专题06 二次根式及性质的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法-题型归纳-压轴挑战”为框架，系统提炼二次根式定义、性质及综合应用的解题方法，构建从概念到复杂问题的逻辑链条，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1（含特征/方法/易错）|双重非负性应用、√(a²)=|a|化简法则、运算步骤|概念生成：从定义到性质，明确核心原理| |题型归纳|4类（每类1典例+3变式）|定义求值：被开方数≥0；有意义条件：不等式组求解；性质化简：平方因子分解+符号判断；复合根式：配方法/设元法|性质应用：从基础到综合，覆盖单一到复合问题| |压轴挑战|15题（选择/填空/解答）|综合应用：跨知识结合（分式/方程/数轴）、复杂化简技巧|拓展提升：对接中考命题趋势，突破思维上限|

专题06 二次根式及性质的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用二次根式的定义求字母的值 题型二、根据二次根式有意义求值 题型三、根据二次根式的性质化简二次根式 题型四、复杂的复合二次根式化简 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及二次根式概念、非负性、化简、比较大小及运算，常与分式、方程结合考查。 - 解题方法：使用双重非负性（≥0, a≥0）；化简利用=|a|及积商算术平方根性质；运算时先化最简再合并同类二次根式。 - 易错提醒：忽视a≥0致定义域出错；=a误写（应为 |a|）；化简时未将根号内因式分解完全；分母有理化漏乘共轭式。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用二次根式的定义求字母的值 典例1 （25-26八年级下·天津西青·期末）已知是整数，则正整数的最小值为____________． 【答案】4 【详解】解：是正整数，是整数， 是完全平方数， ∵大于的最小完全平方数是， ∴， 解得． 题型模版 1.特征：二次根式被开方数需为非负数，含字母时需满足该条件，求取值范围或值。 2.方法：令被开方数≥0，解不等式得范围；若多个二次根式且和为0，则各被开方数均为0。 变式1-1（2026·云南·二模）若是整数，则的值可以是_______（写出一个即可） 【答案】20（答案不唯一） 【分析】根据二次根式的定义，若为整数，则被开方数必须是非负的完全平方数，据此即可求出的一个符合条件的值． 【详解】解：是整数， 是非负的完全平方数， 设，其中为非负整数， 整理得， 取，得． 变式1-2（25-26八年级下·北京·期中）若是整数，则正整数可能取值（写出一个即可）________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设为正整数，将等式平方整理得到关于的表达式，根据为正整数，即可找出符合条件的的取值． 【详解】解：设，其中为正整数， 等式两边平方得：， 整理得：， 为正整数， 为正整数，且为的倍数， 令，得，是正整数，符合题意， 正整数可能取值为（答案不唯一）． 变式1-3（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）已知二次根式是整数，则自然数a的所有可能结果为________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合是整数，得到为不超过的非负完全平方数，计算即可得到自然数的所有可能结果． 【详解】解：二次根式有意义， ， 即， 是自然数，是整数， 为不大于的非负完全平方数， ∵不大于的非负完全平方数为 ∴当时，，符合要求； ∴当 时，，符合要求； ∴当 时，，符合要求； 若 ，则，不是自然数，舍去； ∴自然数a的所有可能结果为． 题型二、根据二次根式有意义求值 典例2 （25-26八年级下·全国·暑假作业）若，则________． 【答案】 【分析】根据表达式中包含二次根式，根号下的被开方数必须是非负数，求出，进而求出，再进行计算即可． 【详解】解： 根据二次根式有意义的条件可知， 让和有意义 ∴且， 解得和， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：二次根式在实数范围内有意义，被开方数必须非负，有时还涉及分式分母不为0。 2.方法：列出被开方数≥0的不等式（组），解集即为取值范围，再代入求相关值。 变式2-1（25-26八年级下·江苏扬州·期末）若实数x、y同时满足，则的值为________． 【答案】/0.2 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可求出y的值，再计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴． 变式2-2（25-26八年级下·辽宁营口·阶段检测）若，则______． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性，列不等式组，确定的值，然后代入代数式中计算的值，最后计算． 【详解】解：∵， ∴ 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴， 将代入原式求： ∴． 变式2-3（24-25八年级下·四川绵阳·期中）已知有理数，满足，则的算术平方根是___________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的非负性、解一元一次方程以及代数式的化简与求值，由二次根式的非负性得出的值，进而求出的值，再将，的值代入即可求出． 【详解】解：由二次根式的非负性可知，解得， ， ， 解得， ． 题型三、根据二次根式的性质化简二次根式 典例3 （25-26八年级下·四川德阳·期末）当时，化简：________． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴． 题型模版 1.特征：利用√(a²)=|a|及乘法法则，将二次根式化为最简形式，需判断a的符号。 2.方法：先分解被开方数为平方因子与非平方因子，提出平方因子，注意开方后带绝对值，再合并同类二次根式。 变式3-1（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）把中根号外的移入根号内得________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的符号，再将根号外的因式移入根号化简，注意保留符号． 【详解】解：∵ 二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0， ∴， ∴，即， ∴原式 ． 变式3-2（25-26八年级下·山东烟台·期末）化简下列各式： (1)． (2)已知，，为的三边长，化简代数式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，进而确定的符号，然后根据二次根式的性质和绝对值的意义化简即可； （2）首先根据构成三角形的条件判断被开方数的底数的符号，进而利用化简即可． 【详解】（1）解：∵二次根式有意义， ， 解得． ． ； （2）解：，，为的三边长， ，， 即，． ． 变式3-3（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点间的距离公式确定的值，再代入，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算即可； （2）根据已知条件和绝对值与偶次方的非负性，列出关于、的方程，解方程求出、，继而得到的值，再根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点表示，且一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为， ∴， ∴ ； （2）∵与互为相反数，，， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是． 题型四、复杂的复合二次根式化简 典例4 （25-26八年级下·广东珠海·期末）阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例题： 【解决问题】 (1)仿照例题补充完整： ___________________________=_________=_________; (2)根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 【答案】(1)，, (2)①；② 【分析】主要利用完全平方公式将被开方数变形，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）略 （2）解：①原式 ； ②原式 ． 题型模版 1.特征：被开方数含多个根号（双重根号），需配成完全平方式或设元化简。 2.方法：尝试将内部配成(a±b)2形式，或设=+，平方后对比系数求m、n。 变式4-1（25-26八年级下·重庆·期中）东东在学习完二次根式后，发现一些含二次根式的式子可以写成另一个式子的完全平方，如式子，东东继续探究：设（其中，，，均为正整数），即有，则可得，东东就找到了把写成一个完全平方式的方法．根据以上信息完成下列问题： (1)若，，，均为正整数，，请用含，的式子分别表示，； (2)若（其中，，均为正整数），求所有满足条件的数； (3)化简：________．（将结果直接填写在答题卡上） 【答案】(1)， (2)所有满足条件的有,,； (3) 【分析】（1）依照例题求解即可； （2）由（1）的结论知，求得，根据，均为正整数，分情况讨论即可求解； （3）利用完全平方公式求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，； （2）解：∵， 由（1）的结论知， ∴， ∵，均为正整数， ∴的正整数解有，，或，或，； 当，时，，此时； 当，时，，此时； 当，时，，此时； 综上，所有满足条件的有,,； （3）解：， ∵， ∴． 变式4-2（25-26八年级下·山东聊城·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)a的值为8或16． 【分析】（1）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （2）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （3）将等式右边展开，根据对应项系数相等，结合、为整数的条件，求出、的值，进而求出的值． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ； （3）解：∵，， ， ∵、均为整数，且， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴或． 变式4-3（25-26八年级下·广西南宁·期末）【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 (3)如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 【答案】(1)①， ；② ， (2)，． (3)45 【分析】（1）对照完全平方公式，拆分根号外的整数为两个正整数的和，根号内的数为这两个正整数的乘积，匹配公式结构补全内容； （2）将等式右侧利用完全平方公式展开，对应等式左侧的有理部分和带根号部分，分别得到、的表达式； （3）因为正方形面积是边长的平方，所以先将两个已知正方形的面积化为完全平方形式，求出两个正方形的边长；再观察图形得出正方形的边长为两个小正方形边长之和，最后利用完全平方公式计算正方形的面积。 【详解】（1）① ； ② ． （2）解： 通过比较等式两边的有理部分和无理部分，可得： ，． （3）解：根据题意，正方形的面积为 。 ， 边长 (cm)。 正方形的面积为 ， 边长 (cm)。 由图可知，正方形 ABCD 的边长 ， 正方形 的面积为 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级下·河北唐山·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】若最简二次根式的结果为整数，则被开方数是完全平方数，先化简原式，再据此求最小正整数n． 【详解】解：∵，是整数，是正整数， ∴为整数，即是完全平方数， 当时，，是完全平方数，满足条件， ∴正整数的最小值为． 2．（2026·江苏苏州·模拟预测）若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件结合二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 3．（25-26八年级下·广东广州·期末）实数，在数轴上的位置如图所示，化简（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴判断、的大小关系，确定的符号，利用二次根式的性质及绝对值的性质进行化简． 【详解】解：由数轴可知． ∴ ∴． 4．（25-26八年级下·广东汕头·期中）已知，则的值为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，先求出的值，再代入计算得到的值，最后求出的结果即可． 【详解】∵二次根式中被开方数为非负数， ∴，， 即：， 解得 ， 将代入，得， ∴ ． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·江苏南京·期末）若，则_______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 7．（25-26八年级下·湖北·期中）已知是整数，写出一个符合题意的自然数n的值：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次根式的定义，先确定被开方数的取值范围，再结合是整数，得到为不大于18的非负完全平方数，即可求出符合题意的自然数． 【详解】解：根据二次根式的定义，得， 解得， 是自然数，是整数， 为不大于18的完全平方数，到之间的完全平方数有， 当时，，符合题意． 8．（25-26八年级下·山东淄博·期中）若x，y为实数，且，求______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴原式． 9．（25-26七年级下·上海·期末）已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则___________． 【答案】 【分析】由数轴可得，，从而可得，，，再结合二次根式的性质、绝对值的性质化简即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴ ． 10．（25-26八年级下·江苏泰州·期末），像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 【答案】 【分析】观察题目给出的复合二次根式，构造完全平方的方法化简即可． 【详解】解：． 三、解答题 11．（25-26八年级下·广东惠州·期末）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得． ， 原式． 【启发应用】按照上面的解法，试化简（结果保留）； 【答案】 【分析】根据例子找出隐含条件，求出的取值范围，再根据算术平方根和绝对值的非负性，对原式进行化简． 【详解】解：， ∵隐含条件，解得， ∴， 原式． 12．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算求值： (1)已知a，b为实数，且，求a，b的值． (2)已知实数m满足，求的值． 【答案】(1)， (2)2025 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是正确解答的关键． （1）根据二次根式有意义的条件可得出的值，再根据非负数的和为0得出的值即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得的取值范围，再根据绝对值的定义将原式化为，两边平方即可． 【详解】（1）解：（1）和均有意义， 且， 即且， ， 当时，， 可得， ，即， ，； （2）有意义， ， ， 因此，可变为， 即， ， 即， 的值是2025． 13．（25-26八年级下·吉林松原·期中）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． (1)例：已知，求的值． 解：由得，_____，_____，_____； (2)尝试应用 若为实数，且，化简： (3)拓展创新 ①已知，求的值． ②已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】(1)2022，2023， (2)1 (3)①；② 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （3）①根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，然后代入即可求解； ②由数轴得，得到，，然后化简求解即可． 【详解】（1）解：由得，， ∴， ∴； （2）解：由，得， ∴， ∴； （3）解：①由，得， ∴， ∴； ②由数轴得， ∴， ∴ ． 14．（25-26九年级下·山东烟台·期中）先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： 小莉的计算过程如下： (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析 (2) (3)2026 【分析】（1）根据二次根式的性质结合小明与小莉的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可； （3）利用（2）的化简方法化简计算即可． 【详解】（1）解：小莉的化简结果正确，理由如下： ∵ （2）解： （3）解： ． 15．（25-26八年级下·广东江门·期中）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如：，则．进一步化简双重二次根式，如． 材料二：在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 根据材料解决下列问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数（），点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义填空即可； （2）将原式转化为，结合完全平方公式，以及二次根式的性质即可解答； （3）将转化为，结合的范围求出，然后再根据“横负纵变点”的定义即可知道答案． 【详解】（1）解：∵中，， ∴点的“横负纵变点”为； ∵中，， ∴点的“横负纵变点”为； （2）解：； （3）解：∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，点是点M的“横负纵变点”， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06二次根式及性质的四类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用二次根式的定义求字母的值 题型二、根据二次根式有意义求值 题型三、根据二次根式的性质化简二次根式 题型四、复杂的复合二次根式化简 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：涉及二次根式概念、非负性、化简、比较大小及运算，常与分式、方程结合考查。 -解题方法：使用双重非负性(Va≥0，a≥0)；化简利用a2=a及积商算术平方根性质：运算时先化最简 再合并同类二次根式。 -易错提醒：忽视≥0致定义域出错：√a=a误写（应为a)；化简时未将根号内因式分解完全；分母有 理化漏乘共轭式。 夙题型归纳—一精讲夹型通法，赤尖解题报基 题型一、利用二次根式的定义求字母的值 典例1(25-26八年级下·天津西青·期末)已知Vn+5是整数，则正整数n的最小值为」 题型模版 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：二次根式被开方数需为非负数，含字母时需满足该条件，求取值范围或值。 2方法：令被开方数≥0，解不等式得范围；若多个二次根式且和为0，则各被开方数均为0。 变式1-1(2026云南二模)若√20-n是整数，则n的值可以是 (写出一个即可) 变式1-2(25-26八年级下·北京期中)若5+4n是整数，则正整数n可能取值（写出一个即可） 变式1-3(25-26八年级下·陕西安康阶段检测)已知二次根式√7-a是整数，则自然数a的所有可能结果 为 题型二、根据二次根式有意义求值 典例2 (25-26八年级下全国暑假作业)若y=V2-4+x-+4x-2,则x+)6- 题型模版 1.特征：二次根式在实数范围内有意义，被开方数必须非负，有时还涉及分式分母不为0。 2方法：列出被开方数≥0的不等式（组），解集即为取值范围，再代入求相关值。 变式21(25.26八年级下江苏扬州期末)若实数、y同时满是=5-玉+--1，则的值为 变式22(25-26八年级下辽宁营口阶段检0)若"=-3+、6-2-4，则x+列m- 变式2-3(2425八年级下四川绵阳期中)已知有理数a,b满足Va-5+3V10-2a=ab+2,则a+5b的 算术平方根是 题型三、根据二次根式的性质化简二次根式 典例3 (25-26八年级下四川德阳期末)当2<x<4时，化简：k-4+x-2- 题型模版 1.特征：利用√(a2)月a及乘法法则，将二次根式化为最简形式，需判断a的符号。 2/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：先分解被开方数为平方因子与非平方因子，提出平方因子，注意开方后带绝对值，再合并同类二 次根式。 变式3-1(25-26八年级下江苏扬州阶段检测)把 a-1) a-1中根号外的(a-)移入根号内得」 变式3-2(25-26八年级下山东烟台期末)化简下列各式： o-2y-1- (②已知a,b,C为△1BC的三边长，化简代数式Va+b-cy+b-a- 变式3-3(25-26八年级上：广东佛山·期中)如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B， 点表示 V2,设点B所表示的数为m 求m++m-l旷的值： ②在数轴上还有C、D两点分别表示实数°和4，且有2c+6与-4互为相反数，求2c+3d的平方根 题型四、复杂的复合二次根式化简 典例4(25-26八年级下·广东珠海期末)阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根 号 例题： V3+2W2=V2+2W2+1=V(W2)}+2×√2x1+1P=V(W2+1)2=V2+1 【解决问题】 (1)仿照例题补充完整： V5+2W6=V3+26+2= (2)根据上述思路，试将下列各式化简： 3/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7+2Vi0 ②V9-45 题型模版 1.特征：被开方数含多个根号（双重根号），需配成完全平方式或设元化简。 2,方法：尝试将内部配成(atb}形式，或设√a+Vb-Vm+n,平方后对比系数求m、n。 变式41(25-26八年级下重庆期中)东东在学习完二次根式后，发现一些含二次根式的式子可以写成另 -个式子的完全平方，如式子7+45-2+，东东维续探究：设a+56-(m+3m(其中a,b, a=m2+3n2 m,n均为正整数)，即有a+V3b=m2+3n2+2√3mm,则可得b=2mn,东东就找到了把a+√b写 成一个完全平方式的方法.根据以上信息完成下列问题： 若a,,x,y均为正整数.a+56-(+5,请用含x,y的武子分别表示a,b: (2若M=a+85=(x+5y) (其中a,x,y均为正整数)，求所有满足条件的数M: (3)化简： V7-2W10= (将结果直接填写在答题卡上) 交式42(25-26八年级下山东聊城期中)有这样一类题目：将0+2,6化简，如果你能找到两个数”、 n,使m2+=a且m=5,则将a+2b变成m2++2m,即变成m+m,从而使得Va+26得以 化简. 例如：5+26=3+2+26=(5°+2+225=(5+2列 8+2w万=1+7+27=(W+万+2i7=(i+7j=+v7) (①请仿照上例化简：12+235。，9+4N5= 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)请运用上述方法化简V1-230 (写出计算过程) 若a+2店=(m+回，且a、m、n均为整数，求u的值。 变式43(25-26八年级下·广西南宁·期末)【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方.如： 5+26=(2+3)+22x3=(V2+3+2x2x5=(2+w5j 7-210=(2+5)-22x5=(2)+(5-22×5=(V2-V5)月 【类比归纳】 4-25=0+-23=+(）2x1x5-( (1) @10+227I=C+)5: ②若a+26=-(Vm+,当a,hm,n均为正整数时，用含m,n的式子分别表示a,b,得a= b= 【拓展提升】 (3)如图，正方形DHFM的面积为 8-25)em,正方形BEFG的面积为23+4wiSm,求正方形 ABCD的面积. ◆◆ 同压轴桃战一支克高难压轴，突成思维上保 一、单选题 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8n 1.(25-26八年级下河北唐山期中)已知“是整数，则正整数n的最小值为() A.8 B.6 C.4 D.2 2.(2026江苏苏州模拟预测)若x<0,则化简V-xy 的结果是() A.xvxy B x-xy CxV-xy D xVxy 3.(25-26八年级下广东广州期末)实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简V(a-b)=（) b A.a+b B.-a-b C.a-b D.-a+b 4.(2526八年级下广东酒头期中)已知)=-3+3-+1，则-y的值为《() A.-2 B.+2 C.2 D.√2 5.(25-26八年级下全国课后作业)已知a,b为有理数，且满足a+b5=2-63,则a-b等于( A.-2 B.-4 C.2 D.4 二、填空题 6.（25-26八年级下江苏南京期末)若a<0,则N匠-a 7.(25:26八年级下湖北期中)已知18- 是整数，写出一个符合题意的自然数的值： + 5 8(2526八年级下山东淄博期中)若，y为实数，且y=r+4红1+2，求网-x+y+ 9.(25-26七年级下·上海期末)已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则 Va-a+b+y(a-c)+b+c= 6/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 之 a 10。(25-26八年级下江苏泰州期末)4-2596-6…，像这样的根式叫做复合二次根式.有 一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如V4+2V3=V3+23+1= (5+2×3x1+12 =(5+1-5+1,用上述方法可以将复合二次根式1-2w30化简为 三、解答题 11.(25-26八年级下·广东惠州：期末)阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题. (W2-3x)2-1-x 化简： 解：险含条件2-3≥0，解得x≤子 3 1-x>0 ÷原式=2-3-(-刘=2-3x-1+x=1-2x 【肩发应用】按照上面的解法，试化简x--(3-《结果保留)； 12.(25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中)计算求值： ①四已知a,b为实数，且4-2a+2a-2=b2-8 ,求a,b的值. 2024-m+Vm-2025=m (2)已知实数m满足 求m-2024 的值。 13.(25-26八年级下·吉林松原·期中)问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空. y (10例：已知y=V2022-x+Vx-2022+2023,求的值. 「2022-x≥0 解：由x-2022≥0得，x=,“y=一，“x (2)尝试应用 1-y 若x,y为实数，且y>√x-3+√3-x+2,化简：y-司 7/9 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)拓展创新 ①已知7=vm-10+V20-2m+7+m 求m-”的值。 ②已知实数a,b在数轴上的对应点如图所示，化简匠-l-d+-b 01 14.(25-26九年级下·山东烟台期中)先阅读再求值， 在计算V7-20 的过程中，小明和小莉的计算结果不一样 小莉的计算过程如 小明的计算过程如下： 下： V7-210 V7-210 =2-22x5+5 =V2-2W2×5+5 =√2-2V2×5+5 =V2列-22x5 -V2-5 =2-5 =2-5 -5-2 ()请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算： V3+2W2 (3)计算： V3-2V2+V5-2W6+V7-212++V4053-2W2026×2027×V2027+1) 15.(25-26八年级下广东江门·期中)材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.如： a±2ab+b2=(a±b)}2 则0±2ab+=a±.进一步化简双重二次根式，如 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V7+2i而=5+2x5x2+(2=5+2=5+2=5+2 二：在平面直角坐标系xOw中，对于点Px,y)和0(xy)给出如下定义，若y=(x≥ -y(x<0),则称点 为点P的“横负纵变点”·例如：点32 ）的“横负纵变点”为82），点25 的“横负纵变点”为 （-2,-5) 根据材料解决下列问题： ①点人5，)的“横负纵变点”为一，点35，-2列的“横负纵变点”为 (2)化简： V30+621 ⑧已短a为东数1sa32点M(及，叫且m=方a+2a+a-2a司.点w足点的获 负纵变点”，则点M'的坐标是 9/9