2.4《用一元二次方程解决问题（2）》同步学案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册·

该初中数学导学案聚焦用一元二次方程解决连续变化率、营销利润及数字问题，通过水果店涨价情境导入，引导学生分析单利与销量的反向关系，结合增长率含义、利润公式等已学内容搭建支架，衔接新旧知识。 资料特色体现在分层练习设计和易错专攻模块，精准区分连续变化率与线性增长，规避利润表达式漏项等错误，结合生活情境培养模型观念，通过典例变式提升推理能力，学后反思促进自主学习，符合新课标应用意识要求。

2.4《用一元二次方程解决问题（2）》同步学案 苏科版 九年级数学 上册 · 第 2 章第 4 节（第 2 课时） 2026–2027 学年 · 1 课时 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 一、学习目标 （核心素养指向：运算能力、推理能力、模型观念、应用意识）本课结束后，你应该能够： 1. 能识别“连续两次相同变化率”问题，正确列出 型的一元二次方程. 2. 能处理“先提价再打折”“涨价导致销量变化”等营销综合问题，理清单价、成本、销量、利润之间的关系. 3. 能用一元二次方程解决数字问题（两位数 / 三位数），掌握位权制表示法 . 二、学习重难点 重点：增长率问题的核心模型： 新量；利润 = (售价 - 成本) 销量. 难点：区分“线性增长”() 与“复利式增长”()；利润问题中要同时考虑单价和销量的反向变化. 三、学法指导·知识回顾 1. 学习路径：回顾增长率的含义 → 推导两次变化的连乘模型 → 练习涨价/降价/打折 → 引入利润 = 单利销量 → 数字问题的位权表示法. 2. 本课数学思想方法主线：核心是建模——把文字中的商业关系翻译成数学式子.增长率是乘法结构，不是加法结构，这是最常见的错误来源. 3. 已学铺垫（先自己答一答）：（1）若某数增加 后变为 ，那么它原来的值是多少？（2）利润 = ______ - ______；（3）两位数 用代数怎么表示？ 遇到“连续两年/两次”的变化率问题，第一反应应该是 而不是 .前者是复利式的连乘，后者是线性的累加——两者只在 很小时近似相等. 四、知识清单·划重点 1. 增长率模型：设每次变化率为 ，则经过两次后新量 = 原量 .注意：涨用加号，降用减号. 2. 利润公式：每件利润 = 售价 - 进价；总利润 = 每件利润 销量.涨价时单价升但销量降，两者都要写出来. 3. 数字问题：两位数 ，交换位置后为 .不要写成 （那是乘积！）. 4. 检验取舍：增长率 通常满足 （或 ）；解出负值或大于 的结果一般要舍去. 小贴士：① 凡是看到“连续两年”“两次”等字眼，立刻在草稿纸上写下 这个框架.② 利润问题画一张表：一行写“不调价”，一行写“调价后”，逐列对比单价、单利、销量、总利润. 五、情境导入 生活情境：水果店老板进了一批苹果，进价每千克 元.按每千克 元卖时，每天能卖出 千克.但老板发现，价格稍微涨一点，买的人就少一些；价格降一点，买的人就多一些. 如果每千克涨价 元，每天少卖 千克.老板想算一算：涨价多少元时，每天的利润能达到最大？或者至少达到某个目标值？ （实景图：水果摊上的标价与销售） 想一想：涨价后，每千克的利润增加了，但卖出的数量减少了.这两个因素一个在“帮忙”、一个在“拖后腿”，它们是怎么共同决定总利润的？ 设涨价 元，你能把“每千克利润”和“每天销量”都用含 的式子表示出来吗？ 本环节体会营销问题中两个反向因素的博弈：单价↑→单利↑但销量↓.总利润是两者的乘积，恰好是一个关于 的二次函数（或方程）. 六、典例精析与变式 例 1（基础 · 平均增长率）：某商品原价 元，连续两次涨价后售价为 元.若每次涨价的百分率相同，求这个百分率. 【分析】关键：第一次涨价后的价格又作为第二次涨价的基数，所以是“乘了两次 ”. 【解答】设每次涨价的百分率为 .依题意得 ，即 .开平方得 ，舍去负值得 .所以每次涨价 . 变式 1：某种药品原价 元/盒，经两次降价后变为 元/盒，每次降价率相同.求降价率. 【解答】设每次降价率为 ，则 ，，（取正），.每次降价 . 例 2（综合 · 涨价与销量）：某商品成本价 元，按标价的八折出售可获利 元.求标价. 【分析】标价折扣 = 实际售价；实际售价 - 成本 = 利润.两步关系要分开写清楚. 【解答】设标价为 元，则实际售价为 元.由利润关系得 ，解得 ， 元.回代检验：八折后售价 元，减去成本 元，确实获利 元. ★ 易错预警：① 把“连续两次”当成“一次涨两倍”的线性模型，列成 .② 利润问题只考虑单价忘了销量，或只考虑销量忘了重新算单价.③ 数字问题把 写成 （乘积）.④ 解出增长率 或 不舍去. 七、夯实基础·当堂测 限时 15 分钟，独立完成.做完先自己圈出没把握的题号，再对照配套讲评稿逐题订正. ★A 基础过关 本组练什么：本组 8 题依据教材例习题的基础考法编写，覆盖四类必会题型——平均增长率、打折销售、数字问题、利润与销量反比.这是本节的必得分区，力争全对. A1． 某商品原价 元，连续两次涨价后售价为 元.若每次涨价的百分率相同，求这个百分率. A2． 某厂去年产量为 吨，今年比去年增产 .若计划明年再增产相同的百分率，使明年产量达到 吨，求明年的增产率. A3． 某种药品经过两次降价后，每盒价格由原来的 元降到了 元.若每次降价的百分率相同，求这个百分率. A4． 某商店进了一批商品，每件成本价 元.若按标价的八折出售，每件可获利 元，求这件商品的标价. A5． 某商场将某商品按成本价提高 后作为标价，然后打八折出售，结果每件仍获利 元.求这件商品的成本价. A6． 一个两位数，其十位数字与个位数字之和为 .若把这个两位数的个位与十位交换位置，所得的新数比原数大 ，求这个两位数. A7． 某小区 2024 年绿化面积为 平方米，计划 2025 年和 2026 年两年内每年都比上一年增加相同的百分率，使 2026 年的绿化面积达到 平方米.求每年的增长率. A8． 某水果店购进一批苹果，每千克进价 元.若按每千克 元出售，每天可卖出 千克；若每千克涨价 元，每天少卖出 千克.若该店想获得每天 元的销售利润，且决定涨价销售，求每千克应涨价多少元. ★★B 能力提升 本组练什么：本组练营销综合——“提价 + 打折”链式运算与“涨价→销量下降”的反比关系.画一张对比表，就能避开大部分错误. B1． 某商店从厂家批发一种文具，每件进价 元.若每件售价 元，可卖出 件；若每件涨价 元，少卖出 件.为保证每天利润不低于 元，且决定涨价销售，求每件至少应涨价多少元. B2． 某超市将一种商品按成本价提高 标价，然后打七五折出售，结果每件亏损 元.求这种商品的成本价. B3． 某城市 2023 年底汽车保有量为 万辆.为了缓解交通压力，计划此后每年底汽车保有量不超过上一年的 倍.那么到哪一年底，该市汽车保有量将首次超过 万辆？ ★★★C 拓展挑战 本组练什么：本组练不同年份不同增长率的总增长，以及复利公式的直接应用.关键是逐年连乘，不能把各年增长率简单相加. C1． 某公司第一年的营业额为 万元，第二年比第一年增长 ，第三年比第二年增长 .求这三年总的增长率（相对于第一年）. C2． 某人将一笔钱存入银行，年利率为 （按复利计算），两年后本息和恰好是本金的 倍.求年利率 . 八、能力提升·拓展 本组练什么：本组练利润最值与数字问题的变式：利润方程展开后往往是开口向下的抛物线，有两个合理解时要结合实际取舍. D1． 某商品每件成本 元，当售价定为 元时每天可卖出 件.若每涨价 元就少卖 件，要想每天获得 元的利润，每件应定价多少元？ D2． 一个两位数的十位数字与个位数字之积等于 .若把个位与十位交换位置，所得的新数比原数大 ，求这个两位数. 遇到“涨价 元少卖 件”这类题，立刻写出三行：售价 = ____，单利 = ____，销量 = ____.三行都写对，总利润方程自然就对了. 九、易错专攻 错点 1：把“连续两次变化率”列成线性模型. 辨析：“连续两年每年增长 ”应列为 ，而不是 .前者是复利式的连乘，后者是单利的累加——两者只在 很小时才近似相等.（对应 A1、A3、A7、E2） 错点 2：利润表达式漏项或符号错. 辨析：总利润 = (售价 - 成本) × 销量.常见错误：① 只写售价×销量忘了减成本；② 涨价时写成 (售价+x) 却忘了销量要减.（对应 A5、A8、B1、D1、E3） 错点 3：数字问题用乘积代替位权制. 辨析：两位数 应表示为 ，不是 .交换位置后是 ，差值为 ，这个规律可以帮助快速验算.（对应 A6、D2） 应用题自检三连问：我的方程用的是乘法结构还是加法结构？利润的两个因子（单利、销量）都写全了吗？数字是用位权制表示的吗？ 十、真题演练·中考链接 本组练什么：本组练中考对本节的常规考法：增长率、打折获利、涨价与销量，都是历年中考的高频考点. E1． 某商场将一件商品按成本价提高 标价，再打八折出售，结果每件获利 元.求这件商品的成本价. E2． 某地 2022 年 PM2.5 年均浓度为 微克/立方米，经过两年治理后降至约 微克/立方米.若每年下降的百分率相同，求年平均下降率.（结果保留一位小数） E3． 某书店购进一批图书，每本进价 元.若按每本 元出售，每天可卖出 本；若每本涨价 元，每天少卖出 本.若书店希望每天获得 元的销售利润，且决定涨价销售，求每本应涨价多少元. 本组聚焦“建模辨析”：增长率是乘法不是加法，利润是单价和销量的双向博弈.这两条分界线划清楚了，本节就过关了. 十一、学后反思 请对照下列三问，在横线上写下你的思考（只给框架，不代写结论）： · 知识：我能说出平均增长率的标准方程形式 ____________，它与线性增长的差别在于 ____________. · 方法·思想：本课最让我印象深刻的模型是“____ 模型”（如利润 = 单利×销量），我在 ______ 处用到了它. · 努力方向：我上次做应用题错在 ____________，下次我会 ____________. □ 我能正确列出 型的增长率方程 □ 我能理清单价、成本、销量、利润四者的关系并列出方程 □ 我能用位权制 表示两位数并求解数字问题 自评：本次当堂测我做对 ______ / 18 题，错题号：____________. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4《用一元二次方程解决问题（2）》同步学案·答案与解析 苏科版 九年级数学 上册 · 第 2 章第 4 节（第 2 课时） 2026–2027 学年 · 1 课时 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 使用说明：本册为《2.4《用一元二次方程解决问题（2）》同步学案》的配套讲评稿.每题按【原题】→【考查】→【解答】→【易错】四步呈现，题号与学案完全一致，可逐题对照订正. 一、★A 基础过关 · 逐题精讲 A1． 【原题】某商品原价 元，连续两次涨价后售价为 元.若每次涨价的百分率相同，求这个百分率. 【考查】平均增长率：设增长率为 ，两次后为 【解答】答案 增长率为 .设每次涨价的百分率为 .第一次涨价后价格为 元，第二次在此基础上再涨 ，所以最终价格为 元.两边同除以 得 ，开平方得 ，舍去负值后得 ，即每次涨价 . 【易错】列成 ；这是“一次涨两次”的线性模型，不是“复利式”的连乘. A2． 【原题】某厂去年产量为 吨，今年比去年增产 .若计划明年再增产相同的百分率，使明年产量达到 吨，求明年的增产率. 【考查】两步增长率：今年是中间量，不要直接跳到明年 【解答】答案 明年的增产率为 .先算出今年的产量：去年 吨，增产 后今年产量为 吨.设明年的增产率仍为 ，则明年产量为 吨，解得 .也可以一步到位写成 ，结果相同. 【易错】直接设明年比去年增长的百分率，却把基数当成了今年的产量. A3． 【原题】某种药品经过两次降价后，每盒价格由原来的 元降到了 元.若每次降价的百分率相同，求这个百分率. 【考查】平均降价率：与涨价同理，只是 而非 【解答】答案 降价率为 .设每次降价的百分率为 .第一次降价后价格为 元，第二次在此基础上再降 ，最终价格满足 .两边同除以 得 ，开平方得 .因为 （否则价格为负），取 ，解得 ，即每次降价 . 【易错】列成 ；同样犯了“线性相减”的错误. A4． 【原题】某商店进了一批商品，每件成本价 元.若按标价的八折出售，每件可获利 元，求这件商品的标价. 【考查】打折销售：标价折扣 = 售价，售价 - 成本 = 利润 【解答】答案 标价为 元.设商品的标价为 元.按八折出售的实际售价为 元，而实际售价减去成本价就是利润，于是 .解这个一元一次方程得 ，所以 元，即这件商品的标价为 元. 【易错】把“获利 元”当成“利润率 ”，列成 . A5． 【原题】某商场将某商品按成本价提高 后作为标价，然后打八折出售，结果每件仍获利 元.求这件商品的成本价. 【考查】先提价再打折的综合运算 【解答】答案 成本价为 元.设成本价为 元.先提价 作为标价，则标价为 元；再打八折出售，实际售价为 元.根据“售价 - 成本 = 利润”得 ，即 ，解得 元. 【易错】把“提高 ”理解成“乘以 ”；应是乘以 . A6． 【原题】一个两位数，其十位数字与个位数字之和为 .若把这个两位数的个位与十位交换位置，所得的新数比原数大 ，求这个两位数. 【考查】数字问题：用十位数字表示整个两位数 【解答】答案 这个两位数是 .设十位数字为 ，因为两个数字之和为 ，所以个位数字为 .原两位数为 ，交换后的新数为 .依题意得 ，整理得 ，解得 .此时个位数字为 ，所以这个两位数是 . 【易错】设十位数字为 、个位数字为 却只列了一个方程；应利用和的关系消去 . A7． 【原题】某小区 2024 年绿化面积为 平方米，计划 2025 年和 2026 年两年内每年都比上一年增加相同的百分率，使 2026 年的绿化面积达到 平方米.求每年的增长率. 【考查】连续两年的等增长率 【解答】答案 增长率为 .设每年的增长率为 .2025 年的面积为 平方米，2026 年在 2025 年的基础上再增长 ，于是 ，即 .两边同除以 得 ，开平方得 左右，精确计算可知 ，即每年增长 . 【易错】列成 ；这是线性增长，不是复利式的连乘. A8． 【原题】某水果店购进一批苹果，每千克进价 元.若按每千克 元出售，每天可卖出 千克；若每千克涨价 元，每天少卖出 千克.若该店想获得每天 元的销售利润，且决定涨价销售，求每千克应涨价多少元. 【考查】利润 = (单价 - 进价) 销量，销量随单价反向变化 【解答】答案 每千克应涨价 元或 元（舍去）.设每千克涨价 元，则实际售价为 元，每千克的利润为 元.涨价后每天的销量为 千克.依题意得 .展开整理得 ，两边同除以 得 ，分解因式得 ，解得 ，.两个解都合理：涨价 元时售价 元、销量 千克、利润 元；涨价 元时售价 元、销量 千克、利润 元. 【易错】只考虑了涨价对销量的影响，忘了重新计算单件利润. 二、★★B 能力提升 · 逐题精讲 B1． 【原题】某商店从厂家批发一种文具，每件进价 元.若每件售价 元，可卖出 件；若每件涨价 元，少卖出 件.为保证每天利润不低于 元，且决定涨价销售，求每件至少应涨价多少元. 【考查】涨价导致销量下降的利润最大化/最低要求问题 【解答】答案 每件至少应涨价 元.设每件涨价 元，则实际售价为 元，每件利润为 元，销量为 件.依题意得 .展开整理得 ，化简得 ，即 .结合“涨价销售”的条件，解得 ，所以至少涨价 元即可保证利润达标. 【易错】利润表达式列错：应为 (售价-进价)×销量，不是售价×销量. B2． 【原题】某超市将一种商品按成本价提高 标价，然后打七五折出售，结果每件亏损 元.求这种商品的成本价. 【考查】提价 + 折扣 + 亏损的综合运算 【解答】答案 成本价为 元.设成本价为 元.标价为 元，打七五折后实际售价为 元.题目说“亏损 元”，意味着成本比售价多 元，于是 ，即 ，解得 元.回代检验：标价 元，七五折后 元，确实亏 元. 【易错】亏损时列成“售价 > 成本”，符号搞反了. B3． 【原题】某城市 2023 年底汽车保有量为 万辆.为了缓解交通压力，计划此后每年底汽车保有量不超过上一年的 倍.那么到哪一年底，该市汽车保有量将首次超过 万辆？ 【考查】倍数增长与不等式（可用方程估算） 【解答】答案 2025 年底.设需要 年后首次超过 万辆.每年末的保有量为上一年的 倍，即 .注意到 ，所以 ，即 .试算： 时 ； 时 .所以到 2025 年底（即 ）首次超过 万辆. 【易错】把 当成“增加 ”来计算；，暗示年增长率约 . 三、★★★C 拓展挑战 · 逐题精讲 C1． 【原题】某公司第一年的营业额为 万元，第二年比第一年增长 ，第三年比第二年增长 .求这三年总的增长率（相对于第一年）. 【考查】不同年份不同增长率的总增长 【解答】答案 总增长率为 .第一年营业额为 万元，第二年增长 后为 万元，第三年在第二年的基础上再增长 为 万元.三年后相对于第一年的增长量为 万元，总增长率为 .注意 与 不能直接相加. 【易错】把两年的增长率简单相加得 ；应逐年连乘后再比较. C2． 【原题】某人将一笔钱存入银行，年利率为 （按复利计算），两年后本息和恰好是本金的 倍.求年利率 . 【考查】复利公式：终值 = 本金(1+r)的 次方 【解答】答案 年利率为 .设本金为 元，年利率为 .按复利计算，两年后的本息和为 元.依题意有 ，两边约去 得 .开平方得 ，舍去负值得 ，即年利率为 . 【易错】用单利公式 ；复利是每年利息计入下一年本金. 四、能力提升·拓展 逐题精讲 D1． 【原题】某商品每件成本 元，当售价定为 元时每天可卖出 件.若每涨价 元就少卖 件，要想每天获得 元的利润，每件应定价多少元？ 【考查】涨价与销量的反比关系 + 利润方程 【解答】答案 每件应定价 元或 元.设每件涨价 元，则实际售价为 元，每件利润为 元，销量为 件.依题意得 .展开整理得 ，化简得 ，分解因式或用公式法求解可得合理解. 【易错】利润 = 售价 × 销量，漏掉减去成本这一步.. D2． 【原题】一个两位数的十位数字与个位数字之积等于 .若把个位与十位交换位置，所得的新数比原数大 ，求这个两位数. 【考查】两位数问题：用十位数字表示整个数 【解答】答案 这个两位数是 .设十位数字为 （），则个位数字为 .因为两个数字都是整数且积为 ，可能的组合有：、、、.逐一检验：； 符合；；.所以原数为 ，交换后得 ，恰好大 . 【易错】把“积为 ”当成“和为 ”；注意题目给的是乘积关系. 五、真题演练·中考链接 逐题精讲 E1． 【原题】某商场将一件商品按成本价提高 标价，再打八折出售，结果每件获利 元.求这件商品的成本价. 【考查】提价→打折→获利的经典中考题型 【解答】答案 成本价为 元.设成本价为 元.标价为 元，打八折后实际售价为 元.获利 元意味着售价比成本高 元，于是 ，即 ，解得 元.回代检验：标价 元，八折后 元，确实获利 元. 【易错】把“获利 元”当成利润率 来列式. E2． 【原题】某地 2022 年 PM2.5 年均浓度为 微克/立方米，经过两年治理后降至约 微克/立方米.若每年下降的百分率相同，求年平均下降率.（结果保留一位小数） 【考查】实际问题中的平均变化率 【解答】答案 年平均下降率约为 .设年平均下降率为 .两年后浓度满足 ，于是 .开平方得 ，取正值 ，解得 ，即年平均下降率约为 .保留一位小数即可. 【易错】列成 ；同样是线性模型的错误. E3． 【原题】某书店购进一批图书，每本进价 元.若按每本 元出售，每天可卖出 本；若每本涨价 元，每天少卖出 本.若书店希望每天获得 元的销售利润，且决定涨价销售，求每本应涨价多少元. 【考查】涨价与销量的反比关系（中考高频考点） 【解答】答案 每本应涨价 元或 元.设每本涨价 元，则实际售价为 元，每本利润为 元，销量为 本.依题意得 .展开整理得 ，化简得 ，两边同除以 得 ，即 ，所以 （重根）.即每本应涨价 元，此时售价 元/本、销量 本、利润 元. 【易错】利润表达式错列成 ；应先算出每本的利润再乘以销量. 六、错因统计与订正指引 把做错的题号填进对应格子，就能看出自己的薄弱点，并按“补救动作”针对性重练： ① 增长率模型选错（A1、A3、A7、E2）→ 我错了 ______ 题.补救：把“线性 vs 复利”各造一题对比计算，体会两者的差距随 增大而迅速扩大. ② 利润漏项 / 符号错（A5、A8、B1、D1、E3）→ 我错了 ______ 题.补救：以后见到“利润”二字就在草稿纸上画出“售价 - 成本 = 单利”和“单利 × 销量 = 总利润”两条公式. ③ 数字表示法错（A6、D2）→ 我错了 ______ 题.补救：默写“两位数 ”五遍，并自己编一道交换位置的题目自解自查. ④ 提价打折链式运算错（A4、A5、B2、E1）→ 我错了 ______ 题.补救：从“成本价”到“最终售价”画一条箭头链，每一步标注运算（×? +? ×?），确保不跳步. ⑤ 不同增长率总增长算错（C1、B3）→ 我错了 ______ 题.补救：记住口诀“逐年连乘不合并”，每年在前一年的基础上单独算一遍再比较. 订正要求：错题不是抄一遍答案，而是①写清哪个关系列错了 ②写出正确的方程 ③在错点分类表里打勾. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $