2.2.3《公式法》同步学案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“公式法解一元二次方程”，通过石拱桥脚手架的生活情境导入，引导学生从回顾配方法过渡到推导求根公式，构建“特殊到一般”的知识支架，明确公式成立前提及判别式的作用。 以运算能力、推理能力、抽象能力为核心素养导向，设计分层练习（基础、提升、拓展）和易错专攻，结合中考真题链接，强调规范解题步骤与分类讨论思想，助力学生理解公式推导逻辑，提升问题解决能力与数学思维。

2.2.3《公式法》同步学案·答案与解析 苏科版 九年级数学 上册 · 第 2 章第 2 节（第 3 课时） 2026–2027 学年 · 1 课时 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 使用说明：本册为《2.2.3《公式法》同步学案》的配套讲评稿.每题按【原题】→【考查】→【解答】→【易错】四步呈现，题号与学案完全一致，可逐题对照订正. 一、★A 基础过关 · 逐题精讲 A1． 【原题】写出方程 的二次项系数 、一次项系数 、常数项 （带符号）. 【考查】化一般形式并读出带符号的系数 【解答】答案 ，，.先把方程写成一般形式 ，再逐项读出系数并带符号：，，. 【易错】忘记带符号；、 为负时容易漏掉负号. A2． 【原题】计算方程 的判别式 的值. 【考查】判别式代入计算（注意符号） 【解答】答案 .先把方程与一般形式对照，这里 ，，.注意 要连同负号一起代入，于是判别式 ，所以判别式的值是 . 【易错】 时算成 ；应为 . A3． 【原题】计算方程 的判别式 . 【考查】判别式代入（含负系数） 【解答】答案 .先确认三个系数，这里 ，，.因为常数项是负数， 这一项算出来反而是正的，代入得 ，所以判别式的值是 . 【易错】 时 算错符号；. A4． 【原题】把方程 化为一般形式，并写出 、、. 【考查】化一般形式读系数 【解答】答案 一般形式为 ，，，.移项得 ，此时 ，，（注意右边的项移过来要变号）. 【易错】没移项就直接读 、；右边还有未知数时必须先移项. A5． 【原题】不解方程，判断 根的情况. 【考查】由 符号判断根的情况 【解答】答案 有两个相等的实数根.，因为 ，所以方程有两个相等的实数根. 【易错】只看一次项忘记算判别式；要用 判定. A6． 【原题】用公式法解方程 . 【考查】完整代公式求根 【解答】答案 ，.先确定各系数：，，，算得 ，说明方程有两个不相等的实数根.再代入求根公式得 ，所以 ，. 【易错】只是写出公式不代入；必须先算 再代分子分母. A7． 【原题】用公式法解方程 . 【考查】代公式并约分化简 【解答】答案 ，.先确定各系数：，，，算得 .注意分母是 而不是 ，代入求根公式得 ，两个根分别约分得 ，. 【易错】分母写成 却漏掉 ；公式是 . A8． 【原题】用公式法解方程 . 【考查】含无理根的化简 【解答】答案 ，.先确定各系数：，，，算得 .代入公式后要先把根号化到最简，，于是 ，约分时分子的两项都要除以 ，最后得 . 【易错】 没化成 就直接除；应先化简再约分. 二、★★B 能力提升 · 逐题精讲 B1． 【原题】关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围. 【考查】由 反求参数 【解答】答案 .由有两个不相等的实根得 ，即 ，解得 . 【易错】只解 得 ； 已满足，本题无需额外限制. B2． 【原题】关于 的方程 无实数根，求 的取值范围. 【考查】由 反求参数 【解答】答案 .把“无实数根”翻译成判别式的语言就是 .这里 ，，，代入得 ，即 .移项后两边同除以 ，解得 . 【易错】把“无实数根”翻译成 ；应是 B3． 【原题】关于 的方程 有两个相等的实数根，求 的值. 【考查】由 反求参数 【解答】答案 .有两个相等实根即 ，即 ，解得 . 【易错】把相等实根对应成 ；相等时应 .. 三、★★★C 拓展挑战 · 逐题精讲 C1． 【原题】设 是方程 的一个根，不求 ，求 的值. 【考查】整体代入：利用“根满足方程”化简 【解答】答案 .因为 是方程的根，所以 ，即 .整体代入得原式 . 【易错】先去解方程求 再代入；应直接利用 . C2． 【原题】已知 是方程 的一个根，求 的值. 【考查】整体代入求代数式 【解答】答案 .因为 满足 ，移项得 ，所以所求值为 . 【易错】先解无理根再平方相加；直接由方程得 即可. 四、能力提升·拓展 逐题精讲 D1． 【原题】关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围. 【考查】一元二次方程含参：同时满足 与 【解答】答案 且 .既是二次方程又有两不等实根，需 且 .由 得 ，再结合 ，故 且 . 【易错】只写 会把 算进来；必须加上 . D2． 【原题】用公式法解方程 . 【考查】复杂式的公式法（分数与无理数化简） 【解答】答案 ，.先确定各系数：，，，算得 .注意分母是 ，代入求根公式得 ，再把根号化简为 ，最后约分得 . 【易错】 时分母写成 ；应是 ；约分也容易错. 五、真题演练·中考链接 逐题精讲 E1． 【原题】 （2024•广州）关于x的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围. 【考查】判别式与根的情况互推（含“一元二次”隐含条件） 【解答】答案 .有两个不相等实根即 ，解得 . 【易错】漏掉“一元二次方程”隐含 已自动满足；本题只需 . E2． 【原题】（2021•菏泽）关于x的方程 有实数根，求 的取值范围. 【考查】“有实数根”的方程包含一元一次方程有根与一元二次方程有相等与不等根两种情况 【解答】答案 .当≠0，对应的条件是 ，解得 且； 当=0方程为3x+1＝0，显然有解.综上，k的取值范围是 . 【易错】把“方程”只当成“一元二次方程”. E3． 【原题】（2025•镇江）关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，求 的值. 【考查】由 求参数 【解答】答案 .有两个相等实根即 ，解得 . 【易错】把相等实根对应 ；相等时应 . 六、错因统计与订正指引 把做错的题号填进对应格子，就能看出自己的薄弱点，并按“补救动作”针对性重练： ① 系数确定与符号错（A1、A2、A4）→ 我错了 ______ 题.补救：任取 5 个方程，只练“化一般形式 + 写出带符号的 、、”这一步. ② 判别式计算错（A3、A5）→ 我错了 ______ 题.补救：专练 的代入计算 10 组，重点练 为负、 为负的情形. ③ 代公式后化简错（A6、A7、A8）→ 我错了 ______ 题.补救：把这几题的约分过程重写一遍，注意分子分母的公因数. ④ 由根的情况求参数漏条件（B1、D2、E1）→ 我错了 ______ 题.补救：以后见到“一元二次方程”六个字，先在草稿角落写下 . ⑤ 整体代入类不会做（C1）→ 我错了 ______ 题.补救：牢记“根一定满足方程”，把方程变形后整体替换，练 3 题. 订正要求：错题不是抄一遍答案，而是①写清错在哪一步 ②写出正确的那一步 ③在错点分类表里打勾. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3《公式法》同步学案 苏科版 九年级数学 上册 · 第 2 章第 2 节（第 3 课时） 2026–2027 学年 · 1 课时 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 一、学习目标 （核心素养指向：运算能力、推理能力、抽象能力）本课结束后，你应该能够： 1. 能通过对一般式 配方，推导出求根公式，并说出公式成立的前提是 . 2. 能正确写出带符号的 、、，先算判别式 再代入公式求根，书写规范、结果化到最简. 3. 能由 的符号判断根的情况（两个不等 / 两个相等 / 无实数根），并反过来由根的情况求出字母的取值范围. 二、学习重难点 重点：求根公式的规范使用：先化一般形式，再定 、、，先算 ，最后代公式. 难点：符号处理（、 为负时的判别式计算）；由根的情况反求参数时不漏“二次项系数不为 ”. 三、学法指导·知识回顾 1. 学习路径：回顾配方法 → 对一般式 配方 → 得到求根公式 → 认识判别式 → 用 判断根的情况 → 由根的情况反求参数. 2. 本课数学思想方法主线：一是“从特殊到一般”——把每道题都要配一遍方的过程，一次性配成公式；二是“分类讨论”——按 的符号分三种情况讨论根的个数. 3. 已学铺垫（先自己答一答）：（1）用配方法解 ；（2）方程 的 、、 分别是多少（记得带符号）？ 求根公式不是死记就完事——它就是“对 配方”的最终结果.理解了推导，公式里为什么分母是 、根号里为什么是 ，就再也不会记混. 四、知识清单·划重点 1. 求根公式：当 时，方程 的根为 ______. 2. 根的判别式：把 ______ 叫做一元二次方程根的判别式. 3. 根的情况分类： 时方程有 ______ 个不相等的实数根； 时有 ______ 个相等的实数根； 时方程 ______ 实数根. 4. 用公式法的四步：① 把方程化为 ______ 形式；② 写出 、、（______ 必须跟着一起写）；③ 先计算 ______；④ 若它非负，再代入公式求根并化简. 小贴士：① 、、 一律带符号；② 先算 再代公式， 时直接答“无实数根”，不要硬开方；③ 题目出现“一元二次方程”六个字，就隐含 ，求参数范围时别漏. 五、情境导入 生活情境：一座石拱桥正在修缮，工程队要在桥洞下搭一个矩形脚手架，已知它的宽比高多 3 m，占地面积为 5 . 设脚手架的高为 m，则宽为 m，由面积得 ，整理成一般形式为 . （示意图：石拱桥桥洞） 想一想：这个方程能因式分解吗？试着找两个数，积是 、和是 ——很难凑出整数，因式分解法在这里失灵了. 用配方法当然解得出来，但每道题都重配一遍太费事.能不能对一般式 配一次方，得到一个“万能公式”，以后直接把数字代进去？这正是本课要做的事. 本环节的关键认识：公式法就是“配方法做一次、一劳永逸”——公式是推出来的，不是从天上掉下来的. 六、典例精析与变式 例 1（基础 · 直接用公式法）：用公式法解方程 . 【分析】先写出带符号的 、、，再算判别式，确认非负后才代入求根公式. 【解答】，，.，所以 ，即 ，. 变式 1：用公式法解方程 . 【解答】，，，，所以 ，即 ，. 例 2（变式 · 先化一般形式）：用公式法解方程 . 【分析】右边含未知数，必须先移项化成一般形式，否则读出来的 、 全是错的. 【解答】移项得 .，，，，所以 ，即 ，. 例 3（综合 · 判别式与参数）：已知关于 的方程 . (1) 取什么值时，方程有两个不相等的实数根？(2) 当 时，解这个方程. 【分析】(1) 把“有两个不相等的实数根”翻译成 ，得到关于 的不等式；(2) 代入后判别式为 ，两根相等. 【解答】(1) .由 得 ，解得 .(2) 当 时方程为 ，此时 ，方程有两个相等的实数根 . ★ 易错预警：① 不化一般形式就读 、、.② 丢掉负号—— 时 而不是 .③ 还硬开根号.④ 由根的情况求参数时，忘了“是一元二次方程”隐含 . 七、夯实基础·当堂测 限时 15 分钟，独立完成.做完先自己圈出没把握的题号，再对照配套讲评稿逐题订正. ★A 基础过关 本组练什么：本组 8 题依据教材例习题的基础考法编写，覆盖公式法三类必会题型——写出带符号的 、、 并算判别式、直接代公式求根、由 判断根的情况.这是本节的必得分区. A1． 写出方程 的二次项系数 、一次项系数 、常数项 （带符号）. A2． 计算方程 的判别式 的值. A3． 计算方程 的判别式 . A4． 把方程 化为一般形式，并写出 、、. A5． 不解方程，判断 根的情况. A6． 用公式法解方程 . A7． 用公式法解方程 . A8． 用公式法解方程 . ★★B 能力提升 本组练什么：本组练“由根的情况反求参数范围”：把“有两个不相等的实数根”翻译成 再解不等式，同时注意二次项系数不为 这一隐含条件. B1． 关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围. B2． 关于 的方程 无实数根，求 的取值范围. B3． 关于 的方程 有两个相等的实数根，求 的值. ★★★C 拓展挑战 本组练什么：本组练“整体代入”的高阶用法：已知某个数是方程的根，就利用“它满足方程”这一事实整体化简求值，不必真的把无理根算出来. C1． 设 是方程 的一个根，不求 ，求 的值. C2． 已知 是方程 的一个根，求 的值. 八、能力提升·拓展 本组练什么：本组练两类综合——含参方程的判别式讨论，以及需要先化一般形式再代公式的复杂式子.步骤长，务必一步一行写. D1． 关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围. D2． 用公式法解方程 . 一道题里同时出现“关于 的一元二次方程”和“有两个不相等的实数根”时，必须同时列两个条件：二次项系数 且 ，缺一个就会多解或漏解. 九、易错专攻 错点 1：不化一般形式就读系数. 辨析：解 时，不能直接说 、.必须先移项得 ，才有 ，，.右边只要还有未知数或常数，系数就没法读.（对应 A6、D1） 错点 2：系数符号丢失，判别式算错. 辨析： 时 ，不是 ； 时 ，两个负号相乘要变正.这是判别式最高频的算错点.（对应 A2、A4） 错点 3：求参数范围时漏掉二次项系数不为 0. 辨析：若“关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根”，既要 ，又要 .只写 会把 错误地算进答案.（对应 B1、D2、E1） 公式法自检四连问：化一般形式了吗？、、 带符号了吗？ 算对了吗？ 时是不是该直接答“无实数根”？ 十、真题演练·中考链接 本组练什么：本组练中考对本节的常规考法：判别式与根的情况互相推断.这类题几乎年年考，且常与“是一元二次方程”的隐含条件合并设陷阱. E1． （2024•广州）关于x的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围. E2． （2021•菏泽）关于x的方程 有实数根，求 的取值范围. E3． （2025•镇江）关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，求 的值. 本组聚焦“判别式与根的情况互推”：先把“两个不等 / 两个相等 / 无实根”翻译成 / / ，再解不等式；含参时别忘了“是一元二次方程”隐含 . 十一、学后反思 请对照下列三问，在横线上写下你的思考（只给框架，不代写结论）： · 知识：我能默写求根公式，并写出判别式 ______，还能说出它的三种情况分别对应什么. · 方法·思想：本课用到了“从特殊到一般”和“____ 讨论”思想，我在 ______ 处体会到了它. · 努力方向：我最容易错的地方是 ____________，下次我会 ____________. □ 我能说清求根公式是怎么由配方法推出来的 □ 我能先算 再代公式，规范解出两根并化到最简 □ 我能由根的情况反求参数范围，并记得 自评：本次当堂测我做对 ______ / 18 题，错题号：____________. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $