2.4 用一元二次方程解决问题（面积问题、平均增长率问题）暑期预习导学案（附同步作业）-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2.4 用一元二次方程解决问题（第 1 课时：面积问题、平均增长率问题）

【学习目标】

1、熟记列一元二次方程解应用题的六大步骤（审、设、列、解、验、答）；掌握矩形面积平移法解题模型，熟练运用两次增长（降低）的公式；能够对方程的解进行实际意义检验，主动舍去不符合现实的根。

2、经历生活实景抽象成数学方程模型的探究过程，学会找寻等量关系，掌握直接设元、间接设元的方法，体会方程建模思想。

3、提升文字阅读理解能力、几何直观能力，养成严谨验根的答题习惯，学会用代数方法解决现实问题。

【学习重点】

梳理实际问题中的等量关系；利用一元二次方程求解面积、增长率两类经典题型；规范完整的应用题书写格式。

【学习难点】

矩形道路问题运用平移转化图形；增长率模型的理解与列式；根据实际场景取舍方程的根。

【课前温故・知识链接】

1、矩形面积公式：面积 = 长 × 宽；

2、一元二次方程四种解法：因式分解法优先，其次选用公式法；

3、思考：一个数值连续两次以相同的百分比增长，该如何列式表示最终数值？

一、情境导入

情境 1（面积问题）：现有一根长 24m 的篱笆，围成矩形花圃，能不能围出面积为 35㎡的花圃？仅凭估算很难判断，我们可以列方程精确求解。
情境 2（增长率问题）：某工厂今年产值 100 万元，两年后产值达到 144 万元，每年涨幅相

同，求每年的增长率。
设问：如何把这两道生活题目，整理成一元二次方程来求解？引出本节课内容：利用一元二次方程解决实际问题。

二、合作探究一：归纳应用题标准解题步骤

探究活动 1：梳理完整解题流程

1、审：通读题干，找出已知量、未知量，锁定等量关系（最核心一步）；

2、设：合理设未知数，带上单位，分为直接设元和间接设元；

3、列：根据等量关系，列出一元二次方程；

4、解：选择合适的解法，算出方程的两个根；

5、验：双重检验：①是不是方程的解；②是否符合现实意义（长度、人数、增长率不能为负数）；

6、答：舍去不合理的根，规范写出答案，标注单位。

探究活动 2：模型一：矩形面积（小路平移模型）

题目：一块长方形草坪长 30m，宽 20m，中间修筑宽度相等的十字小路，剩余草坪面积为 504㎡，求小路的宽。
探究方法：把四周的草坪向中间平移，拼接成一个全新的小矩形，长和宽分别减去小路宽度，简化列式。
设小路宽为 m，新矩形长，宽，列方程：。

✅ 规律总结：所有道路边框类面积题，都可以用平移法，消去不规则图形，转化为标准矩形计算。

探究活动 3：模型二：平均增长率（降低率）通用公式

设初始基数为，平均增长率为：
第一次变化后：
第二次变化后：

同理，平均降低率为，两次变化之后：
注：公式只适用于连续两次、百分比相同的增长或下降。

易错警示（应用题扣分关键点）

1、不列方程直接算数，书写步骤不完整；

2、解完方程不验根，保留负数、超出范围的解；

3、增长率问题把平方漏掉，只写成；

4、设未知数不带单位，最后作答遗漏单位名称；

5、面积小路问题，错误只减去一倍宽度。

 

三、典例精讲（中考标准答题格式，可直接仿写）

例 1（面积平移题型）

用长为 20m 的铁丝围成一个矩形，面积是 24㎡，求矩形的长与宽。
解：设矩形的长为 m，则宽为 m。
列方程：
整理：
因式分解：
解得：
检验：长大于宽，所以长 6m，宽 4m，均符合题意。
答：矩形长 6 米，宽 4 米。

例 2（平均增长率题型）

某药店一月份药品销售额为 25 万元，三月份销售额达到 36 万元，每月增长率相同，求月平均增长率。
解：设月平均增长率为，根据公式得：