第2章 2.4 用一元二次方程解决问题-课时1 面积问题和平均变化率问题-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（苏科版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“一元二次方程解决问题”，核心涵盖面积问题与平均变化率问题。通过传统文化（如圆形古钱币）、生活情境（垂钓鱼塘、矩形围栏）导入，衔接方程建模与实际应用，以例题解析、归纳总结、易错警示为学习支架。 其亮点在于分层设计“刷基础、刷提升、刷素养”练习，结合真实情境问题（如商场降价、药品成本下降），渗透模型观念（面积比较问题）、推理意识（解的合理性检验）与运算能力（方程求解）。采用问题驱动与方法归纳，助力学生提升应用能力，教师可灵活编辑课件优化教学。

数 学 九年级上册 SK 1 2 3 第2章 一元二次方程 4 2.4 用一元二次方程解决问题 课时1 面积问题和平均变化率问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 面积问题 1. 传统文化 【2026江苏苏州期中】如图，一枚圆形古钱币的 中间是一个边长为的正方形孔.已知正方形面积是圆面积的 .设 圆的半径为 ，根据题意可列出的方程为( ) C A. B. C. D. 【解析】由正方形孔的边长为，可得正方形的面积为 .由圆的半径为 ，可得圆的面积为.由正方形面积是圆面积的 ，可列出方程为 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2. 【2026江苏南通期末】甲、乙两个正方形的面积和为10，按图（1）放置， 阴影部分面积为8，则按图（2）放置，阴影部分面积为( ) C 图（1） 图（2） A. B. C.8 D.10 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 【解析】设甲、乙两个正方形的边长分别为，，且 .依题意得 .由题图（1）得，， ， ，，解得，.当时， ， ；当时，，不符合 ,舍去.综上，按题图（2）放置， 阴影部分面积为8，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 3.【2026江苏宿迁质检】如图，某农家乐老板计划在一块长，宽 的空 地开挖两块形状、大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为 ，两块垂钓 鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为___ . 5 【解析】设垂钓通道的宽度为.由题意得 ，整理 得，解得，.当 时， ，不合题意，舍去，， 垂钓通道的宽度为 ， 故答案为5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 4.【2026江苏扬州调研】如图，靠墙（墙长25米）用总长度为49米的栅栏 （图中实线部分）围成一个矩形围栏 ，且中间留两个1米宽的小门，设栅栏 长为 米. （1）__________米（用含 的代数式表示）. 【解析】 栅栏长为 米，栅栏的全长为49米， 米，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 （2）若矩形围栏的面积为210平方米，求栅栏 的长. 【解】依题意，得，整理，得，解得 ， .当时，，不合题意，舍去；当 时， ，符合题意. 答：栅栏 的长为10米. 易错警示 易忽略墙长度的限制.解方程后需检验解是否符合实际意义. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 （3）矩形围栏的面积是否有可能达到270平方米？若有可能，求出相应 的 值；若不可能，请说明理由. 【解】不可能.理由如下：依题意，得 ，整理得 ， 方程没有实 数根， 矩形围栏 的面积不可能达到270平方米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 知识点2 平均变化率问题 5.【2026江苏无锡期末】某工厂经过两年的时间将某种产品的产量从每年14 400 台提高到16 900台.若设平均每年的增长率为 ，则可列方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】根据题意，得 ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 归纳总结 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程.平均增长率问题的一般形式为 ，为起始时间的有关数量， 为终止时间的有关数量. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 6.【2026江苏南京质检】某商场在国庆期间将单价200元的某种商品经过两次降价 后，以128元的价格出售. （1）求平均每次降价的百分率； 【解】设平均每次降价的百分率是.根据题意得， ，解得 ， （不合题意，舍去）. 答：平均每次降价的百分率为 . （2）售货员向经理建议，先公布降价，再下调 ，这样更有吸引力，请问 售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【解】售货员的方案对顾客更优惠.， 售 货员的方案对顾客更优惠. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 提升 1.［中］元旦来临前，某商场将一件原价为 元的衬衫以一个给定的百分比提升价 格，元旦那天商场又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终， 衬衫的价格比原价降低了 元，则这个给定的百分比为( ) C A. B. C. D. 【解析】设这个给定的百分比为.根据题意，得 ，解 得，（舍去），即这个给定的百分比为 .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 2.【2025四川绵阳调研，中】两年前生产1吨甲种药品的成本是5 000元，生产1吨 乙种药品的成本是6 000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本 是3 000元，生产1吨乙种药品的成本是3 600元，如果甲药品成本的年平均下降率 为，乙药品成本的年平均下降率，则与 的大小关系为( ) A A. B. C. D.无法比较 【解析】由题意得， ，整理得 ，，， 或 ，或（不合题意，舍去）， .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 （第3题图） 3.【2025江苏徐州期末，中】如图，1块正方形地砖的图案是由4个 全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和1个五 边形的面积相等，并且图中线段的长度为 ，则这块地砖的 面积为( ) B A.50 B.40 C.30 D.20 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 【解析】如图， 根据题意易知，点为正方形， 的中心， ，即 ， ， ， .设正方形的边长为 ,则 ,，解得 . ，或. ， ， .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 （第4题图） 4.【2025江苏宿迁期中，中】如图是一块长方形菜地 ， ，，面积为.现将边增加，边 增加，若有且只有一个的值，使得到的长方形面积为 ， 则 的值是_________. 【解析】根据题意得，，， ， ， 有且只有一个 的值使之成 立，，整理得，解得 ， （舍去），的值是.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 关键点拨 解本题的关键是得到以为参数的关于 的一元二次方程，再由方程有两个相等的 实数根求出参数 的值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 5.【2026山东青岛期中，中】在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识 来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 设计围篱笆的方案 活动工具 直角三角板、量角器、皮尺、篱笆等 活动过程 【了解场地】如图，测出墙与墙的夹角是 ，墙长 ， 足够长； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 活动课题 设计围篱笆的方案 活动过程 【设计图纸】要用篱笆围成一个梯形的菜园，梯形满足 ， ，且边上留一个宽的门 ； ______________________________________ 【准备材料】现有篱笆的长度是 解决问题 如何围篱笆才能使其所围梯形的面积为 请你帮助兴趣小组解决以上问题. 续表 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 【解】如图，过点作于 ，则 ， 四边形 为矩形， ，.设为. ， 答：当为，为时，篱笆所围梯形的面积为 . ， ， ， ， .由题意可得 ，整理得，解得， 此时，舍去 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 刷素养 走向重高 6.核心素养 模型观念［较难］已知在长方形纸片中，， ，现 将两个边长分别为和 的正方形纸片按图（1）、图（2）两种方式放置（图（1）、 图（2）中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖 的部分用阴影表示，设图（1）中阴影部分的面积为 ，图（2）中阴影部分的面 积为，已知，则___；在边长为 的大正方形纸片的左上角摆放一 个边长为的小正方形纸片，如图（3），若 ，则图（3）中阴影部分的面积 ___. 3 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 【解析】根据题意得 ， .同理， ， , 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 ， .又，.将 代入 ，得,即 ，解得 ,（舍去）， .根据题意，得 ， . 故答案为3， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 思路分析 先将，，用含，的式子表示，再根据，计算出, 的值， 进而可得 的值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 $