专题05 二次函数存在性问题四边形相关（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“动点坐标平移与对称”为核心，构建“通法+题型+挑战”三级体系，提炼四边形存在性问题的模块化解题策略，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法总结|“中点对称+对角线分类”口诀|二次函数与四边形性质结合| |平行四边形|典例1+变式3|“中点坐标法+分类讨论”|从一般到特殊递进| |矩形|典例1+变式3|“先平四后直角+向量垂直”|平行四边形基础上叠加垂直| |菱形|典例1+变式3|“对角线垂直+邻边相等降次”|平行四边形基础上叠加垂直与相等| |正方形|典例1+变式3|“K型旋转+几何平移”|矩形菱形性质综合| |压轴挑战|10题|综合应用迁移|多知识点交叉应用|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5二次函数存在性问题四边形相关 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平行四边形相关存在性问题 题型二、矩形相关存在性问题 题型三、菱形相关存在性问题 题型四、正方形相关存在性问题 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁特 二次函数中四边形存在性问题，本质是“动点坐标的平移与对称”。相比三角形，它多了一个顶点， 但只需要注意：平行四边形找中点，三类对角线列全；菱形矩形加垂直，向量距离最灵验；梯形抓住斜 率等，最后验平不多变。 ◆◆ 夙题型归纳—精讲央型题法，夯失解题根基 题型一、平行四边形相关存在性问题 典剑1已知二次函数'=(x-6(a≠0 (2,8 的图象经过点 ,与轴交于点B(不是原点)· 1/103 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ACO B B O 图1 图2 (1)求a的值： (2)如图1，该二次函数图象的顶点为C,求四边形OACB的面积： B咖图2，点P(,）和点O(,)是该二次函数图象上的两个动点，且0<<<6，过点P作PML轴 .2,QN⊥ 交直线1B于M,过点作 轴交直线AB 于”，若 x2=x+2 是香存在以点P,M,N, 2构成 的平行四边形？若存在，求出点P的横坐标：若不存在，请说明理由 【答案】(1)a=-1 (2)30 -V3 3存在，点P的横坐标为3 3 或， 【详解】(1)解：：二次函数'=ax(x-6(a≠0) 的图象经过点 A(2,8) 2a×(2-6)=8 解得：a=-1. (2)解：如图，过A作A01OB于0，过C作CT⊥OB于T, 由(1)得：二次函数为：y=-x(-6)=-r+6r=-(x-3}+9 2/103 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B .C(3,9) 当少=0 -x(x-6)=0 时， 解得：x=0或x=6, ,B(6,0) :42,8) .0Q=2,A0=8,T0=l,CT=9,BF=3, :四边形OACB的面积 S4o0十S梯形40c十Sacm 2x8+分1x8+9列+x3x9 =8+1727 22 =30 3)解：如图，：4(2,8).B(60) 设直线AB为y=ax+b, [2k+b=8 ∴.6k+b=0, [k=-2 解得：b=12, 3/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六直线AB为y=-2x+12, 当M在4的上方时，此时 <2 M A N B ,过点P作PMLx轴交直线AB于M,过点Q作ON⊥x轴交直线AB于N, :.PM∥QN :P(）(,).0<5<5<65=x+2 :片=-X+6,乃=-为+6=-G+2}+6(6+2)=-x2+2x+8 M(x,-2x+12）N(x+2,-2x+8) ,MP=-2x+12-（-x2+6x)=x2-8x+12 0N=-x2+2x1+8-（-2x+8)=-x2+4x ,以点P,M,N,Q为顶点的四边形是平行四边形， 4/103 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MP =ON. .x2-8x+12=-x2+4x 解得： x=3-5=3+5 不符合题意舍去) -V3 ∴点的横坐标为 Xu >2 如图，当M在4的下方时，此时 P A M N B ✉P().().0<5<<6=x+2 ÷片=-+6，为=-2+6x=-(G+2}+6x+2)=-x2+2x+8 ÷M(,-2x+12).NG+2,-2x+8) MP=-x2+6x-（-2x+12)=-x2+8x-12 0N=-x2+2x+8-（-2x+8)=-x2+4x 5/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理：MP=ON ：+8断-12=-x2+4x 七=3 解得： 综上：点P 横坐标为 -5 或3 题型模版 1.特征：特征词“以…为顶点”（如“以A、B、P、Q为顶点的四边形”)，没标顺序，意味着对角线任 意配对，必须分3类讨论。特征词“四边形ABPQ”(标了具体字母)：顺序固定。 2方法：遇平行，找中点：横纵和，相等列。三定直接套三解，两动代入分三类。看清顺序再动笔，验 完共线才算对。 变式11图.搬物线=-+bx+c经过点4BC,已知点4(-L0),点C03) D B\ (1)求抛物线的表达式： (2)P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D,当△BDC的面积最大时，求点P的坐 标： (3)设E是抛物线上的一点，在x轴上是否存在点F，使得A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 求点E,F的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（但） 9=-x2+2x+3 33Y (22’2 6/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3存在， E(2,3),E(+V7,-3,E(1-V7,-3,E,(2,3)F(,0),E(2+7,0,E(2-7,0),E(-3,0) 【详解】4)解：“点1-10)，点CQ,3)在抛物线y=-r+6c+c上， 「-1-b+c=0 c-3 「b=2 解得c=3 即抛物线的表达式是》=-r+2x+3 62)解：令”=0，则+2r+3=0,解得 =-1,x2=3 “点110) “点B的坐标为 3,0) 设过点B、C的直线的解析式为：y=:+b 3k+b=0 b=3, k=-1 解得b=3 “过点B、C的直线的解析式为：y=-x+3. 设点P的坐标为a-a+3),则点D的坐标为a,-a+2a+3) .PD=（-a2+2a+3)-(-a+3)=-a2+3a S.BDC=S.PDC+S.PDB =3PDa+D6-) =a2+3a)a+a+3a6-0 7/103 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-3a-3227 2a-2+8. 3 :当a=2时，ABDC的面积最大， 33 点p的坐标为22： (3)解：存在. 当AC是平行四边形的边时， D F B 则点E的纵坐标为3或-3， :E是抛物线上的一点， 将”=3代入"=-+2x+3,得=0 (舍去)，名=2 将=3代入)=-+2x+3 ,得5=1+万，x=1-V万 E(2,3)E(+7-3E-万-3) 则由点的平移可得：F(,),(2+7,0)E(2-V7,0） 当AC为平行四边形的对角线时，CE‖AF, 8/103 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 则点E的纵坐标为3， :E是抛物线上的一点， 将=3代入=+2x+3,希 x3=2 (舍去)， 4(2,3) 即点 F4(-3,0) 则由点的平移可得： 综上， E(2,3),E1+7,-3,E1-V7,-3,E,(2,3)F(1,0),E(2+V7,0),E(2-V7,0,E(-3,0) 变式12如图，直线y=x-4与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=-x+C经过B,C两点. B 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)E是直线BC下方抛物线上的一动点，连接BE,CE,当△BEC的面积最大时，求点E的坐标； ,P是抛物线对称轴上的对点，在抛物线上是否存在点”，使得以P.Q,日.C为顶点的四边形是平行 P2 B C 四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由， 【答案】)y=2r--4 224) 9/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5. > (3)存在，点P的坐标是 【详解】(1)解：：直线y=x-4与x轴交于点C,与y轴交于点B, B(0,-4)C(4,0) ∴.点B,C的坐标分别为 B(0,-4)C(4,0) 把点 代入抛物线少=r2-x+c 16a-4+c=0 得： c=-4, 1 a= 解之，得了2， =-4 ∴抛物线的解析式为y= (2)解：如图，过点E作EF‖y轴，交直线BC于点G,交x轴于点F, 设点E的坐标为m2m-m-9,则点G的坐标为m,m-4), G=m-0-m-m-4 2m2+2m EG.OC- (2m+2m×4=-m2+4m=-(m-2y+4 1 1 :当m=2时，△BEC的面积就最大，此时点E的坐标为 2,-4) )解：存在由抛物线y-4-小-号 10/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴对称轴是直线x=1 Q是抛物线对称轴上的动点， ∴.点Q的横坐标为1. ①当BC为边时，点B到点C的水平距离是4， 0 ∴点Q到点P的水平距离也是4 ∴点P的横坐标是5或-3， ②当BC为对角线时，点Q到点C的水平距离是3， A O 点B到点P的水平距离也是3， 综上所述，在抛物线上存在点P,使得以P,Q,B,C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是 〔5到支)3别 11/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1-3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 -4,B0,4C2,0)=点 y M (1)求抛物线的解析式： (2)点M为第三象限内抛物线上一动点，设点M的横坐标为m,△AMB的面积为S;求S与m的函数关系式； (3)若P是抛物线上的动点，卫是直线y=-x上的动点；是否存在以B、O、P卫四个点为顶点的四边形是 平行四边形？如果存在，请直接写出点P与点Q的坐标 【答案】(1)少=2x+x-4 25=-m2-4m(-4<m<0) Bi在：P(-4,0),Q(-4,4或P2+25,6-25).(2+25,2-25)或 P-2-25,6+25),(-2-25,2+25)咸P(-4,0),0(4,4) 【详解】(1)解：设此抛物线的函数解析式为： y=am2+br+c(a≠0) 将A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点代入函数解析式， 16a-4b+c=0 c=-4 得： 4a+2b+c=0 a= 2 解得： b=1 C=-4 12/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以此函数解析式为：y=之x2+x4 (2)解：，M点的横坐标为m,且点M在这条抛物线上， 1 ·M点的坐标为： m.mtm-4 如图，连接OM, A ☑0Cx M :.S=S.4OM +S.OBM-S.40B =×40xw+2×OB×kw-2xA0xB0 4(-m+4小分4(m)44 =-m2-2m+8-2m-8 =-m2-4m =-(m+2)2+4 .-4<m<0. :S=-(m+2y°+4(4<m<0) 当OB为边时，如图，根据平行四边形的性质知PO∥OB,且PO=OB 13/103 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 YA ∴Q的横坐标等于P的横坐标， 又直线的解析式为y=一x, 则Q(x,-x) 由0-0e.用传-小-4.国-24 解号-2x+4=4,得：x=0(合去)或x=4 此时P(4,0).0(-4,4) 1 解2r-2x+4=4,得：x=-2士25， P(-2+25,6-25).0-2+25.2-25)度P-2-25.6+25.(-2-25,2+25) 如图，当BO为对角线时，PO=BO,OQ=PB, 则A与P应该重合，OP=4. 14/103 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-X B 四边形PBQO为平行四边形则B0=OP=4,Q的横坐标为4， 代入y=-x得出0为(4，-4) 此时P(40),0(4,-4) 由t可得P(-4,0.Q(-4,4刊或P-2+25,6-25).0(-2+25,2-25)或 P-2-25.,6+25),0(-2-25,2+2w5)咸P(4,0).0(4,4) 题型二、矩形相关存在性问题 典例1如图，抛物线 =+c-4(a+0)与'轴交于点4-3,0)，B4,0),与”轴交于点C B (1)求抛物线的表达式. (2)若M是∠BAC平分线上的一点，N是平面内一点，若以A,B,M,N为顶点的四边形是矩形，请求 出点N的坐标. 15/103 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答】yr 2x-4 9a-3b-4=0 【详解】(1)解：将4(-3,0)，B(4,0)代入y=ax2+br-4得，16a+4b-4=0, 1 a= 3 解得， 1, b=- 3 抛物线的表达式为少=- 33 x-4 2)解：当x=0时，y=4,即C0,4)】 :AC=V0+3}2+(4-02=5 由题意知，以A,B,M,N为顶点的四边形是矩形，分①当AB为边，②当AB为对角线两种情况求解： ①当AB为边时，如图，连接AC,作∠BAC的平分线AM,连接BM,使BM⊥x轴，作DC⊥AC交AM 于D,作DE⊥x轴于E, .'DE =CD. 又，AD=AD, Rt△ADC≌RIAADE(HL) ∴.AE=AC=5, 16/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E(2,0) 设D2m）,则CD=2+(m+4,DE=m, ÷m2=22+(m+4 解得，ms-5 2, :2 设直线AM的解析式为y=cx+C, -3k+c=0 将40302-引代入 1 2 解得， 3 c2-2 直线的解新式为=分子 4时，4子即引 ,以A,B,M,N为顶点的四边形是矩形， :点v的标为3引 ②当AB为对角线时，如图，作∠BAC的平分线AM,连接BM,使BM⊥AM于M,作矩形AMBN,连 接w交4B于G则G20】 17/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 白①可知，直线M的解折式为=宁 2 e-引则4n=a-旷+分-.w-a-r+ 由勾胶定理得，4w+BrB,即a-+a-+0=4+ 13 解得，n=5或n=-3(舍去)， N(p,q) 设 (3P 5 2 2 14 5 q —=0 2 8 p=- 5 解得， 14 9= 5 814 5) 综上所述，点N的坐标为 -3 7).814 2或5'5 18/103 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1特征：矩形综合题，本质是平行四边形套了个“直角”的壳。它的核心特征是“伪装”一一题目往往不 会让你直接证矩形，而是把矩形当作筛选器，用来框定动点范围。 2方法：矩形题，两步走：先平四，后直角。对角相等用距离，垂直来了用向量。混合条件看顺序，平 躺图形口算香。 变式1-1如图，抛物线y=x+br+C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），点A、B的坐标分别 是10.(，0)，与'销交于点C,点C的坐标是Q3),点D和点C关物线的对称轴对称 ⊙ 备用图1 (1)求抛物线的解析式： (2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,求线段FG的最大值； (3)点M是抛物线的顶点，点P是'轴上一点，点O是坐标平面内一点，以A,M,P,Q为顶点的四边形 是以AM为边的矩形，求点P的坐标 【答案】(1)=-x+2x+3 92 (2)8 【详解】a)解，托4-0，B0,@》分别代入Jar++e 19/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-b+c=0 a=-1 9a+3b+c=0 b=2 得 c=3 ,解得 c=3 y=-x2+2x+3 抛物线的解析式为 (2)解：由(1)知'=-x+2x+3=-(x-1+4 抛物线对称轴为直线x=1, ,点D和点C关于抛物线的对称轴对称， .D(2,3) 设直线AD的解析式为y=x+t, [-k+t=0 把A(-1,0),D(2,3)分别代入得2k+t=3, [k=1 解得t=1, ∴.直线AD的解析式为y=x+1 记AD与y轴的交点为E, D B 当=0时，J=0+1=1,则E0) ∴OA=OE, ∴.△OAE为等腰直角三角形， .∠EAO=∠AEO=45° 20/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过F作FN∥y轴交AD于N, .∠FNG=45°， :△FGN为等腰直角三角形， .FG-FN 2 设F-r+2x+3),则(x+) w42x3-142--. 1 当x=2时，FN有最大值4 :的大位子925 (3)解：如图，当P在AM的右边， 记直线4M交'轴于R,=-r+2x+3=-(x-+4,则M4, B 设直线AM的解析式为y=mr+n, -m+n=0 m=2 把A(-l,0)、M(,4)分别代入得m+n=4,解得n=2, .直线AM的解析式为y=2x+2, 当=0时，y=2x+2=2,则 (0,2) 21/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设P(0, 而四边形1P2M为矩形。 ， .∠RAP=90°， .'AP2+AR2=RP2, (2-y)}2=12+y2+12+22 解得：=分回P0》 如图，当P在AM的左边， R A 同理可得： (y-2)=(1-0)2+(4-2)}+(0-12+(y-4)} 综上： 变式12.如图，若二次函数'=-2r+ca≠0)的图象与'轴交于点1和点 (6,0),与'轴交于点 C(0,-3) 22/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，连接BC,点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标： y=ax2-2x+c(a≠0) (3)如图3，将抛物线 先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物 线'，在y的对称轴上有一点D,坐标平面内有一点E,使得以点B,C,D,E为顶点的四边形是矩形， 求点E的坐标， 【答案】)r2-2r-3 积的大位为号传》 或 【详解】④)解：三次函数'=ar-2r+a≠0)的图象与'轴交于点A和点 B(3,0 ,与》轴交于点 C(0,-3).将点B,点C的坐标分别代入得： 9a-6+c=0 c=-3 a=1 解得c=-3, y=x2-2x-3 ∴抛物线的解析式为 23/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：设直线BC的解折式为=+b,将点8(6,0)，店C0-3》分别代入得： [3k+b=0 1b=-3, k=1 解得：b=-3, ∴直线BC的解析式为y=x-3, 点P为直线BC下方抛物线上的点，如图2， 图2 P(a,a2-2a-3) ,M(a,a-3) 、 9 当a 2时，PMnx= 4, 3x=)PM.3=3x9-22 2 Γ248’ 27 ·△PBC面积的最大值为8， 315 :P24》 24/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=(x-1)2-2(x-1)-3-1=x2-4x-1=(x-2)2-5 (3)解：由题意可得： y的对称轴为x=2, :8(3,0)C(0,-3) ∴.OC=OB=3,∠BC0=∠CB0=45°， 当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，如图3，过D作DF⊥y轴于点F, D 图3 D在y的对称轴上， ∴.FD=2, ∠BCD=90°，∠BC0=45°， ∠DCF=45°， mD(2,-5) :CF=FD=2,0F=3+2=5,即点0 ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D,则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可 得到点(6-2) 当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y'的对称轴为x=2与x轴交于点F,如图4， 25/103 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图4 D在y的对称轴上， .FO=2 BF=3-2=1, :∠CB0=45°，即∠DB0=45°， FD=1,即点 D(2,1) ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D,则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得 E(-1,-2) 到点 当aC为施形对角线时，如国5：设D2,小Bm小BC的中点p的坐标为？》 图5 2+m3 22 依题意得： d+n3 2 2 26/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m=1 解得：d+n=-3, 又，DE=BC, (2-102+(d-n)2=32+32 d-n=±17 解得： d-n=±17 联立得： d+n=-3, 解得：n=-3±v7 2 -3-17 ,-3+17 ∴点E的坐标为 2 或( 变式1-3.如图所示，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3交坐标轴于B、C两点，抛物线y=a2+bx+3 经过B、C两点，且交”轴于另一点1(-0).点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作D0/C0 DQ交BC于点P,交x轴于点O. VA 图1 备用图1 备用图2 (1)求抛物线解析式： (2)设点P的横坐标为m,在点D的移动过程中，存在∠DCP=∠DPC,求出m的值： (3)在抛物线上取点E,在平面直角坐标系内取点F,问是否存在以C、B、E、F为顶点且以CB为边的 27/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 矩形？如果存在，请求出点E的坐标：如果不存在，请说明理由. 【答案】1)少=-x2+2r+3 (2)m=-2 3)存在， (1,4)（-2,-5) 【详解】(1)解：一次函数y=-x+3, 当=0时，y=3,即C0,3) 当y=0时，-x+3=0,解得x=3,即B3,0) a-b+3=0 把A(-l,0),B(3,0)代入y=ar2+bx+3得9a+3b+3=0, a=-1 解得b=2, 则抛物线的解析式为'=-r+2x+3 B(3,0)C(0,3) (2)解： ∴.OB=OC=3, .∠0CB=∠0BC=45°， DQ川CO, ∴.∠DPC=∠0CB=45°， ∠DCP=∠DPC=45°， ∴.∠DC0=90°， ∴.CD AB ·点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，即为3， 当y=3时，-x2+2x+3=3, 28/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x=2或x=0(舍去)， ∴点D的横坐标为2， .m=2 (3)解：存在，求解如下： 设点F的坐标 F(s,) ①当四边形BCEF是矩形时，则CE⊥BC, ~直线BC的解析式为y=-x+3, ∴B(3,0),C(0,3). 设E(x,y)在直线CE上，根据勾股定理得：BC+CE2=BE2, ∴BC2=(3-0)2+(0-3)2=18 CE2=(x-0)2+(0y-3)2=x2+0y-3)2 BE2=(x-3)2+(y-0)2=(x-3)2+y2 .18+x2+(y-3)2=(x-3)2+y2 解得y=x+3 ∴直线CE的解析式为y=x+3, y=x+3 联立y=-x2+2x+3. [x=1x=0 解得y=4或y=3(即为点C,舍去)， ∴.E(1,4) ②当四边形BCFE是矩形时，则BE⊥BC, 设直线BE的解析式为y=x+n, B(3,0) 将点 代入得：3+n=0,解得n=-3 29/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则直线BE的解析式为y=x-3, y=x-3 联立y=-x2+2x+3, [x=-2x=3 解得y=-5或y=0(即为点B,舍去)， ∴.E(-2,-5) 综上，存在以C、B、B、F为顶点且以CB为边的矩形，此时点E的坐标为4或2，-5) 题型三、菱形相关存在性问题 典例1如图，抛物线’=一+伽+C与x轴交于点 L,0)点B(-3,0),与y轴交于点C 和点 VR (1)求b,c的值： (2)如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D,点N是平 面坐标系内一点，直线BC上是否存在点M,使B,D,M,N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写 出M的坐标；若不存在，请说明理由， 【答案】(1)b的值为-2，C的值为3 M3+55度(3-55成1利度子到 A(1,0)B(-3,0),、y=-x2+bx+c 【详解】(1)解：把点和点 代入 30/103 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [-1+b+c=0 得： -9-3b+c=0. b=-2 解得：c=3; ∴b的值为2，c的值为3 ②在M3+安3-度利康（引 理由如下： y=-x2-2x+3 由(1)知： 当x=0时，y=3, C(0,3) 设直线BC的解析式为y=c+3, 把B(-3,0)代入，得0=-3k+3,解得：k=1, ∴.y=x+3 y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4 =-(x+1+2)2+4=-(x+3)2+4 ∴，抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线为 y=-(x+3)2+4 联立： y=-x2-2x+3, x=-2 解得：y=3, .D(-2,3). 设M(m,m+3), B(-3,0), 31/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BM2=(m+3)2+(m+3)2=2(m+3)2,DM2=(m+2)2+m2,BD2=(3-2)2+32=10 情况1：BD为菱形的边： ①当BM=BD时， 2(m+3)2=10 解得：m=-3+v5或m=-3-5 或 :M(-3+5,5或M(3-5,5). ②当DM=BD时，(m+2Y+m=10 解得：m=-3(舍去)或m=1, M1,4: 情况2：BD为菱形的对角线： ®当BM=DM时，m+2+m=20m+3,解得：m=子 :( 综上：M-3+55)或M(3-5,-5)成ML或M子引 题型模版 1特征：给出“对角线垂直”或图形明显交叉。只给“邻边相等”条件，但注意：因为P在抛物线上， 平方后会得到t的四次方程！此时必须先用中点公式确定对角线关系，消元降次，绝不能硬解。 2方法：菱形题，两板斧：平行四边形打底，对角线垂直做主。若遇60°别算数，等边平移口算出。面积 请用对角线，周长平方找顶点。 变式11如图，一次函数=-x+3 y=-x2+bx+c 图像与x轴和y轴分别交于点B和点C,二次函数 的图 像经过B,C两点，并与x轴交于点A. 点M(m0)是线段OB上一个动点（不与点0、B重合），过点M 作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线BC相交于点D和点E,连接CD 32/103 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M (1)求这个二次函数的解析式： (2)点F是平面内一点，是否存在以C,D,E,F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标：若 不存在，请说明理由 【答案】)少=-+2x+3 2存在，点M的坐标为0)或2,0)或3-V5,0) 【详解】(1)解：将x=0代入一次函数y=-x+3得：y=3, 点C坐标 0,3) 将y=0代入一次函数y=-x+3得：x=3, 3,0) ∴点B坐标 将点B,C代入抛物线"=-+br+C得， -9+3b+c=0 c=3, [b=2 解得c=3, y=-x+2x+3 抛物线 (2)存在，以C,D,E,F为顶点的四边形为菱形时，需满足以下三种情况： 33/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由)可得，点C(0,3).D(m-m+2m+3),E(m,-m+3) CD2=m2+(-m2+2m+3-3)'=m2+(-m2+2m,CE2=2m,DE2=(←-m2+3m). 当CD=CE时，m+(m+2m=2m,解得=l%=3《合去)，%=0（舍去）， 1,0) 此时点M的坐标为 ②当CD=DE时，m+(+2m=-(m+3m,解得m=2或0(0合去)， 2,0) 此时点M的坐标为 ©当cB=DE时，2m-(←m2+3m, 解得网=3+V5(含去)，m=3-2%=0(合去)，此时点M的坐标为-5,0）， 综合上述，存在，点M的坐标为0)或(2,0)或3-V2,0)】 4-8x 变式1-2.如图，已知抛物线y=3-兮x+4与x轴交点为4、g:A在g的左侧，与y轴交点为点C, 且抛物线与直线交于A、C. 34/103 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求直线AC的表达式： (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m,求三角形ACD面积的最大值及此时D点的坐 标： (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P,O,使以点A,C,P,卫为顶点的四边形是以AC为对角 线的菱形？若存在，请求出P,Q两点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】)y=3x+4 ②aCD面积的最大白为2，此时D号 (3)存在， P-)2 42_8 【详解】(1)解：令y=0,则3-3x+4=0, 解得：=-3,5=1 A(-3,0）B(1,0) 令x=0,解得：y=4 .C(04), 设直线AC的解析式为y=c+b, 35/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [b=4 -3k+b=0, (4 k二 解得13 b=4 4 y=3x+4 (2)解：过点D作DG∥y轴交AC于点G,由题意可得 3m+4 G B 2、8 x :DG=-4m +4 m-4=-4m2-4m 3 3 3 S4m= :-2<0,抛物线有最大值， 3 9 :当x=一2时，取得最大值2， 省.5 :a4CD面积的敏大值为号.此时D(: (3)解：存在点P,Q,使以点A,C,P,Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，理由如下： y=- +4=x++5. 4x2-8x 33 3 ∴抛物线的对称轴是直线x=-1, 36/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设P-L).Qk) :AC是菱形的对角线，菱形临边相等， ..AP=PC, :.AP2=PC2, （3++i=1+-42 13 解得：t= 8, AC中点与P0中点重合。AC中点为2】 1+x=-3 2 2 4 t+y .(22 x=-2 解得： 19 y= 8 19 0-28)月 变式1-3.如图，抛物线y=一 3+b成+©与轴交于点1和点B40.与y轴交于点C0.,连 AC,BC. y y C B B B A 0 A 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到AB,AC距离相等时，求点P的坐标： 37/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)如图2，点M在抛物线上，点N在直线BC上，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使四边形BMN№为 菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 【省】写4 a 17-√7 3)存在， 22 【解1(a解将40：C0.利代入= -x2+bx+c, c=4 c=4 ∴.16 3 -4b+c=0解得 121 ÷抛物线的解析式为)》=3一3+4。 （2解：令y=0:则-+4=0，解得x=3或：4小且点在正半上， A3,0) .0A=3,C0=4 在Rt△01C中，4C=VO1°+0C=V32+4=5 如图所示，设AP与y轴交于点E,过E作EF1AC于F点， E B 38/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点P到AB,AC距离相等， .P点在∠CAB的角平分线上，则OE=EF, ..OA=OF=3,CF=AC-AF=5-3=2, 在R6CEF中，CE=CF+EF,即(4-OE=Og+4,解得0E= 2 设直线AE的解析式为y=c+m, 3 3k+m=0 m= 3 ,解得 1 m= k=- 2 2 1 ,3 .y=- x+ 22 3 1=- x+ x=-5 22 2 联立方程组 21 31 、 4y=0 (3)解：存在点Q,使四边形BMN№为菱形，理由如下， :B(-4,0),C(0,4),设直线BC的解析式为y=x+m, 「-4k'+m'=0 「k=1 .m'=4 ，解得m'=4, 直线BC的解析式为y=x+4, 1 :抛物线的对称轴为直线x=一2， 如图所示， 39/103 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N M 0 B 0 过点MQ之BC于点K:假设四边形BnO为麦形.设Q()】 0LBC·y点与O点关于直线C对称：即点q关于子直线4对称的点是M根据点关 于直线对称点的坐标公式可知， 2+4s7 二点M的横坐标为xw=y-4=1-4,纵坐标为w=x+4=- 2 :-4 --4到--4+4=7 1-22- 2 17+V7 :0-22 17-V7 舍)或22 17-√7 .Q点坐标为 22 题型四、正方形相关存在性问题 奥例1在平面直角坐标系中，抛物线y=-3+bx+c交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点，交y轴于点C. 3 40/103 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B B 备用图 (1)求抛物线的解析式. 39 (2)如图，直线y= 4x+4与抛物线交于A,D两点，与直线BC交于点B.若M(m,0)(m≠I)是线段AB上 (不包括点A,B)的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F,交直线AD于点G,交直线BC于点 H. 接EE,OG,OE,当点F在直线D上方的抛物线上，且Sa=。Saoc时，求m ②在平面内是否存在点P,使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明 理由. 【答案】y=吉护++4 a@网=子%=：@存在，点P的坐标为 7+V13 ,7-13 山，2或，2 【详解】()解：抛物线y=3+bx+C交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点， 3 :抛物线的解新式可写为=x+训x-4)=兮++4。 39 9 (2)解：①把x=0代入y=4x+4得：y= 4 9 0, ∴，直线AD与y轴交点为 4 设直线D与r轴交于点心则ON-}。 _12+1x 把x=0代入y=3+3x+4得：y=4, 41/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C(0,4) 则点 「4k+1=0 设直线BC的解析式为y=+1?则1=4， k=-1 解得：1t=4’ ∴直线BC的解析式为y=-x+4」 39 令-x+4=三x+y 44 解得x=1, :03) .M(m0).且M上轴。 39 设直线y=4x+4与y轴交于点N, SEFG= G)80Nx.且m 小层+--0-网 1 解得：m=4,m=2: H D F B 42/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7+13 7-13 ②存在，点P的坐标为 2 或 2: ,四边形EFHP是正方形， ∴.FH=EF,∠EFH=∠FHP=∠HPE=90° M(m,0),且MH1x轴， Ha44rmr+n+4 分以下两种情况讨论： (i)当-3<m<1时，如图1，点F在PE的左侧， B 图1 1 FH=(-m+4)- m2+m+4=m2-4 3 3 3 FH=EF, 3m2、4 m=1-m 1-V13 解得m2,元=+13 (ii)当1<m<4时，如图2，点F在PE的右边 43/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 图2 同理得)x 3m=m-1 解得%+，m上面 2， 2(舍去)， 7-13 同理得 2： 7+13 7-13 故存在点P,使四边形EFHP为正方形，点P的坐标为 或 2 题型模版 1特征：这是正方形区别于其他四边形的最强显性特征一一题干一旦出现正方形，立刻放弃复杂的距离公 式和斜率乘积，直接用几何平移。 2方法：正方形，双条件：垂直相等紧相连。千万别用距离算，K型旋转一瞬间。 式1图。范物发=+加+0与交0，阿，与精交于有.能物发的对称 轴与x轴交于点 1,0) 点E,P为抛物线的对称轴上的动点 (1)求该抛物线的解析式： 44/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当BE+DE最小时，求此时点E的坐标： (3)若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P,M,N,使 得以A,P,M,N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】)=-r+2x+3 2,E(0,2) /1+17-1+17 3存在，(2,3)咸1+V2,2)或2,2 (1,0) 【详解】(1)解：，抛物线的对称轴与x轴交于点 b ∴.2a ∴.b=-2a, y=ax-2ax+3 将4(3.0)代入=a-2ax+3, ∴.9a-6a+3=0. 解得a=-1, -r+2x+3 (2)解：令y=0,则-x2+2x+3=0, 解得x=-1或x=3, D(-40) 令x=0,则y=3, :80,3) y=-x+2x+3=-(x-1+4 45/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抛物线的对称轴为直线x=1, 连接BA交对称轴于点E,连接DE, A、D关于直线x=1对称， ∴.DE=AE, .BE+DE=AE+BE≥AB, 当A、B、E三点共线时，BE+DE的值最小， .OA=OB=3. ∠0AB=45°， ..AC=CE, :AC=2, .CE=2, .E(1,2) (3)解：存在点P,M,N,使得以A,P,MN为顶点的四边形为正方形，理由如下： 设P) 当AM为正方形的对角线时，如图2，PM=PA,过M点作MG⊥PC交于G, B Gn- M 图2 :∠MPA=90°， 46/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠GPM+∠CPA=90°， ,∠GPM+∠GMP=90°， ∴.∠CPA=∠GMP, PM=AP, △PGM≌△ACP(AAS) .'.GM=CP=t,PG=AC=2, .M(1+t,t+2) :1+2=-+1+20+1)+3 解得t=-2或t=1, :M点在x轴上方， t=1, .M(2,3) 当∠PAM=90°时，AM=AP,如图3，过A点作AH⊥x轴，过M点作MH⊥AH交于点H, D 图3 △MAH≌△PAC(AAS) 同理可 ∴AH=AC=2,CP=MH=-t, ,M(3+t,2) .2=-(+3}+20t+3)+3 解得=-2+V5或1=-2-V2 或 (舍去)， 47/103 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M(+2,2 当∠PMA=90°时，PM=AM,如图4， D 图4 过点M作TS∥x轴交对称轴于点T,过点A作AS⊥ST交于点S, MPT≌AAMS(AAS) 同理可得 ∴TP=SM,SA=MT, 设M() .MT=x-1,SA=y-0=),TP=y-t,SM=3-x, y-t=3-x x-1=y, :--1=3-x x=2+ 2 y=x-1=2+71-1=1+, 1 1 +=*+* 解得-3+或=3- 舍去)， 48/103 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+17-1+17 M 2， 2 1+V17-1+V17 综上所述：M点坐标为(2,3)或1+V2,2)或2 2 变式12.直线=-x+3 与轴相交于点A,与轴相交于点B,抛物线 y=ax2+2x+c 经过点A,B,与 x轴的另一个交点为C. M 0 图1 图2 图3 (1)求抛物线的解析式： (2如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E,DF⊥AB于点F, FG⊥x轴于点G.当DE=FG时，求点D的坐标； 3)如图2，在(2)的条件下，直线CD与AB相交于点M,点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线 CD于点K.P是平面内一点，当以点M,H,K,P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐 标. 【答案】1)=-r+2x+3 12D(23) )P点坐标为52)或2+v2列或2-2) 【详解】(1)解：令x=0,则y=3, 49/103 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.B(03) 令y=0,则x=3, .A(3,0) ”抛物线'=ar+2r+ 经过点A,B [9a+6+c=0 [a=-1 (c=3 ,解得c=3, y=-x2+2x+3 抛物线解析式为 (2)设 D(m,-m2+2m+3) :DE∥y轴交AB于点E, .E(m,-m+3) ..OA=OB, .∠OAB=45° ∴.AG=FG DE=FG. .DE=AG 如图，连接GE,延长DE交x轴于点T, D B E 四边形 是平行四边形， A 图1 FGED DF⊥AB 50/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EG⊥AB ∴△AEG为等腰直角三角形， :AT=ET=GT=3-m, ∴.AG=FG=6-2m ∴.0G=3-(6-2m)=2m-3 ∴.F点横坐标为2m-3, :=-(2m-3)+3=-2m+6nF(2m-3,-2m+6) ,即 .FG=-2m+6 .DT=-2m+6+3-m=-3m+9 .-m2+2m+3=-3m+ 9,解得m=2或政m=3。 (舍). .D(23) (3)令y=0,则-x2+2x+3=0,解得x=3或x=-1, ∴.C(-1,0) 设直线CD的解析式为y=ac+b, 将C(0)D(23) 代入， -k+b=0 [k=1 2k+b=3,解得b=1, .直线CD的解析式为y=x+1, .∠ACM=45°， ∴CM⊥AM y=x+1, x=1, 联立y=-x+3,解得y=2, .M(1,2) 51/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以点M,H,K,P为顶点的四边形是正方形， ①如图2，图3，当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上， K B D M 点在抛物线上， 图2 图3 .H H60)或H(03) 当H(30)时，M=25. .KH=4 .K(3,4) :HK的中点为B2).则AMP中点也为62）， P(5,2) 当H(03) ，MH=V2 ∴.KH=2 .K(0,1 :HK的中点为 2),则MP中点也为 02) ·P(-12) 此时HK与y轴重合， 52/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .P(-1,2) 不符合题意 ②如图4，图5，当MH⊥HK时，此时MH1y轴， B M 或 图4 图5 ∴H+V2,2）H1-V22 当H+2.2)时，MH=2, .P(,2+2) 当-5,2)时，MH=5. P2-2) 综上所述，当以点M,H,K,P为顶点的四边形是正方形，P点坐标为(5,2)或2+V2)或2-2) 变式1-3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴相交 于点C0-3) 且抛物线的顶点坐标为 1,-4) 53/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求抛物线的表达式： 2P是抛物线上位于轮四象限的一点，点D0-),连接8C,DP 相交于点E,连接PB.若△CDE与 △PBE的面积相等，求点P的坐标： M.N M.N BC G,H (3) 是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为·是否存在点 M,N M,N,G,H ，使得以 为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长：若不存在，说明理由. 【答案】1)x-2x-3 p720 2)3-9 3)存在， 正方形的边长为9W5或万 【详解】(1)解：：抛物线与'轴相交于点 (0,-3) 1,-4) 且抛物线的顶点坐标为 ·设抛物线的解析式为：y=a(x-)-4 把C0,-3)代入，得：0--4=-3。 a=1, y=(x-1-4=x2-2x-3 (2)当少=-2x-3=0 x1=3,x2=-1 时，解得： 54/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B(3,0) c0-3) 设直线8C的解斩武为：)=-3，把B(3,0代入，得：太=1， y=x-3 作PF1轴，垂足为点F,设Pmm-2m-),则：0F=mPF=m2+2m+3。 .BF=3-m, ,△CDE与△PBE的面积相等， 片5.ac+5as=Sm+Sne ，即： S.BOC=SODPB=S.PF8+SODPF ,D(0,-1) ∴OD=1, ÷×3x3=(-m+2m+36-m)+x(m+2m+31m. 1 7 解得：m=3或m=0(舍去)： 720) B x (3)存在点M,N使四边形MNHG为正方形， 55/103 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 如图所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NE∥y轴，则有aMNF与△NEH都为等腰直角 三角形，MN∥BC, 由(2)可知，直线BC的解析式为y=x-3 设M(,)N(,）),直线N解析武为=-b, y=x-b 联立得： y=x2-2x-3, 消去y得：x2-3x+b-3=0, .NF2=x-x3=(x+x-4xx3=21-4b :△MNF为等腰直角三角形， .MW2=2NF2=42-8b “E(2,为-3) E2=[5-(-3订=(-b-x+3}=(6-3 90-妒， ,四边形MNHG为正方形， :NH2 =MN2, 56/103 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 62-勋=北松-09) 整理得：b2+10b-75=0, 解得：b=-15或b=5, N=42-8b 正方形边长为 .MN=9v2√2 或 .即正方形的边长为 同压轴挑战一或克高璋压轴，突破思维上保 1,如图，抛物线”：y=-+伽+C交轴于点 -3,0叭和点B,交y轴于点 (0,3 ,顶点记为D (1)求抛物线W的函数表达式及顶点D的坐标. (2)连接AC,若线段AC上有一点P,过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,求线段PQ长的最大值. (3)在(2)中，当PQ的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为W',抛物线W'的顶点记为D, 它的对称轴与x轴交于点E”.怎样平移才能使得以P、Q、D'、E为顶点的四边形是菱形？ 【答案】1)y=-r2-2x+3（1,4) 9 2)4 57/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1,3v5 7 13v5 7 3响右平移24个单位长度，向下平移4个单位长度或向左平移2+4个单位长度，向下平移4个 单位长度 【分析】(1)把A、C两点坐标代入抛物线一般式，解二元一次方程组求得b、C,即可得到抛物线函数 表达式：将表达式配方为顶点式，直接写出顶点D的坐标即可： (2)先用待定系数法求直线AC的解析式，设点P横坐标为，用1表示P、Q的坐标，通过两点纵坐标 差写出PQ关于的二次函数，利用二次函数性质求出PQ的最大值即可： (3)先确定P吧最大时点P、2的坐标，设平移后顶点D 点D(a,个，则E(a,0),根据D的位置，分D在 轴上方、下方两种情况，依据菱形邻边相等列方程求h、k,舍去无解情况，根据顶点坐标的变化量即可 确定抛物线的平移方式。 【详解】a解：把1(-3,0)、C03》代入y=-f+r+c,得 「-9-3b+c=0 c=3, [b=-2 解得c=3, 二抛物线的函数表达式为'=--2x+3 化为顶点式，得少=-(x++4 、点D的坐标为 -1,4) (2)解：设直线4C的表达式为'=mx+”,代入 4-3,0).C(0,3)得 -3m+n=0 n=3 58/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m=1 解得n=3, ·.直线AC的表达式为y=x+3 设点P的横坐标为-3≤1≤0)，则P,1+3),-t-21+3)】 P0=0-y,=(-2-21+3-(t+3)=-2-31 -1<0, ∴抛物线开口向下，函数有最大值， -33 :1=2x-可2，在-331≤0取值内， (3)解：由(2)当P的长最大时， e-小店 -2引 D'(h,k) 抛物线对称轴为直线=h,对称轴交x轴于点 '(h,0) 设平移后抛物线顶点 根据D'的位置，可分两种情况讨论： ①如图，当点D'在x轴上方时，四边形PODE是菱形，则PO=PE=D'E', B 59/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G. 2+4或h=-335 解得h=-3+35 24 k-0=m= 朝行女=号政=号 4(不合题意，舍去)： 3.3593359 D的坐标为24’4或24’4： :抛物线”的顶点为 (-1,4) 3.359 .一)4”4时2424,44=4，抛物线W向右平移一 1,35 2+4个单位长度，向下平移4个单位长度： 335935-)=2华947抛物线向左平移 当D的坐标为24’4时，(24 1+3w5 > +4个单位长度，向下平移4个单位长度： ②当点D在x轴下方时，四边形POE'D'是菱形，则P№=QE', 2 ∴此方程无实数根， 60/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故此情况不成立： -1.3v5 > 135 综上，抛物线m向右平移一2+4个单位长度，向下平移4个单位长度或向左平移2+4个单位长度， > 向下平移4个单位长度，能使得以P、Q、D、E为顶点的四边形是菱形， 5 2.如图，抛物线y=m2+bx+c的对称轴为：直线x=4,图像与x轴、y轴分别交于点有B、C,已知 点420C0,)点p在直线BC下方的抛物线上. 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2过点P作PD∥x轴交直线BC于点D,作PE⊥PD交BC于点E,求PD+PE的最大值： (3)设点Q为直线BC上的点，以A、B、P、Q为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点Q的 坐标；若不能，请说明理由 【答案】y=2- -x+1 2 (2)3 (3)能，点O的坐标为 【分析】(1)因为已知抛物线对称轴、点A的坐标，所以根据对称性求出点B的坐标，设抛物线解析式 为交点式，将点C的坐标代入求解系数a,即得解析式. (2)首先求直线BC的解析式，设点P的横坐标为参数，用参数表示点P的坐标；因为PD平行于x轴， PE垂直于PD,所以分别用参数表示D、E的坐标，进而得到PD和PE的长度表达式，将PD+PE整理为 关于参数的二次函数，利用二次函数性质求最大值， 61/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)判断平行四边形存在性：分AB为边、AB为对角线两类讨论.如果AB为边，那么P巴平行且等于 AB,据此建立点P和点O坐标的关系，结合点O在直线BC上、点P在抛物线上的条件列方程求解；如 果AB为对角线，那么AB和PQ互相平分，利用中点坐标公式建立坐标关系，联立方程求解 洋解)山)解：：妆物线y=四十+C的对称轴为直线4，与轴交于0 目引2 点B2,0) 设抛物线的解折式为y=4-》-2)。 起点c0)代入得1=a(2》(-2),. 解得a=1, 越物线的解斩式为(》x-2到. 即y=x25 x+1 2解：知图所示，设风m-m） 直线BC的解析式为y=:+1, B 把B(2,0 代入y=+得，0=2k+1 解得k=一2， 62/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·直线BC的解析式为y=-)x+1, 2 ·PD川x轴，PE⊥PD点D,E都在直线y=一2x+1上， 2 点E的横坐标为m,点D的纵坐标为m2一弓m -m+1 分别将点E,D的坐标代入直线y=一 2+1 得mm+,2m2+5mm-m+ .PD+PE 2m4a小公-小 =-3m2+6m=-3(m-1)2+3 ∴，当m=1时，PD+PE取得最大值，最大值是3. (3)解：能，理由如下： 4 B(2,0), 4B 2 若以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形， ①当以AB为边时，则AB∥P且AB=PO, :点P在直线BC下方，如图所示， B 设a-+，则e9+ ·29+1=a- 20+1 63/103 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9=-2a2+5a 解得 0-2+5aa-+月 .Pe=(-2a+5a）-a=4a-2a 4a-2a2=3 2 1 解得：4=2，a=2(与A重合，舍去)， 2 2: ②当以4B为对角线时，连接2交4B于点G,则 AG=BG,PG=0,G NG B P G(m,0) 设 B(2,0), 1 m-2 =2-m ..m=S 4 64/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PM⊥AB 作 于点M, 92N⊥AB NG=MG,PM=O,N 于点N,则 wOlo-2g+1). 91-0=0(r- 29+1=-x2 5 2t1 ,9=2x2-5x+4 0(2r-5x+4+x-月 5 .4 x=2x2-5x+4-3 4 整理得：4x2-8x+3=0, 1 解得： 2,五=2（与4重合，舍去）， 综上所述，以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形.此时点O的坐标为 3.如图，直线”=3-3与产轴交于点4，与轴交于点C,抛物线 =x2+bx+ 经过A,C两点，且与 x轴交于另一点B. (1)求抛物线的解析式及点B的坐标 (2)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行于y轴，交x轴于点F,交抛物线于点E,求ME 65/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的最大值，并求此时四边形OCMF的面积： (3)若点P是抛物线上一动点，是x轴上一点，是否存在点P使以P、Q、A、C四点为顶点的四边形是 平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由， 【答案】1抛物线表达式为)=-2x-3,点B的坐标为 ,0) 9 27 2)ME的最大值为4，四边形OCMF的面积8 3)点P的坐标为(2-3)、（+7,3).(1-万，3) 【分析】(1)根据直线y=-3x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C,求出坐标再利用待定系数法求抛物 线表达式 (2)根据点B,点C的坐标求出直线表达式，设点M和点E坐标，表示出ME进行求最大值即可，根据 观察图像发现四边形是直角梯形，表示出四边形各边的长度，利用梯形的面积公式求解即可. (3)分类讨论点P的位置，分别计算即可. 【详解】(1)解：根据题意可知，直线y=-3x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C 令y=0即-3x-3=0解得x=-1 ∴点A的坐标为 -1,0) 令x=0即y=-3 “点C的坐标为 0,-3) y=x2+bx+c 抛物线 经过4，C两点，将坐标代入得 [0=1-b+c -3=c [b=-2 解得c=-3 y=x2-2x-3 ∴.抛物线表达式为 66/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =x2-2x-3 抛物线 与”轴交于4，B两点，令=0得 x2-2x-3=0 解得=-与=3 :点A的坐标为 （-1,0) ÷点8的坐标为(8,0) (2)解：由(1)知点B的坐标为 .0,点C的坐标为 ,-3) 设直线BC的函数表达式为y=&+b,代入坐标得 [0=3k+b -3=b k=1 解得b=-3 ,直线BC的函数表达式为y=x-3 :点M在线段8C上，设点M坐标为伍x-3 其中0≤x≤3 过点M的直线EF平行于y轴，交抛物线于点E 六点B坐标为玉r-2x-3到 当0<x<3时，线段BC在抛物线上方 ,ME=x-3-（x2-2x-3 ME=-x2+3x=- 整理得 3 二当x=2时，ME取得最大值，ME的最大值为4 点M标为引点p坐标为0 33 67/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷四边形0cM的顶点华标为00：0-》（侵引，（侵0 ,OC在y轴上，OF在x轴上，OCI‖FM ∴四边形OCMF是直角梯形 33 限据直角梯形OCW优的顶点坐标可知OC=3OrM6 , 22 1 .S梯形OCMr= (FM+OC)-OF 13,).327 ∴.S梯形OCM= +3×= 22 28· (3)解：存在点P使以P、、A、C四点为顶点的四边形是平行四边形 根据题意可知点4的坐标为L0,点C的坐标为0,3)， :点Q在x轴上， 设点2的坐标为，0，点P在抛物线y=-2x-3上，设点P的坐标为-21-3列， ①当平行四边形以Ag为边时，CP∥A0且CP=A犯， “点和点C的纵坐标相等，即=%=-3 .t2-2t-3=-3 4=042=2 解得 :点P的坐标为 -3)或2.-3到 :点C的坐标为 0,-3) “点P的坐标为 0,-3) (不符合题意舍去) :点P的坐标为 2,-3) .'.CP=2 68/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..40=2 :9-(-以=2 “9+1=±2 ∴9=-1±2 当9=-1-2时，9=-3，点2的坐标为 3,0)(不符合思意舍去) 当9=-1 +2时，9=1，点的坐标为 1,0) 0满足点P在抛物线上 “点P的坐标为 2,-3) ②当平行四边形以AC为边，巴为对边时 AC∥PQ且AC=PQ :点A和点C的纵坐标差为 0-(-3)=3 ∴.点P和点Q的纵坐标差为±3 即2-21-3-0=3 当t2-2t-3=-3 4=05=2，① 解得， 与相同舍去 当2-2t-3=3 解得-1+75=1-万 ÷点P的坐标为1+v7,3列或-7,3) ③以4C为平行四边后对角线时：AC的中点梨标为分引，则0的中点坐标也为（分岛》甲 2-21-3+03 2 2 4=042=2,① 解得， 与相同舍去 69/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，点P的坐标为(2,3)、(+V7,3、(-V7,3) 4.如图，点4-L0.B20)和E02》,数物线：y=子-x+c经过4点 (1)请计算：c= (2)抛物线I上是否存在点N,使A,B,N,E四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出N点的坐标， 若不存在，请说明理由 (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点D,使得EB平分∠AED？若存在，求出点D的坐标；若不存 在，说明理由. 【答案】)c=-4 23,2)或42) 【分析】(1)把 A(-1,0) 代入函数解析式即可求出C: 7 (2)设（ 4 又A-1,0),B(2,0),E(0,2）,分三种情况：①以NM,BE为对角线，则NM4,BE [m+2=-1+0 的中点重合，可得 为对角线，则的中点重合，由3m 7 NB.AE 2m2-m- =2无解，知 NB.AE 4 这种情况不存在，@以E,为对角线，则E,A N(1,-2) 的中点重合，解得 (3)作点A关于直线BE的对称点A',作直线AE交第一象限的抛物线于D,由OB=OE得 70/103 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A'(2,3) ∠0BE=∠OEB=45°，可得∠ABA=90°，即 设直线4E解析式为)=红+2，可得直线4E解析 [1 y= 式 1 7,得坐标 y=5x+2 2’日=2x2-x-3 y= 2 4 D 详解】（①）解：y=一x+c经过A-,0 3 +l+c=0 7 .C= 4 (2)抛物线I上存在点N,使A,B,N,E四点构成的四边形是平行四边形，理由如下： 7 由(1)知c=- 4 :抛物线/解析式为y=子-x 7 4 4 设N如-m 4 又A(-1,0),B(2,0)E(0,2) 以NA,BE为对角线，则NA,BE的中点重合， m-1=2+0 .3 m2-m-+0=0+2' 4 4 解得m=3, ∴N(3,2) 以NB,AE为对角线，则NB,AE的中点重合， m+2=-1+0 .3 7 m2-m-=2 4 4 同时满足两个方程的m不存在， ∴这种情况不存在： 71/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以NE,AB为对角线，则NE,AB的中点重合， [m+0=-1+2 m2-m- .3 7 +2=0+0' 4 解得，m=1, N(1,-2) 综上所述， N坐标为 3,2)(1,-2) 或 (3)抛物线在第一象限内的部分存在一点D,使得EB平分∠AED,理由如下： 作点A关于直线BE的对称点A',作直线AE交第一象限的抛物线于D,如图： D O B B(2,0),E(0,2) ∴.OB=OE, ∴.∠OBE=∠OEB=45°， :A,A关于直线BE对称， ∠ABE=∠ABE=45°，AB=AB=3, .∠ABA=90°， .A(2,3) 设直线5解析式为=+2，将42,3) 代入得： 2k+2=3」 1 解得k= 2 1 :直线4E解析式为y=2x+2 72/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y= -x+2 x=1+6 x=1-V6 由 3-x-4 7,得 y=4 y=. +6欧，5二6（不在第一象限，奋去） 2 2 64 5.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线’=++4与产轴交于点 A(-2,0)B(4,0) 与》轴交于点 C P C 0 B 图1 图2 (1)求抛物线的函数解析式： (2)点D是抛物线上一点，D点横坐标为3，连接AD,点P为AD.上方抛物线上一点，连接PA,PD, 请求出△PAD面积的最大值及此时点P的坐标： (3)如图2，将原抛物线”=心++4沿产拍负半销方向平移2个单位长度，得到新抛物线 =ax2+bx+G,a 0),新抛物线与原抛物线交于点M.点N是原抛物线对称轴上一点，在平面直 角坐标系内是否存在点Q,使得以点A、M、V、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q 的坐标：若不存在，请说明理由， 【答案】(1)y=- +4 125 2)△PAD面积的最大值16， (3)存在， ol-1-) A(-2,0)B(4,0 【分析】(1)将点 代入抛物线'=x2+bx+4 中，利用待定系数法解题： 73/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)将x=3代入抛物线解析式中得点D3,2.5),设Pm,一2m+m+4),其中-2<m<3: 利用待定系数 法解得直线D解析式为：y=2x+l,过点p作PT1x轴交AD于点T,设Tm2m+D),解析法求出pT 的长，结合三角形面积与二次函数的最值解题即可： (3③)将原抛物线解析式化为项点式解折式)=x-+ 2,解得平移后二次函数的解析式是 y=-x++ 9 2 2,利用方程组解得两个抛物线的交点坐标M0,4),即与点C点重合，设N1,),根据勾 股定理得到MW=VP+-4),由矩形的性质解得点 -)即可解题 【详解】解：(1)根据题意，将点 (-2,0)B(4,0) 代入抛物线y=+r+4得， 4a-2b+4=0 16a+4b+4=0 〔1 a=- 2 b=1 片抛物线解析式为：y=)+x+4. 21 1 (2)将x=3代入抛物线解析式得，y=一2 32+3+4=2.5 D3,2.5) 设Pm,-2m+m+4),其中-2<m<3: 设直线4D解折式为：=+6≠0)，将4(-2,0.D,2.代入得， [-2k+b=0 3k+b=2.5 74/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k-2 1 b=1 :直线4D解析式为：y=2x+1, 过点P作PT⊥x轴交AD于点T, p 0 B 1 设T(m,5m+l) PT=-1 2+m+4- 2 2m-1s-1m 1 m2+二m+3 2 2 2 1 ÷.S.pw=)PT(p-xA） 11 1 22m+2m+3x5 512 1 F22m+2m+3) =m+m+ 5 .515 4 2 5 对称轴m=一4 1 2x( 2, 5 a=- <0 4 1 当ms 2时，SPMD最大且符合题意， 75/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时SPn=- 3m2+5m+5-5x+x5+5-125 = 4 4 24442216 135 :PC89 (3)存在，理由如下， 由(1)知原抛物线解析式为：y=- +x44=x-+号 2 2 将能物线4z龄负中纳方向平移2个中位长度后的解有式为=女-1+2驴+号女++号 y=- ++号 1 联立 1 y=-2-0+2 x=0 y=4 .M(0,4) N(L,) 与点点重合，设 ∴MN=VP+(4- ”以点本M、N 为顶点的四边形是矩形， ①当AM是矩形的边时，如图， M B AM=V22+42=2√5 ∴.QN=AM=2V5 76/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线AM的解析式为 A-2,0) .k=2 ∴y=2x+4 将直线AM向右平移b个单位恰好与对称轴x=1交与点N,且ON交x轴于点P,对称轴x=1交x轴于点 H, 1 N 0 H B 设直线QN的解析式为 y=2(x-b)+4=2x-2b+4 当x=1时，y=6-2b=1, :b=6-1 2 当y=0时，x=b-2=2-4 21 r0 HP=1-2‘={.AP=64 22, 2 PN=HP2 NHZ=5 2 :∠APQ=∠NPH,∠Q=∠PHN=90° 77/103 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△APQ-aNPH APA0 PN NH 6-t 2= V1+(4-02 V5 t 2 ∴.(61-t2)2=5120+16-81+2) .2(21-7)2=0 :1=0(舍去)或=2 7 ：22 :M0,4.NL,74-2,0 :b=6-15 24 ON 直线 的解析式为 y=20x-b)+4=2x+2 数02+ :9N=AM=2√5 RtaNOK 中， NO2=OK2+KN2 -25-+0-5=20 21 整理得，52-2-3=0 ∴.=-1或3=3（舍去） 31 ÷25+2-2 78/103 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0-l-2 ②当AM是矩形的对角线时，如图，过点Q作QJ1x轴于点J M ，设 0 H B MN=VP+(4-)2,AM=25 e(s,n) 由一线三等角模型得，△QJA~aJHN QJ AJ AH NH n-2-s n=6-3w 06,5 Rt△AMN中， AM2=MN2+AN2 1+(4-02+(32+2)=20 整理得，2-41-3=0 U-2)2=7 t=7+2或7+2含去) ∴..Ag2=MN2=12+(4-)2=12-47 79/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Rt△AJg 中 AO2=QJ2+AJ2 3+(2-=2-5, 20+47)2+S=12-4N万 11+4v7 2+S2=157-341 解得 .S= 57,4-2= 157-341-2 (舍去) 综上所述， 使得以点A、M、N、为顶点的四边形是矩形. 【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及一次函数、勾股定理、二元一次方程组的应用、矩形的判定等 知识，是重要考点，有一定难度，掌握相关知识是解题关键。 6、如图，在平面直角坐标系中，直线"=-x+3交 +交坐标轴于B、C两点，抛物线 =ax2+bx+3 经过B、C 两点，且交x轴于另一点 A(-1,0) 点D为抛物线在第象限内的一点，过点D作D0/C0,D0交BC 于点P,交x轴于点Q, (1)求抛物线的解析式： (2)设点P的横坐标为m,在点D的移动过程中，存在∠DCP=∠DPC,求出m的值： (3)在抛物线上取点E,在平面直角坐标系内取点F,问是否存在以C、B、E、F为顶点且以CB为边的 80/103 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 矩形？如果存在，请求出点E的坐标：如果不存在，请说明理由. 【答案】1)少-r2+2x+3 (2)m=2 3)存在以C、B、E、F为顶点且以CB为边的矩形，此时点E的坐标为 1,4)（-2,-5) 或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质等等，利用分类讨论的思想求 解是解题的关键 (1)根据一次函数的解析式求出点B,C的坐标，再利用待定系数法求解即可得： (2)先根据OB=OC=3求出∠OCB=∠OBC=∠BP2=∠DPC=45°，从而可得∠DC0=90°，再根据平 行线的判定可得CD‖AB,从而可得点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，即为3，由此即可得： (3)设点F的坐标为 F(s,t ,分两种情况：①四边形BCEF是矩形，②四边形BCFE是矩形，先联立二 次函数和一次函数的解析式求出点E的坐标，再根据矩形的性质求解即可得. 【详解】(1)解：一次函数y=-x+3, 当x=0时，y=3,即C0,3列 当=0时，-+3=0，解得*=3，即B(30), [a-b+3=0 把A(-1,0),B(3,0)代入y=a2+bx+3得l9a+3h+3=0, a=-1 解得b=2, =-x2+2x+3 则抛物线的解析式为 ·B(3,0)C(0,3) (2)解： 81/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0B=OC=3, ∴.∠OCB=∠OBC=∠BP9=∠DPC=45°. :∠DCP=∠DPC, ∴.∠DC0=90°， ∴.CDI AB ∴·点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，即为3， 当y=3时，-x2+2x+3=3,解得x=2或x=0(舍去)， 则m=2 (3)解：存在，求解如下： 设点F的坐标 F(s,) ①当四边形BCEF是矩形时，则CE⊥BC, ,直线BC的解析式为y=-x+3, ·设直线CE的解析式为y=x+C, C(0,3 把点 代入得c=3 ∴直线CE的解析式为y=x+3, y=x+3 [x=1x=0 联立y=-2+2x+3,解得y=4或y=3(即为点C,舍去)， .E(1,4) ②当四边形BCFE是矩形时，则BE⊥BC, 设直线BE的解析式为y=x+n, (3,0) 将点 代入得：3+n=0,解得”=-3， 则直线BE的解析式为y=x-3, 82/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=x-3 x=-2x=3 联立y=-x2+2x+3,解得y=-5或y=0(即为点B,舍去)， .E(-2,-5) 综上，存在以C、B、E、F为顶点且以CB为边的矩形，此时点E的坐标为 4或2-5) 2 7.如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，A(-l,0),B(5,0),C(5,5),抛物线y=-3+bx+c经过点A 和点B, y D M M B 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)抛物线的对称轴交CD于M,交AB于N,点E是x轴上一动点，点F是点B关于直线CE的对称点，当 点F落在抛物线的对称轴上时，求点E的坐标： (3)点G在直线OC上，点P在x轴上方的抛物线上，点Q在坐标平面内，以C,G,P,9为顶点的四边形 为正方形，请直接写出点Q的坐标. 【务案灯号++0 33； E10. 2点8的坐标为B(-10,0)或30片 14-V626+V6 0,4+6,26-6 4， 4 【分析】(1)利用待定系数法计算即可： (2)分点E在对称轴的左侧和右侧，根据对称性质，勾股定理，矩形的性质，解答即可： 83/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)根据正方形的判定和性质，待定系数法，线段的垂直平分线，中点坐标公式等解答即可： 【详解】(1)解：抛物线y=一3 x+bc+c交x轴于A-1,0)和B(5,0)两点， （_2-b+c=0 3 根据题意，得 50 +5b+c=0 3 解得 10 c23 :抛物线的解析式为y=一 2x+8x+10 x+- 3 3· (2)解：如图，当点E在对称轴的右边时，连接CF, ·B(50)C5,5) .BC=5 :点F是点B关于直线CE的对称点， .'CF=BC=5. +3交x轴于A(-L,0)和B(5,O)两点，矩形ABCD: “抛物线的对称轴x=2 15=2,ABCD,∠BCD=90°， M(2,5)N(2,0)∠FMC=90° .CM=BN=5-2=3,MN=5, MF=CF2-CM=4 .NF MN-CM=1. 设NE=x,则BE=BW-NE=3-x, 连接EF, :点F是点B关于直线CE的对称点， ∴.BE=EF=3-x, 84/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 D M 4 EF2=FN2+EN2. :B-=2+1 4 解得x= 3· :2+x=10 , 如图，当点E在对称轴的左侧时，连接CF, B(5,0)C5,5) .BC=5, ,点F是点B关于直线CE的对称点， .CF=BC=5, :抛物线y=一 2+bx+c交x轴于A(-1,0)和B(5,0)两点，矩形ABCD: 六抛物线的对称轴=5 2 2,ABICD,∠BCD=90°， ,M(2,5)N(2,0）∠FMC=90° .CM=BN=5-2=3,MN=5, MF=CF2-CM=4 .'NF=MN+CM=9. 85/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设NE=x,则BE=BN+NE=3+x, 连接EF, :点F是点B关于直线CE的对称点， .'BE=EF =3+x, F 8 6 D M 10 .EF2=FN2+EN2, :(3+=2+81 解得x=12, .x-2=10 E(-10,0) 经达，友56为10安得o】 (3)解：设直线0C的解析式为y=pr,把C(5,5)代入得：5=5p, 解得p=1, 直线OC的解析式为：y=x, .∠OCB=∠OCD=45°， CD ,2 ,EPG⊥CD,PG2⊥CD 设直线 与抛物线交于两点，分别过点作 交直线0C于G,G 86/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠OCB=∠OCD=∠CPG,=∠CPG2=45° 则 CP=PGI,CP=PG2 G,GG01RGG,01G,分别交8C+号 BC2,92 分别过 作 CPGQ,CPG,Q 则四边形 都是正方形，符合题意， 设Pn,- 2 ,810 2n2+n+ 3 3”+3由C(5,5) 22 得 ,8mt10=5 3+n+ 33 4 整理，得2n2-8n+5=0, n=8±264±v6 解得42， 酸名+6 %-4,6 2， 2 :%=%=4+6 %=%,=4-6 2, 2 故es45.g646), 87/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-V6 如图，根据前面解答，得2 由C(5,5), PC 于R,构造正方形 GPQs 作线段 的垂直平分线，交直线于 RG,=5-14-v6_6+v6 44, D R 4 ,6+V626+√6 5 .的纵坐标为4 4. 14-V626+V6 4,4 4+V6 如图，根据前面解答，得26,5 由C5,5): PC 作线段 的垂直平分线，交直线 于，交CD7,构造正方形 OC GPQ 根据题意， 88/103 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7G,=5-14+66-V6 4 4 6 P 4 B 5+6-v626-V6 、4的纵坐标为4 4, 综上所述， etea为8s45.Qs5,.e459)e2:65 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正方形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，线段的垂直平 分线，中点坐标公式，分类思想的应用，熟练掌握待定系数法，正方形的判定和性质，勾股定理，中点坐 标公式是解题的关键 8.如图，抛物线)=+x+C交轴于 (-L,0),B(3,0)两点，交'轴于点C,点P是抛物线上一个动点 B (1)求该抛物线的函数表达式： 89/103 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当点P的坐标为 2,-3) 时，求四边形ACPB的面积： (3)当动点P在直线BC上方时，在平面直角坐标系内是否存在点Q,使得以B,C,P,Q为顶点的四边 形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由， 【答案】y=x-2r-3 (2)9 5+5-1-5 3)存在，点Q的坐标为(-5,2)或2’2 【分析】4)把4(-，0)，B(3,0)代入=+饭+c中求解，符出抛物线的函数表达式即可； (2)连接AC、CP、BP、OP,过点P作PE⊥AB于点E,利用点的坐标得出出线段OA、OB、OC、 OE、PE的长度，再根据uam=Sac+S.ac+Sae ,进行计算即可： (3)当BC为矩形的边时，四边形BCQP为矩形，PB交y轴于点E,CO交x轴于点F,连接EF,过点 P,PM⊥y .9、ON⊥x 作 /轴于点M,过点”作OW上轴于点，利用等腰直角三角形的判定与性质及矩形的判定与 性质得到NF=QN=PM=ME,利用待定系数法求得直线PB的解析式与抛物线的解析式联立方程组求得 点P的坐标，则PM=2,进而得到ON、N的长度，即可得出点的坐标；当BC为对角线时，四边形 PE BE BPCQ为矩形，过点O作QD⊥x轴于点D'PE⊥x轴于点E'证明aBEP△QDB,得出DBDQ,设 PkF-21-3),0(0）,表示出3-6-+20，D0=-2,BD=1,P=-+21+3. BE=3-4得出方程+21+33-1 =2-27:整理、分解因式得(-3-1-)=0，则1-3=0或2-1-1=0， 求解并取舍，求出3-1、-2+21，即可得出点的坐标」 90/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [1-b+c=0 【详解】(1)解：把A(-l,0),B(3,0)代入y=x2+bx+c得：l9+3b+c=0, [b=-2 解得：c=-3, =x2-2x-3 ∴该抛物线的函数表达式为 (2)解：如图，连接AC、CP、BP、OP,过点P作PE⊥AB于点E, B :点P的坐标为 2,-3) .PE=3,OE=2, x=0时，y=-3, :c0-3) ∴0C=3, 4(-10)B3,0) .0A=1,OB=3, .S四边形ACP8=S.04c+S.o+So8r -04-OC+OC-OE+OB.PE 21x3+3x2+ 1 x3x3 =9； (3)解：存在， 91/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，当BC为边时，四边形BCQP为矩形，PB交y轴于点E,CO交x轴于点F,连接EF,过点P作 PM⊥y QQN⊥x 轴于点M,过点°作 N 轴于点· D --1dM E A OC=OB=3. ∴.∠OBC=∠OCB=45°」 :四边形BCOP为矩形， .∠PBC=∠QCB=90° .∠OBE=∠OCF=45° :△OBE和△OCF为等腰直角三角形， ..OB=OC=OE=OF=3, ∴，四边形BCFE为正方形， ∴.CF=BE,∠EFC=∠BEF=90°， :.四边形EFQP为矩形， ..OF=PE, ∠MEP=∠BE0=45°，∠QFN=∠OFC=45°， :△PME和△ONF 为全等的等腰直角三角形， .NF=ON=PM=ME OE=3, E(0,3) 设直线BE的解析式 y=kc+n(k≠0) 92/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3k+n=0 n=3, k=-1 .n=3, ∴直线BE的解析式为y=-x+3, y=-x+3 联立方程组得y=x2-2x-3. [x=3「x=-2 解得y=0或y=5, .P(-2,5) ∴.PM=2, ..ON=NF=2 :.ON=OF+NF=3+2=5, :(-52) 如图，当BC为对角线时，四边形BPCO为矩形，过点Q作QD1x轴于点D,PE⊥x轴于点E, B 则∠PEB=∠BD0=90°，∠PBQ=90°， ,∠PBE+∠EPB=∠PBE+∠DBQ=90° .∠EPB=∠DBQ .△BEP∽aQDB PE BE DB DO' 93/103 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设Pr-21-3)0(o2) C(0,-3)B3.0 动点P在直线BC上方， =3-,%=-f+2,1<0或>3， 3-4,-+2刘) 片D0=-2.BD=-1.D=-f+2+3E=3-1 :+21+33-1 -t t2-21' 整理得：1-412+21+3=0， 1-32-(2-2t-3=0 2(t-3)-(t-3)(t+1)=0 分解因式得：-3？-1-1)=0 .t-3=0或2-t-1=0, 解得：5=3合去)，41+5<3《合去)，61上5<0， 2 :3-1=31上5_5+5，f+21= 2 2 5+V5-1-5 ∴此时点Q的坐标为2,2 综上所述，在平面直角坐标系内存在点Q,使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标为 5+V5-1-5 (-5,2)或2,2 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、求函数解析式、一次函数的性质、等腰直角三角形的判 94/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定与性质、矩形和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点、分类讨论、数形结 合是解题的关键。 9。如图，三次函数"=++C的图象与产轴交于B两点，与》轴交于点C,点4的坐标为40) 且OA=OC,E是线段OA上的一个动点，过点E作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点 D、F (1)求抛物线的解析式： (2)设点E的横坐标为m,当为何值时，线段DF有最大值？并写出最大值为多少： (3)若P是直线AC上的一动点，在坐标平面内是否存在Q,使以P,O,B,C为顶点的四边形是菱形？若 存在，直接写出符合条件的菱形的个数并请直接写出其中2个点Q的坐标：若不存在，请说明理由 y=-x2-3x+4 【答案】(1)二次函数解析式为 (2)当m=-2时，DF有最大值，且最大值为4 2+√34V34 3)存在点Q使得以点P、QB、C为顶点的四边形是菱形，共有4个，点Q的坐标为2一，2或 2-34 34 2317Y 2 2 或6’6或(-4,5) 【分析】(1)根据A(-4,0),OA=OC,运用待定系数法即可求解： (2)根据A(4,0),C(0,4),求出直线AC的解析式，根据点E的横坐标为m,可用含m的式子表示点 95/103 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D,F的坐标，由此可得DF的长关于m的二次函数，根据最值的计算方法即可求解： (3)根据题意可求出BC的长，根据菱形的性质，分类讨论：第一种情况：如图所述，点Q在直线AC下 方：第二种情况：如图所示，点Q在直线AC上方：图形结合，即可求解， 第三种情况，BC为菱形的对角线时. 【详解】(1)解：：二次函数'-+r+ C的图象与轴交于B两点，与'轴交于点C,点4的坐标 为(-4,0)， ∴.0A=4, OA=OC, ∴0C=4,则C(0,4), 把1(4.0C0,4) y=-x+bx+ 代入二次函数解析式 得， 「-16-4b+c=0 b=-3 c=4 ,解得，c=4, 。二次函数解析式为'=-r-3x+4 y=-x2-3x+4mA(-4,0)C(0,4) (2)解：由(1)可知，二次函数解析式 ，且 ∴设直线AC所在直线的解析式为y=x+b(k≠O), [-4k+b=0 k=1 ·.b=4,解得，b=4, ∴.直线AC的解析式为y=r+4, ,点E的横坐标为m,直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点D、F, ∴点D、F的横坐标为m, ,D(m,m+4)F(m,-m2-3m+4) DF=-m2-3m+4-(m+4)=-m2-4m=-(m+2)2+4 ∴.当m=-2时，DF有最大值，且最大值为4； 96/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：“二次函数少=-r-3x+ (-4,0) 的图象与'轴交于B两点。且 :s0 时，+3x-4=0,则 =-4x2=1 .B(1,0),且C(0,4) 在Rt△BOC中，OB=1,OC=4, .BC-VOR+0C- 第一种情况：如图所述，点Q在直线AC下方， D B PCBO 四边形 是菱形，则 PC∥BgB=BC=V17 且直线AC的解析式为y=x+4, “设直线B所在直线的解析为y=x+C,把点Bl,O)代入得，0=1+c, 解得，c=-l, ∴直线BQ的解析式为y=x-1, 设Q(g,9-),过点2作QH⊥x轴于点H, :.BH=1-9,QH=q-1, :.B0=VBH+QH2=0-9}2+g-)=V17 整理得， 2q2-4q-15=0 ÷g=4牡2342±V54 4 2” 97/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24时，9-1=2+y34-1=54 :当9=2+34 g2+344 2 2,即气2,2月 当9=2V34 2 第二种情况：如图所示，点Q在直线AC上方， BCOP OP∥BCBP=BC=VI7 四边形 是菱形， 且BL,0)C(0,4). ∴直线BC的解析式为y=-4x+4, 设P(p,p+4)」 BP=V-p)+(p+4= p2+3p=0 整理得， 解得， 0(与点C重合，不符合题意，合去)，B=-3,即P30。 D= ,即 ∴设PQ所在直线的解析式为y=-4x+n, 把点P(-3,)代入得，n=-11, ∴直线P№的解析式为y=-4x-11, 根据题意，设Q,-4r-1), :P0=V-3-2+0+4r+1)=VI7 98/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理得，17r2+102r+136=0, -102±34 34一，即5=-2,5=-4， -2>-3,不合题意， (-4,5) 第三种情况，BC为菱形的对角线时，如图所示： 作BC的垂直平分线PN,交AC于P,交BC于N, 在直线PW上截取CQ=PC,连接PB、BQ得菱形BPCQ, B1,0).C(0,4). 2 .∠BOC=∠BNM=90°，∠CBO=∠MBN .ABOC∽aBWM, BO BC BN BM 1 v17 17 BM 2 BM=17 2 99/103 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0M=5 50 设直线PN为y=mr+n, 代xN62Mo 1 m+n=2 得 15 2 m+n=0 1 m= 4 解得15， n= 8 115 小y=4x+ 8 与y=x+4联立， 1.15 y= x+ 得 =48, y=x+4 x=- 6 解得 7， y26 ∴将点P向右平移个单位再向上平移个单位得到点C, 将点BL,0也做相同的平移得到点1+ 综上所述，存在点使得以点PQB、C为顶点的四边形是菱形，共有4个，点的坐标为 2+V34V34 2-V34√34 2317\ 2，2 或 2 2 或6’6或(4,5). 100/103 专题05 二次函数存在性问题四边形相关 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平行四边形相关存在性问题 题型二、矩形相关存在性问题 题型三、菱形相关存在性问题 题型四、正方形相关存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次函数中四边形存在性问题，本质是“动点坐标的平移与对称”。相比三角形，它多了一个顶点，但只需要注意：平行四边形找中点，三类对角线列全； 菱形矩形加垂直，向量距离最灵验； 梯形抓住斜率等，最后验平不多变。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平行四边形相关存在性问题 典例1 已知二次函数的图象经过点，与轴交于点（不是原点）． (1)求的值； (2)如图1，该二次函数图象的顶点为，求四边形的面积； (3)如图2，点和点是该二次函数图象上的两个动点，且，过点作轴交直线于，过点作轴交直线于，若，是否存在以点，，，构成的平行四边形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：特征词“以...为顶点”（如“以 A、B、P、Q 为顶点的四边形”），没标顺序，意味着对角线任意配对，必须分 3类 讨论。 特征词“四边形 ABPQ”（标了具体字母）：顺序固定。 2.方法：遇平行，找中点；横纵和，相等列。 三定直接套三解，两动代入分三类。 看清顺序再动笔，验完共线才算对。 变式1-1如图，抛物线经过点，已知点，点． (1)求抛物线的表达式； (2)为线段上一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，当的面积最大时，求点的坐标； (3)设是抛物线上的一点，在轴上是否存在点，使得为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-2如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第三象限内抛物线上一动点，设点的横坐标为的面积为；求与的函数关系式； (3)若是抛物线上的动点，是直线上的动点；是否存在以四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点与点的坐标． 题型二、矩形相关存在性问题 典例1 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)若是平分线上的一点，是平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是矩形，请求出点的坐标． 题型模版 1.特征：矩形综合题，本质是平行四边形套了个“直角”的壳。它的核心特征是 “伪装”——题目往往不会让你直接证矩形，而是把矩形当作筛选器，用来框定动点范围。 2.方法：矩形题，两步走：先平四，后直角。 对角相等用距离，垂直来了用向量。 混合条件看顺序，平躺图形口算香。 变式1-1如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点M是抛物线的顶点，点是轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标 变式1-2．如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 变式1-3．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型三、菱形相关存在性问题 典例1 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求b，c的值； (2)如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点N是平面坐标系内一点，直线上是否存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：给出“对角线垂直”或图形明显交叉。 只给“邻边相等”条件，但注意：因为 P 在抛物线上，平方后会得到 t 的四次方程！此时必须先用中点公式确定对角线关系，消元降次，绝不能硬解。 2.方法：菱形题，两板斧：平行四边形打底，对角线垂直做主。 若遇60°别算数，等边平移口算出。 面积请用对角线，周长平方找顶点。 变式1-1如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E，连接． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-2．如图，已知抛物线与轴交点为、，在的左侧，与轴交点为点，且抛物线与直线交于、． (1)求直线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-3．如图，抛物线与轴交于点和点．与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第二象限内抛物线上的一点，当点到，距离相等时，求点的坐标； (3)如图2，点在抛物线上，点在直线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四、正方形相关存在性问题 典例1 在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，直线与抛物线交于A，D两点，与直线交于点E．若是线段上（不包括点A，B）的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线于点H． ①连接，，，当点F在直线上方的抛物线上，且时，求m的值． ②在平面内是否存在点P，使四边形为正方形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：这是正方形区别于其他四边形的最强显性特征——题干一旦出现正方形，立刻放弃复杂的距离公式和斜率乘积，直接用几何平移。 2.方法：正方形，双条件；垂直相等紧相连。 千万别用距离算，K型旋转一瞬间。 变式1-1如图，抛物线与x轴交于，D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点，点E，P为抛物线的对称轴上的动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当最小时，求此时点E的坐标； (3)若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-2．直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 变式1-3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 2．如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 3．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积； (3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点是抛物线上一点，点横坐标为3，连接，点为．上方抛物线上一点，连接，，请求出面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿轴负半轴方向平移2个单位长度，得到新抛物线（），新抛物线与原抛物线交于点．点是原抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 7．如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B， (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴交于M，交于N，点E是轴上一动点，点F是点B关于直线的对称点，当点F落在抛物线的对称轴上时，求点E的坐标； (3)点G在直线上，点P在轴上方的抛物线上，点Q在坐标平面内，以C，G，P，Q为顶点的四边形为正方形，请直接写出点Q的坐标． 8．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一个动点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)当动点在直线上方时，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值？并写出最大值为多少； (3)若P是直线上的一动点，在坐标平面内是否存在Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出符合条件的菱形的个数并请直接写出其中2个点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)无论a取何值，抛物线一定经过两个定点M，N（点M在点N的左侧），点H是线段上一点，连接，当为直角三角形时，求点H的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是线段上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q（），使得以为顶点且以为边的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $