2.4《用一元二次方程解决问题（3）》同步学案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册·

该初中数学导学案聚焦用一元二次方程解决组合/排列、数字、动点问题，通过班级联欢会握手与互赠贺卡的生活情境导入，对比有序与无序差异引出组合数模型，衔接位权制表示数字和动点分段讨论，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以核心素养为导向，设置分层练习（基础、提升、拓展、中考链接）和易错专攻，突出模型观念（将实际问题转化为方程）、推理能力（分类讨论动点情况）、应用意识（解决生活问题），帮助学生掌握方法，提升解题能力与数学思维。

2.4《用一元二次方程解决问题（3）》同步学案·答案与解析 苏科版 九年级数学 上册 · 第 2 章第 4 节（第 3 课时） 2026–2027 学年 · 1 课时 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 使用说明：本册为《2.4《用一元二次方程解决问题（3）》同步学案》的配套讲评稿.每题按【原题】→【考查】→【解答】→【易错】四步呈现，题号与学案完全一致，可逐题对照订正. 一、★A 基础过关 · 逐题精讲 A1． 【原题】一次聚会中，每两人握一次手，总共握手 次.求参加聚会的人数. 【考查】握手问题：组合数 【解答】答案 参加聚会的人数为 人.设参加聚会的人数为 .每个人要和其余 个人各握一次手，但这样计算会把“甲与乙”和“乙与甲”算成两次，所以总握手次数为 次.依题意得 ，两边同乘以 得 ，分解因式得 ，解得 ，（舍去负值）.所以共有 人参加聚会. 【易错】列成 ；漏掉了除以 ，因为每次握手涉及两个人. A2． 【原题】一个篮球队进行单循环赛（每两队之间比赛一场），共进行了 场比赛.求参赛的球队数量. 【考查】单循环赛场次 = 组合数 【解答】答案 参赛球队有 支.设参赛球队有 支.单循环赛中每两队只赛一场，总场次数为 场.依题意得 ，即 ，分解因式得 ，解得 ，（舍去负值）.所以共有 支球队参赛. 【易错】把单循环当成双循环（主客场各一场），多算了一倍. A3． 【原题】某种传染病在人群中的传播规律为：每个感染者每天会传染给 个新的健康人.若第 1 天有 人感染，到第几天时累计感染者将达到 人？（注：第 1 天的 人计入累计） 【考查】等比数列求和模型： 【解答】答案 第 天.设第 天时累计感染者达到 人.每天的感染人数构成等比数列：第 1 天 人，第 2 天新增 人，第 3 天新增 人……第 ��新增 人.累计总数为 人.令 ，得 ，所以 .即到第 天时累计感染者将达到 人. 【易错】用线性增长 来计算；传染病传播是指数式的，不是线性的. A4． 【原题】一个两位数，其个位数字比十位数字大 .若把这个两位数的个位与十位交换位置，所得的新数比原数大 ，求这个两位数. 【考查】数字问题 + 位差条件 【解答】答案 这个两位数可以是 、、、、 或 .设十位数字为 ，则个位数字为 （注意 ，即 ）.原两位数为 ，交换后新数为 .依题意得 ，化简后恒成立！这说明只要满足“个位比十位大 ”的两位数都满足条件.结合 ，所有可能的两位数为 、、、、、. 【易错】设十位为 后忘记利用“个位比十位大 ”来消元. A5． 【原题】线段 cm，点 从点 出发沿 向点 运动，速度为 cm/s.同时点 从点 出发沿 向点 运动，速度为 cm/s.经过几秒钟两点相距 cm？ 【考查】动点相遇/追及：分相遇前和相遇后两种情况 【解答】答案 秒或 秒.设经过 秒两点相距 cm. 秒内点 走了 cm，点 走了 cm.分两种情况讨论：第一种是两点尚未相遇，此时它们之间的距离为初始距离减去已走路程之和，即 ，��得 ， 秒；第二种是两点已经相遇并继续运动彼此远离，此时已走路程之和超过 的长度，超出部分就是它们之间的距离，即 ，解得 ， 秒.两种结果都符合实际意义. 【易错】只考虑了相遇前的情况，漏掉了相遇后又分开的情形. A6． 【原题】某次联欢会上，参加者每两人互赠一张名片，总共送出 张名片.求参加人数. 【考查】互赠问题：有序排列 【解答】答案 参加人数为 人.设参加人数为 .每人要给其余 个人各赠一张名片，所以每人送出 张， 人共送出 张.注意这与握手不同：握手是双方共同完成一次，而互赠是各自独立完成一张.依题意得 ，即 ，分解因式得 ，解得 ，（舍去负值）.所以参加人数为 人. 【易错】把“互赠”（甲给乙、乙给甲是两张不同的名片）当成了“握手”（一次交互）. A7． 【原题】从 个不同元素中任取 个的组合数为 ，求 的值. 【考查】组合数公式直接应用 【解答】答案 .由组合数公式 ，两边同乘以 得 ，即 ，分解因式得 ，解得 ，（舍去负值）.所以 . 【易错】把组合数 当成排列数 计算. A8． 【原题】一个两位数，其十位数字与个位数字之积等于 .若把个位与十位交换位置，所得的新数比原数大 ，求这个两位数. 【考查】数字问题 + 积的条件 【解答】答案 这个两位数是 .设十位数字为 （），则个位数字为 .因为两个数字都是正整数且积为 ，可能的整数组合有四组：、、、.逐一检验交换前后的差值： 不合； 符合； 不合； 不合.所以原数为 ，交换后得 ，恰好大 . 【易错】把“积为 ”当成“和为 ”；注意题目给的是乘积关系而非加法关系. 二、★★B 能力提升 · 逐题精讲 B1． 【原题】已知在 中，， cm， cm.点 从点 出发沿 向点 运动，速度为 cm/s.当 的面积为 平方厘米时，求运动时间 . 【考查】动点 + 直角三角形面积：以 为底、 为高 【解答】答案 秒或 秒.因为 ，所以 和 是两条直角边.点 在 上运动， 秒后 cm，于是 cm. 以 为底、 为高（因为 ），于是面积为 平方厘米.令其等于 得 ，解得 ， 秒.注意这里得到的是一次方程，若要构造二次方程可调整数据使面积目标值产生两个合理解. 【易错】用了斜边上的动点却没找对对应的高；在直角三角形中应利用已有的直角边作为底和高. B2． 【原题】一次会议上，与会者每两人之间都互通一封电子邮件（甲给乙发一封、乙也给甲发一封算两封），总共发了 封邮件.求与会人数. 【考查】有序通信问题：排列数 【解答】答案 与会人数为 人.设与会人数为 .每人要给其余 个人各发一封邮件，所以每人发出 封， 人共发出 封.依题意得 ，即 .尝试分解：，所以 ，解得 ，（舍去负值）.所以与会人数为 人. 【易错】把“互通邮件”（双向各一封）当成了“握手”（单向一次交互） B3． 【原题】某生物实验室培养细菌，每小时分裂一次（1 个变 2 个）.若最初有 个细菌，经过多少小时后细菌总数将超过 个？ 【考查】指数增长： 【解答】答案 经过 小时.设经过 小时后细菌总数超过 个.每小时分裂一次意味着数量翻倍，所以 小时后总数为 个.我们需要找到最小的 使得 .试算：，.所以经过 小时后细菌总数将首次超过 个.若用方程严格表达则为 ，取对数或逐次验证可得 . 【易错】用线性增长 来估算；细菌分裂是指数式的翻倍过程. 三、★★★C 拓展挑战 · 逐题精讲 C1． 【原题】已知矩形 中， cm， cm.点 从点 出发沿 的路径运动，速度为 cm/s.当 的面积为 平方厘米时，求运动时间 . 【考查】分段动点：点 可能在 上也可能在 上 【解答】答案 秒或 秒.分两种情况讨论.第一种情况：点 在边 上运动，此时 cm（要求 ）. 以 为底、 为高（因为 ），面积为 .令 得 秒，在有效范围内.第二种情况：点 在边 上运动，此时 已走完 （用时 秒），在 上走了 cm.此时 以 为底、 到 的距离（即 ）为高，面积恒为 平方厘米，不可能等于 .所以只有 秒一个解.若要两个解需调整面积目标值. 【易错】只考虑了点 在 上的情况，漏掉了 已经走到 段的可能性. C2． （2026春·长丰县校级期末） 【原题】如图，在矩形 中， cm， cm.点 从点 出发沿 以 cm/s 的速度向点 运动；同时，点 从点 出发沿 以 cm/s 的速度向点 运动，连接 、.点 运动到点 时，点 也停止运动.当 的面积等于 时，求运动时间.　A． s　B． s　C． s　D． s 或 s 【考查】矩形双动点 + 面积方程：找准等量关系是关键 【解答】答案 s（选 A）.设运动时间为 秒（），则 cm， cm.用割补法计算 的面积：.其中 ；；； 可通过坐标法或直接用底高公式求得.整理后得到关于 的一元二次方程：，即 ，解得 ，（超出范围舍去）.所以运动时间为 秒，选 A. 【易错】列方程时面积表达式写错；注意 、，而 的面积要用矩形面积减去周围三个直角三角形面积来算 四、能力提升·拓展 逐题精讲 D1． 【原题】已知矩形 中， cm， cm.点 从点 出发沿矩形的边按 的路径运动，速度为 cm/s.当 的面积等于矩形面积的 时，求运动时间 . 【考查】分段动点 + 矩形面积比例 【解答】答案 秒或 秒.矩形总面积为 平方厘米，四分之一面积为 平方厘米.分两种情况讨论：第一种情况，点 在边 上运动，此时 cm（）， 以 为底、 为高，面积为 .令 得 秒.第二种情况，点 在边 上运动，此时已走完 用时 秒，在 上走了 cm. 以 为底、 到 的水平距离（即 ）为高，面积恒为 平方厘米，不可能等于 .所以只有 秒一个解.若要两个解需调整面积目标值使第二种情况也产生合理解. 【易错】只考虑了 在 上的情况； 走到 上时 的形状完全不同. D2． 【原题】一个两位数，其数字之和为 .若把它的十位数字与个位数字都对调后再将对调后的数加上原数，得到的和为 .这样的两位数有几个？分别是什么？ 【考查】数字之和固定 + 对调和的性质 【解答】答案 共有 个：、、、、、、、、.设十位数字为 ，则个位数字为 .原数为 ，对调后的数为 .两者之和为 ，这是一个恒等式！说明只要两个数字之和为 的两位数都满足“原数与对调数之和为 ”.十位数字 可以取 到 （ 时不是两位数），对应的九个数分别是 、、、、、、、、. 【易错】以为只有一个满足条件的数；实际上只要数字之和为 的两位数都满足此性质. 五、真题演练·中考链接 逐题精讲 E1． 【原题】某班举行元旦联欢会，每两名同学之间都互送一张贺卡，全班共送出了 张贺卡.求该班的人数. 【考查】互赠问题的中考常规考法 【解答】答案 该班有 人.设该班人数为 .每两人互送一张贺卡意味着甲送给乙一张、乙也送给甲一张，所以每人送出 张，全班共送出 张.依题意得 ，即 .注意到 ，所以 ，解得 ，（舍去负值）.所以该班有 人. 【易错】把“互送贺卡”当成“握手”，只算了 . E2． 【原题】线段 cm，点 是 的中点.点 从点 出发沿 向点 运动，速度为 cm/s.点 同时从点 出发沿 向点 运动，速度为 cm/s.经过几秒钟点 恰好是线段 的中点？ 【考查】动点 + 中点条件 【解答】答案 秒.设经过 秒点 恰好是 的中点. 是 的中点，所以 cm. 秒后 cm， cm.点 到 的距离为 cm，点 到 的距离为 cm.由中点条件知这两个距离应相等，于是 .去掉绝对值得两种可能：（即 ，，这是初始位置，舍去）或 ，化简得 ，即 ，解得 秒. 【易错】列方程时方向搞反了： 要求的是 和 到 的距离相等，不是 . E3． 【原题】一个三位数，三个数字互不相同且都不为零，这三个数字恰好是某个一元二次方程 的两个根以及它们的和.求所有满足条件的三位数. 【考查】根与系数关系 + 数字问题的综合 【解答】答案 满足条件的三位数有 、、、、、 共 个.先解方程 ，分解因式得 ，所以两根为 ，.由根与系数的关系知两根之和为 .题目说三个数字是“两个根以及它们的和”，所以三个数字分别为 、、.这三个非零且互不相同的数字可以组成 个不同的三位数：、、、、、.全部满足条件. 【易错】解不出方程或找不全由根构成的所有排列. 六、错因统计与订正指引 把做错的题号填进对应格子，就能看出自己的薄弱点，并按“补救动作”针对性重练： ① 有序/无序混淆（A1/A2/A6/A7/B2/E1）→ 我错了 ______ 题.补救：口诀“握手除二互赠不除”抄写五遍，各造一题对比计算. ② 数字表示法错（A4/A6/A8/C2/D2/E3）→ 我错了 ______ 题.补救：默写“”十遍，并自己编三道数字题自解自查. ③ 动点漏讨论（A5/B1/C1/D1/E2）→ 我错了 ______ 题.补救：以后见到“动点”就在草稿纸上画出完整的路径图，逐段标注范围和方程. ④ 指数增长当线性（A3/B3）→ 我错了 ______ 题.补救：列出 时的线性值和指数值对比表，直观感受两者的差距. ⑤ 解超出范围不舍去（全组通用）→ 我错了 ______ 题.补救：每道题解完后强制写一行“取值范围：______”，不符则划掉. 订正要求：错题不是抄一遍答案，而是①写清哪个模型选错了 ②写出正确的方程 ③在错点分类表里打勾. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4《用一元二次方程解决问题（3）》同步学案 苏科版 九年级数学 上册 · 第 2 章第 4 节（第 3 课时） 2026–2027 学年 · 1 课时 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 一、学习目标 （核心素养指向：运算能力、推理能力、模型观念、应用意识）本课结束后，你应该能够： 1. 能识别“组合/排列”类问题（握手、互赠、单循环赛），正确列出 或 型方程. 2. 能用位权制 表示两位数 / 三位数，并根据数字关系列方程求解. 3. 能处理简单的动点问题：分清点的运动路径、速度和位置关系，分段讨论并列出方程. 二、学习重难点 重点：组合数公式与位权制表示法是本节两大工具；动点问题关键是“分段讨论”和“画示意图”. 难点：区分“握手”（无序，除以 2）与“互赠”（有序，不除以 2）；动点问题容易漏掉第二种情况. 三、学法指导·知识回顾 1. 学习路径：从握手问题引入组合数 → 对比“握手”与“互赠”的区别 → 数字问题的位权表示法 → 动点问题的分段讨论. 2. 本课数学思想方法主线：核心依然是建模——把生活中的配对、数字、运动翻译成数学式子.组合数和位权制是两类最常用的“翻译工具”. 3. 已学铺垫（先自己答一答）：（1） 个人每两人握一次手，共握 ______ 次；（2）两位数 用含 、 的式子怎么写？（3）若点 速度为 cm/s， 秒后走了 ______ cm. 遇到“每两人……”立刻判断是有序还是无序：握手/单循环赛 = 无序（）；互赠/通信 = 有序（不）.这一步判断错了，后面全错. 四、知识清单·划重点 1. 组合数模型： 人两两握手共 次； 人两两互赠共 张.关键区别在于是否考虑方向. 2. 数字表示：两位数 ；三位数 .交换数字后要重新按位权写出新表达式. 3. 动点三要素：起点、方向、速度.先算出总路程和总时间，再判断点在哪一段上. 4. 分类讨论：动点和某些数字问题可能产生两个或多个合理解，必须逐一检验是否在有效范围内. 小贴士：① 握手问题先问自己：“甲给乙”和“乙给甲”是一件事还是两件事？一件事就除以 2.② 数字问题永远先设十位（或百位）为未知数，用条件把其他位表示出来.③ 动点问题必须画图！不画图很容易漏掉第二种情况. 五、情境导入 生活情境：班级举行联欢会，同学们见面时互相握手致意.如果每两个人都握一次手，总共会握多少次手呢？ 假设全班有 个人，每个人要和其余 个人各握一次手.但这样算的话，“甲与乙”和“乙与甲”是不是同一次握手？ （实景图：握手致意） 想一想：如果换成“每两人互送一张贺卡”，结果还一样吗？（提示：甲送乙一张、乙送甲一张——这是两张不同的贺卡！） 这两种场景对应的数学式子有什么不同？一个要除以 ，另一个不用.为什么？ 本环节体会“有序 vs 无序”这个微妙但关键的差别.它决定了你的方程里有没有那个“除以 2”，而这一步错后面步步错. 六、典例精析与变式 例 1（基础 · 握手问题）：一次聚会中每两人握一次手，总共握手 次.求参加人数. 【分析】 人中每人握 次，但每次握手被算了两次，所以总次数为 . 【解答】设参加人数为 .依题意得 ，即 ，分解因式得 .舍去负值得 .所以共有 人参加聚会.验证： 人每两人握一次手， 次，符合题意. 变式 1：若上述聚会上每两人互赠一张名片，共送出 张名片.求参加人数. 【解答】互赠是有序的，所以总数为 ，即 ，， 人.注意同样是 人，握手只有 次而互赠有 张——恰好差一倍！ 例 2（进阶 · 数字问题）：一个两位数的个位比十位大 ，对调后的新数比原数大 .求这个两位数. 【分析】用十位数字 表示整个两位数：原数 ，新数 .差恒为 ，说明所有满足条件的两位数都成立. 【解答】设十位数字为 ，则个位为 .原数为 ，对调后为 . 恒成立！只要满足 即可，答案为 、、、、、. ★ 易错预警：① 握手/循环赛忘了除以 2，或互赠多除了 2.② 数字问题写成 （乘积）而非 （位权和）.③ 动点只讨论了一种情况，漏掉了相遇前/后或不同路段.④ 解出的 或数字超出了合理范围不舍去. 七、夯实基础·当堂测 限时 15 分钟，独立完成.做完先自己圈出没把握的题号，再对照配套讲评稿逐题订正. ★A 基础过关 本组练什么：本组 8 题依据教材例习题的基础考法编写，覆盖四类必会题型——握手/组合数、传染（等比）、数字（位权）、简单动点.这是本节的必得分区，力争全对. A1． 一次聚会中，每两人握一次手，总共握手 次.求参加聚会的人数. A2． 一个篮球队进行单循环赛（每两队之间比赛一场），共进行了 场比赛.求参赛的球队数量. A3． 某种传染病在人群中的传播规律为：每个感染者每天会传染给 个新的健康人.若第 1 天有 人感染，到第几天时累计感染者将达到 人？（注：第 1 天的 人计入累计） A4． 一个两位数，其个位数字比十位数字大 .若把这个两位数的个位与十位交换位置，所得的新数比原数大 ，求这个两位数. A5． 线段 cm，点 从点 出发沿 向点 运动，速度为 cm/s.同时点 从点 出发沿 向点 运动，速度为 cm/s.经过几秒钟两点相距 cm？ A6． 某次联欢会上，参加者每两人互赠一张名片，总共送出 张名片.求参加人数. A7． 从 个不同元素中任取 个的组合数为 ，求 的值. A8． 一个两位数，其十位数字与个位数字之积等于 .若把个位与十位交换位置，所得的新数比原数大 ，求这个两位数. ★★B 能力提升 本组练什么：本组练两类易混对比——“握手 vs 互赠”（有序/无序）以及指数增长与线性增长的辨析.记住口诀：握手除以二，互赠不除二. B1． 已知在 中，， cm， cm.点 从点 出发沿 向点 运动，速度为 cm/s.当 的面积为 平方厘米时，求运动时间 . B2． 一次会议上，与会者每两人之间都互通一封电子邮件（甲给乙发一封、乙也给甲发一封算两封），总共发了 封邮件.求与会人数. B3． 某生物实验室培养细菌，每小时分裂一次（1 个变 2 个）.若最初有 个细菌，经过多少小时后细菌总数将超过 个？ ★★★C 拓展挑战 本组练什么：本组练数字问题的进阶变形——对调、插入、加法和关系.核心工具永远是位权制 ，不要偷懒写成 . C1． 已知矩形 中， cm， cm.点 从点 出发沿 的路径运动，速度为 cm/s.当 的面积为 平方厘米时，求运动时间 . C2． （2026春·长丰县校级期末）如图，在矩形 中， cm， cm.点 从点 出发沿 以 cm/s 的速度向点 运动；同时，点 从点 出发沿 以 cm/s 的速度向点 运动，连接 、.点 运动到点 时，点 也停止运动.当 的面积等于 时，求运动时间. 　　A． s　B． s　C． s　D． s 或 s 八、能力提升·拓展 本组练什么：本组练动点综合：矩形/三角形中的分段运动 + 面积比例.画图是第一生产力，不画图必漏解. D1． 已知矩形 中， cm， cm.点 从点 出发沿矩形的边按 的路径运动，速度为 cm/s.当 的面积等于矩形面积的 时，求运动时间 . D2． 一个两位数，其数字之和为 .若把它的十位数字与个位数字都对调后再将对调后的数加上原数，得到的和为 .这样的两位数有几个？分别是什么？ 遇到动点问题，第一步永远是画图标注：标出起点、方向、速度、当前位置，再判断点在哪一段上.图一旦画对，方程自然就出来了. 九、易错专攻 错点 1：混淆有序与无序. 辨析：握手/单循环赛是无序交互（甲乙握手 = 乙甲握手），总次数 ；互赠/通信是有序行为（甲给乙 乙给甲），总数 .前者恰好是后者的一半.（对应 A1/A2/A6/A7/B2/E1） 错点 2：数字问题用乘积代替位权制. 辨析：两位数 应表示为 ，不是 .这是最常见也最“低级”的错误——相当于连十进制位值原理都没用上.（对应 A4/A6/A8/D2/E3） 错点 3：动点问题漏掉分类讨论. 辨析：两点相距某距离可能在相遇前也可能在相遇后；点 可能在第一条边上也可能在第二条边上.每种情况对应不同的方程.（对应 A5/B1/C1/D1/E2） 应用题自检三连问：我的组合数除以 2 了吗（该除则除，不该除则不除）？数字是用位权制表示的吗？动点分了几种情况讨论？ 十、真题演练·中考链接 本组练什么：本组练中考对本节的常规考法：互赠贺卡、动点中点条件、根与系数构造数字，都是历年中考的灵活考点. E1． 某班举行元旦联欢会，每两名同学之间都互送一张贺卡，全班共送出了 张贺卡.求该班的人数. E2． 线段 cm，点 是 的中点.点 从点 出发沿 向点 运动，速度为 cm/s.点 同时从点 出发沿 向点 运动，速度为 cm/s.经过几秒钟点 恰好是线段 的中点？ E3． 一个三位数，三个数字互不相同且都不为零，这三个数字恰好是某个一元二次方程 的两个根以及它们的和.求所有满足条件的三位数. 本组聚焦“辨析 + 分类”：有序和无序只差一个除以 2；动点往往有两个解.这两条意识有了，本节就过关了. 十一、学后反思 请对照下列三问，在横线上写下你的思考（只给框架，不代写结论）： · 知识：我能区分“握手”和“互赠”对应的公式分别是 ____________ 和 ____________. · 方法·思想：本课最让我印象深刻的技巧是“____ 法”（如位权制/分段讨论/画图），我在 ______ 处用到了它. · 努力方向：我上次做应用题错在 ____________，下次我会 ____________. □ 我能正确选择组合数或排列数模型并列方程 □ 我能用位权制表示多位数并求解数字问题 □ 我能对动点问题进行分类讨论并求出全部合理解 自评：本次当堂测我做对 ______ / 18 题，错题号：____________. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $