专题2.3 二次根式 《知识解读·题型专练》2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以概念-性质-运算-应用为逻辑主线，覆盖13类基础与综合题型，突出二次根式知识体系的递进式构建。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与条件|2题型|判断二次根式及有意义的取值范围|概念生成基础，培养抽象能力| |性质与化简|1题型|利用性质化简，结合数轴情境|性质推导核心，发展几何直观| |乘除运算|3题型|单一及混合乘除运算|运算技能提升，强化运算能力| |最简与同类|2题型|判定及合并条件|概念深化，构建知识关联| |加减与混合|2题型|加减及混合运算|综合运算应用，培养推理意识| |化简求值与应用|2题型|先化简再代入求值及实际问题|知识迁移实践，体现应用意识| |分母有理化|1题型|平方差法等有理化技巧|方法拓展延伸，发展创新意识|

专题2.3 二次根式（专题训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 题型·1…二次根式的概念 1 题型·2…二次根式有意义的条件 3 题型·3·利用二次根式的性质化简 4 题型·4·二次根式的乘法运算 6 题型·5.二次根式的除法运算 9 题型·6·二次根式的乘除法运算 11 题型·7·最简二次根式的判定 14 题型·8·同类二次根式的相关概念 15 题型·9·二次根式的加减运算 17 题型 10·二次根式的混合运算 18 题型 11·二次根式的化简求值 20 题型·12·二次根式的实际应用 22 题型 13·分母有理化 25 题型·1…二次根式的概念 1．下列各式不是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，二次根式根指数为2，通常省略不写.判断各选项是否符合定义要求，即可得出答案. 【详解】解：A.是二次根号下的式子，形式符合二次根式定义，是二次根式； B.，根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C.的根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的定义，不是二次根式； D.，根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式. 2．下列式子中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件，根指数为2，且被开方数为非负数，据此逐一分析选项即可. 【详解】解：二次根式的定义为，形如的式子是二次根式. ∵ 选项A中式子根指数为3，属于三次根式，不满足二次根式定义，∴ A错误. ∵ 对任意实数，都有，∴ ，该式子根指数为2且被开方数恒为正，满足二次根式定义，∴ B正确. ∵ 选项C中被开方数，式子无意义，∴ C错误. ∵ 当时，无意义，不满足二次根式要求，∴ D错误. 3．下列是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解： A、被开方数，∴不是二次根式，故该选项不符合题意； B、的符号不确定，当时，被开方数为负数，∴不是二次根式，故该选项不符合题意； C、对任意实数，都有，∴ ，被开方数恒为非负数，∴ 是二次根式，故该选项符合题意； D、当时，，被开方数为负数，∴不是二次根式，故该选项不符合题意； 4．下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先明确二次根式的定义，二次根式需要同时满足两个条件：根指数为2，且被开方数（式）为非负数，再逐个判断各式得到二次根式的个数． 【详解】解：①是二次根式； ②在中，由于a的取值未定，不能保证被开方数为非负数，故不是二次根式； ③是二次根式； ④不是二次根式； ⑤不是二次根式； 综上，符合要求的二次根式共2个，故选B． 题型·2…二次根式有意义的条件 5．若二次根式有意义，则x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题思路是根据二次根式被开方数为非负数列不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，有意义， ∴， 解不等式得 ． 6．下列选项中的数能使二次根式无意义的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式无意义要求被开方数小于，据此列式计算，得出，结合选项的数值进行分析，即可作答． 【详解】解：∵二次根式无意义， ∴， 解得， 观察四个选项的数值，唯有符合题意． 7．要使有意义，则实数x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：要使有意义，则， ∴. 8．已知实数、满足 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）求出a的值，再代入计算得到b的值，最后求出即可． 【详解】解：∵二次根式中被开方数为非负数， ∴不等式组， 解得且， ∴， 将代入得， ∴． 题型·3·利用二次根式的性质化简 9．计算：（     ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【详解】解：． 10．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴得出，则，，再化简二次根式，计算整式的加减即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ ． 11．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件结合二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 12．如图，数轴上点表示的数是，化简为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，则， ∴． 13．若，则化简的结果是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题先利用完全平方公式对根号内多项式配方，再根据二次根式性质转化为绝对值式，最后结合的取值范围去掉绝对值符号合并计算即可． 【详解】解：，， 原式， ， ，， 去掉绝对值化简得，． 14．实数，在数轴上的位置如图所示，化简（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴上点的位置确定、的取值范围，进而判断、、的正负，利用绝对值和二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴可知：，． ，，． 原式 ． 题型·4·二次根式的乘法运算 15．计算的结果是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，利用二次根式乘法法则，先合并被开方数相乘，再化简得到结果． 【详解】解：根据二次根式乘法法则可得 ． 16．计算的结果为_________． 【答案】 【详解】解： . 17．计算___________． 【答案】 【分析】根据二次根式乘法法则计算即可得出答案． 【详解】解： ． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算二次根式的乘法以及化简二次根式，即可解答； （2）先计算二次根式的乘法以及化简二次根式，即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法运算法则． （1）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可； （2）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可； （3）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可； （4）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）原式 ． 题型·5.二次根式的除法运算 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的除法法则计算即可； （2）先将带分数化为假分数，再根据二次根式的除法法则计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 21．计算： 【答案】 【详解】解： ． 22．计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的除法运算． （1）直接计算二次根式的除法即可； （2）直接计算二次根式的除法即可； （3）直接计算二次根式的除法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 23．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，熟记运算法则是关键. （1）根据二次根式的除法法则计算即可， （2）根据二次根式的除法法则计算即可， （3）根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 题型·6·二次根式的乘除法运算 24．计算：． 【答案】 【详解】解：． 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题各小题根据二次根式的乘法和除法运算法则进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 26．运算能力计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 27．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则． （1）先化简，再根据二次根式乘除法法则计算即可得答案； （2）先化简各二次根式、将除法转化为乘法，再计算乘法即可； （3）先将二次根式化简，然后计算乘除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型·7·最简二次根式的判定 28．下列是最简二次根式的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的判定标准：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵，，， ∴选项均不是最简二次根式， 选项的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． 29．下列根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式满足两个条件：①被开方数是整数或整式；②被开方数不能再开方，再进一步分析即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确． 30．下列各式中属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式需同时满足两个要求：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：选项， 的被开方数是分数，含有分母，可化简为，不属于最简二次根式； 选项，的被开方数是整数，且不存在能开得尽方的因数，属于最简二次根式； 选项，，其中是能开得尽方的因数，可化简为，不属于最简二次根式； 选项，的被开方数中是能开得尽方的因式，可化简为，不属于最简二次根式． 31．下列根式，，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； 的被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，的被开方数含分母，不是最简二次根式； 所以最简二次根式共2个，故A选项符合题意． 题型·8·同类二次根式的相关概念 32．下列式子中和是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式； 【详解】解：是最简二次根式，被开方数为； A选项：是最简二次根式，被开方数为，，不符合要求； B选项：，化简后为整数，不符合要求； C选项：是最简二次根式，被开方数为，，不符合要求； D选项：，最简二次根式的被开方数为，与的被开方数相同， 和是同类二次根式； 33．下列二次根式中，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能与合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式指化简为最简二次根式后，被开方数与的被开方数相同，因此将各选项化为最简二次根式后判断即可． 【详解】解：选项A中是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，故不能合并； 选项B中，化简后被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式，可以合并； 选项C中，化简后被开方数为，与被开方数不同，故不能合并； 选项D中，不含被开方数为的二次根式，故不能合并． 34．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程即可求解a的值． 【详解】解：最简二次根式与能够合并 与是同类二次根式， 解得：． 35．如果与可以合并，那么正整数的最小值是（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式（可合并二次根式）的定义，先化简，再根据同类二次根式的定义求的最小正整数值即可． 【详解】解：∵，与可以合并， ∴正整数的最小值是． 36．已知m为正整数，如果与是同类二次根式，那么m的最小值是（    ）． A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，利用二次根式的性质化简，解题的关键在于正确掌握同类二次根式定义． 根据同类二次根式需化简后根号内部分相同．先将化简为，则需可化为（k为正整数）形式，即m需为3乘以一个完全平方数．求m的最小值，即取最小完全平方数1，进而即可得到m的最小值． 【详解】解：∵， ∴ 化简后根号内部分为3． ∵ 与是同类二次根式， ∴ 可化为（k为正整数），即． 当时，为最小值． ∴ m的最小值为3． 故选：B． 题型·9·二次根式的加减运算 37．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算，性质解答即可； 【详解】解：原式； 38．计算：． 【答案】 【分析】先化简，再去括号，最后合并，即可求解． 【详解】解： ． 39．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 40．计算： 【答案】 【详解】解：原式. 题型 10·二次根式的混合运算 41．计算：． 【答案】 【分析】直接运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 42．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 43．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 44．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型 11·二次根式的化简求值 45．先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解： ， 当时，原式． 46．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 47．先化简，再求值． 已知，，求： (1)的值； (2)的值 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴ ． 48．已知，． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)，1 (2)10 【分析】（1）直接把x，y的值代入进行计算即可； （2）将所求式变形得到，再把（1）中的，的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解： ． 题型·12·二次根式的实际应用 49．实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)刷涂料的面积为平方米 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长 （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解： （平方米） 答：刷涂料的面积为平方米． 50．海伦-秦九韶公式是利用三角形的三边长求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，． (1)______； (2)求的面积． 【答案】(1)8 (2)12 【分析】（1）根据题中公式求解即可； （2）根据海伦-秦九韶公式计算即可； 【详解】（1）解：在中，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴ ． 51．如图，有一个长方形，长为，宽为．准备在长方形上截下一块长，宽的小长方形（即图中阴影部分）． (1)求长方形的周长； (2)求剩余部分与长方形的面积差． 【答案】(1) (2)面积差为 【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解； （2）分别计算出长方形和的面积，用长方形的面积减去小长方形的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴长方形ABCD的周长为：． （2）解：由题可得：长方形的面积 长方形的面积为：， ∴剩余部分的面积为：， ， ∴面积差为． 52．有一块长方形木板，现将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形．求长方形木板的面积． 【答案】 【分析】关键是利用正方形面积求出边长，再根据边长与原长方形长、宽的关系列方程求解． 【详解】解： 正方形的面积为， 正方形的边长为， ， ， 又 四边形是正方形， ， ， ， 又， ， 长方形的面积为． 题型 13·分母有理化 53．【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到这种分母中含有无理数的式子． 【分析问题】对形如这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是这类式子无法直接计算，我们可以用之前所学乘法公式来解决． 【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算： 请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题： (1)计算：___________． (2)计算：； (3)求：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对原式进行分母有理化，分子分母同乘即可得到结果； （2）分子分母同乘，利用平方差公式化简即可得到结果； （3）先对原式每一项进行分母有理化，再抵消中间项计算最终结果； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：对任意正整数，对分母有理化得， 因此， ． 54．阅读下面材料： ； ； ； 请解决下列问题： (1)求的值； (2)计算（为正整数）的值； (3)利用上面的解法，请计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】通过分母有理化去掉分母中的根号，结合平方差公式化简； 类比的方法，用含的式子推导通用化简结果； 利用的结论裂项，通过抵消中间项简化求和运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 55．在学习二次根式的过程中，小明发现一些分母有理化的规律：对于，若，则．如：，，． 根据小明发现的规律，完成下列问题： (1) ， ． (2)若，则 ． (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接套用题目中的规律计算即可； （2）根据规律列等式求解； （3）先拆分每一项，再利用裂项相消法计算求和，中间项相互抵消后得到最终结果． 【详解】（1）解：对于，，可得， 根据题目规律得， 对于，，可得， 根据题目规律得； （2）已知，根据规律可得， 整理得，解得， 由二次根式的非负性可知， ∴； （3）根据题意可知，原式中每一项满足分子， 因此可得， ∴原式 ． 56．定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)2030 (3)4 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）根据新定义得到，再代入变形后的代数式求解即可. （3）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的定义得：关于1的“美好数”是； （2）解：∵y是关于4的“美好数”， ∴. ∴． （3）解： ． 57．黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，． 像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化． 解决问题： (1)的有理化因式是 ；将分母有理化得 ； (2)计算以下式子的值： 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据有理化因式的定义，利用平方差公式确定的有理化因式即可；根据分母有理化的方法，给的分子分母同乘，约分化简即可得到结果； （2）先对括号内的每一项进行分母有理化，转化为两个根式相减的形式，抵消中间项后得到，再与利用平方差公式计算，即可得到最终结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 的有理化因式是； ； （2）解：∵； ； ； ； ∴ ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 二次根式（专题训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 题型·1…二次根式的概念 1 题型·2…二次根式有意义的条件 2 题型·3·利用二次根式的性质化简 2 题型·4·二次根式的乘法运算 3 题型·5.二次根式的除法运算 3 题型·6·二次根式的乘除法运算 4 题型·7·最简二次根式的判定 5 题型·8·同类二次根式的相关概念 5 题型·9·二次根式的加减运算 6 题型 10·二次根式的混合运算 7 题型 11·二次根式的化简求值 7 题型·12·二次根式的实际应用 8 题型 13·分母有理化 10 题型·1…二次根式的概念 1．下列各式不是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列式子中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．下列是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型·2…二次根式有意义的条件 5．若二次根式有意义，则x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．下列选项中的数能使二次根式无意义的是（     ） A． B． C． D． 7．要使有意义，则实数x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．已知实数、满足 ，则（    ） A． B． C． D． 题型·3·利用二次根式的性质化简 9．计算：（     ） A． B．3 C． D．9 10．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 11．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 12．如图，数轴上点表示的数是，化简为（    ） A． B．2 C． D． 13．若，则化简的结果是（     ）． A． B． C． D． 14．实数，在数轴上的位置如图所示，化简（） A． B． C． D． 题型·4·二次根式的乘法运算 15．计算的结果是_____． 16．计算的结果为_________． 17．计算___________． 18．计算： (1)； (2)． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型·5.二次根式的除法运算 20．计算： (1)； (2)． 21．计算： 22．计算下列各式： (1) (2) (3) 23．计算： (1)； (2)； (3)． 题型·6·二次根式的乘除法运算 24．计算：． 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 26．运算能力计算： (1)； (2)． 27．计算： (1)； (2)； (3)． 题型·7·最简二次根式的判定 28．下列是最简二次根式的是（     ）． A． B． C． D． 29．下列根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 30．下列各式中属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 31．下列根式，，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型·8·同类二次根式的相关概念 32．下列式子中和是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 33．下列二次根式中，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 34．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 35．如果与可以合并，那么正整数的最小值是（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 36．已知m为正整数，如果与是同类二次根式，那么m的最小值是（    ）． A．2 B．3 C．6 D．8 题型·9·二次根式的加减运算 37．计算：． 38．计算：． 39．计算： (1)； (2)． 40． 计算： 题型 10·二次根式的混合运算 41．计算：． 42．计算： (1)； (2)． 43．计算： (1)； (2) 44．计算： (1)； (2)． 题型 11·二次根式的化简求值 45．先化简，再求值：，其中． 46．先化简，再求值：，其中． 47．先化简，再求值． 已知，，求： (1)的值； (2)的值 48．已知，． (1)求和的值； (2)求的值． 题型·12·二次根式的实际应用 49．实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 50．海伦-秦九韶公式是利用三角形的三边长求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，． (1)______； (2)求的面积． 51．如图，有一个长方形，长为，宽为．准备在长方形上截下一块长，宽的小长方形（即图中阴影部分）． (1)求长方形的周长； (2)求剩余部分与长方形的面积差． 52．有一块长方形木板，现将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形．求长方形木板的面积． 题型 13·分母有理化 53．【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到这种分母中含有无理数的式子． 【分析问题】对形如这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是这类式子无法直接计算，我们可以用之前所学乘法公式来解决． 【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算： 请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题： (1)计算：___________． (2)计算：； (3)求：的值． 54．阅读下面材料： ； ； ； 请解决下列问题： (1)求的值； (2)计算（为正整数）的值； (3)利用上面的解法，请计算：． 55．在学习二次根式的过程中，小明发现一些分母有理化的规律：对于，若，则．如：，，． 根据小明发现的规律，完成下列问题： (1) ， ． (2)若，则 ． (3)求的值． 56．定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 57．黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，． 像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化． 解决问题： (1)的有理化因式是 ；将分母有理化得 ； (2)计算以下式子的值： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $