2.4 用一元二次方程解决问题（面积问题、平均增长率问题）暑期预习导学案（附同步作业）-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

2.4 用一元二次方程解决问题（第 1 课时：面积问题、平均增长率问题） 【学习目标】 1、熟记列一元二次方程解应用题的六大步骤（审、设、列、解、验、答）；掌握矩形面积平移法解题模型，熟练运用两次增长（降低）的公式；能够对方程的解进行实际意义检验，主动舍去不符合现实的根。 2、经历生活实景抽象成数学方程模型的探究过程，学会找寻等量关系，掌握直接设元、间接设元的方法，体会方程建模思想。 3、提升文字阅读理解能力、几何直观能力，养成严谨验根的答题习惯，学会用代数方法解决现实问题。 【学习重点】 梳理实际问题中的等量关系；利用一元二次方程求解面积、增长率两类经典题型；规范完整的应用题书写格式。 【学习难点】 矩形道路问题运用平移转化图形；增长率模型的理解与列式；根据实际场景取舍方程的根。 【课前温故・知识链接】 1、矩形面积公式：面积 = 长 × 宽； 2、一元二次方程四种解法：因式分解法优先，其次选用公式法； 3、思考：一个数值连续两次以相同的百分比增长，该如何列式表示最终数值？ 一、情境导入 情境 1（面积问题）：现有一根长 24m 的篱笆，围成矩形花圃，能不能围出面积为 35㎡的花圃？仅凭估算很难判断，我们可以列方程精确求解。 情境 2（增长率问题）：某工厂今年产值 100 万元，两年后产值达到 144 万元，每年涨幅相同，求每年的增长率。 设问：如何把这两道生活题目，整理成一元二次方程来求解？引出本节课内容：利用一元二次方程解决实际问题。 二、合作探究一：归纳应用题标准解题步骤 探究活动 1：梳理完整解题流程 1、审：通读题干，找出已知量、未知量，锁定等量关系（最核心一步）； 2、设：合理设未知数，带上单位，分为直接设元和间接设元； 3、列：根据等量关系，列出一元二次方程； 4、解：选择合适的解法，算出方程的两个根； 5、验：双重检验：①是不是方程的解；②是否符合现实意义（长度、人数、增长率不能为负数）； 6、答：舍去不合理的根，规范写出答案，标注单位。 探究活动 2：模型一：矩形面积（小路平移模型） 题目：一块长方形草坪长 30m，宽 20m，中间修筑宽度相等的十字小路，剩余草坪面积为 504㎡，求小路的宽。 探究方法：把四周的草坪向中间平移，拼接成一个全新的小矩形，长和宽分别减去小路宽度，简化列式。 设小路宽为 m，新矩形长，宽，列方程：。 ✅ 规律总结：所有道路边框类面积题，都可以用平移法，消去不规则图形，转化为标准矩形计算。 探究活动 3：模型二：平均增长率（降低率）通用公式 设初始基数为，平均增长率为： 第一次变化后： 第二次变化后： 同理，平均降低率为，两次变化之后： 注：公式只适用于连续两次、百分比相同的增长或下降。 易错警示（应用题扣分关键点） 1、不列方程直接算数，书写步骤不完整； 2、解完方程不验根，保留负数、超出范围的解； 3、增长率问题把平方漏掉，只写成； 4、设未知数不带单位，最后作答遗漏单位名称； 5、面积小路问题，错误只减去一倍宽度。 三、典例精讲（中考标准答题格式，可直接仿写） 例 1（面积平移题型） 用长为 20m 的铁丝围成一个矩形，面积是 24㎡，求矩形的长与宽。 解：设矩形的长为 m，则宽为 m。 列方程： 整理： 因式分解： 解得： 检验：长大于宽，所以长 6m，宽 4m，均符合题意。 答：矩形长 6 米，宽 4 米。 例 2（平均增长率题型） 某药店一月份药品销售额为 25 万元，三月份销售额达到 36 万元，每月增长率相同，求月平均增长率。 解：设月平均增长率为，根据公式得： 开方： （增长率不能为负数，舍去） 答：月平均增长率为 20%。 四、分层课堂当堂检测 【基础过关题（全员必做）】 1、某农场粮食年产量两年从 60 吨涨到 72.6 吨，设年增长率为，列出方程： ； 2、一根 40cm 的铁丝围成矩形，面积 96cm²，求矩形的边长； 3、判断：解方程得到小路宽度为 - 2m，是否保留？为什么？ 【能力提升题（拔高选做）】 1、矩形场地长 40m，宽 26m，修横向一条、纵向两条等宽小路，草坪面积 864㎡，求路宽； 2、某产品连续两次降价，原价 100 元，现价 81 元，求每次的降价百分率。 参考答案 当堂检测答案 基础 1： 基础 2：长 12cm，宽 8cm 基础 3：舍去，宽度不能为负数。 提升 1：小路宽 2m； 提升 2：降价率 10%。 同步作业 一．选择题（共10小题） 1．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为60步，面积是864平方步，问长比宽多几步？若设长为x步，根据题意可列方程是（　　） A．（60﹣x）x＝864 B． C．（60+x）x＝864 D．（30+x）（30﹣x）＝864 2．近年来，某市大力推进绿色低碳发展，持续优化产业结构，工业能耗稳步下降．2023年规模以上工业综合能源消费量为304.42万吨标准煤，2025年为75.39万吨标准煤．设这两年规模以上工业综合能源消费量的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．304.42（1+x）2＝75.39 B．75.39（1+x）2＝304.42 C．304.42（1﹣x）2＝75.39 D．304.42（1﹣2x）＝75.39 3．在研究森林木材存量变化时，某林区原有木材总量为5000立方米．由于自然损耗与合理采伐，木材总量逐年按相同的减少率下降．经过2年后，木材总量变为4050立方米．设年平均减少率为x，则下列方程正确的是（　　） A．5000（1﹣x）2＝4050 B．5000（1+x）2＝4050 C．4050（1+x）2＝5000 D．4050（1﹣x）2＝5000 4．清晨，清远英德英西峰林薄雾缭绕、群峰叠翠，田园村落与溪流相映成趣，宛如一幅天然山水画卷．设计师为宣传英德文旅特色，准备给这幅英西峰林实景风景画四周安装宽度相等的空白画框（如图），制作成矩形装饰工艺品．该工艺品整体长100cm，宽60cm，中间英西峰林风景画的面积为5000cm2．设空白画框的宽度为xcm，则下列方程正确的是（　　） A．（100﹣2x）（60﹣2x）＝5000 B．（100﹣x）（60﹣x）＝5000 C．（100﹣2x）（60﹣x）＝5000 D．100×60﹣x2＝5000 5．如图，边长为10cm的正方形纸片ABCD，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形，再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点A，B，C，D正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为36cm2，设AE的长为xcm，若AE＝BF，则下列方程正确的是（　　） A．（10﹣2x）2＝100﹣36 B． C．4×（10﹣2x）x+2x2＝36 D．100﹣2x2＝36×2 6．《增删算法统宗》中有一个问题：“今有门厅一座，不知门广高低．长竿横进使归室，争奈门狭四尺．随即竖竿过去，亦长二尺无疑．两隅斜去恰方齐，请问三色有几？”意思是：今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比长竿小4尺；将长竿竖着进门，长竿比门的高度多2尺．将长竿斜着穿过门的对角，恰好进门．请问门的宽、高和长竿各是多少尺？如果设门的宽、高和长竿其中一个为x尺，则下列方程不正确的是（　　） A．（x+2）2+x2＝（x+4）2 B．（x﹣4）2+x2＝（x+2）2 C．x2+（x﹣2）2＝（x+2）2 D．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 7．三年多来，在文旅融合政策的推动下，某市的文旅产业实现健康快速发展，2023年全市旅游总收入约100亿元，2025年旅游总收入提升至121亿元，那么2023年到2025年的年平均增长率为（　　） A．10% B．11% C．12% D．21% 8．已知a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数．以下结论：①若三角形为等边三角形，则t＝2；②若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形；③若k＝1，，c＝1，则5＜t＜11；④若k＝1，，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为6．其中，正确的结论有（　　） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 9．深耕黑土地，守护大粮仓．某水稻生产基地2023年平均每公顷产7000kg水稻，到2025年平均每公顷产8470kg水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，可列方程为（　　） A．7000（1+2x）＝8470 B．7000（1+x）2＝8470 C．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝8470 D．7000×2（1+x）＝8470 10．如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长3.5m，宽2.5m的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为8m2．设粘贴区宽度为xm，则可列方程（　　） A．（3.5+2x）（2.5+2x）＝8 B．（3.5﹣2x）（2.5﹣2x）＝8 C．（3.5+x）（2.5﹣x）＝8 D．（3.5﹣x）（2.5+x）＝8 二．填空题（共5小题） 11．生成式AI被认为将为全球经济贡献约7万亿美元的价值，我国率先加大投入研究开发AI技术，预计两年内对这项技术的投入从300亿美元增长到507亿美元．设两年内我国平均每年投入增长的百分率为x，则可列方程为　 　 ． 12．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　 　 米． 13．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有 　 　 队参加比赛． 14．如图，将矩形沿图中虚线（其中x＞y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若y＝2，则x的值等于　 　 ． 15．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 　 　 s后，P，Q两点之间相距25cm． 三．解答题（共4小题） 16．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？ 17．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？ （3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由． 18．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元． 假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本． 19．已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx0的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：由题意可得， （60﹣x）x＝864， 故选：A． 2．【解答】解：由题意得：304.42（1﹣x）2＝75.39， 故选：C． 3．【解答】解：根据题意得：5000（1﹣x）2＝4050． 故选：A． 4．【解答】解：由题意得：（100﹣2x）（60﹣2x）＝5000， 故选：A． 5．【解答】解：设AE的长为xcm，则EF的长为（10﹣2x）cm， 根据题意得：102﹣4（10﹣2x）•（10﹣2x）＝36， 即102﹣（10﹣2x）2＝36， 整理得：（10﹣2x）2＝100﹣36， 故选：A． 6．【解答】解：若设门的宽度为x尺，则长竿为（x+4）尺，门的高为（x+2）尺， 由勾股定理得：（x+2）2+x2＝（x+4）2，故选项A不符合题意； 若设长竿为x尺，则门的宽度为（x﹣4）尺，门的高为（x﹣2）尺， 由勾股定理得：（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2，故选项D不符合题意，选项B符合题意； 若设门高为x尺，则门的宽度为（x﹣2）尺，长竿为（x+2）尺， 由勾股定理得：x2+（x﹣2）2＝（x+2）2，故选项C不符合题意； 故选：B． 7．【解答】解：设2023年到2025年的年平均增长率为x， ∵2023年旅游总收入为100亿元，经过两年增长后2025年总收入为121亿元， ∴可列方程为100（1+x）2＝121， 两边同除以100得（1+x）2＝1.21， ∵增长率为正数， ∴1+x＝1.1， 解得x＝0.1＝10%， 即年平均增长率为10%， 故选：A． 8．【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴，， ∴t＝1+1＝2，故结论①正确； ∵k＝2，t＝1， ∴， ∴， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，故结论②正确； ∵k＝1，c＝1， ∴， ∵， ∴， 根据三角形三边关系列不等式组： ， ∵c＝1，， ∴，恒成立， ∴，解得b＜6， ∴，解得b＞2， ∴2＜b＜6， ∵，t随b的增大而增大， ∴， ∴5＜t＜11，故结论③正确． ∵a，b，c为连续整数，a＜b＜c， ∴设a＝n，b＝n+1，c＝n+2（n为正整数）， ∵k＝1， ∴， ∵，且三角形三边满足a+b＞c， ∴， 解2n+1＞n+2，得n＞1， 解， ∵n+2＞0， ∴3（2n+1）≤5（n+2）， ∴6n+3≤5n+10， ∴n≤7， ∴1＜n≤7， ∵n为正整数， ∴n＝2，3，4，5，6，7，共6个取值， ∴满足条件的三角形个数为6， ∴结论④正确． 综上，①②③④全部正确， 故选：D． 9．【解答】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x， 则：2025年平均每公顷产量为7000（1+x）•（1+x）＝7000（1+x）2kg， 又∵2025年平均每公顷产量为8470kg， ∴可列方程为7000（1+x）2＝8470． 故选：B． 10．【解答】解：由题意得：（3.5﹣2x）（2.5﹣2x）＝8， 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：根据题意得：300（1+x）2＝507． 故答案为：300（1+x）2＝507． 12．【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532， 整理，得x2﹣35x+34＝0． 解得，x1＝1，x2＝34． ∵34＞30（不合题意，舍去）， ∴x＝1． 答：小道进出口的宽度应为1米． 故答案为：1． 13．【解答】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场， 根据题意列出方程得：45， 整理，得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意舍去）， 所以，这次有10队参加比赛． 答：这次有10队参加比赛． 14．【解答】解：∵三角形相似对应边成比例． ∴， ∵y＝2． ∴x2﹣2x﹣4＝0 解得：x＝1（舍去），x1． 故答案为：1． 15．【解答】解：设x秒后P、Q两点相距25cm， 则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm， 由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252， 解得x1＝10，x2＝0（舍去）， 则10秒后P、Q两点相距25cm． 故答案为：10． 三．解答题（共4小题） 16．【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为x m可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得 x（25﹣2x+1）＝80， 化简，得x2﹣13x+40＝0， 解得：x1＝5，x2＝8， 当x＝5时，26﹣2x＝16＞12（舍去），当x＝8时，26﹣2x＝10＜12， 答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m． 17．【解答】解：（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6 （5﹣x）×2x＝6 整理得：x2﹣5x+6＝0 解得：x＝2或x＝3 答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2 （2）当PQ＝5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2＝PQ2， ∴（5﹣t）2+（2t）2＝52， 5t2﹣10t＝0， t（5t﹣10）＝0， t1＝0（舍弃），t2＝2， ∴当t＝2时，PQ的长度等于5cm． （3）设经过x秒以后△PBQ面积为8， （5﹣x）×2x＝8 整理得：x2﹣5x+8＝0 Δ＝25﹣32＝﹣7＜0 ∴△PQB的面积不能等于8cm2． 18．【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x， 根据题意得：400（1﹣x）2＝361， 解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为5%． （2）361×（1﹣5%）＝342.95（万元）． 答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元． 19．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∴Δ＝0，即m2﹣4（）＝0， 整理得：（m﹣1）2＝0， 解得m＝1， 当m＝1时，原方程为x2﹣x0， 解得：x1＝x2＝0.5， 故当m＝1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5； （2）把AB＝2代入原方程得，m＝2.5， 把m＝2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1＝0，解得x1＝2，x2＝0.5， ∴C▱ABCD＝2×（2+0.5）＝5 学科网（北京）股份有限公司 $