2.3 一元二次方程的根与系数的关系导学案 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过情境创设和表格填写引导学生观察具体方程两根之和、之积与系数的联系，衔接已学方程解法，搭建从具体实例到抽象定理的学习支架。 资料亮点在于以实践探索促自主发现，培养抽象能力，通过定理证明过程提升推理意识，例题与课后作业设计层次分明，涵盖基础应用、综合问题及逆向构造方程，强化应用意识，助力学生扎实掌握韦达定理并灵活运用。

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标： 班级__________姓名__________ 1. 掌握一元二次方程根与系数的关系. 2. 会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题. 3. 能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识． 学习重点：根与系数关系及运用. 学习难点：定理的发现及运用. 学习过程： 1、 情境创设 1. 完成表格： 观察表格中一元二次方程的两根之和与两根之积跟系数有何关系？ 2. 实践与探索：（1）填写下表： 探索：这些方程的两根的和、两根的积与系数有什么关系？ 2、 新知导学 如果一元二次方程的两个根为x和x. 那么、与系数，，有何关系？请你证明. 【归纳新知】（韦达定理） 一元二次方程根与系数的关系： 一元二次方程，如果___________，它的两个根分别是、， 则= 　 ，x1·x2= 　 ． 【尝试应用】 下列结论是否正确？ （1） 设、是一元二次方程的两个根，则=1； （2） 设、是一元二次方程的两个根，则=5； （3）一元二次方程的两个根之和为3. 思考：你觉得在应用韦达定理时要注意什么？ 三、例题讲解 例1、求下列方程的两根之和与两根之积． （1） （2） （3）=4 例2、已知方程的根是x和x，求下列式子的值： （1）两根之和与两根之积； （2）两根差的绝对值； （3）两根平方和； （4）两根倒数和. 例3、已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值．（用两种方法解答） 例4、已知关于x的方程的两个实数根互为倒数，求k的值. 四、课堂小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？ 课后作业 1. 已知方程的两个根分别，，则= ，x1·x2= ． 2. 下列一元二次方程中两根之和为－4的是 ( ) A.x²－4x＋4=0 B.x²＋2x－4=0 C.x²＋4x－5=0 D.x²＋4x＋10=0 3. 关于x的方程x²＋kx=2(k为常数)的根的情况，下列结论中正确的是( ) A. 有两个正根 B. 有两个负根 C.有一个正根，一个负根 D. 无实数根 4. 已知方程的两个根分别是2与3，则 ， ． 5. 若a、b是方程x²－3x＋1=0的两个实数根，则a＋b－ab的值为__________. 6. 已知方程x²＋x－2=0的两根分别为，，则的值为_________. 7. 设一元二次方程的两根分别为，，则(－)²的值为___________. 8. 已知方程x²－2x＋k=0的一个根为－2，则方程的另一个根为__________，k的值为________. 9. 方程，当m=_____时，此方程两个根互为相反数；当m=_____时，两根互为倒数． 10. 若关于x的一元二次方程x²－8x＋m=0的两根为，，且 =3，则m的值为_________. 11. 已知关于x的方程的两实数根分别为，.若(＋1)(＋1)=3，则m的值为_________. 12. 已知α，β是方程x²－2x－1=0的两个根，则α²+2β=___________. 13. 写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是2，则该一元二次方程为________. 14. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是_____________. 15. 在解一元二次方程时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是－3，1. 小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，－4，则原来的方程是________________. 16. 设m，n分别为一元二次方程x2+2x－2025=0的两个实数根，则m2+3m+n=　　　　　　． 17. 已知方程的两根分别是x和x，求下列式子的值： （1） （2） 18. 已知x1＝+1是方程x2+mx+1＝0的一个根，求m的值及方程的另一根x2． 19. 已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程的两个根，求m的值． 20. 已知关于x的一元二次方程. （1） 若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2） 在（1）中，设，是该方程得两个根，且，求m的值. 21. 已知关于x的一元二次方程. （1） 求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2） 如果方程的两个实数根为，，且，求m的值. 学科网（北京）股份有限公司 $