,可求直线 C:y=-x-3 Sa边m=S.4c+5,,可得当 ,根 △4CD面积最大时，四边形ABCD面积最大，设D(a+2d-3列(3<d<0),则Ta,-d-3),那么 Dr:-d-动西由Sn=Sn+5得到。=-号，再利用二次函致的性质求解即可 (3)不妨设点E、F分别位于对称轴的左右两侧，可求顶点 (14)，则M-.0叭，设 E(,子+2x-3列，F(西女+2-3列，联立直线y+k-1与抛物线y=+2x-3,整理得， +2-x-k+2)=0,则5+x=k-26=-t-2 NE:y=(x+1)x+x-3 ,可求直线 ,求出 时用0-中1 即可求解 MP.MO 【详解】（山）解：抛物线)=+x+0与产轴交于 A(-3,0)B(L,0) 两点， 42/61 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..y=a(x+3)(x-1) :抛物线与y轴交于点C(0,-3) -3a=-3, 解得a=1 y=x2+2x-3 ∴抛物线的表达式为 (2)解：过点D作DT川y轴，交AC于点T, VA 图1 设直线AC:y=px+9, -3p+9=0 代入A(-3,0),C(0,-3)可得，9=-3 p=-1 解得9=-3 直线AC:y=-x-3 S.+.ABxC+x-3x+6+8 2 ∴当△ACD面积最大时，四边形ABCD面积最大， 设D(a,d+2d-3)(-3<d<0),则Td,-d-3) ,Dr=-d-3-(dP+2d-3=-d2-3d 43/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Sm=Sc+=7D(x-)+7D(-x,）7Dke-x)x(-d-3dk3。 9d=3d+3227 d+2)+i 2 8 3 :-20,-3<d<0 3 27 当d=- 2时，△ACD的面积最大为8， 四边形ABCD面积最大值为6+”-75 88 时有D标为(+2(》3-只. “点0的壁标3)月 (3)解：MPM9是定值， 如图，不妨设点E、F分别位于对称轴的左右两侧， M:O 备用图 抛物线)=r+2x-3=(x+1-4 N(-1,-4) ∴顶点 M-1,0) 设E+2x-3).F(6,x2+2x-3) 44/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 联立直线少=c+收- y=x2+2x-3 与抛物线 y=kx+k-1 则y=x2+2x-3 x2+(2-k)x-(k+2)=0 整理得， x+x2=k-2,xx2=-k-2 「-k+b=-4 设直线NE:y=kx+b,则kx+b=x2+2x-3 k=x+1 解得=x-3 NE:y=(x+1)x+x-3 直线 令y=0:则(5+1)x+5-3=0:解得x=35 x+1, e :054516 16 16 x+x+(飞，+1(x+xx+(x+3)+可k-2+k-2+13. ◆◆ 同压轴挑战一女克高障压轴，突破思维上很 一、解答题 1.（25-26九年级上河南周口期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数”=--2x+3 的图象（记为 45/61 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 )与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,二次函数'=r+r+ G 的图象（记为G)经过点4，C直线 x=t与两个图象， 分别交于点M,N,与x轴交于点P. (1)求b,c的值： (2)当点P在线段AO上时，求MN的最大值. 【答案】(1)b=4,c=3 ②2 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合一线段问题，熟练掌握二次函数的性质是解此题 的关键。 A(-3,0)C(0,3) (1)先求出点 的坐标，再利用待定系数法计算即可得出结果： (2)由1)知G,的表达式为y=r+4r+3,结合慰意可得M aM6,-2-21+3)N%,2+4+3 ,其中 3)2 9 -3≤t≤0，表示出 MN=YM-yN =-21+> 22,再由二次函数的性质即可得出结果 【详解】山解：对于二次函数)=-2x+3,当)=0时，--2x+3=0。 解得： x=-3x2=1 ∴.A(-3,0)B(1,0) 当x=0时，y=3, 46/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .C(0,3) :二次函数少=r+r+ 的图象经过点A,C. 9-3b+c=0 .c=3 [b=4 解得c=3: G. y=x2+4x+3 (2)解：由(1)知的表达式为 直线x=t与x轴垂直， :M,-2-21+3).N+4+3),其中3≤1≤0 w=ww-243-+到-2-23. -2<0 3 9 当I=-2时，MN取得最大值2： 2.(2026河南周口模拟预测)已知抛物线=m+r+c经过4(-，0)和B4,0), 两点，其顶点为D (如图，当C=8时，求抛物线 y=ax+bx+c 的解析式 (2)点E在y轴正半轴上，且到原点的距离为2，当BD-ED最大时，求点D的坐标 47/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】（①）少=-2x2+6r+8 g 【分析】()利用交点式设抛物线解析式，代入点(0,8)求出a. (2)利用抛物线的对称性可知对称轴上的点到A、B的距离相等，将BD-ED转化为AD-ED,利用三 角形两边之差小于第三边，当A、E、D三点共线时取得最大值，求出直线AE与对称轴的交点即可 【详解】(1)解：“抛物线'=+x+c经过4-l,0)nB4,0) 经过 和 .设抛物线的解析式为y=ar+lx-4④)， c=8,即抛物线过点(0,8)， ∴.8=a(0+100-4)=-4a. ∴a=-2, ∴.y=-2(x+1)x-4)=-2(x2-3x-4)=-2x2+6x+8 (2)解：：点E在y轴正半轴上，且到原点的距离为2， ∴.E(0,2) ”抛物线'=r+hr+c经 A(-1,0)B(4,0) 过 和 :对称轴为直线x=+43 Γ22 .3 ~点D为抛物线的顶点，且D在对称轴直线x=2上， 3 又.对称轴直线x=2是线段B的垂直平分线， ∴对称轴上的任意一点到A、B两点的距离相等，即DA=DB, ∴.BD-ED=AD-ED. 在△ADE中，AD-ED≤AE, 当且仅当A、E、D三点共线，且点E在线段AD上时，AD-ED=AE取得最大值， 设直线4E的解析式为 y=c+b(k≠0) 48/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(-1,0),E(0,2), -k+b=0 「k=2 b=2,解得b=2, ∴直线AE的解析式为y=2x+2, 3 ~点D在对称轴x=2上， 3 ∴.y=2×。+2=3+2=5 2 3.(25-26九年级上云南曲靖期末)如图，抛物线”=+r+3与x轴交于 A-10B3,0)两点，与y 轴交于点C. (1)求抛物线的解析式： △4BD=8 (2)点D是抛物线上一点，且 求点D的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请 说明理由. 【答案】（①）P=-x2+2x+3 ②点D坐标为，4或+22，-4)或-22,4) 1,2) (3)存在，点P坐标为 【分析】本题考查了二次函数综合一一面积问题和周长问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关 键。 49/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)利用待定系数法求解即可： (②)设点D坐标为么-子+2+3) 求得B=4,可符5m=2+21+3=8,即+21+3=4 解方 程即可得答案： (3)连接PB,BC,利用抛物线点对称性可知当点B、P、C三点共线时，此时△PAC的周长最小，然后 利用待定系数法求得直线BC的解析式，即可解答. 【详解】(1)解：将A-l,0),B(3,0)代入y=r2+br+3得： a-b+3=0 9a+3b+3=0, a=-1 解得b=2, y=-x2+2x+3 ∴.抛物线解析式为 。 (2)解：设点D坐标为 6,-12+2t+3) :A(-1,0),B3,0) .AB=3-(-1)=4 :8mx4x=4x+2+=2+2+=8 即人+21+3=4 ∴.-12+21+3=4或-2+21+3=-4， D(1,4) 解+21+3=4得：1=1，此时 解-+21+3=4得：1=1士22，此时D+22,4或D1-22,4 点D坐标为4)或+22,4）或-22，-4) (3)解：存在， 50/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图所示，连接PB,BC, B :点A、B关于抛物线对称轴对称， .PA=PB, ∴△PAC的周长=AC+PC+PA=AC+PC+PB≥AC+BC, 即当点B、P、C三点共线时，此时△PAC的周长最小， 对于少=-r+2x+3 令=0 y=3 ，则， C(0,3) 设直线BC解折式为=c+m,将(3,0)，C03引代入得： m=3 3k+m=0, m=3 解得k=-1, ∴直线BC的解析式为y=-x+3, y=-2+2x+3=-(x-+4 .该抛物线的对称轴为直线x=1, 对于y=-x+3,当x=1时，y=-1+3=2, 1,2) ∴点P坐标为 y=x2+bx+c 4.(25-26九年级上天津东丽期末)已知：二次函数 的图象与x轴交于A,B两点，其中A 51/61 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点坐标为 3,0),与y轴交于点C,点 D(-2,-3) 在抛物线上. 2 D (1)求抛物线的解析式： (2)抛物线的对称轴上有一点P,使△PAD周长最小，求P点坐标； (3)Q为直线BD下方抛物线上一点，求△BDO面积的最大值： 【答案】(0)少=r+2x-3 ②点p1-2) (3)8 【分析】本题考查二次函数的图象和性质， (1)由待定系数法即可求解： (2)点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C,连接AC交抛物线对称轴于点P,则点P为所求点，然后 求出点P的坐标即可； H(m,m-1 (3)过点Q作H∥y轴交BD于点H,求出直线BD的表达式为：y=x-1,设点H ,则点 Qmm2+2m-3),根据S,0×0×(,-)表示出三角形的面积，然后求出最大值即可。 【详解1解：把1(3,0.D(2-3列代入=+x+c, (-3}2-36+c=0 ÷(-2}2-2b+c=-3 52/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「b=2 解得： c=-3, y=x2+2x-3 则抛物线的表达式为： ②解：把=0代入=+2x-3得：广-3 C0-3) D(-2-3) ∴，点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C,连接AC交抛物线对称轴于点P,连接PD,如图所示： ○ D 则PD=PC, ∴.PA+PD=PA+PC, 两点之间线段最短， ∴此时PA+PC最小，即PA+PD最小， ,AD为定值， ∴此时△PAD的周长最小， 则点P为所求点， 设直线4C的函数表达式为=c+b,把4(-3,0).C0,-3)代入得： -3k+b=0 b=-3 k=-1 解得：b=-3, 53/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线AC的表达式为：y=-x-3, 2 抛物线的对称轴为直线x=一2×1 -1 把x=-1代入y=-x-3得，y=-2, 即点P(-1-2) (3)解：过点Q作H∥y轴交BD于点H,如图所示： B 令x2+2x-3=0, x=1x2=-3 解得： (1,0) 点 设直线BD的解折式为=数+力，起BL,0),D(2,)代入得： ，把 [k'+b'=0 -2K+b'=-3, [k=1 解得：b=-1, 直线BD的表达式为：y=x-1, 设点0，m-,则点mm+2m-3列 g=m-1-(m2+2m-3)=-m2-m+2 则 54/61 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则S0=2×H0x(xa-xn) =m㎡-m+2x-(2) -m-m+2) 8. 3 2 <0 1 27 ∴当m=一2时，△BDQ面积的最大值为8： 5.(25-26九年级上广东惠州期中)如图，抛物 y=am2+bx+3a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交 -1,0) 于点C,已知点A的坐标是 抛物线的对称轴是直线x=1 y x=1 x=1 B A B 备用图 (1)直接写出点B的坐标， (2)在对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标和PA+PC的最小值. (3)第一象限内的抛物线上有一动点M,过点M作MN⊥x轴，垂足为N,连接BC交MN于点Q.依题意补 全图形，当0+V2C 的最大值时，求点M的坐标 【答案】080) PL.2),PA+PC的最小值为35 (2) 55/61 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用、求出函数解析式、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数 的对称性以及数形结合的思想是解题的关键。 (1)根据抛物线的对称性求解即可； (2)根据抛物线的对称性得到PA+PC=PB+PC≥BC,得到当PB、C三点共线时，PA+PC的值最小， 且为BC的长，求出直线BC的解析式，其与对称轴的交点即为点P的坐标，两点间的距离公式求出BC的 长，即为PA+PC的最小值： (3先根据思意补全图形，设M(m,-m+2m+3,则N(m0),(m-m+3),将M0+2C0的最大值 转化为二次函数求最值，即可得解 A(-1,0) 【详解】(1)解：，点 关于对称轴的对称点为点B,对称轴为直线x=1。 点B为80) y=ax+bx+3(a0) (2)解：，抛物线 与y轴交于点C, C(0,3) 如图：连接BC交对称轴于点P,连接AP, 点A关于对称轴的对称点为点B, ∴.AP=BP .PA+PC=PB+PC≥BC, ∴当P、B、C三点共线时，PA+PC的值最小，且为BC的长， 56/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ：B30) :BC=V32+3=3V2 设直线BC的解析式为：y=ac+n, [n=3 n=3 则：3k+n=0,解得：k=-1, .直线BC的解析式为：y=-x+3, :点P在抛物线的对称轴上， P2) :点P12).PA+C的最小值为35 (3)解：如图：过点M作MN⊥x轴，垂足为N,连接BC交MN于点O. B O 1N 4-L0),B30) y=a(x+1)(x-3) ∴.设抛物线的解析式为： C(0,3) ∴3=-3a,解得：a=-1, :y=-(6x+1(x-3)=-x2+2x+3 设M(m-m+2m+3),则Nm,0), 由(2)知：直线BC:y=-x+3, 57/61 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Q(m,-m+3) MQ=-m2+2m+3-（-m+3)=-m2+3m C0,3),B3.,0) ..OC=OB=3,BN=3-m. ∴.∠OBC=∠OCB=45°， .∠N0B=∠0BC=45°， :B2=5BN=V2(B-m) :C0=BC-B0=32-32+V2m=V2m ,M0+V2Cg=-m2+3m+V2.v2m=-m2+5m=- 时，M0+w2c0有最大值，此时M[3) 当m=3 6,(2026江苏镇江二模)如图，=次函数=-++C的图象与轴交TA、B(40)阿点(4在8的 左侧)，与轴交于点CQ利，点P在抛物线上，连接BC、BP。 B B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： ②如图1，若点P在第一象限，连接MP交BC于点D.记△DBP 为，DC的面积为9.当 的面积为， 58/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8<S时，则点的横坐标的取值范国是一： (3)如图2，直线OP交抛物线于另一点2， ①若点P、点Q的横坐标分别是m、n,则mn= ②连接CP、CQ,记△PCQ的面积为S,求S的最小值. 【答案】()'=-r+3x+4 (2)3<a<4 (3)①-4；②S的最小值为8. 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2②)由8<8：得到S<5c·得到Sm引-+3a+4,5c=10,由题室得 d+3a+4)小<10，据此求解即可 x2+(k-3)x-4=0 (3)①联立得 ,利用根与系数的关系即可求得mm=4: ②求得S=2m+4 利用不等式的性质求解即可 m B(4,0)C(0,4) 【详解】(1)解：由题意，抛物线经过点 和 将C04 代入y=-+x+c,得c=4, (4,0) 将 代入y=-r2+bx+4 ,得 -16+4b+4=0,解得b=3, =-x2+3x+4 ∴抛物线的解析式为 (2)解：先求解抛物线与x轴的另一个交点A, 令y=0,即-x2+3x+4=0, 解得x=-1或x=4, 59/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(-1,0) 结合A在B左侧得 :9sg S+SAADB<S2+SAADB S△ABP<SAABC 点P的横坐标为a, 点P的坐标为a,-口+3a+4) 5e×5(-d++40, 8版25x4=10。 ÷(-2+3a+4<10,整理得a6-d)<0, :点P在第一象限， .3<a<4: (3)解：设直线OP的解析式为y=c, 联立直线与抛物线方程得，c=-x2+3x+4, x2+(k-3)x-4=0 整理得： 该方程的两个根为点P、Q的横坐标、， 由一元二次方程根与系数的关系得mn=-4； C(0,4)0(0,0) ②点 ：8,nm=S.c+S.oc=2 xocx(m+n）. *mn=-4, ∴.m、n异号，设m>0,则n<0, 60/61 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..S=- ×4×(m-n)=2(m-n), 2 :ns、4 m S=2m+ 4 .*m>0 4 4 m+4≥2，m.4=4 4 mm (当且仅当m一，即m=2时取等号)， .S≥2×4=8， 答：S的最小值为8 61/61