2024年中考数学高频压轴题突破——二次函数与特殊四边形

2024年中考数学高频压轴题突破—— 二次函数与特殊四边形 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，线段，二次函数与y轴交于A点，与x轴分别交于B点、E点（B点在E点的左侧） (1)分别求A、B、E点的坐标； (2)连接、，请判断与是否相似并说明理由； (3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图1,抛物线交轴于和两点,交轴于点,点是线段上一动点,连接,将线段绕点顺时针旋转90°得到线段,过点作直线轴于,过点作于. (1)求抛物线解析式； (2)如图2,当点恰好在抛物线上时,求线段的长； (3)在(2)的条件下:试探究在直线上是否存在点,使?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由. 3．已知二次函数与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接． 发现：点A的坐标为__________，求出直线的解析式； 拓展：如图1，点P是直线下方抛物线上一点，连接、，当面积最大时，求出P点的坐标； 探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交于点E，M是线段上一动点（M不与B、C两点重合），连接，设M点的横坐标为，当m为何值时，四边形为平行四边形？ 4．已知，直线y＝kx﹣1与抛物线y＝交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）当k＝时，求A，B两点的坐标； （2）点P是直线AB下方的抛物线上一点，点Q在y轴上，且四边形APBQ是平行四边形． ①如图1，在（1）的条件下，求▱APBQ的面积； ②当k变化时，Q点是否是y轴上的一个定点？若是，请求出点Q的坐标，若不是，请说明理由． 5．如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（0，3），C（1，0）． （1）求抛物线及直线AB的函数关系式； （2）有两动点D、E同时从O出发，以每秒1个单位长度的相同的速度分别沿线段OA、OB向A、B做匀速运动，过D作PD⊥OA分别交抛物线和直线AB于P、Q，设运动时间为t（0＜t＜3）． ①求线段PQ的长度的最大值； ②连接PE，当t为何值时，四边形DOEP是正方形； ③连接DE，在运动过程中，是否存在这样的t值，使PE=DE？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求点D的坐标； （3）P坐标为（，0）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M．N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图1，抛物线与轴交于点、，抛物线的对称轴为直线，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作交抛物线于点，将直线向上平移个单位交抛物线于点、，在直线下方对称轴右侧的抛物线上有一动点，过点作轴交直线于点，过点作交于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移，使平移后的抛物线过点是的对应点，平移后的抛物线与轴交于是平移后抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以点S、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作交轴于点，连接交于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点和点关于原点对称，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物线对称轴上一点，点为平面上任意一点，若以为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 9．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作圆，交轴于，两点，点在上．    (1)求出，两点的坐标； (2)试确定经过、两点且以点为顶点的抛物线解析式； (3)在该抛物线上是否存在一点，使线段与互相平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，C两点，与x轴交于点A．    (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作交y轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移2个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，请写出所有满足条件的点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程． 11．如图，已知抛物线过点．直线与抛物线交于，两点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：； (3)若点，分别是抛物线与直线上的动点，以为一边且顶点为，，，的四边形是平行四边形，请直接给出所有符合条件的点坐标． 12．如图1，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为.点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点与点重合时运动停止.设运动时间为秒. （1）当时，线段的中点坐标为________； （2）当与相似时，求的值； （3）当时，抛物线经过、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，如图2所示.问该抛物线上是否存在点，使，若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，说明理由. 13．如图；已知抛物线y＝ax2+3x+c与直线y＝x+1交于两点A，B(3，n)，且点A在x轴上． (1)求a，c，n的值； (2)设点P在抛物线上，其横坐标为m．直线l：x＝m+5与直线AB交于点C，过点P作PD⊥l于点D，以PD，CD为边作矩形PDCE，使得抛物线的顶点在矩形PDCE内部． ①直接写出：m的取值范围是_________； ②求PD+CD的最小值． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（-2，0），B（4，0）两，点，与y轴交于点C，连接AC、BC， (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P为直线BC下方抛物线上一动点，连接OP交BC于点E，当的值最大时，求点P的坐标和的最大值； (3)把抛物线y＝x2+bx+c向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线y'，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标，并任选其中一个N点，写出求N点的坐标的过程． 15．如图，抛物线经过、两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，连结、、、． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当的面积等于的面积的时，求的值． （3）当时，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$