2.4《用一元二次方程解决问题（1）》同步学案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册·

该初中数学导学案聚焦用一元二次方程解决几何图形问题，通过校园围矩形菜地的生活情境导入，引导学生从实际问题中抽象等量关系。以知识回顾（面积公式等）、学法指导（建模步骤）、典例变式为支架，衔接已学内容与新知，构建完整学习脉络。 资料亮点在于分层习题设计（基础到中考链接）与“平移法”等学科方法，强调根的实际意义检验，培养模型观念、运算能力和推理能力。易错专攻针对性解决负根取舍等问题，学后反思助力学生自主纠错与知识内化，提升学习效率。

2.4《用一元二次方程解决问题（1）》同步学案 苏科版 九年级数学 上册 · 第 2 章第 4 节（第 1 课时） 2026–2027 学年 · 1 课时 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 一、学习目标 （核心素养指向：运算能力、推理能力、模型观念）本课结束后，你应该能够： 1. 能从几何图形问题中找出等量关系，设出合适的未知数，列出一元二次方程. 2. 能根据实际意义对求出的根进行检验，舍去不合实际的负数或超出范围的值. 3. 能用“平移法”处理十字形道路、四周留路等问题，把不规则图形转化为规则矩形. 二、学习重难点 重点：用一元二次方程解决几何图形问题的四步：审题 → 设未知数 → 列方程 → 解方程并检验取舍. 难点：找准等量关系；解出两个根后必须按实际意义检验，不能把负数当答案. 三、学法指导·知识回顾 1. 学习路径：回顾面积/周长公式 → 从简单的一步关系开始设未知数 → 列方程 → 解完必须回头检验. 2. 本课数学思想方法主线：核心是建模——把文字描述的几何关系翻译成数学式子.检验取舍是建模的最后一步，不是可有可无. 3. 已学铺垫（先自己答一答）：（1）长方形面积=______×______；（2）直角三角形面积=______÷2；（3）若 ，则 ______. 设未知数时尽量选直接表示所求量的那个量，这样最后不用再换算.如果题目问的是宽，就设宽为 ，不要绕弯子. 四、知识清单·划重点 1. 建模第一步：先写出已知量和未知量的关系式，比如“长 = 宽 + 2”“周长 = 2(长+宽)”. 2. 列方程后一定要检查：两边单位是否一致？有没有漏掉 ？ 3. 解得两个根后，逐一对照实际意义：长度、面积能不能取负数？墙够不够长？边长减去 后是否仍为正？ 4. 十字形道路的平移法：把两条小路分别推到矩形的边上，绿地拼成一个新矩形，不要用总面积去减两条路的面积再补回重叠部分. 小贴士：① 凡是涉及长度、面积的方程，解出的根只要出现负数或零，一律要打上问号——它很可能不合实际.② 四周留路的问题，长和宽都要减 ，不是 . 五、情境导入 生活情境：学校计划在校园一角开辟一块矩形菜地，靠一面足够长的围墙围篱笆（靠墙的一边不围）.现有篱笆总长 米，希望菜地面积为 平方米. 垂直于墙的那一边应该多长呢？设这条边为 米，那么平行于墙的另一边就是 米…… （实景图：菜园中的矩形种植区） 想一想：为什么平行于墙的边是 而不是 ？（因为垂直于墙的两条边各占一份篱笆.） 列出方程 后，你会得到两个解.它们都符合实际情况吗？ 本环节体会“设未知数→列方程→解方程→检验取舍”的完整流程.检验这一步在几何应用题里尤其重要——数学上的解不一定就是问题的答案. 六、典例精析与变式 例 1（基础 · 长方形面积）：一个长方形的长比宽多 米，面积是 平方米，求它的长和宽. 【分析】设宽为 米，则长为 米.关键等量是“长宽=面积”. 【解答】设宽为 米，则长为 米.依题意得 ，即 ，分解因式得 ，所以 ，.宽度为正，舍去 ，故宽为 米，长为 米. 变式 1：一个正方形边长增加 厘米后面积变为 平方厘米，求原边长. 【解答】设原边长为 厘米，，开平方得 ，所以 ，.舍去负根，原边长为 厘米. 例 2（进阶 · 十字形道路）：一块长 米、宽 米的矩形草坪中间修两条互相垂直的等宽小路，余下绿地面积 平方米，求路宽. 【分析】平移法：把两条小路分别推到草坪边上，绿地拼成一个 的矩形.千万不要用“总面积减两条路的面积”，那样会把交叉处的小正方形重复减掉. 【解答】设路宽为 米，由平移法得 ，整理得 ，分解因式得 ，所以 ，.路宽不可能超过草坪宽，舍去 ，路宽为 米. ★ 易错预警：① 解出负根不舍去，把 当成长度.② 十字路用“总面积减两条路面积”却忘了重叠部分被减了两次.③ 四周留路只减一个 （应减 ）.④ 靠墙围栏忘记墙长的限制条件. 七、夯实基础·当堂测 限时 15 分钟，独立完成.做完先自己圈出没把握的题号，再对照配套讲评稿逐题订正. ★A 基础过关 本组练什么：本组 8 题依据教材例习题的基础考法编写，覆盖三类必会题型——矩形/正方形面积与边长、三角形面积、三面围栏.这是本节的必得分区，力争全对. A1． 一个长方形花坛的长比宽多 米，面积是 平方米，求它的宽. A2． 一个正方形的边长增加 厘米后，面积变为 平方厘米，求原正方形的边长. A3． 一个直角三角形的两条直角边相差 厘米，面积是 平方厘米，求较短的那条直角边. A4． 一个长方形的周长是 米，面积是 平方米，求它的长和宽. A5． 用长 米的篱笆靠一面足够长的墙围成一块长方形菜地（靠墙的一边不用篱笆），面积为 平方米，求垂直于墙的一边长. A6． 一个长方形的长是宽的 倍，面积是 平方米，求它的宽. A7． 一个正方形的边长减少 厘米后，面积变为 平方厘米，求原正方形的边长. A8． 一个三角形的底比高多 厘米，面积是 平方厘米，求这个三角形的高. ★★B 能力提升 本组练什么：本组练两类经典陷阱——十字形道路的平移法与靠墙围栏的墙长限制.看清结构图，就能避开最常见的错误. B1． 一块长 米、宽 米的矩形草坪，中间修两条互相垂直的等宽小路（一条与长平行，一条与宽平行），余下的绿地面积为 平方米，求小路的宽. B2． 一块长 米、宽 米的矩形空地，四周留出等宽的小路，中间的矩形花坛面积为 平方米，求小路的宽. B3． 用长 米的篱笆靠一面长 米的墙围成一块长方形养殖场（靠墙的一边不用篱笆），面积为 平方米，求垂直于墙的一边长. ★★★C 拓展挑战 本组练什么：本组练剪角折盒问题：盒底边长是原边长减去两个 ，而且解出的根还要满足“底面边长为正”这个隐含条件. C1． 把一块边长 厘米的正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 厘米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子.若盒底面积为 平方厘米，求 的值. C2． 把一块长 分米、宽 分米的矩形铁皮的四角各剪去一个同样大小的正方形，折成无盖盒子.若盒底面积为 平方分米，求剪去的小正方形边长. 八、能力提升·拓展 本组练什么：本组练边框与增减综合：连框在内的大矩形长宽各加 ；“同时增加”类问题要先由周长定出和的关系. D1． 一幅长 厘米、宽 厘米的矩形画，四周镶一条等宽的画框.若画框的面积恰好与画的面积相等，求画框的宽. D2． 一个矩形的周长是 厘米，若把它的长和宽都增加 厘米，所得新矩形的面积为 平方厘米，求原矩形的长和宽. 遇到“中间修两条互相垂直的路”这类题，第一反应永远是平移法——把路推到边上，绿地变成一个小矩形，方程立刻写出来. 九、易错专攻 错点 1：解出负根不舍去. 辨析：方程 的两根是 和 .长度、面积、时间这些量都不能取负值，必须舍去负根并在答案中说明理由.（对应 A1、A2、A7） 错点 2：十字形道路重复减去重叠部分. 辨析：用“总面积减两条路面积”的方法会多减一次交叉处的小正方形.正确做法是用平移法把绿地拼成一个完整矩形，一步到位.（对应 B1、E1） 错点 3：四周留路只减一个 或靠墙围栏忽略墙长限制. 辨析：四周都有路，左右（上下）各一条，长宽都应减 ；靠墙围栏中平行于墙的边不能超过墙的实际长度，这是隐含的限制条件.（对应 B2、B3、E2） 几何应用题自检三连问：我的方程两边单位一致吗？解出的每个根都符合实际意义吗？有没有漏掉隐含的限制条件（如墙长、底面边长为正）？ 十、真题演练·中考链接 本组练什么：本组练中考对本节的常规考法：十字路、四周留白、勾股定理结合，都是高频考点，务必熟练掌握平移法和检验取舍. E1． 一块长 米、宽 米的矩形绿地，中间修两条互相垂直的等宽小路，余下的绿地面积为 平方米，求小路的宽. E2． 一块长 米、宽 米的矩形土地，要在中间开辟一个矩形花圃，使花圃四周留出等宽的空地.若花圃面积为 平方米，求空地的宽. E3． 一个直角三角形的斜边长为 厘米，两条直角边的差为 厘米，求这两条直角边的长. 本组聚焦“建模 + 检验取舍”：几何应用题的核心不是算得多快，而是列方程前想清楚等量关系、解完后老老实实回过头来检验每一个根. 十一、学后反思 请对照下列三问，在横线上写下你的思考（只给框架，不代写结论）： · 知识：我能说出用一元二次方程解决几何问题的 ____ 个步骤，其中最容易忘的是第 ____ 步. · 方法·思想：本课最让我印象深刻的技巧是“____ 法”（如平移法），我在 ______ 处用到了它. · 努力方向：我上次做几何应用题错在 ____________，下次我会 ____________. □ 我能从几何问题中找出等量关系并列出一元二次方程 □ 我能正确使用平移法处理十字形道路问题 □ 我能对求出的根进行检验并舍去不合实际的值 自评：本次当堂测我做对 ______ / 18 题，错题号：____________. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4《用一元二次方程解决问题（1）》同步学案·答案与解析 苏科版 九年级数学 上册 · 第 2 章第 4 节（第 1 课时） 2026–2027 学年 · 1 课时 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 使用说明：本册为《2.4《用一元二次方程解决问题（1）》同步学案》的配套讲评稿.每题按【原题】→【考查】→【解答】→【易错】四步呈现，题号与学案完全一致，可逐题对照订正. 一、★A 基础过关 · 逐题精讲 A1． 【原题】一个长方形花坛的长比宽多 米，面积是 平方米，求它的宽. 【考查】设未知数列面积方程，并按实际意义舍根 【解答】答案 宽为 米.设宽为 米，则长为 米.由面积关系列方程 ，整理得 ，分解因式得 ，解得 ，.长度不能取负值，所以舍去 ，花坛的宽是 米. 【易错】解得 后不舍去，把负数当成长度. A2． 【原题】一个正方形的边长增加 厘米后，面积变为 平方厘米，求原正方形的边长. 【考查】直接开平方法解几何问题 【解答】答案 原边长为 厘米.设原边长为 厘米，增加后的边长为 厘米.依题意得 ，用直接开平方法得 ，所以 ，.边长必须是正数， 不合题意舍去，原正方形的边长是 厘米. 【易错】开平方时只取正号，或忘记回头舍去不合实际的负根. A3． 【原题】一个直角三角形的两条直角边相差 厘米，面积是 平方厘米，求较短的那条直角边. 【考查】用三角形面积公式列方程 【解答】答案 较短直角边为 厘米.设较短的直角边为 厘米，则较长的一条为 厘米.由三角形面积公式得 ，去分母整理得 ，分解因式得 ，解得 ，.舍去负根，较短的直角边是 厘米. 【易错】漏掉面积公式里的 ，直接写成 . A4． 【原题】一个长方形的周长是 米，面积是 平方米，求它的长和宽. 【考查】由周长表示另一边，再列面积方程 【解答】答案 长 米，宽 米.设宽为 米，由周长是 米可知长为 米.依题意得 ，整理得 ，分解因式得 ，解得 ，.这两个数其实就是长与宽，按“宽不大于长”取宽为 米，长为 米. 【易错】设长为 、宽为 列两个方程，把问题复杂化；用周长直接把宽表示成 更快. A5． 【原题】用长 米的篱笆靠一面足够长的墙围成一块长方形菜地（靠墙的一边不用篱笆），面积为 平方米，求垂直于墙的一边长. 【考查】三面围栏问题：垂直于墙的边有两条 【解答】答案 米或 米.设垂直于墙的一边长为 米，这样的边一共有两条，所以平行于墙的一边长为 米.依题意得 ，两边同除以 并整理得 ，分解因式得 ，解得 ，.因为墙足够长，两个结果都符合实际，所以这条边长 米或 米. 【易错】把平行于墙的边写成 ；实际上垂直于墙的边有两条，应为 . A6． 【原题】一个长方形的长是宽的 倍，面积是 平方米，求它的宽. 【考查】用倍数关系设未知数 【解答】答案 宽为 米.设宽为 米，则长为 米.依题意得 ，两边同除以 得 ，用直接开平方法得 .宽必须为正，舍去 ，所以宽是 米，相应的长是 米. 【易错】设宽为 却把长也写成 ，丢掉倍数关系. A7． 【原题】一个正方形的边长减少 厘米后，面积变为 平方厘米，求原正方形的边长. 【考查】直接开平方法（减少型） 【解答】答案 原边长为 厘米.设原边长为 厘米，减少后的边长为 厘米.依题意得 ，直接开平方得 ，所以 ，.边长为正，舍去 ，原正方形的边长是 厘米. 【易错】由 只写 ，漏掉 这一支. A8． 【原题】一个三角形的底比高多 厘米，面积是 平方厘米，求这个三角形的高. 【考查】面积公式列方程并舍根 【解答】答案 高为 厘米.设高为 厘米，则底为 厘米.由三角形面积公式得 ，去分母整理得 ，分解因式得 ，解得 ，.高不能为负，所以这个三角形的高是 厘米. 【易错】把“底比高多 3”写成高比底多 3，关系设反. 二、★★B 能力提升 · 逐题精讲 B1． 【原题】一块长 米、宽 米的矩形草坪，中间修两条互相垂直的等宽小路（一条与长平行，一条与宽平行），余下的绿地面积为 平方米，求小路的宽. 【考查】十字形道路：用平移法把绿地拼成一个矩形 【解答】答案 小路宽 米.设小路宽为 米.把两条小路分别平移到草坪的边上（这样做不改变绿地的面积），余下绿地恰好拼成一个长 米、宽 米的矩形，于是 .展开整理得 ，分解因式得 ，解得 ，.路宽显然小于草坪的宽，舍去 ，小路宽为 米. 【易错】用“总面积减两条路的面积”却忘了两路重叠的小正方形被减了两次. B2． 【原题】一块长 米、宽 米的矩形空地，四周留出等宽的小路，中间的矩形花坛面积为 平方米，求小路的宽. 【考查】四周留路：两侧都要减，长宽各减 【解答】答案 路宽 米.设小路宽为 米.花坛的长为 米、宽为 米（两侧各减去一条路的宽），于是 .展开整理得 ，两边同除以 得 ，分解因式得 ，解得 ，.当 时 为负数，不合实际，所以路宽是 米. 【易错】四周留路却只减一个 ；左右（上下）各有一条，应减 . B3． 【原题】用长 米的篱笆靠一面长 米的墙围成一块长方形养殖场（靠墙的一边不用篱笆），面积为 平方米，求垂直于墙的一边长. 【考查】墙长构成隐含限制条件，需要检验舍根 【解答】答案 垂直于墙的一边长 米.设垂直于墙的一边长为 米，则平行于墙的一边长为 米.依题意得 ，两边同除以 并整理得 ，分解因式得 ，解得 ，.当 时平行于墙的边长为 米，超过了墙长 米，不合题意应舍去；所以这条边长 米. 【易错】忘记用墙长 米去检验，把两个根都当成答案. 三、★★★C 拓展挑战 · 逐题精讲 C1． 【原题】把一块边长 厘米的正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 厘米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子.若盒底面积为 平方厘米，求 的值. 【考查】剪角折盒：盒底边长为原边长减去两个 【解答】答案 厘米.设剪去的小正方形边长为 厘米.折起后盒底仍是正方形，它的边长为 厘米，于是 .直接开平方得 ，解得 ，.当 时 为负数，盒子不存在，所以剪去的小正方形边长为 厘米. 【易错】把盒底边长写成 ；四角都剪，两端各少 ，应为 . C2． 【原题】把一块长 分米、宽 分米的矩形铁皮的四角各剪去一个同样大小的正方形，折成无盖盒子.若盒底面积为 平方分米，求剪去的小正方形边长. 【考查】剪角折盒（长方形）：需用 的取值范围筛选根 【解答】答案 剪去的小正方形边长为 分米.设剪去的小正方形边长为 分米，则盒底的长为 分米、宽为 分米，于是 .展开整理得 ，两边同除以 得 ，分解因式得 ，解得 ，.因为必须保证 ，即 ，所以只能取 分米. 【易错】解出 后不检验，忽略了 这个隐含条件. 四、能力提升·拓展 逐题精讲 D1． 【原题】一幅长 厘米、宽 厘米的矩形画，四周镶一条等宽的画框.若画框的面积恰好与画的面积相等，求画框的宽. 【考查】边框问题：连框在内的大矩形长宽各加 【解答】答案 画框宽 厘米.设画框的宽为 厘米，则连框在内的大矩形长为 厘米、宽为 厘米.画的面积是 平方厘米，而画框面积与画的面积相等，所以大矩形的面积是 平方厘米，即 .展开整理得 ，两边同除以 得 ，分解因式得 ，解得 ，.宽为正数，所以画框宽 厘米. 【易错】把大矩形的长写成 ；四周都镶框，两端各多 ，应为 . D2． 【原题】一个矩形的周长是 厘米，若把它的长和宽都增加 厘米，所得新矩形的面积为 平方厘米，求原矩形的长和宽. 【考查】周长定值下的“同时增加”问题 【解答】答案 原矩形长 厘米，宽 厘米.设原矩形的长为 厘米，由周长 厘米可知长与宽的和是 厘米，所以宽为 厘米.长和宽都增加 厘米后，长为 厘米、宽为 厘米，于是 .展开整理得 ，分解因式得 ，解得 ，.因为长不小于宽，取 ，此时宽为 厘米. 【易错】设长为 后把宽写成 ；周长的一半才是长与宽的和，应为 . 五、真题演练·中考链接 逐题精讲 E1． 【原题】一块长 米、宽 米的矩形绿地，中间修两条互相垂直的等宽小路，余下的绿地面积为 平方米，求小路的宽. 【考查】十字形道路（平移法）的常规考法 【解答】答案 路宽 米.设小路宽为 米.把两条互相垂直的小路平移到矩形的边上，余下的绿地正好拼成一个长 米、宽 米的矩形，于是 .展开整理得 ，分解因式得 ，解得 ，.路宽不可能超过绿地的宽，舍去 ，所以小路宽为 米. 【易错】列成 ，把重叠部分多减了一次. E2． 【原题】一块长 米、宽 米的矩形土地，要在中间开辟一个矩形花圃，使花圃四周留出等宽的空地.若花圃面积为 平方米，求空地的宽. 【考查】四周留白问题，需用实际意义筛选根 【解答】答案 空地宽 米.设四周空地的宽为 米，则花圃的长为 米、宽为 米，于是 .展开整理得 ，两边同除以 得 ，分解因式得 ，解得 ，.当 时 为负数，不合实际，所以空地宽为 米. 【易错】解出 后不检验，忽略了 . E3． 【原题】一个直角三角形的斜边长为 厘米，两条直角边的差为 厘米，求这两条直角边的长. 【考查】勾股定理与一元二次方程结合 【解答】答案 两直角边分别为 厘米和 厘米.设较短的直角边为 厘米，则较长的一条为 厘米.由勾股定理得 ，展开整理得 ，两边同除以 得 ，分解因式得 ，解得 ，.边长为正，舍去负根，所以两条直角边分别是 厘米和 厘米. 【易错】把斜边也设成未知数，或展开 时漏掉中间项 . 六、错因统计与订正指引 把做错的题号填进对应格子，就能看出自己的薄弱点，并按“补救动作”针对性重练： ① 负根不舍去（A1、A2、A7）→ 我错了 ______ 题.补救：把这三题重做一遍，每道题写一句“为什么舍去另一个根”. ② 十字路方法错（B1、E1）→ 我错了 ______ 题.补救：画一张草图，用两种颜色标出“两条路”和“重叠部分”，再重新推导一次平移法的思路. ③ 四周留路 / 墙长限制（B2、B3、E2）→ 我错了 ______ 题.补救：以后见到“四周”“靠墙”就在草稿纸上写下“两侧各减 ”或“墙长 = ?”作为提醒. ④ 剪角折盒漏检（C1、C2）→ 我错了 ______ 题.补救：记住口诀“四角都剪，两端各少 ”，并在解完方程后强制写一行“ 的取值范围是什么”. ⑤ 边框 / 增减综合（D1、D2、E3）→ 我错了 ______ 题.补救：画示意图标注“原尺寸”和“增加后的尺寸”，确保每一步加减都有依据. 订正要求：错题不是抄一遍答案，而是①写清哪一步列错了 ②写出正确的方程 ③在错点分类表里打勾. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $