专题04 二次根式的运算及规律、新定义型问题（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为逻辑主线，通过分层题型构建二次根式运算的方法体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|题型1-2（6题）|概念辨析法|从定义判断到同类识别，夯实抽象能力| |运算能力|题型3-4（9题）|分步运算法与有理化技巧|从法则应用到技巧提升，培养运算能力| |高阶应用|题型5-6（6题）|归纳推理与定义转化法|从规律探究到新情境迁移，发展推理意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 专题04二次根式的运算及规律、 内容概览 目常考题型精准突破 题型1最筒二次根式（重） 题型2同类二次根式（重) 题型3二次根式的混合运算（高频） 题型4二次根式中的分母有理化（高频） 题型5二次根式运算中的规律探究问题（难） 题型6二次根式运算中的新定义型问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1最筒二次根式 1.A 2.B 3.C ◆题型2同类二次根式 4.A 5.B 6.4 ◆题型3二次根式的混合运算 7 【答案】(1)3+26 (2)5-2V5 1/14 上好每一堂课 新定义型问题 可学科网·上好课 【详解】(1)解：V48÷V5+2 =483+2V5×30-1 =4+2W6-1 =3+2V6: (2)(5+25-2+5- =[（5-2][（5-25+1 =5-4+3-25+1 =5-23」 8. 【答案】(1)15 (2)10+2√15 (3)4+6 【详解】(1)解： √27xV50÷V6 =V27×50÷6 =√225 =15 (2)解：(5+5+(5-(3+ =[W3}+255+(5]H[(52-1P] =(3+215+5)+3-1) =8+2W15+2 =10+2V15 )解s5-亚+24 =v4=3-V512+26 =16-√6+26 =4+√6 www.zxxk.com (22+° 2/14 上好每一堂课 函学科网·上好课 9 【年】029 )235 6 (4)6V5-45 【详解】(1)解： -22+4W2-2 2 -9V2 2 27、2 (2)解：√8V3 18 272 ÷18 =83 =4 V-1s .18 2W2 4 www.zxxk.com 3/14 上好每一堂课 耐学科网·上好课 www.zxxk.com -16÷2+2x35 6 11V3 +2N5 6 =235 6 4解：(7+45)(7-43)-(35- =72-45-[35-65+1 =49-48-[45-65+1] =49-48-46+6V5 =65-45. ◆题型4二次根式中的分母有理化 10. 【答案】4)25 3’V7+6 (2)18 ).x=10i+1 100 22×V52W5 【详解】(1)解：53×3 1 √万+6 万+6=万+6： 7-6(7-6)7+67-6 a.a2不88习5-2,6-司 1×(W5-2） a2+b2=(W5-2+V5+2=5-45+4+5+45+4=18: 2x,2x 2x 2x ()解：+5+5+5+5+7++99+iol, 4/14 '+-E*e-sy (z+s)xI 盖系一母并丁 可学科网·上好课 www.zxxk.com 2x×(V5- 2x×(V5-5) 2xx(V7-5) 1+3)x3-1(W5+5)xW5-5(V5+7x(7-5 （99+ 2xx5-)2xx5-5),2x×小7-52x(o-网]1. 3-1 5-3 7-5 101-99 (5-x+(5-V5)x+万-5)x++1o1-9)x=1, 101-1x=1, √101+1√101+1 解得：x=101-(101-]101+可)100· 11. 【答案】()V2-1 (2)< (3)V2026-1 1 2-1=5-1-5-1. 【详解】(1)解：√2+1(2+1(2-)2-1 1 (2)解： Vi00-v99=i00-V99v100+99)_ √100+√99 V100+V99, √99-√98= (9-8)9+8） V99+V8 √99+√98 因为100+√9>√99+V8>0,分子相同，分母越大分数越小， 1 1 所以100+V99V99+V98,即100-V99<99-98: 1 Vn+i-/n (3)解：“n+1+n =√n+l-vn (n+i+n)(n+i-n) 1 1 1 1 2+1+5+5+4+5+…+2026+N2025 =√2-1+V5-√2+√4-V5+…+√2026-√2025 =√2026-1. 12. 【答案】(1)V3-√2 5/14 上好每一堂课 ×(101-9 iox(Vio1-列， 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)10 (3)12 5-√2 【详】山解：5*不5+2-万5-5 (2)解：原式=V2-1+V3-V2+4-5++21-20 =V121-1 =11-1 =10 1 (3)解：a= √10-3 =0+3, .a-3=V10 .(a-3)}=10. ∴a2-6a+11 =(a-3)+2 =10+2 =12. ◆题型5二次根式运算中的规律探究问题 13, 5 n+1 (2) (n+1)+ =(n+1) n+1 (n+1)2-1 (n+1)2-1; (3)24 .5 5 【详解】(1)解：由前面式子所展示的规律可得第4个等式：V5+24-5√4： n+1 (n+1)+ =(n+1) n+1 (2)解：由前面式子所展示的规律可得第个等式： (n+12-1 V(n+1)2-1: n+1 n+1 (3)解：由(2)中规律 (n+1)+ Vn+1-1可得： 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 12. 2+4×V3 12.143 =124=24 14. n2+2n+1 (n+1)）2 (2)证明：等式左边= =n+1 1 n+2 n+2 Vn+2 又n+1>0, =(n+1) n+2右边， ∴等式成立 (3)2024V3 故答案为： V-No 11=(n+0m+2 1 故答案为： n+- n+2 (2)略 1 (3)原式=2024 ×V3×2025 2025 =20245 15. 【答案】(1)①5：②100：(2)Vm2-2×n×1+P=Vn-1=m- 【详解】解：(1)由题意得 ①V62-2x6x1+1P=V5=5, ②V1012-2×101×1+12=V1002=100, 故答案为：5,100 7/14 上好每一堂课 1:(3)1012 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)第1个等式：P-2×1x1+P=V1-1=6=0: 第2个等式：V2-2×2x1+P=V(2-1=万=1： 第3个等式：32-2x3x1+P=V(3-1=V4=2 第4个等式：√42-2x4×1+P=V(4-1=9=3: 第5个等式：V52-2x5x1+1=V5-1=6=4: 出第n个等式：Vm2-2xmx1+下=V-=n-1, 故答案为：Vm2-2×nx1+1P=√(n-1}=n-1; (3)V1P-2x1x1+1P-V22-2×2×1+12+32-2×3×1+12-V42-2×4x1+1P+…+ V20232-2×2023×1+12-V20242-2×2024×1+12+√20252-2×2025×1+12 =0-1+2-3+4-5+…+2022-2023+2024 =(0-1)+(2-3)+(4-5)+…+(2022-2023)+2024 =-1+(-1)+(-1)+…+(-1)+2024 =-1012+2024. =1012 ◆题型6二次根式运算中的新定义型问题 16. 【答案】(1)m=3W2； (2)n=-8,m=4」 【详解】(1)解：由题意可得，m√2=6， .m=3W2: (2)解：由题意可得，(-5)(4+v3m)=n, 整理得，(5-3)m=4V5-4+n, 3m-3m=43-4+n, .m=4,-3m=n-4 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .m=4, .n=-8 17. 【答案】(1)93： (2)2: 【详解】(1)解：由题意可得， 48※75=V48+√75=43+55=9W5: (2)解：由题意可得， 3※2=V5-√2.8※12=V⑧+V12=2√2+25. :.(3※2)×(8※12)=(5-V2)×2(V3+2)=2. 18. 【答案】(1)此三角形是奇异三角形，理由见解析 (2)b=V2a 【详解】(1)解：此三角形是奇异三角形：理由如下： 22+(22)2=12=2×(N6)2, ∴△ABC是奇异三角形， (2)Rt△ABC中，∠C=90°， a2+b2=c2, .c>b>a, .2c2>b2+a2,2a2<b2+c2, :Rt△ABC是奇异三角形， 2b2=a2+c2, .2b2=a2+a2+b2, .b2=2a2, ∴.b=√2a, 综合攻坚·知能拔高 9/14 函学科网·上好课 一、单选题 1.D 2.B 3.A 4.C 5.c 二、填空题 6.2 7.4+2W7 8.92-8 4 9.66 10.√7+V2 三、解答题 11. 【答案】(1) 3W2 10 (2) 4+V6 【详解】(1)解：2V2×5 ÷5√2 =45x3 ÷5V2 4 =3÷5√2 3v2 10: a解：s5-5x+2网 =√48÷3- 512+26 =4-√6+26 =4+V6」 www.zxxk.com 10/14 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12. 【答案】(1)-2 (2)10 (3)3-25 【详解】(1)解：原式=3W2-2-3√2 =-2. (2)解：原式=26x6+455 =6+4V3÷V3 =6+4 =10. 3)解：原式-(-23+P-（5-(2 =4-2W3-1 =3-25. 13. 【答案】(1) ±5 (2) 9 【详解】(1)解：：最简二次根式V2a-3与v2-a是同类二次根式， .2a-3=12-a, .a=5, .a的平方根为±5： (2)解：a=5>2,18<45, :.（a*2)×(18*45)=(5*2)×(18*45) =(5-2)×i8+45) =(5-2)×32+35) =3(N5-2)x(V2+5) =3×(5-2) 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =9 14. 【答案】((n+i+n)(n+i-n)=l (2)9 (3)9-8<i8-17 【详解】(1)解：(Nn+1+Vn)(n+1-vn)=1(n为正整数). 1 1 (2)解：2++5+2+4+5+t N100+V99 √2-1 5-2 √4-5 √100-√99 2+1(2-可(5+2j3-2(4+34-可+不M00+9jM0-网 =(V2-1+(V3-2)++(100-99） =V100-1 =10-1 =9 (3解--s+,i-s=9 1 19+18 1 1 而19+⑧8+17' 19-V18<V18-17. 15. 【答案】(I)7+V2,n+7-√n (2)3 (3)V2027-1 5 【详解】(1)解：对于7-√2，a=7,b=2,可得a-b=7-2=5=m' 5 根据题目提律得万一V2V万+V2。 7 对于Vn+7+万，a=n+7,b=m,可得a-b=(n+7)-n=7=m, 7 根据题目规律得n+7+√n =n+7-n: 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 6=5-x,根据规律可得(V-=6, (2)已知15+x 整理得15-x2=6,解得x2=9, 由二次根式的非负性可知x之0， .x=3: (3)根据题意可知，原式中每一项满足分子2=(2k+1)-(2k-1), 因此可得2k+1+√2k- =√2k+1-√2k-1. :原式=(N5-)+(N5-)+(7-5)++(2027-2025) =V5-1+5-V5+V万-N5++2027-√2025 =V2027-1. 16. 【答案】(1)B (2)2 (3)x=-1 【详解】(1)解：：(2+V5)×(2-5)=4-3=1, 2+V5和2-V5互为倒数： (2)解：：(18-x+V6-x)8-x-6-=18-x-(6-x)=12, 又V18-x+V6-x=6, 18-x-V6-x=12÷6=2: (3)解：(10+x+2+x)10+x-V2+x)=(0+x-（2+xj 又10+x+√2+x=4. “V10+x-√2+x=2, V10+x+V2+x=4① V10+x-V2+x=2②' ①+②得，2W10+x=6,即V10+x=3, 两边平方得，10+x=9, 解得x=-1, 经检验，x=-1是原方程的解. 13/14 上好每一堂课 =10+x-2-x=8, 学科网·上好课 www.zxxk.com 14/14 上好每一堂课 专题04 二次根式的运算及规律、新定义型问题 常考题型·精准突破 题型1 最简二次根式（重） 题型2 同类二次根式（重） 题型3 二次根式的混合运算（高频） 题型4 二次根式中的分母有理化（高频） 题型5 二次根式运算中的规律探究问题（难） 题型6 二次根式运算中的新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 最简二次根式 1．（25-26八年级下·重庆长寿·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵满足最简二次根式的条件，∴A符合要求； ∵，被开方数含分母，不满足条件，∴B不符合要求； ∵的被开方数含分母，不满足条件，∴C不符合要求； ∵，被开方数是能开得尽方的因数，不满足条件，∴D不符合要求； 2．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A，被开方数含分母，不是最简二次根式． 选项B满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 选项C，被开方数含分母，不是最简二次根式． 选项D，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 3．（25-26八年级下·河南安阳·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：1被开方数不含分母；2被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A选项：，被开方数是能开得尽方的数，不是最简二次根式； B选项：的被开方数含有分母，不是最简二次根式； C选项：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D选项：被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式． ◆题型2 同类二次根式 4．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：选项A：，化为最简后被开方数为，与是同类二次根式； 选项B：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式； 选项C：是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式； 选项D：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式． 5．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）下列是同类二次根式的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数是否相同，即可求解． 【详解】解：A、，，和不是同类二次根式，故选项A不符合题意； B、，，和是同类二次根式，故选项B符合题意； C、的被开方数为，的被开方数为，不相同，和不是同类二次根式，故选项C不符合题意； D、的被开方数为，，被开方数为，和不是同类二次根式，故选项D不符合题意． 6．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则________． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， 二者最简形式的被开方数相同，即， 解得． ◆题型3 二次根式的混合运算 7．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 8．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 9．（25-26七年级下·陕西·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （3）先根据二次根式的性质化简，然后再根据二次根式的四则混合运算法则计算即可； （4）直接运用平方差公式、完全平方公式以及二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． ◆题型4 二次根式中的分母有理化 10．（25-26七年级下·山东济南·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)仿照上面的解题过程，化简：__________，__________； (2)已知，，求的值； (3)解关于的方程：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）仿照例题进行分母有理化即可； （2）先对、分母有理化，再结合完全平方公式代入计算即可； （3）先将方程左侧的式子分母有理化，再合并计算求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：，， ； （3）解：， ， ， ， ， 解得：． 11．（25-26八年级下·江西新余·期末）阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：，． 解答下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为分母是 ，其有理化因式为 ，所以给分子分母同乘 ，利用平方差公式化去分母根号即可． （2）如果直接计算两个式子的值比较大小较复杂，那么可以对两个形如的式子分别进行分子有理化，将其转化为分子为1、分母为两个二次根式和的形式，再通过比较分母的大小判断两个原式的大小． （3）先仿照（1）的方法，将每一项都进行分母有理化，拆分后可发现相邻项能相互抵消，利用裂项相消的方法求和即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ，， ​ 因为，分子相同，分母越大分数越小， 所以​，即． （3）解：， ． 12．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)____________． (2)化简：． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）进行分母有理化即可； （2）分母有理化后求和即可； （3）把分母有理化，变形后代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：原式 （3）解：， ， ， ． ◆题型5 二次根式运算中的规律探究问题 13．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）【观察思考】 第个等式：；第个等式：；第个等式：；… (1)【规律发现】直接写出第个等式：__________________； (2)【规律表达】写出第个等式：__________________（用含的式子表示）； (3)【规律应用】根据上述规律，化简：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】直接由前面式子的结构特征，得到规律即可解决（1）（2），再由（2）中写出的规律对（3）化简即可． 【详解】（1）解：由前面式子所展示的规律可得第个等式：； （2）解：由前面式子所展示的规律可得第个等式：； （3）解：由（2）中规律可得： ． 14．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段检测）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【答案】（1）①；②； （2）证明：等式左边 又， 右边， 等式成立 （3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； ②利用前面规律写出第个等式， （2）根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 【详解】解：（1）① 故答案为：． ② 故答案为：． （2） 略 （3）原式 15．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 【规律发现】 （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①_____； ②_____； （2）用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：_____； 【规律应用】 （3）根据上述规律计算： ． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得： ①， ②， 故答案为：， （2）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 出第个等式：， 故答案为：； （3） ． ◆题型6 二次根式运算中的新定义型问题 16.定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ， ∴ ∴， ∴． 17.对于任意的正数，定义运算为：. (1)计算的结果； (2)计算的结果. 【答案】(1)； (2)2； 【分析】本题考查新运算及根式的混合运算： （1）先根据新运算展开，再根据根式的运算法则直接计算即可得到答案； （2）先根据新运算展开，再根据根式的运算法则直接计算即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ； （2）解：由题意可得， ，， ∴． 18.我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，4和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是2，和，判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由． (2)若Rt是奇异三角形，直角边的长为a，b（），斜边长为c，写出a和b的等量关系式． 【答案】(1)此三角形是奇异三角形，理由见解析 (2) 【分析】考查了直角三角形的性质、勾股定理； （1）根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可． （2）由勾股定理得出①，由是奇异三角形，且，得出②，由①②得出，即可得出结论． 熟练掌握奇异三角形的定义、勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形；理由如下： ， 是奇异三角形， （2）中，， ， ， ，， 是奇异三角形， ， ， ， ， 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）下列各组二次根式是同类二次根式的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】所有二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式． 【详解】解：选项A：∵ ，的被开方数为，的被开方数为，，∴ A错误； 选项B：∵ ，，不是同类二次根式，∴ B错误； 选项C：∵ ，，被开方数，∴ C错误； 选项D：∵ ，化简后与的被开方数均为，∴ 二者是同类二次根式，D正确． 2．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的运算法则和性质逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A ∵与不是同类二次根式，无法直接合并 ∴A错误. 对于选项B ∵，计算符合二次根式的乘方法则 ∴B正确. 对于选项C ∵ ∴C错误. 对于选项D ∵ ∴D错误. 综上，正确答案为：B． 3．（25-26八年级下·山东威海·期末）若，，则（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先将所求代数式变形为含和的形式，再计算与的值后代入计算． 【详解】解： ∵， ∴， 将，代入得： 原式． 4．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 5．（25-26九年级下·山东淄博·期末）在学习二次根式的过程中，小明同学发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．如：由，可得与互为倒数，即，．根据小明同学发现的规律，可得：，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原式每一项做分母有理化，再利用裂项相消规律化简左边，最后解方程得到整数的值． 【详解】解：根据题意得，， ， ， ， 移项得， 两边平方得， 即整数的值为． 二、填空题 6．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则_________． 【答案】 【分析】被开方式相同的最简二次根式是同类二次根式，据此进行列式计算即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， 又∵与是同类二次根式， ∴， 解得． 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知：，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先将所求代数式展开，再分别计算和的值，代入后即可求出结果，解题用到整式乘法法则与平方差公式． 【详解】解：， ∵，， ∴，， 将，代入展开式：原式． 8．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知：，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，确定x、y的值是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入方程确定的值，然后代入代数式运用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴且，解得． 将代入原方程，得， ∴． ∴ ． 故答案为：． 9．（25-26八年级下·福建福州·期末）中国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦，分别独立研究出利用三角形三边求面积的方法，二者本质等价，后人将其合称为海伦—秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积．若的三边长分别为5，6，7，则的面积为______． 【答案】 【详解】解：∵的三边长分别为5，6，7， ∴， ∴ ． 10．（25-26八年级下·全国·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，所以与互为“对偶式”．则的“对偶式”是________． 【答案】 【详解】解：根据定义，与称为一对“对偶式”， 已知所求式子为，其中，， 可得它的“对偶式”为． 三、解答题 11．（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26八年级下·四川广安·期末）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 13．（25-26八年级下·重庆江津·期末）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的平方根； (2)对于任意的正实数和，我们定义新运算：，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴的平方根为； （2）解：∵，， ∴ 14．（25-26八年级下·江西新余·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题 (1)观察以上规律，请写出第个等式：_____（n为正整数）． (2)利用上面的规律，计算： (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给式子，可得出第个等式为； （2）根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题； （3）根据上面的规律可以比较和的大小． 【详解】（1）解：（为正整数）. （2）解： . （3）解：，， 而， . 15．（25-26八年级下·湖北恩施·期末）在学习二次根式的过程中，小明发现一些分母有理化的规律：对于，若，则．如：，，． 根据小明发现的规律，完成下列问题： (1) ， ． (2)若，则 ． (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接套用题目中的规律计算即可； （2）根据规律列等式求解； （3）先拆分每一项，再利用裂项相消法计算求和，中间项相互抵消后得到最终结果． 【详解】（1）解：对于，，可得， 根据题目规律得， 对于，，可得， 根据题目规律得； （2）已知，根据规律可得， 整理得，解得， 由二次根式的非负性可知， ∴； （3）根据题意可知，原式中每一项满足分子， 因此可得， ∴原式 ． 16．（25-26八年级下·江西赣州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)对偶式与之间的关系是 ； A．互为相反数      B．互为倒数      C．绝对值相等 (2)已知：，则 ； (3)已知，求x的值． 【答案】(1)B (2)2 (3) 【分析】（1）根据倒数的性质，互为倒数的两数相乘得1，即可判断； （2）将两式相乘，得到积的值，再利用已知式子的值，求解即可； （3）同（2），构造对偶式，再相乘求出积，从而得到的值，再相消求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴和互为倒数； （2）解：∵， 又， ∴； （3）解：， ， ， ∴， 得，，即， 两边平方得，， 解得， 经检验，是原方程的解． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04二次根式的运算及规律、新定义型问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1最简二次根式（重） 题型2同类二次根式（重) 题型3二次根式的混合运算（高频） 题型4二火根式中的分母有理化（高频） 题型5二次根式运算中的规律探究问题（难） 题型6二次根式运算中的新定义型问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1最筒二火根式 1.(25-26八年级下·重庆长寿·期末)下列二次根式中，属于最简二次根式的是（) A.5 B. D.25 2.(25-26八年级下辽宁抚顺期末)下列根式是最简二次根式的是() A.02 B.5 c D.2 3.(25-26八年级下·河南安阳·期末)下列二次根式是最简二次根式的是() A.4 B c.6 D.d ◆题型2同类二次根式 4.(25-26八年级下·安徽淮北期末)下列二次根式中，与V3是同类二次根式的是() C.2 D.8 5.(25-26八年级下·安徽毫州期末)下列是同类二次根式的一组是（) 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 A,320:50B.V28:3 C.2ab'3Jab D.v2m m n’V 6.(25-26八年级下·安徽宣城期末)√27与最简二次根式2W2a-5是同类二次根式，则a= ◆题型3二次根式的混合运算 7.(25-26八年级下辽宁抚顺期末)计算： 0s5+2Gx5o-(25+ (②(5+2(5-2+(3-1 8.(25-26八年级下河北廊坊期末)计算： (1)V27×√5o÷V6 (25+5+(3-5+) 6w雨5-5而+24 9.(25-26七年级下陕西期末)计算： ω原得 a厚得 o创a-得+2 ④(7+45)(7-45)-(35-1 ◆题型4二次根式中的分母有理化 3 2 10.(25-26七年级下山东济南期末)在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如5,5+1，这样一 33×V535 类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：55×55， 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 2x(5-1)2×(5-1 3+1(W3+1)x3-)3-1 =厅-1，以上这种化简的步骤叫做分母有理化. 2 1 (①)仿照上面的解题过程，化简： √7-6 1 (2)已知a= 5+2,6= 5-2,求a2+62的值： 2x 2x 2x 2x 3)解关于x的方程：1+V5+5+5+5+万++、 99+10i=1. 1.(25-26八年级下江西新余期未)阅读材料：像(5+5)(5-V5)=2:Vaa=a(a≥0)： (b+1)(万-1)=b-1(b≥0)…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式 互为有理化因式.例如V5与5，V2+1与V2-1,3+35与3-35等都是互为有理化因式。 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号， 例如：135.2+1 （2+1 =3+2W2 2√525×56 2-12-12+1) 解答下列问题： 1 (1)化简：√2+1 (2)比较大小：V100-V99 √99-V98(填“>”，“<”或“=”)； 1 1 1 1 3)计算：2+i+5+2+4+N5++2026+V2025. 12.(25-26八年级下·广东肇庆·期末)在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 1 已知a2+5,求2a-8a+1的值.他们是这样解答的： 1 2-V5 2+52*2-同2-5 a .a-2=-√5， (a-2)=3即a2-4a+4=3, a2-4a=-1, .2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1, 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： 3/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ()3+2 1 1 1 1 ②化简：2++5+2+4+5++、 十 120+√119√121+√120： (6)若a=10-3,求。2-6a+11的值. ◆题型5二次根式运算中的规律探究问题 13.(25-26八年级下·安徽滁州期末)【观察思考】 2 3 3 4 4 第，个等式： 2+二=2 3: 第2个等式：3+83V5:第3个等式：V4+54V5:… /3+。=3 3 (1)【规律发现】直接写出第4个等式： (2)【规律表达】写出第n个等式： (用含n的式子表示)： 12.143 (3)【规律应用】根据上述规律，化简： 12+ 143V3 14.(24-25八年级下·安徽淮北阶段检测) 【观察思考】 第1个等式： 1+=23: 1 第2个等式： 2+4-3V4: 第3个等式： 5: 第4个等式：-； 【规律发现】 (1)①直接写出第4个等式：-； ②如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律：-· 【规律证明】 (2)证明②中的运算规律. 【规律应用】 1 (3)根据上述规律，化简： 2023+ ×6075, 2025 419 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(24-25七年级下安徽宣城期中)【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：VP-2×1x1+1=6=0: 第2个等式：V22-2×2×1+1==1: 第3个等式：V32-2×3x1+1P=√4=2； 第4个等式：√42-2×4×1+12=V9=3: 第5个等式：V52-2×5×1+12=√16=4： 【规律发现】 (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①V62-2×6×1+12= ②V1012-2×101×1+1=-: (2)用含n(n为正整数)的代数式表示出第n个等式：一： 【规律应用】 (3)根据上述规律计算： V12-2x1x1+12-V22-2x2×1+12+V32-2x3x1+12-V42-2×4x1+12+…+ V20232-2×2023×1+12-V20242-2×2024×1+12+√20252-2×2025×1+12 ◆题型6二次根式运算中的新定义型问题 16.定义：若两个二次根式m,n满足mn=P,且P是有理数.则称m与n是关于P的美好二次根式. (1)若m与√2是关于6的美好二次根式，求m的值： (2)若1-√5与4+√3m是关于n的美好二次根式，求m和n的值. √m-√n(m>n) 17.对于任意的正数，定义运算为：m必n= √m+√n(m<n) (1)计算48※75的结果： (2)计算(3※2)×(8※12)的结果. 18.我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.例如，某三角 519 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 形的三边长分别是2,4和V0,因为22+4=20=2×(W10)2,所以这个三角形是奇异三角形. (1)若△ABC的三边长分别是2,2V2和V6,判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由。 (2)若Rt△ABC是奇异三角形，直角边的长为a,b(a<b),斜边长为C,写出a和b的等量关系式. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.(25-26八年级下江苏宿迁期末)下列各组二次根式是同类二次根式的是() A.√2与12 B.4与⑧ C.8与√2 D.V3与√12 2.(25-26八年级下·湖北孝感期末)下列计算中，正确的是() A.√2+5=5 B.-（2=-2 C.12÷3=4 D.V(-3)2=-3 3.(25-26八年级下山东威海期末)若x=2+V5,y=2-V5,则x2-y+y2=（) A.13 B.14 C.15 D.16 4.(25-26八年级下安徽毫州期未)已知Vx-10-Vx+5=-3,则代数式Vx-10+Vx+5的值为() A.3 B.-3 C.5 D.-5 5.(25-26九年级下·山东淄博·期末)在学习二次根式的过程中，小明同学发现一些特殊无理数之间具有 1 -=2-1. 互为倒数的关系.如：(5+12-小=1，可得2+1与2-1互为倒数，即2+ 1 1 1 1 5+1,根据小明同学发现的规律，可得：2+十5+24+5+中、 √2-1 -=33W2-1 vn+√n- 则整数n的值为() A.2176 B.2177 C.2178 D.2179 二、填空题 6.(25-26八年级下湖南长沙期末)V5与最简二次根式5Va+1是同类二次根式，则a= 7.(25-26八年级下江苏宿迁期末)已知：m=V7+2,n=√万-2，则(m+1(n+)的值为 619 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y 8.(25-26七年级上江苏苏州阶段检测)已知：y-2=N+V4x,则信+长-2的值为 9.(25-26八年级下·福建福州期末)中国南宋数学家秦九韶与古希腊数学家海伦，分别独立研究出利用 三角形三边求面积的方法，二者本质等价，后人将其合称为海伦一秦九韶公式.即如果一个三角形的三边 长分别为a,b,c,记p=a+h+c 2,那么三角形的面积S=Vp(p-a)(p-b)(p-c).若。48C的三边长分 别为5,6,7，则△ABC的面积为一 10.(25-26八年级下全国期末)定义：我们将(Va+vb)与(a-b)称为一对“对偶式”.因为 (Na+)(a-)=(V@-(=a-b,可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶 式”来解决.例如：（5-x+3-x)(5-x-3-)=(5--(3-=(5-x)-(3-x)=12,所以 5-x+3-x与5-x-3-x互为“对偶式”.则V7-V2的“对偶式”是 三、解答题 11.(25-26八年级下·天津河东阶段检测)计算： ①22×5+5N5： 4 12.(25-26八年级下四川广安·期末)计算 s-2-69 ②4压÷-同) 3(5--(5-2)(5+2) 13.(25-26八年级下·重庆江津期末)若最简二次根式√2a-3与2-ā是同类二次根式. (1)求a的平方根： √m-n(m2n) (②)对于任意的正实数和，我们定义新运算：m*n= m+元m<列求(a*2)x18*45)的值. 14.(25-26八年级下·江西新余·期中)观察下列一组等式，然后解答后面的问题 (2+1(2-)=1, 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3+2)3-2)=1, (4+3)4-5)=1, (5+4)(5-4)=1,… (1)观察以上规律，请写出第n个等式：一(n为正整数). 1 1 1 (②)利用上面的规律，计算：2+i5+24+5+.+ 100+√99 (3)请利用上面的规律，比较⑧-7与9-8的大小. 15.(25-26八年级下·湖北恩施期末)在学习二次根式的过程中，小明发现一些分母有理化的规律：对于 m m 1 石士6a≠ba≥0，b≥0)，若，-b=m则a士6va+v6.如：555+2， g55.0G而-6 3 根据小明发现的规律，完成下列问题： 5 (7-V2-,Jn+7+Vn-(n20）. 6一=5-x,则x=- (②若15+x 2 2 2 2 2 ③求6+5+57+5++万+…+2027+V225的值. 16.(25-26八年级下江西赣州期末)定义：我们将(Va+D)与(a-6)称为一对“对偶式” 因为(a+b)(a-万)=(a-(b=a-b,可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对 偶式”来解决。 例如：已知V2-x-V8-x=2,求V12-x+V8-x的值，可以这样解答： 因为(12-x-8-x)x(V2-+8-x=(V2-x-(8-x=12-x-8+x=4, 所以V12-x+V8-x=2. 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： ()对偶式2+V5与2-V5之间的关系是_： A,互为相反数B.互为倒数C.绝对值相等 (②)已知：V18-x+V6-x=6,则V18-x-V6-x=: 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)已知V10+x+V2+x=4,求x的值. 9/9