重难点专题08 二次函数与几何综合（8大题型）数学新教材人教版九年级上册

重难点专题08 二次函数与几何综合问题 重难点一 与线段有关的基础计算 1.灵活选用、、三种抛物线解析式； 2.抛物线上动点统一设为； 3.水平线段长，竖直线段长，任意两点距离用，比较线段相等时直接使用距离平方公式简化计算。 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），点C在抛物线上，坐标为，，连接，按照以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点E，交于点F；②以点C为圆心，长为半径画弧，交于点G；③以点G为圆心，长为半径画弧，在下方与弧交于点H；④以点H为圆心，长为半径画弧，在点H下方与弧交于点I；⑤连接并延长交抛物线于点D，则的长为_____． 2．如图，抛物线交x轴于两点，过y轴正半轴上一点C作x轴的平行线交该抛物线于D，E两点（点D在左侧）． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)若，求点E的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标． 4．定义：由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有相同的交点，（点在点的右侧），与轴的交点分别为，． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点是轴下方抛物线上的点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段与线段的长度的比值． 重难点二 线段与周长最值问题 1.铅垂线段最值构造二次函数，依靠对称轴求最值； 2.两条线段和最小采用将军饮马模型，借助抛物线对称轴作定点对称点，连线交点即为动点； 3.最大值依据三角形三边关系，三点共线时取极值； 4.周长最值只需固定不变线段，转化为两条动线段和最小求解。 1．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（） A．8 B．10 C． D． 2．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，若点为线段上的动点（与，不重合），作射线交抛物线于点，在点的运动过程的最大值为（   ） A． B． C． D．不存在 3．如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线与轴交于点，若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，则的最小值为___________． 5．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P． (1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； (2)若，求点P的坐标． 6．如图，二次函数（a，b为常数）的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线位于第三象限图象上的动点，过点P作x轴的平行线交y轴于点N，交直线于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，交x轴于点M． (1)求二次函数表达式； (2)如图1，当时，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点G是抛物线对称轴的一个动点，过点G向y轴做垂线，垂足为H，连接，，求的最小值． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），过作轴的垂线，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的表达式： (2)若点的横坐标为，用含的代数式表示； (3)过点作于点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值． 重难点三 与面积有关的问题（含压轴） 1.三角形通用铅垂高面积公式，不规则图形采用割补法，整体图形面积减去或拆分多个规则图形面积； 2.已知面积求动点则设动点横坐标列方程求解，面积最值直接利用二次函数顶点公式计算，同时舍去超出图像范围的无效解。 1．如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 2．如图，已知抛物线过点，顶点为D．若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值为 _________． 3．如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 4．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． (1)当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； (2)当时，求点A的纵坐标的最小值． 5．如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式． 6．如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，顶点的坐标为；将抛物线沿着它的对称轴上下平移后点的对应点为点，联结、．    (1)求抛物线的表达式； (2)把抛物线向上平移5个单位，求的正弦值； (3)设直线和平移前的抛物线交于点，联结，当时，求点的坐标． 7．已知，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点横坐标为，线段长为，求与的函数关系式； (3)如图2，在（2）的条件下，为抛物线上一点，其横坐标为，连接交轴于点，直线交抛物线于点，过点作轴的垂线，交于点，交于点，连接，若，求的面积． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 重难点四 等腰、直角三角形的存在性问题 1.直角三角形分三种直角顶点讨论，利用勾股定理结合线段平方列式； 2.等腰三角形分三类，借助两点距离平方公式列式，可联立线段垂直平分线与抛物线求交点，全部解算出后结合图像舍去增根。 1．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 2．将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，如果是等腰直角三角形，那么顶点C的坐标是______． 3．已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．已知，如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，． (1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式； (2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，的面积为S，求S关于的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标； (3)在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形（P为上述（2）问中使S最大时的点）？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 重难点五 特殊平行四边形的存在性问题 1.平行四边形核心使用中点公式，分三条线段分别作对角线分类计算动点； 2.矩形在平行四边形基础上加邻边垂直勾股条件，菱形增加邻边长度相等限制，正方形同时满足垂直、邻边相等双重条件。 1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)M是抛物线上一点，过点M作y轴的平行线交直线于点N，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线过三点，点P是x轴上的动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图甲所示，连接，是否存在点P，使四边形为等腰梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)点H是题中抛物线对称轴l上的动点，如图乙所示，求四边形周长的最小值． 4．如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是． (1)求直线及抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 5．我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，，，则称函数y1与y2互为“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)求二次函数的“回旋”函数的解析式； (2)若关于x的二次函数的顶点在它的“回旋”函数图象上，且当时，，求a，c的值； (3)关于x的函数的图象顶点为M，与x轴的交点为A、B，当它的“回旋”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，是否存在b使得为矩形？ 6．已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线是第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴于点，与线段交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当是以为底边的等腰三角形时． （i）求线段的长； （ii）已知是直线上一点，直线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 重难点六 二次函数与相似三角形 1.先算出定三角形边长与比例，无规定对应顶点时必须分两组对应关系讨论，根据相似比例列分式方程； 2.设动点坐标代入求解，最后检验坐标是否符合图像位置，剔除不合理解。 1．已知抛物线经过点，，与轴的交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是该抛物线上一点，且位于其对称轴的右侧，过点分别作，轴的垂线，垂足分别为，，连接．若和相似，求点的坐标． 2．如图①，二次函数的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连接，过点C作交于点D． (1)求点D的坐标； (2)如图②，在直线上取一点M（不与点B重合），在直线的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图所示，抛物线坐标轴交于、、，其顶点是． (1)求该抛物线的解析式； (2)试判断的形状，并说明理由； (3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图所示，抛物线经过点，，，它的对称轴为直线． (1)求的面积； (2)求抛物线的解析式； (3)点是该抛物线上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，点是直线上的点，若以点，，为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 重难点七 二次函数与几何变换 1.抛物线平移遵循左加右减、上加下减规则，顶点式仅改变； 2.折叠属于轴对称，折痕垂直平分对应点连线，利用中点公式验证； 3.旋转前后线段长度不变，熟记 90°、180° 坐标变换规律，将变换后点坐标代入抛物线建立方程计算。 1．如图，抛物线与x轴交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，使是以为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标； (3)若为抛物线对称轴上的一点，连接，，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标． 2．抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），点是抛物线的顶点，连接、． (1)求、的坐标（用含的式子表示）； (2)若抛物线与直线交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标，否则，请说明理由； (3)如图，若是等腰直角三角形，点是一动点且满足，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，求的最大值． 重难点八 二次函数解决角度问题 1.遇到45°角构造一线三垂直全等模型实现线段转化，30°、60° 角利用直角三角形三边比例列式；2.等角可通过平行线、相似、对称进行等量转换，通用方法为过角顶点作横竖辅助线，把角度条件全部转化为线段长度关系再结合函数计算。 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值以及此时点P的坐标； (3)抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于点和点．与y轴交于点C，D是线段上一点． (1)求这条抛物线的表达式． (2)如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求D的坐标； (3)点P为该抛物线上第一象限内一点，当，且时，求点P的坐标． 3．已知抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线，抛物线与y轴交于C点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），P是抛物线第一象限内的任一点，过点P作轴于D，直线与交于点E，当是以为底的等腰三角形时，求P点的坐标； (3)如图（乙），若点M是抛物线上任意一点，且满足，求M的坐标． 4．如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，点P从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O出发，同时点Q从点O出发，沿OA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当点P与点O重合时运动停止．设运动时间为t秒． (1)当时， ； (2)当与相似时，求t的值； (3)当时，抛物线经过P，Q两点，与x轴交于另一点M．抛物线的顶点为N，问该抛物线上是否存在点D，使？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由． 5．如图，已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一点，连接、．    (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，若，求点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上有一动点，若，请直接写出点的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，抛物线经过点、，是线段的中点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，求点的横坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (4)抛物线上（下方）是否存在点，使得？若存在，求出点到轴的距离，若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题08 二次函数与几何综合问题 重难点一 与线段有关的基础计算 1.灵活选用、、三种抛物线解析式； 2.抛物线上动点统一设为； 3.水平线段长，竖直线段长，任意两点距离用，比较线段相等时直接使用距离平方公式简化计算。 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），点C在抛物线上，坐标为，，连接，按照以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点E，交于点F；②以点C为圆心，长为半径画弧，交于点G；③以点G为圆心，长为半径画弧，在下方与弧交于点H；④以点H为圆心，长为半径画弧，在点H下方与弧交于点I；⑤连接并延长交抛物线于点D，则的长为_____． 【答案】 【分析】设，先解方程得，解方程得 ，过点作轴于点，过点作直线于点，如图，利用基本作图得到，则可证明，根据正切的定义，在中，则在中，即，所以，解方程得到，然后利用两点间的距离公式可计算出的长． 【详解】解：设， 当时，， 解得， ， 当时，， 解得， 过点作轴于点，过点作直线于点，如图， 由作法得， ， ， ， 在中， ∵， ， 在中，， ， ， 即， 解得：， ， ， 故答案为：． 2．如图，抛物线交x轴于两点，过y轴正半轴上一点C作x轴的平行线交该抛物线于D，E两点（点D在左侧）． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)若，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)点E的坐标为 【分析】本题主要考查了求函数解析式、抛物线与y轴的交点、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入求得a、b的值即可解答； （2）先求得抛物线得对称轴是直线x＝，设，则可得，再根据列方程求得m的值，最后代入抛物线解析式即可解答． 【详解】（1）解：把代入， ，  解得， ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式为， ∴该抛物线得对称轴是直线x＝． 设，则， ∴， ∵， ∴，解得：． 把代入，解得：， ∴点E的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求出，，根据待定系数法求解即可； （2）先求出的解析式，然后表示出，，根据即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴，即 ∴， ∴， 把 代入得： ， 解得：  ， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图， 设的解析式为：， ∵,， 所以， 解得， 所以的解析式为：， 设， 则， ∵， ∴ ， 解得：（舍） 或， ∴. 4．定义：由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有相同的交点，（点在点的右侧），与轴的交点分别为，． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点是轴下方抛物线上的点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段与线段的长度的比值． 【答案】(1)抛物线的解析式为，； (2)线段与线段的长度的比值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （）将、代入中，即可求函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求出点的坐标； （）设，则，，分别求出，，再求比值即可． 【详解】（1）解：将、代入中， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 在中，令，则， ∴； （2）解：设，则，， ∴，， ∴， ∴线段与线段的长度的比值为． 重难点二 线段与周长最值问题 1.铅垂线段最值构造二次函数，依靠对称轴求最值； 2.两条线段和最小采用将军饮马模型，借助抛物线对称轴作定点对称点，连线交点即为动点； 3.最大值依据三角形三边关系，三点共线时取极值； 4.周长最值只需固定不变线段，转化为两条动线段和最小求解。 1．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（） A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点C坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：由题意知四边形为矩形． 将点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 设点的坐标为， 由抛物线的对称性得点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形的周长为， ∴当时，四边形的周长的最大值为10． 2．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，若点为线段上的动点（与，不重合），作射线交抛物线于点，在点的运动过程的最大值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】首先求出抛物线表达式，连接， 得到点的坐标， 利用得出的面积，证明 ，根据相似三角形的判定与性质，可得根据三角形的面积，可得 ，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】解：∵抛物线，可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，则 ， ∴点的坐标为； 连接， 设点的横坐标为， ， ， 如图， 过点作于， ，，， 满足， ， 又，， ， ， ， ， ． ∴当时，存在最大值． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，三角形面积求法，待定系数法，勾股定理，综合性强，有一定难度，解题时要注意数形结合． 3．如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 【答案】 【详解】解：令，即， 解得：， ∴点， 将，代入，得， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：，∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点Q在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线与轴交于点，若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】解：如图所示，作点C的对称点，可知， 当点三点共线，且时，值最小， 当时，， ∴点. ∵抛物线的对称轴是， ∴点. ∵直线，且， ∴直线. ∵直线经过点， ∴， ∴直线. 将两个函数关系式联立，得 ， 解得，∴点，则. 故答案为：. 5．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P． (1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； (2)若，求点P的坐标． 【答案】(1)，最大值为 (2)点P的坐标为 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的解析式求出抛物线与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，表示出点的坐标，然后表示出线段的长度，最后根据二次函数的性质求出最值即可； （2）根据线段的数量关系列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ． 当时，有， 解得：，． ，． 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为． 点N的横坐标为m， ，． ， ， ， 当时，取最大值； （2）解：轴，， ． ， 或（舍去）． 此时点P的坐标为． 6．如图，二次函数（a，b为常数）的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线位于第三象限图象上的动点，过点P作x轴的平行线交y轴于点N，交直线于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，交x轴于点M． (1)求二次函数表达式； (2)如图1，当时，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点G是抛物线对称轴的一个动点，过点G向y轴做垂线，垂足为H，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． （1）将，代入，待定系数法即可求解； （2）首先确定点C的坐标，求出直线的函数表达式，设，则，得，证明 ，得，由此得方程，解方程即可求出坐标； （3）将点沿水平方向向右平移至，使，连接，作点关于轴的对称点，连接，，得，由，推出三点共线时，最小，由得，由抛物线的对称轴为直线，得，根据两点距离公式求解即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ； （2）解：当时，， ， ， ， ， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， ， 设，则， ， 轴， ， 轴， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 解得， ， ； （3）解：将点沿水平方向向右平移至，使，连接，作点关于轴的对称点，连接，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 中，， 三点共线时，最小， ， ， ， ， ， ， 即的最小值是． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），过作轴的垂线，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的表达式： (2)若点的横坐标为，用含的代数式表示； (3)过点作于点，当的值最大时，求点的坐标及的最大值． 【答案】(1) (2) (3)当PQ取最大值时，点P的坐标为，的最大值为 【详解】（1）解：把点，代入，得： 解得：抛物线的表达式为； （2）设直线的表达式为， 把，代入，得： 解得直线的表达式为． 点的横坐标为， ， （3）如图 点，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，则时有最大值 此时 当取最大值时，点的坐标为，的最大值为． 重难点三 与面积有关的问题（含压轴） 1.三角形通用铅垂高面积公式，不规则图形采用割补法，整体图形面积减去或拆分多个规则图形面积； 2.已知面积求动点则设动点横坐标列方程求解，面积最值直接利用二次函数顶点公式计算，同时舍去超出图像范围的无效解。 1．如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 2．如图，已知抛物线过点，顶点为D．若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值为 _________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质作轴交于E点，求得的解析式为，设，，得，所以，，求函数的最大值即可. 【详解】解：将A，B，C点的坐标代入解析式，得方程组： 解得 抛物线的解析式为 作轴交AC于E点，如图， 设的解析式为，则 解得 ∴的解析式为， 设，， ， 当时，的面积的最大值是； 故答案为： 3．如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 【答案】 【分析】运用待定系数法求得解析式，设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点H，则，可得到，利用三角形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， ∴设， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点， 则， ∴， ∵的面积为15， ∴， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为． 4．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． (1)当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； (2)当时，求点A的纵坐标的最小值． 【答案】(1)，，的面积为 (2)3 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标；进而可求出的面积； （2）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴，， ∴的面积为． （2）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：， 当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为：． 5．如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先利用点C坐标与对称轴为求出，再求出点D的坐标，进而分别求出点C、D到的距离，利用列出方程，求出、的值，从而求出抛物线的解析式． 【详解】解：如图，令直线与交于点F， 将点代入抛物线得：， 抛物线对称轴为， ， ， 抛物线解析式为， 将代入得：， ， 轴，点P的纵坐标为2， 、， 、， 抛物线的图象开口向下， ， ， ， ， ， 解得：， ， 抛物线的解析式为． 6．如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，顶点的坐标为；将抛物线沿着它的对称轴上下平移后点的对应点为点，联结、．    (1)求抛物线的表达式； (2)把抛物线向上平移5个单位，求的正弦值； (3)设直线和平移前的抛物线交于点，联结，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，掌握二次函数图象平移的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求抛物线的表达式即可． （2）根据二次函数图象平移的性质求出点D的坐标，再求出点B的坐标，通过计算得出，根据等边对等角得出，最后根据正弦的定义求解即可． （3）分点D在点C上方或下方两种情况，画出图形作出辅助线利用平行线的性质和相似三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解∶∵抛物线的顶点C的坐标为， 故设抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于A点，点A坐标为， ∴， 解得， ∴； （2）解：设抛物线的对称轴与x轴交于点E，如图：    ∵顶点C的坐标为， ∴， ∵把抛物线向上平移5个单位， ∴，， ∴， 令，则， 解得或7， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：①当点D在点C的上方时， 设抛物线的对称轴与x轴交于点F，过点E作于点H，如图，    ∵顶点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ②当点D在点C的下方时，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，过点E作于点H，如图，    ∵顶点C的坐标为， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：点E的坐标为或． 7．已知，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点横坐标为，线段长为，求与的函数关系式； (3)如图2，在（2）的条件下，为抛物线上一点，其横坐标为，连接交轴于点，直线交抛物线于点，过点作轴的垂线，交于点，交于点，连接，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）作轴于点，设，证明，求得，即可得到； （3）作轴于点，作轴于点，作轴于点，表示出点，求得直线的解析式，表示出，得到，可求得，再求得点是的中点，利用三角形中位线定理求得，得到，求得，求得各点坐标，进而求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵抛物线交轴于点，， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：作轴于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，作轴于点，作轴于点，作轴于点， ∵为抛物线上一点，其横坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， 设直线的解析式为， ∴， ∴直线的解析式为， 令，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 同理直线的解析式为， 联立得， 整理得， ∵点是第一象限抛物线上一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为3， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴点是的中点， ∵，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， 同理直线的解析式为， 当时，， ∴， 联立得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴， ∴，， ∴的面积． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 则点， 将，，代入抛物线解析式， 得， 解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：将代入直线， 得， ， 则直线的表达式为， 如图，过点作轴交于点， 设点（），则点， ， ， ， ， ， ，对称轴为， 又， 当或时，， ， 四边形面积的取值范围是； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 重难点四 等腰、直角三角形的存在性问题 1.直角三角形分三种直角顶点讨论，利用勾股定理结合线段平方列式； 2.等腰三角形分三类，借助两点距离平方公式列式，可联立线段垂直平分线与抛物线求交点，全部解算出后结合图像舍去增根。 1．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 2．将抛物线沿y轴向下平移后，所得抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，如果是等腰直角三角形，那么顶点C的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与x轴的交点问题，根据题意画出图形、作出辅助线是解答此题的关键．设抛物线沿y轴向下平移b个单位，则抛物线的解析式为，再根据题意画出图形，令得出AB两点的坐标，作轴于点E，求出E点坐标，由等腰三角形的性质可知，进而可得出b的值． 【详解】解：设抛物线沿y轴向下平移b个单位，抛物线的解析式为，此时点C的坐标为， 如图所示： 令，则， ，， 过点C作轴于点E，则， 是等腰直角三角形， ， 或， 点坐标为． 故答案为：． 3．已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)、、 、或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴；；， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为或； 当时，，解得或， ∴点Q的坐标为或， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为、、 、或 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)①m的值为 ；②存在，点Q的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，结合图形即可解答； （3）①根据题意，分两种情况进行讨论：当点P在对称轴左侧，即时，当点P在对称轴右侧，即时；②根据①中求出的点P的坐标，进行分类讨论即可：当时，当时． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴抛物线与x轴相交于， ∵点P在此抛物线上，其横坐标为 ∴由图可知，当点P在x轴上方时或． （3）解：①∵， ∴对称轴为直线， 当点P在对称轴左侧，即时， 最低点为抛物线顶点， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， 当点P在对称轴右侧，即时，y随x的增大而减小， ∴最低点为， ∴， 解得：， 综上：； ②由①可知 当时，，和点A重合， ∵对称轴为直线，， ∴； 当时，令对称轴和x轴相交于点H，则， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：存在，点Q的坐标为或． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式；抛物线的解析式 (2)存在，点M坐标为或或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，设，可得，，，再分类讨论即可； 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点，分别代入得： ， 解得： 直线的解析式为； ∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，， ， 当时， ∴， 解得：， ∴或； 当时， ∴， 解得：， ∴， 综上：点M坐标为或或． 6．已知，如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，． (1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式； (2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，的面积为S，求S关于的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标； (3)在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形（P为上述（2）问中使S最大时的点）？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)，点的坐标为； (3)当点的坐标为或或或或时，为等腰三角形． 【分析】（1）由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得到，由相似得比例，求出的长，确定出C的坐标，由B与C的坐标设出抛物线的交点式解析式，将A坐标代入求出a的值，确定出抛物线解析式； （2）连接，过P作垂直于x轴，将代入抛物线解析式表示出P的纵坐标，即为的长，，列出S关于m的二次函数解析式，利用二次函数的性质求出S最大时m的值，即可确定出此时P的坐标； （3）分点M是顶点、点C是顶点、点P是顶点三种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴点的坐标为， 设过、、三点的抛物线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴过、、三点的抛物线的解析式为， 即； （2）解：过点作轴的垂线，垂足为点， ∵点在上， ∴， ∴， ， ， ∴ ， ∵， ∴当时，最大， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：存在． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线； 设点， ∵，， ∴， ， ． 分三种情况讨论： ①当点是顶点时，，即，解得，． ∴， ②当点是顶点时，，即，解得，．∴，， ③当点是顶点时，，即，解得，． ∴，， 综上所述，当点的坐标为或或或或时，为等腰三角形． 重难点五 特殊平行四边形的存在性问题 1.平行四边形核心使用中点公式，分三条线段分别作对角线分类计算动点； 2.矩形在平行四边形基础上加邻边垂直勾股条件，菱形增加邻边长度相等限制，正方形同时满足垂直、邻边相等双重条件。 1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)M是抛物线上一点，过点M作y轴的平行线交直线于点N，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在．当点M的坐标为或时，以为顶点的四边形是平行四边形 【详解】（1）解：抛物线过点， ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：存在．设点， ， ， 设直线， ∴ 解得： ∴直线的函数表达式为， 轴，如答案图所示， ， ， ∴要使以为顶点的四边形是平行四边形，只需使即可， 当点M在第一、二，三象限时，， 解得：； 当时，； 当时，， ； 当点M在第四象限时，，此时m无实数解． 综上所述，当点M的坐标为或时，以为顶点的四边形是平行四边形． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为： (2)存在， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数动点与菱形的存在性的问题． （1）把B、C点坐标代入二次函数解析式即可解出． （2）若四边形是菱形，和相互垂直，P点纵坐标是，代入二次函数表达式即可解得． 【详解】（1）解：将点B、C的坐标代入中，得： ， 解得：； ∴抛物线：． （2）解：存在．理由如下： 作的垂直平分线交直线下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2，      则． ∵沿翻折，得到四边形， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． ∵， ∴点E的坐标为， ∴点P的纵坐标为， 把代入得，解得． ∵点P在直线下方的抛物线上， ∴， ∴满足条件的点P的坐标为． 3．如图，已知抛物线过三点，点P是x轴上的动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图甲所示，连接，是否存在点P，使四边形为等腰梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)点H是题中抛物线对称轴l上的动点，如图乙所示，求四边形周长的最小值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由抛物线过三点，得，，再分两种情况进行讨论解答即可； （3）过点A作抛物线对称轴的对称点，过点B作 x轴的对称点，连接，分别交抛物线对称轴和x轴于点H和点P，则这两点即为所求，得到，进一步求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过三点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）不存在，理由如下： ∵抛物线过三点， ∴，， ①若，过点B作，过点A作轴，交点为点E，    ∴ 当时， ∴ ∴， ∴点P的坐标为； ∴ ∴ ∴此点不符合要求，舍去， ②若，过点A作轴，过点C作轴，交点为点E，过点B作轴，    当时，， ∴ ∴， ∴点P与点O重合； ∴ ∴此点不符合要求，舍去； （3）过点A作抛物线对称轴的对称点，过点B作 x轴的对称点，连接，分别交抛物线对称轴和x轴于点H和点P，则这两点即为所求， ∴， ∴    ∵抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴四边形周长的最小值为 4．如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是． (1)求直线及抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)直线的解析式为，抛物线的解析式是； (2)3 (3) 【分析】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图象及性质，三角形和正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意得出，，连接，然后结合图形得出即可求解； （3）分是正方形的边和是正方形的对角线两种情况分析，再根据正方形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与抛物线交于点 ∴，， ∴， ∴直线的解析式为，抛物线的解析式是； （2）解：联立方程组， 解得或， ∴点A的坐标是， 当时，， ∴点C的坐标是， ∴， 连接，如图所示： ∴； （3）解：当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示： 此时M点与A点关于y轴对称，点Q与点O重合，点P与点Q关于对称， ∴，， ∴，，， ∴当，时，四边形为正方形； 同理，当点M与顶点C重合，点Q与点O重合时，如图所示： ∴当，时，四边形为正方形； 当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示：作点A关于的对称点M， ∴，， ∴当，时，，四边形为正方形； 如图，当是正方形的对角线时，如图所示： ∴点P的纵坐标为 ∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述：M点坐标为． 5．我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，，，则称函数y1与y2互为“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)求二次函数的“回旋”函数的解析式； (2)若关于x的二次函数的顶点在它的“回旋”函数图象上，且当时，，求a，c的值； (3)关于x的函数的图象顶点为M，与x轴的交点为A、B，当它的“回旋”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，是否存在b使得为矩形？ 【答案】(1)二次函数的“回旋”函数的解析式为； (2)，或，； (3)存在使得为矩形． 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）求出新函数的表达式为：，得到时，，再分类求解即可； （3）证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴二次函数的“回旋”函数的解析式为． （2）解：的“回旋”函数为：， 由知，其顶点坐标为， 将该点代入得， 解得， 则函数的表达式为， 即时，， 当时， 当时，， 解得，则； 当时， 当时，， 解得，则； 综上，，或，． （3）解：如下图： 设点、、、的横坐标分别为：，，，，， ∴点的坐标为：且，，点的坐标为： 且，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 设左侧抛物线的对称轴交轴于点， ∵，， ∴． 在中，， ∴， ∵， ∴ 同理：， ∴， 即， 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或， ∴存在使得为矩形． 6．已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线是第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴于点，与线段交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当是以为底边的等腰三角形时． （i）求线段的长； （ii）已知是直线上一点，直线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，点的坐标为 【分析】（1）根据对称轴直线得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）（i）根据题意，运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，根据等腰三角形的定义得到，如图，过点作，则，在中，由勾股定理得，由此即可求解；（ii）由（i）可知，，可得直线的解析式，设，若四边形为矩形，，根据点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，由此即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得， ， ， ， 抛物线的解析式为． （2）解：（i）设直线的解析式为，将点代入，得， 直线的解析式为， 设，则， ， 由题意知， 如图，过点作，则， ， 在中，由勾股定理得， 解得（舍去），， ； （ii）由（i）可知，， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 设， 若以为顶点的四边形是矩形，如图所示， ∴四边形为矩形， ， 点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点， 将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为矩形，满足题意， 点的坐标为． 重难点六 二次函数与相似三角形 1.先算出定三角形边长与比例，无规定对应顶点时必须分两组对应关系讨论，根据相似比例列分式方程； 2.设动点坐标代入求解，最后检验坐标是否符合图像位置，剔除不合理解。 1．已知抛物线经过点，，与轴的交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是该抛物线上一点，且位于其对称轴的右侧，过点分别作，轴的垂线，垂足分别为，，连接．若和相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法解题即可； （2）先确定的形状是等腰直角三角形，根据相似可知是等腰直角三角形，设，根据解题即可． 【详解】（1）把，代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）如图： ， 抛物线的对称轴是直线， 在中，令得， ， ， 是等腰直角三角形， 和相似， 是等腰直角三角形， 直线，轴， ，， 设， ， 或， 解得或或或， 点是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线的右侧， 的坐标为或． 2．如图①，二次函数的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连接，过点C作交于点D． (1)求点D的坐标； (2)如图②，在直线上取一点M（不与点B重合），在直线的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，满足要求的N点坐标有，，． 【分析】（1）根据二次函数图象的与坐标轴交点的计算方法，分别求出的坐标，根据题意，可证，可得，由此即可求解； （2）根据题意，运用勾股定理求出的值，可得是等腰三角形，结合图形，分类讨论：①如图所示，，可证，即可求解；②如图所示，，根据平行线，等腰三角形的性质即可求解；③如图所示，，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴． 令，则， 解得，， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在，理由如下， ∵，，， ∴，，则， ∴， ∴． ①如图所示，，交轴于， 则，，， ∴， ∴轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，， 则，， ∴， ∴； ③如图所示，， 则，，， ∴， 作轴于，则， ∴，， ∴， 作轴，于点，则，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴． 综上所述，满足要求的N点坐标有，，． 3．如图所示，抛物线坐标轴交于、、，其顶点是． (1)求该抛物线的解析式； (2)试判断的形状，并说明理由； (3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)坐标轴上存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）过点D作轴于点F，和都是等腰直角三角形，可得，即可证得结论； （3）利用勾股定理求得的三边的长，然后分点P在x轴和y轴两种情况讨论，设出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：是直角三角形，理由如下： 过点D作轴于点F， 在中， ∵， ∴， ∴ ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （3）解：坐标轴上存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似，理由： 由（2）知，，， ∵，，故当P是原点O时，； 当是直角边时，若与是对应边， 设P的坐标是，则， ∴，即， 解得， 则P的坐标是，不是直角三角形，则不成立； 当是直角边，若与是对应边时， 设P的坐标是，则， 则，即， 解得，故P是时，一定成立； 当P在x轴上时，是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是． 则，当与是对应边时， 则，即， 解得，此时，两个三角形不相似； 当P在x轴上时，是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是． 则，当与是对应边时， 则，即， 解得，符合条件． 总之，符合条件的点P的坐标为或或． 4．如图所示，抛物线经过点，，，它的对称轴为直线． (1)求的面积； (2)求抛物线的解析式； (3)点是该抛物线上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，点是直线上的点，若以点，，为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)，，，． 【分析】（）求出的长，然后利用面积公式即可求解； （）利用待定系数法求解析式即可； （）分别解得的坐标，抛物线的对称轴，推理出当时，以，，为顶点的三角形与全等，设，则，据此当点在抛物线对称轴的右（或左）侧时解答即可； 本题考查了二次函数的应用，根据题意推出两个三角形全等的条件，掌握待定系数法、二次函数的对称性及坐标轴上点的特征，解题的关键是掌握知识点的应用与分类讨论的思想方法． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴可设所求解析式为：， 则，解得：， ∴， ∴解析式为； （3）解：∵抛物线：， ∴对称轴直线， ∴直线为直线， ∵，， ∴等腰中，， ∵与全等，， ∴且点、在直线上， 设，则， ∴当时，，即； ∴当时，，即； ∵，， ∴，即 ∵，点，在直线上， ∴， ∴，， ∴，，，． 重难点七 二次函数与几何变换 1.抛物线平移遵循左加右减、上加下减规则，顶点式仅改变； 2.折叠属于轴对称，折痕垂直平分对应点连线，利用中点公式验证； 3.旋转前后线段长度不变，熟记 90°、180° 坐标变换规律，将变换后点坐标代入抛物线建立方程计算。 1．如图，抛物线与x轴交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，使是以为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标； (3)若为抛物线对称轴上的一点，连接，，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，或； (3)或； 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出的垂直平分线为，与二次函数联立即可求出答案； （3）分两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， 抛物线的表达式为：； （2）存在，理由： 是以为底边的等腰三角形，则点P在的中垂线上， ∵， ∴，而， ∴为等腰直角三角形， ∵的中点为， ∴的垂直平分线为， ∴， 解得：， ∴或． （3）∵点，， ∴，抛物线的对称轴为直线， 如图，由题意得，设翻折后点和点B对应， 则， ，， ∴， ∴， ∴， 当点M在x轴下方时，根据对称性，则点； 故点M的坐标为：或． 2．抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），点是抛物线的顶点，连接、． (1)求、的坐标（用含的式子表示）； (2)若抛物线与直线交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标，否则，请说明理由； (3)如图，若是等腰直角三角形，点是一动点且满足，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，求的最大值． 【答案】(1) (2)直线l总经过定点，理由见解析 (3)最大值为 【分析】（1）当时，，求得点A的坐标，将函数解析式化为顶点式，得到点C的坐标； （2）由直线与抛物线相交得到，根据根与系数的关系得到，由等式变形后，将根与系数的关系式代入求得，由此得到答案； （3）作于M，由是等腰直角三角形，得，求出，将线段绕点逆时针旋转到，连接，作于H，证得，推出，由，得，由两点距离公式求出得到当A，N，P三点共线时，有最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点（点在点左侧）， ∴当时，， 解得， ∴， ∵， ∴； （2）解：直线l总经过定点，理由如下： ∵抛物线与直线交于，两点， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 得， ∴ 当时， ∴直线l总经过定点； （3）解：作于M， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 将线段绕点逆时针旋转到，连接，作于H， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当A，N，P三点共线时，有最大值． 重难点八 二次函数解决角度问题 1.遇到45°角构造一线三垂直全等模型实现线段转化，30°、60° 角利用直角三角形三边比例列式；2.等角可通过平行线、相似、对称进行等量转换，通用方法为过角顶点作横竖辅助线，把角度条件全部转化为线段长度关系再结合函数计算。 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值以及此时点P的坐标； (3)抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)面积的最大值为4，此时点P的坐标为 (3)存在，Q的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）过P作轴交于K，求出，直线解析式为，设，则，可得，故，根据二次函数性质可得答案； （3）当Q在上方时，过B作于T，过T作轴于N，过B作于M，，证明，有，设设，可得，即知，直线解析式为，联立，解得；当Q在BC下方时，过B作于R，过R作轴于W，过B作于S，同理可得． 【详解】（1）解：把，两点代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过P作轴交于K，如图： 在中，令得， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得，， ∴直线解析式为， 设，则， ∴ ∴， ∵， ∴当时，取最大值4，此时， ∴面积的最大值为4，此时点P的坐标为； （3）解：抛物线上存在点Q，使，理由如下： 当Q在上方时，过B作于T，过T作轴于N，过B作于M，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得 ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 当Q在BC下方时，过B作于R，过R作轴于W，过B作于S，如图： 同理可得， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得，， ∴直线解析式为， 联立， 解得 ， ∴， 综上所述，Q的坐标为或． 2．在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于点和点．与y轴交于点C，D是线段上一点． (1)求这条抛物线的表达式． (2)如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求D的坐标； (3)点P为该抛物线上第一象限内一点，当，且时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设，则，运用待定系数法求出直线的解析式，设直线与x轴交于点E，求得点E的坐标，由知，由此可列出关于m的方程，求出m的值即可； （3）利用求出，利用求出，直线的表达式，设点，由求出，得点，求出直线的表达式，联立方程组，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的图象与x轴交于点和点， 把点和点代入得， ， 解得，， 所以，设抛物线的表达式为：； （2）解：设，则， 对于，当时， ∴点C的坐标为 延长交轴于点，如图， 设直线的解析式为 把，代入得， ， ∴，即， ∵ ∴ ∴直线的解析式为 当时，， ∴， ∴， ∵轴，， ∴ ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，但时，点D与点B重合，不符合题意，舍去， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ∴， 过点A作于点H，设交于点N， 而， 即 则， ∵，即， 则， 设直线的表达式为， 把代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 设点， 则， 解得：（舍去）或， 则点， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得，， ∴直线的表达式为， 联立方程组， 解得，，（舍去） ∴点． 3．已知抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线，抛物线与y轴交于C点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），P是抛物线第一象限内的任一点，过点P作轴于D，直线与交于点E，当是以为底的等腰三角形时，求P点的坐标； (3)如图（乙），若点M是抛物线上任意一点，且满足，求M的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （1）求出直线解析式，设点P坐标为：，则点E坐标为，当是以为底的等腰三角形时，点C在线段垂直平分线上，线段中点的纵坐标为3，由此求出x即可； （3）如图所示，取点，连，在上取点F，使得，连并延长交抛物线于点M，利用等腰三角形的性质和三角形内角和证明，再分别用待定系数法依次求出直线和直线的解析式，求出直线与抛物线交点M的坐标，再由对称性求出另一点M的坐标即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由题意点C坐标为， 由抛物线的对称性，点B的横坐标为， 则B点的坐标为：， 设直线解析式为：， 把，代入，得， ， 解得：， ∴直线解析式为：， ∴设点P坐标为：，则点E坐标为， 当是以为底的等腰三角形时， 点C在线段垂直平分线上，线段中点的纵坐标为3， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 故P点的坐标为． （3）解：取直线与x轴交点，记为点D， 连，在上取点F，使得，连并延长交抛物线于点M，    由题意可知，点关于y轴对称，则有，， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为：， 把，代入，得， ， 解得， ， ∴直线解析式为： 设点F坐标为， ，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， 则点F坐标为：， 设直线的解析式为， 把点，代入，得 ， 解得， 的解析式为， 当时， 解得（舍去） ∴点M的坐标为， 由对称性可知当F坐标为时，直线与抛物线的另一个交点也满足题意， 同理可以求出此时M的坐标为； 综上，点M的坐标为或． 4．如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，点P从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O出发，同时点Q从点O出发，沿OA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当点P与点O重合时运动停止．设运动时间为t秒． (1)当时， ； (2)当与相似时，求t的值； (3)当时，抛物线经过P，Q两点，与x轴交于另一点M．抛物线的顶点为N，问该抛物线上是否存在点D，使？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)2 (2)t的值为或 (3)抛物线上存在点D，其坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用． （1）可用含的代数式分别表示出，，的长，再将代入，即可直接求出的面积； （2）分两种情况讨论，当∽时，当∽时，分别用相似三角形的性质可求出的值； （3）先求出抛物线的解析式，顶点坐标，点的坐标，如图，连接，，过点作轴于点，则，推出，当点在轴上方时，设与交于点，求出直线的解析式，求出其与抛物线交点即可；当点在轴下方时，作点关于轴的对称点，与抛物线交于点，求出直线的解析式，求出其与抛物线的解析式即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， ， 当时，，， ， 故答案为：； （2）由题意知，， ①当时， ，即， 解得，（舍去），； ②当时， ，即， 解得，（舍去），， 综上所述，当与相似时，的值为或； （3）当时，，， 将代入，得，， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为， ， 由对称性知，， 如图，连接，，过点作轴于点，则，， ， ①当点在轴上方时， 则时，设与交于点， 又 ， ， ， 即， 解得，， ， 设直线的解析式为， 将，代入， 得，， 解得，，， 直线的解析式为， 联立，得， 解得，，（舍去）， ； ②当点在轴下方时， 作点关于轴的对称点，与抛物线交于点， 此时， 设直线的解析式为， 将，代入， 得，， 解得，，， 直线的解析式为， 联立，得， 解得，，（舍去）， ， 综上所述，抛物线上存在点，其坐标为或． 5．如图，已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一点，连接、．    (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，若，求点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上有一动点，若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）将、两点的坐标代入抛物线的解析式即可求解； （2）可求，①当在轴上方时，设，可求，由，即可求解；②当在轴下方时，由①得可求 ，由，即可求解； （3）①当在轴上方时，连接，作交的延长线于，设，可求，由，可得，即可求解；②当在轴下方时，同理可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的表达式． （2）解：当时，， ， ，， ，，， ， ； ①如图，当在轴上方时，    设， ， ， ， 整理得：， ， 此方程无实数根， 在轴上方不存在点满足题意． ②如图，当在轴下方时，    由①得： ， ， ， 整理得：， 解得：，， 当时， ； 当时， ； 的坐标为或． （3）解：①如图，当在轴上方时， 连接，作交的延长线于，      在抛物线的对称轴上， ， ， ， 设，则有， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， ， 整理得：， ， 对称轴为直线， ， 在中， ， ； ②当在轴下方时， 同理可求：； 综上所述：的坐标为或． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，抛物线经过点、，是线段的中点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，求点的横坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (4)抛物线上（下方）是否存在点，使得？若存在，求出点到轴的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)点横坐标为或 (3)存在， (4)存在，到轴的距离为 【分析】（1），，把，两点坐标代入即可求解； （2）过点作的平行线交抛物线左侧于点，可求直线的解析式为， ，即可求解；作关于轴对称的直线交抛物线左侧于点，同理可求； （3）设，由，即可求解； （4）过点作于点，延长至点，使得，连接，并延长交抛物线于点，作轴于，可求， ，可证，可求，从而可求，过作轴，交轴于，可求，直线解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 解得：； ，， 把，两点坐标代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：如图，过点作的平行线交抛物线左侧于点，此时    是的中点， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 令， 整理得：， 解得：，（舍去）， 作关于轴对称的直线交抛物线左侧于点，此时 同理可求直线的解析式：， 令， 整理得： 解得：，（舍去）， ∴点横坐标为或． （3）解：存在，理由如下： 设， 又∵，， ∴， ， ， ， ， 即： 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴． （4）解：存在， 如图，过点作于点，延长至点，使得，连接，并延长交抛物线于点，作轴于．    ，， ，， ，， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， ，   ， ， ∴， ， ， 过作轴，交轴于， ， ， ， ， ，，   ， 设直线解析式为，则有 ， 解得： ， 直线解析式为， 令， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴到轴的距离为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $