2.4 用一元二次方程解决问题（销售利润问题）暑期预习导学案（附同步作业）-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2.4 用一元二次方程解决问题（第 2 课时：销售利润问题） 【学习目标】 1、牢记利润问题的三个核心公式：单件利润、销量、总利润的关系；理清商品涨价（降价）时，售价、单件利润、销售量的变化规律；能找准等量关系列出一元二次方程，并结合现实条件检验、取舍方程的根。 2、经历审题、梳理变量变化关系、建立方程模型的探究过程，学会梳理动态变化的数量关系，掌握设未知数的技巧。 3、提升阅读理解与数理分析能力，强化建模思想，养成答题验根的严谨习惯，掌握中考利润类题型的标准解法。 【学习重点】 梳理售价变动后利润和销量的变化关系；利用 “单件利润 × 销售量 = 总利润” 列方程；规范答题步骤。 【学习难点】 读懂 “每涨价多少，销量减少多少” 这类动态条件；合理设元；根据物价、实际销量舍去不合理的解。 【课前温故・知识链接】 1、利润基础公式： 单件利润 = 售价 − 进价（成本） 总利润 = 单件利润 × 销售数量 2、一元二次方程优先选择因式分解法求解； 3、思考：一件商品涨价之后，单件利润变多，销量会如何变化？ 一、情境导入 商店一款 T 恤每件进价 40 元，正常售价每件 60 元，每天可以卖出 20 件。如果涨价，每件每多卖 2 元，一天就少卖 2 件。店主想要每天获利 448 元，该如何定价？ 直接算数很难算出结果，这类价格变动的盈利问题，最合适的方法就是列一元二次方程求解，引出本节课：销售利润专题。 二、合作探究一：梳理利润问题的变量变化规律 探究活动 1：拆解变量关系 设定价在原价基础上涨价元： ① 新售价 = 原价 ② 单件利润 =（原价）− 进价 ③ 销量减少的数量：根据题目比例算出减少件数 ④ 实际销量 = 原销量 − 减少的数量 ⑤ 等量关系式：单件利润 × 实际销量 = 目标总利润 探究活动 2：总结标准解题套路 1、找出进价、原售价、原销售量三个固定量； 2、设涨价（或降价）的金额为未知数； 3、分别用含的代数式，表示出新的单件利润、实际销量； 4、利用总利润公式列出一元二次方程； 5、解方程，结合实际取舍根：商品售价一般为正数，销量不能为负数，还要结合题意判断选择涨价还是降价的方案。 易错警示（考试高频失分点） 1、计算单件利润时，忘记减去进价，直接拿售价当成利润； 2、涨价对应的销量变化比例算错，倍数关系出错； 3、解出两个根之后，不结合题意取舍，两个答案全部保留； 4、设元模糊，直接设定价，导致代数式过于复杂，计算出错； 5、最终作答不说明定价，答题表述不完整。 三、典例精讲 例 1（涨价型基础题） 某商场一款童装每件进价 50 元，售价每件 70 元，每天可卖出 30 件。市场调查发现：每件涨价 1 元，每天少卖出 2 件。商场想要每天获利 648 元，每件应该涨价多少元？ 解：设每件涨价元。 单件利润： 元 每日销售量： 件 列方程： 整理化简： （判别式小于 0，无盈利方案） 例 2（标准真题题型） 某水果店购进一批水果，每千克进价 6 元，售价 10 元，一天能卖 120 千克。售价每提高 1 元，每天销量减少 10 千克。想要一天获利 600 元，该如何定价？ 解：设每千克涨价元。 单件利润： 实际销量： 整理得： 因式分解： 解得 检验：两个解都符合正数要求，对应两种定价： 定价 12 元 或者 定价 16 元。 答：可定价每千克 12 元或者 16 元，均可每日获利 600 元。 例 3（最优方案取舍题型） 承接上一题，如果商家想要尽量减少库存，销量尽可能大，应该选择哪一种定价？ 结论：涨价越少，销量越大，因此选择涨价 2 元，定价 12 元。 四、分层课堂当堂检测 【基础过关题（全员必做）】 1、商品进价 30 元，售价 50 元，每件利润为 元；若每件涨价元，单件利润表示为： 。 2、文具进价 8 元，售价 12 元，每日售卖 40 件，每涨价 1 元少卖 4 件，设涨价元，写出总利润的方程。 3、解方程得出涨价 - 3 元，这个解能不能使用？为什么？ 【能力提升题（拔高选做）】 1、一款商品进价 45 元，售价 60 元，每周销售 150 件，每降价 3 元，多卖 30 件，每周获利 2240 元，求降价金额； 2、某商场限定售价不能超过 70 元，解出两个定价，如何进行取舍。 参考答案 当堂检测答案 基础 1：20 元， 基础 2： 基础 3：舍去，价格不能为负数。 提升 1：降价 1 元； 提升 2：对比价格上限，选取不超过限价的取值。 同步作业 一．选择题（共7小题） 1．已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　） A．（x+3）（4﹣0.5x）＝20 B．（x+3）（4+0.5x）＝20 C．（x+4）（3﹣0.5x）＝20 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝20 2．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克：销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每千克x元，月销售利润可以表示为（　　） A．（x-40）[500-10（x-50）]元 B．（x-40）（10x-500）元 C．（x-40）（500-10x）元 D．（x-40）[500-10（50-x）]元 3．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（　　） A．（180+x﹣20）（50）＝10890 B．（x﹣20）（50）＝10890 C．x（50）﹣50×20＝10890 D．（x+180）（50）﹣50×20＝10890 4．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元．（　　） A．45 B．50 C．55 D．60 5．某白酒专卖店销售一种白酒，这种白酒每瓶的进价为60元，若以每瓶100元的价格出售，每天可售出40瓶．为了促进销售，店长决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，当这种白酒每瓶每降价1元时，每天可多售出2瓶．若为了让利于消费者，且日销售利润要达到1600元，则这种白酒的销售单价为（　　） A．100元 B．80元 C．80元或100元 D．无法确定 6．祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为每千克5元的酥梨按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了尽快减少库存并且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降x元，超市每天销售酥梨的利润为120元，则可列方程为（　　） A．（3+x）（50+10x）＝120 B．（3﹣x）（50+10x）＝120 C．（3+x）（50﹣10x）＝120 D．（3﹣x）（50﹣10x）＝120 7．某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（　　）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 二．填空题（共4小题） 8．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价x元，则可列方程为　 　 ． 9．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价 1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价　 　 元时，商场日盈利可达到2100元． 10．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 　 　 元． 11．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，如果从4月份到6月份销售量的月增长率相同，设此增长率为x，那么根据理意可列方程为　 　 ． 三．解答题（共4小题） 12．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某商店销售一批头盔，进价为每顶50元，售价为每顶78元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价高于68元．经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶． （1）每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是　 　 元，销售量为　 　 顶（用含x的代数式表示）； （2）若该商店希望平均每周获得7200元的销售利润，则每顶头盔应降价多少元？ 13．根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天均可多售出2件．现两店每件衬衫同时降价a元． 任务解决 （1）任务1：降价后，甲店每天的销售量为　 　 件（用含a的代数式表示）； （2）当a＝5时，求甲店每天的盈利； （3）当每件衬衫降价多少元时，甲乙两店一天的盈利和为2244元． 14．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元． （1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出　 　 只粽子，利润为　 　 元． （2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？ 15．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系． （1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．【解答】解：由题意得：（x+3）（4﹣0.5x）＝20， 故选：A． 2．【解答】解：设销售单价为每千克x元，则月销售利润=（x-40）[500-10（x-50）]． 故选：A 3．【解答】解：设房价定为x元， 根据题意，得（x﹣20）（50）＝10890． 故选：B． 4．【解答】解：设每件售价应定为x元， 根据题意得：（x-40）[20+2（60-x）]=（60-40）×20， 解得：x1=50，x2=60（不符合题意，舍去）， 即商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元． 故选：B 5．【解答】解：设这种白酒的销售单价为x元，则每瓶白酒的销售利润为（x-60）元， 由题意得：（x-60）[40+2（100-x）]=1600， 整理得：x2-180x+8000=0， 解得：x1=80，x2=100（不符合题意，舍去）， 即这种白酒的销售单价为80元， 故选：B 6．【解答】解：当售价下降x元时，每千克酥梨的销售利润为8﹣x﹣5＝（3﹣x）元，平均每天的销售量为（50+10x）千克， 依题意得：（3﹣x）（50+10x）＝120． 故选：B． 7． 【解答】解：设销售价应定为每件x元，根据题意根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个； 每降价1元，则每月多售出100个可得： （x-20）[1000-100（x-30）]=9600， 整理得x2-60x+896=0， （x-32）（x-28）=0， x=32或x=28， 答：该商品的售价定为32或28元/个时，月利润为9600元． 故选：D 二．填空题（共4小题） 8．【解答】解：由题意得：（40﹣x）（10+x）＝600， 故答案为：（40﹣x）（10+x）＝600． 9．【解答】解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝50﹣x， 由题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100， 化简得：x2﹣35x+300＝0， 解得：x1＝15，x2＝20， ∵该商场为了尽快减少库存， ∴降的越多，越吸引顾客， ∴选x＝20， 故答案为：20． 10．【解答】解：设每箱降价x元，则每箱的销售利润为（12﹣x）元，平均每天可售出（100+20x）箱， 根据题意得：（12﹣x）（100+20x）＝1440， 整理得：x2﹣7x+12＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， ∴每箱应降价3或4元． 故答案为：3或4． 11．【解答】解：由题意，∵该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：500（1+x）2＝720， 故答案为：500（1+x）2＝720． 三．解答题（共4小题） 12．【解答】解：（1）由题意可得：每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是78﹣50﹣x＝（28﹣x）元； ∵售价为每顶78元，平均每周可售出200顶，每降价2元，平均每周可多售出40顶， ∴销售量为顶； 故答案为：（28﹣x）；（200+20x）； （2）由题意得（28﹣x）（200+20x）＝7200， 5600+560x﹣200x﹣20x2＝7200， ﹣20x2+360x﹣1600＝0， x2﹣18x+80＝0， （x﹣10）（x﹣8）＝0， x1＝10，x2＝8， ∵每顶售价高于68元，且78﹣10＝68，78﹣8＝70＞68， ∴x＝8， 答：每顶头盔应降价8元． 13．【解答】解：（1）每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天均可多售出2件．现两店每件衬衫同时降价a元． 已知甲店原每天售出20件，每件降价1元多售出2件，现降价a元，因此多售出2a件， ∴降价后甲店每天的销售量为（20+2a）件； 故答案为：（20+2a）； （2）当a＝5时，甲店每件盈利为40﹣5＝35元，销售量为20+2×5＝30件， ∴甲店每天的盈利为35×30＝1050（元）； （3）设每件衬衫降价a元时，甲乙两店一天的盈利和为2244元． 根据题意列方程得：（40﹣a）（20+2a）+（30﹣a）（32+2a）＝2244， 整理得：a2﹣22a+121＝0， 即（a﹣11）2＝0， 解得a1＝a2＝11， 答：当每件衬衫降价11元时，甲乙两店一天的盈利和为2244元． 14．【解答】解：（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出（300+100）只粽子，利润为 （1﹣m）（300+100）元． （2）令（1﹣m）（300+100）＝420． 化简得，100m2﹣70m+12＝0． 即，m2﹣0.7m+0.12＝0． 解得m＝0.4或m＝0.3． 可得，当m＝0.4时卖出的粽子更多． 答：当m为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多． 15．【解答】解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（40，600）、（45，550）代入y＝kx+b，得： ，解得：， ∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣10x+1000． （2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台， 根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝10000， 整理，得：x2﹣130x+4000＝0， 解得：x1＝50，x2＝80． ∵此设备的销售单价不得高于70万元， ∴x＝50． 答：该设备的销售单价应是50万元/台 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