专题01 平方根十大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以十大题型系统整合平方根概念、性质及应用，方法提炼精准，逻辑递进，突出概念生成与解题迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |算术平方根（题型1-5）|1-2典例+3变式|定义应用+转化法、非负性方程思想、比较大小策略、规律探究（小数点移动）、实际问题模型|从概念（定义、取值范围）到性质（非负性、大小比较），再到规律与实际应用，层层递进| |平方根（题型6-10）|1-2典例+3变式|概念辨析（与算术平方根区分）、求根步骤、相反数性质、解方程（分类讨论）、定义综合求值|从概念理解到求根运算，再到方程与综合求值，强化符号意识与推理能力|

专题01 平方根十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 求一个数的算术平方根 题型02 算术平方根非负性的应用 题型03利用算术平方根比较大小 题型04 与算术平方根由关的规律探究 题型05 算术平方根的实际应用 题型06 平方根概念的理解 题型07 求一个数的平方根 题型08 已知一个数的平方根，求这个数 题型09 利用平方根定义解方程 题型10 利用平方根或算术平方根的定义求值 ▌题型01 求一个数的算术平方根 1. 定义：若正数，则正数叫的算术平方根，记作；规定。 2. 取值范围：被开方数，算术平方根结果。 3. 核心方法：找到平方等于的非负数；带分数先化为假分数，小数转化分数再计算。 4. 易错点：算术平方根只有非负一个结果，不存在负数解。 【典例1-1】（2026·江苏扬州·二模）的值是（     ） A． B．4 C． D．256 【答案】B 【详解】解：∵表示16的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，又， ∴. 【典例1-2】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根非负，负数没有平方根的性质，化简各选项即可判断对错． 【详解】解：A、表示的算术平方根，结果为，即，A错误； B、被开方数，负数没有平方根，无意义，B错误； C、，C错误； D、，计算正确． 【变式1-1】（25-26八年级上·广东茂名·期中）的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的算术平方根为． 【变式1-2】在数，0，，，，中，有算术平方根的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据算术平方根的性质，只有非负数才有算术平方根，先计算出题干中各数的值，再逐个判断是否为非负数，统计符合条件的个数即可得到答案. 【详解】解：只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根， 对各数逐个判断： ，没有算术平方根， 是非负数，有算术平方根， ，有算术平方根， ，没有算术平方根， ，有算术平方根， ，有算术平方根， 有算术平方根的数共个. 【变式1-3】求下列各数的算术平方根： （1）64； （2）0.25； （3）； （4）10﹣2． 【答案】（1）8； （2）0.5； （3）； （4）0.1． 【分析】根据算术平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：（1）8； （2）0.5； （3）； （4）0.1． 【点睛】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． ▌题型02 算术平方根非负性的应用 1. 双重非负性：满足 ①被开方数；②结果。 2. 经典模型：几个非负数相加 = 0 常见非负数：、绝对值、平方； 若，则，联立方程求未知数。 【典例2-1】已知实数a、b满足，则等于（     ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的被开方数是非负数，求出的取值范围，进而对原等式进行化简，再根据绝对值和算术平方根的非负性确定的值即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 则原式可化为， 整理得＝0， 则， 解得， ． 【典例2-2】若，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据非负数的性质得到方程组，解方程组求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级下·辽宁营口·期末）若实数，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得，则， 代入，得， ． 【变式1-2】已知，求的值． 【答案】2 【分析】根据算术平方根与平方数的非负性，两个非负数相加为0则各自为0，列出二元一次方程组，用加减消元法求出、的值，再代入代数式计算结果． 【详解】解：由条件可知：， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， 当，时，． 【变式1-3】已知实数a、b满足，求： (1)a、b的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)代数式的值为 【详解】（1）解：∵，，且两者和为0， ∴，， 解得：，； （2）解：将，代入代数式： . ▌题型03 利用算术平方根比较大小 1. 同正比较法：两个正数，算术平方根越大，被开方数越大；反之亦然。若，则。 2. 无理数与有理数比：两边同时平方（两边均为正数，不等号方向不变）。 3. 负数参与：先判断正负，正数一定大于 0 和负数；负数比较先比较绝对值平方根。 4. 估算法：找出无理数相邻整数，确定取值范围再比较，如在 2 和 3 之间。 【典例3】通过估算，比较下列各组数的大小： （1）6 　 　； （2）　 　； （3）　 1； （4）　 　1． 【分析】（1）利用平方运算，比较大小即可解答； （2）根据算术平方根的意义，比较大小即可解答； （3）先估算出的值的范围，再估算出1的值的范围，进行计算即可解答； （4）先估算出的值的范围，再估算出1的值的范围，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）∵62＝36，（）2＝35， ∴36＞35， ∴6， 故答案为：＞； （2）∵8＜10， ∴， 故答案为：＜； （3）∵4＜5＜9， ∴23， ∴11＜2， ∴1， 故答案为：＜； （4）∵1＜3＜4， ∴12， ∴21＜3， ∴1， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了数的大小比较，熟练掌握估算算术平方根的值的大小是解题的关键． 【变式1-1】比较大小：　 　． 【分析】先估算出的值，再根据同分母的两个正数相比较，分母相同，分子大的数较大即可进行解答． 【详解】解：∵1.7， ∴1＜1， ∴． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查的是实数的大小比较及估算无理数的大小，解答此题时要熟知：同分母的两个正数相比较，分母相同，分子大的较大． 【变式1-2】比较大小： 　　 ， 　 　1． 【分析】根据立方根的定义即可得出，再根据负数的大小比较得出；估算、的取值范围，然后计算比较即可． 【详解】解：， ∵83＜91， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； 故答案为：＞，＞． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，立方根，无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【变式1-3】比较下列各组数的大小 （1）与； （2）与8； （3）与0.5； （4）与1． 【分析】（1）根据8＜10，即可解答； （2）根据8，即可进行比较； （3）求出23，不等式两边都减去1，再不等式两边都除以2即可； （4）求出23，不等式两边都减去1，再不等式两边都除以2即可． 【详解】解：（1）∵8＜10， ∴； （2）∵8，64＜65， ∴， ∴8； （3）∵23， ∴11＜2， ∴1， ∴． （4）∵23， ∴11＜2， ∴1， ∴． 【点睛】本题考查了数的大小比较的应用，主要考查学生能否选择适当的方法比较两个数的大小． ▌题型04 与算术平方根由关的规律探究 1. 小数点移动规律：被开方数小数点每左右移动两位，算术平方根小数点同向移动一位。 例： 2. 递推规律：列出前几组计算结果，观察数字、符号、小数点变化，归纳通用公式。 3. 变形技巧：统一根号内形式（整数、小数、分数统一）再找周期 / 递推关系。 4. 验证：总结规律后代入数值验算，避免归纳错误。 【典例4-1】（1）观察发现： a（a＞0） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中x＝　 ，y＝　 ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 　 　移动 　 　位． （3）规律运用：①已知，则 　 ； ②已知，则m＝　 　． 【分析】（1）直接计算即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【详解】解：（1），， 故答案为：0.1，10； （2）被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右，1； （3）①已知，则， ②已知7.07，，则m＝25， 故答案为：22.4，25． 【点睛】本题考查算术平方根，能够理解题意是解题的关键． 【典例4-2】探究以下问题： (1)【特例探究】 _______，_______，______． (2)【规律总结】 对于实数a，当时，_______，当时，______． (3)【学以致用】 计算：． 【答案】(1)5，0，6 (2)a， (3) 【分析】（1）根据算术平方根的性质即可求出各数的值； （2）根据正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，求解即可． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：，，． （2）解：根据算术平方根的非负性，， 当时，； 当时，． （3）解：∵，，，， ∴ ． 【变式1-1】先填写表格，通过观察后再回答问题． 0 0.0001 0.01 1 100 10000 … 0 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数位的规律：当被开方数每扩大100倍时，扩大________倍，利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，，则________； ②已知，，用含的式子表示． 【答案】(1)0.1；10 (2)10；①26.5；② 【分析】（1）通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当被开方数的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍，①根据从到被开方数扩大到原来的倍，结果扩大到原来的倍，即可得到答案；②根据题意可得，进一步得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得，，． （2）解：根据表格可得规律：当被开方数每扩大100倍时，相应地扩大倍． ① ， ； ② ， ， ． 【变式1-2】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：实践探究： (1)按照此规律，计算： ； (2)计算：； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据式子的规律，即可求解； （2）根据规律表示出每项，再计算乘法，即可求解． 【详解】（1）解：∵; ∴; ∴; （2）解： 【变式1-3】在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)【规律发现】_____； (2)用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； (3)【规律应用】计算：______； (4)若符合上述规律，则x的值为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据发现的规律即可求解； （2）根据发现的规律即可用代数式表示； （3）根据规律计算出每个因数，再相乘即可； （4）根据规律计算出等式左边的结果，可求得n的值，即可求得x的值． 【详解】（1）解：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 第n个等式：； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． ▌题型05 算术平方根的实际应用 1. 常见场景：正方形面积求边长、正方形场地改造、几何长度计算。 2. 公式：正方形面积，边长（边长为正数，只用算术平方根）。 3. 取值取舍：实际长度、面积只能取正数，舍去负根。 4. 单位统一：计算前统一长度、面积单位，最后按题意作答。 【典例5-1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）蓝印花布是中国传统镂空版白浆防染印花工艺品，被列入国家级非物质文化遗产名录，其以蓝白两色为主，图案朴素优雅，具有深厚的文化底蕴． 现有一块长方形蓝印花布面料，长和宽之比为，面料面积为． (1)求这块长方形蓝印花布面料的长和宽； (2)某工人想用这块面料沿着与边平行的方向裁出一块面积为的正方形布料，他能裁出来吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) 长为，宽为 (2) 不能裁出来，理由见解析 【分析】（1）根据长宽比例设未知数，利用长方形面积公式列方程求解，得到长和宽的值； （2）先根据正方形面积求出边长，再将边长和长方形的宽比较大小，判断能否裁出，用到长方形，正方形面积公式和算术平方根的性质． 【详解】（1）解 ：设这块长方形蓝印花布面料的长为，宽为，其中 已知面料面积为，根据长方形面积公式可得： 整理得 化简得 因为， 所以 因此长为，宽为。 这块面料长为，宽为 ； （2）解：设裁出的正方形布料边长为，其中 已知正方形面积为，可得： 因为， 所以 因为长方形面料的宽为，且，， 所以， 即正方形边长大于长方形面料的宽， 因此不能裁出来 答：他不能裁出来符合要求的正方形布料． 【典例5-2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”． (1)若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍．当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c（）的k倍．若面积为S，则________． 【答案】(1)直角三角形的三边长为15，20，25； (2) 【分析】本题考查了算术平方根的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，先求出的值，再得出的值，即可解答； （2）设直角三角形的三边长分别为，，，利用三角形的面积公式得出，则有． 【详解】（1）解：当面积S等于150时， 第一步：， 第二步：， 第三步：直角三角形的三边长分别为，，， 直角三角形的三边长为15，20，25； （2）解：设直角三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴， ∴直角三角形的面积， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）交通警察通常根据刹车后车轮滑动的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑动的距离（单位：m），f表示动摩擦因数． (1)若某车刹车后车轮滑动的距离，动摩擦因数，这辆车的速度是___________； (2)在某次交通事故调查中，测得，，该路段限速，这辆肇事汽车是否超速？ 【答案】(1) (2)这辆肇事汽车超速了 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）将，代入计算即可； （2）将，代入计算求出车速，进而比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， 故答案为：； （2）解：， ， ， 这辆肇事汽车超速了． 【变式1-2】（25-26七年级下·广东东莞·期中）为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为__________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长、宽之比为，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：能将明信片不折叠就放入此信封，理由如下： ∵信封的长、宽之比为， ∴设信封的长是，则宽是， ∵信封的面积是， ∴， 解得：，或（不合题意，舍去）， ∴，， ∴信封的长是cm，宽是cm． ∵， ∴能将明信片不折叠就放入此信封． 【分析】（1）根据正方形面积公式，求的算术平方根即可； （2）设信封的长是，则宽是，根据面积为，列方程，利用平方根的性质求出的值，即可求出信封的长和宽，比较宽与（1）中所求明信片的边长即可得答案． 【详解】（1）解：∵正方形感恩明信片的面积为， ∴该明信片的边长为． （2）略 【变式1-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）（1）如图1，分别把两个边长为的小正方形沿一条对角线裁开，得到4个小三角形，然后拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 ． （2）如图2，元旦手抄报展览即将开始．为制作出精美的主题展览作品，小华想用一张面积为的正方形卡纸，沿着边的方向裁出一张面积为的长方形卡纸，用于制作展览作品的背景．若设计长方形卡纸的长宽之比为，小华能用这张卡纸裁出符合要求的长方形卡纸吗？若能，请你帮助小华设计裁剪方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）小华不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，理由见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质、一元二次方程的应用、算术平方根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先求出大正方形的面积，然后求其算术平方根即可； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，再根据面积列一元二次方程求解，然后进行比较即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：大正方形的面积， ∴大正方形的边长为． 故答案为∶ ． (2)∵长方形纸片的长宽之比为， ∴设长方形纸片的长为，则宽为， ∴， ∴，解得∶， 又∵， ∴， ∴长方形纸片的长为， 又∵，即：， ∴小华不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． ▌题型06 平方根概念的理解 1. 平方根定义：若，则叫的平方根，记作。 2. 平方根与算术平方根区分 · 算术平方根：，仅一个非负结果； · 平方根：，互为相反数两个结果（）。 3. 三种数的平方根情况 · 正数：2 个互为相反数的平方根； · 0：只有 1 个平方根 0； · 负数：没有平方根。 4. 符号含义：算术平方根、负平方根、全部平方根。 【典例6-1】下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 【答案】D 【详解】解：对应选项A：∵， ∴的平方根是，故A错误； 对于选项B：∵，的平方根是， ∴的平方根是，故B错误； 对于选项C：，正数有平方根，故C错误； 对于选项D：∵ ， ∴的平方根是和，故D正确． 【典例6-2】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．4的算术平方根是 C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义逐项判断即可，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、4的平方根是，故原说法错误，不符合题意； B、4的算术平方根是，故原说法错误，不符合题意； C、，的平方根是，故原说法错误，不符合题意； D、0的平方根与算术平方根都是0，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【答案】C 【详解】解：根据平方根定义，负数没有平方根，∵是负数，∴没有平方根，故A错误； ∵0的平方根是0，∴0有平方根，故B错误； 的算术平方根是，符合算术平方根的定义，故C正确； ，的平方根是，不是，故D错误． 【变式1-2】下列说法正确的是（    ） A．没有平方根 B．算术平方根是其本身的数是 C．的平方根是 D．的值一定是 【答案】D 【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐个判断选项正误即可得到答案． 【详解】解：A．当时，，此时有平方根，故该选项错误，不符合题意， B．算术平方根是其本身的数是和，故该选项错误，不符合题意， C．，没有平方根，故该选项错误，不符合题意， D．∵有意义， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故该选项正确，符合题意． 【变式1-3】有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据若，则是的平方根，其中非负的平方根是的算术平方根，负数没有平方根，逐一判断各说法即可得出正确结论． 【详解】解：① ，， 是的一个平方根，①正确； ② ，49的算术平方根是， 不是的算术平方根，②错误； ③ ， 的平方根是，③正确； ④ 负数没有平方根，， 没有平方根，④错误； ⑤ 的算术平方根是，⑤错误； ⑥ ，，的平方根为，⑥正确； ⑦ 的平方根是，只有0的平方根等于本身，⑦错误； 综上，正确的说法共3个． ▌题型07 求一个数的平方根 1. 步骤 ① 把原数化为最简整数 / 分数； ② 找出平方等于该数的两个互为相反数的数； ③ 写成形式并化简。 2. 化简规则：带分数先化成假分数，小数化分数；能开尽方直接开方。 3. 特殊值：0 的平方根是 0；负数无平方根。 4. 书写规范：求平方根必须带，只写只代表算术平方根。 【典例7-1】81的平方根是________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 【典例7-2】的平方根是（     ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】本题需先计算出的值，再根据平方根的定义求解． 【详解】解：∵， ∴根据平方根的定义，一个正数有两个互为相反数的平方根，3的平方根为． 【变式1-1】的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴的平方根是． 【变式1-2】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的结果，再根据平方根的定义求出结果的平方根即可，需注意区分原式结果和原式结果的平方根两个概念． 【详解】解：， ， ， 又， 的平方根是， 即的平方根是． 【变式1-3】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）的平方根是________． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 先计算乘方，再求平方根即可． 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． ▌题型08 已知一个数的平方根，求这个数 1. 核心性质：一个正数的两个平方根互为相反数，相加等于 0。 2. 基础题型解法 若两个平方根为，则，解出未知数后代入任意平方根，平方得原数。 3. 隐藏分类讨论 题干未说明两个不同平方根时，存在两种情况：①两式互为相反数；②两式相等（均为 0）。 4. 验算：求出原数后，反向求平方根验证是否符合题意。 【典例8-1】若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴是 的平方根 ∵， ∴． 【典例8-2】一个正数的平方根分别是和，则的值为______； 【答案】4 【分析】根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，据此列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， ， 得． 【变式1-1】（25-26七年级下·安徽池州·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．25 B．5 C． D．2 【答案】A 【分析】一个正数的两个不同平方根互为相反数，利用这一性质先求出a的值，再计算得到这个正数即可． 【详解】∵一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 解得 ， 把代入得，两个平方根分别为和， ∴这个正数为． 【变式1-2】若，则的算术平方根为_______． 【答案】或 【分析】先根据平方根的定义求出的所有可能值，再代入计算的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， 当时，，此时的算术平方根为， 当时，，此时的算术平方根为， 综上所述，的算术平方根为或． 【变式1-3】（25-26七年级下·江西南昌·期末）已知正数的两个不相等的平方根为和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 当时，． ∴． （2）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 由题意可得，． 解得． ∵， ∴． ▌题型09 利用平方根定义解方程 1. 标准形式： 2. 分类讨论 ① ：开平方得，分两个一元一次方程求解； ② ：，只有 1 个实数根； ③ ：无实数解。 3. 解题步骤 移项→化为完全平方 = 常数→开平方→分别解一次方程。 4. 易错提醒：开平方不要漏掉，实际应用题舍去负根。 【典例9-1】（24-25八年级上·江苏·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程； （1）先把方程变形为，然后利用平方根的性质解方程； （2）先把方程变形为，然后利用平方根的性质解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， 解得． 【典例9-2】求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平方根，关键是掌握平方根的定义．如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根． （1）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可； （2）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： 解得：； （2）解：整理得：， ， 或． 【变式1-1】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以9，最后把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查利用平方根定义解方程，熟知一个正数有两个平方根，且互为相反数是解答的关键． （1）利用平方根定义解方程即可； （2）利用平方根定义解方程即可． 【详解】（1）解：由得 ∴； （2）解：由得 即或 ∴或． 【变式1-3】求下列各式中的x： （1）9x2﹣25＝0； （2）（x+1）2+8＝72； （3）2（x﹣1）2﹣32＝0． 【答案】（1）x＝±； （2）x＝﹣9或x＝7； （3）x＝﹣3或x＝5． 【分析】（1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可； （2）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可； （3）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：（1）移项得，9x2＝25， 两边都除以9得，x2， 由平方根的定义得，x＝±； （2）（x+1）2+8＝72， 移项得，（x+1）2＝72﹣8， 合并同类项得，（x+1）2＝64， 由平方根的定义得，x+1＝±8， 即x＝﹣9或x＝7； （3）移项得，2（x﹣1）2＝32， 两边都除以3得，（x﹣1）2＝16， 由平方根的定义得，x﹣1＝±4， 即x＝﹣3或x＝5． 【点睛】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提． ▌题型10 利用平方根或算术平方根的定义求值 1. 两类核心条件 （1）某数的算术平方根为：则原数； （2）某数一个平方根为：另一个平方根为，原数。 2. 联立求值：结合双重非负性、平方根互为相反数列方程，先求字母值，再代入代数式计算。 3. 限制条件：出现隐含，求值前先确定字母取值范围，排除无意义解。 4. 复合式化简：先根据定义求出未知数，再化简根式、整式后代入计算。 【典例10-1】已知的平方根为它本身，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，列式得，，再算出，的值，即可作答． （2）由（1）得，即，故得出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的平方根为它本身，的算术平方根是3． ∴， ∴； （2）解：由（1）得， 故， ∴的平方根为． 【典例10-2】已知：与是m的平方根，，c的算术平方根等于它本身； (1)求a，b，c，m的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；；或；或 (2)或 【分析】（1）根据平方根定义列出关于x的方程，求出x的值，再求出m；根据非负数的性质求出a、b的值即可；根据算术平方根定义求出c的值即可； （2）先求出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵与是m的平方根， ∴或， 解得：或， 当时，； 当时，； ∵， ∴，， 解得：，； ∵c的算术平方根等于它本身， ∴或； （2）解：当时，， ∵的平方根为， ∴此时的平方根为； 当时，， ∵4的平方根为， ∴此时的平方根为； 综上，的平方根为或． 【变式1-1】已知一个正数p的两个平方根分别是和． (1)求p和a的值； (2)若，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求解即可； （2）根据“如果几个非负数的和为0，则这几个数都为0”求解即可． 【详解】解：（1）因为一个正数p的两个平方根分别是和， 所以，解得． 将代入，得． 所以； （2）因为，且， 所以． 因为，，，且它们的和为0， 所以，，， 解得，，． 所以， 因此的算术平方根为． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知的平方根是和3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查平方根、算术平方根以及无理数的估算，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提． （1）直接利用平方根以及算术平方根的定义得出a，b，c的值； （2）利用（1）中所求，代入求出答案． 【详解】（1）解：∵的平方根是和3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 【变式1-3】如图，点A表示的实数为，点A沿数轴向右移动了2个单位长度到达点B，设点B表示的实数为m． (1)实数m的值为_________； (2)求的值； (3)若数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由（1）可知，则可得出，，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出，，或，．的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解： （2）解：因为，则，， 所以 （3）解：因为与互为相反数， 所以， 所以，， 解得，，或，． ①当，时，， 所以无平方根． ③当，时，， 所以的平方根为． 综上，的平方根为． 【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平方根十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 求一个数的算术平方根 题型02 算术平方根非负性的应用 题型03利用算术平方根比较大小 题型04 与算术平方根由关的规律探究 题型05 算术平方根的实际应用 题型06 平方根概念的理解 题型07 求一个数的平方根 题型08 已知一个数的平方根，求这个数 题型09 利用平方根定义解方程 题型10 利用平方根或算术平方根的定义求值 ▌题型01 求一个数的算术平方根 1. 定义：若正数，则正数叫的算术平方根，记作；规定。 2. 取值范围：被开方数，算术平方根结果。 3. 核心方法：找到平方等于的非负数；带分数先化为假分数，小数转化分数再计算。 4. 易错点：算术平方根只有非负一个结果，不存在负数解。 【典例1-1】（2026·江苏扬州·二模）的值是（     ） A． B．4 C． D．256 【典例1-2】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·广东茂名·期中）的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】在数，0，，，，中，有算术平方根的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】求下列各数的算术平方根： （1）64； （2）0.25； （3）； （4）10﹣2． ▌题型02 算术平方根非负性的应用 1. 双重非负性：满足 ①被开方数；②结果。 2. 经典模型：几个非负数相加 = 0 常见非负数：、绝对值、平方； 若，则，联立方程求未知数。 【典例2-1】已知实数a、b满足，则等于（     ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 【典例2-2】若，则的值为__________． 【变式1-1】（25-26八年级下·辽宁营口·期末）若实数，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，求的值． 【变式1-3】已知实数a、b满足，求： (1)a、b的值； (2)求代数式的值． ▌题型03 利用算术平方根比较大小 1. 同正比较法：两个正数，算术平方根越大，被开方数越大；反之亦然。若，则。 2. 无理数与有理数比：两边同时平方（两边均为正数，不等号方向不变）。 3. 负数参与：先判断正负，正数一定大于 0 和负数；负数比较先比较绝对值平方根。 4. 估算法：找出无理数相邻整数，确定取值范围再比较，如在 2 和 3 之间。 【典例3】通过估算，比较下列各组数的大小： （1）6 　 　； （2）　 　； （3）　 1； （4）　 　1． 【变式1-1】比较大小：　 　． 【变式1-2】比较大小： 　　 ， 　 　1． 【变式1-3】比较下列各组数的大小 （1）与； （2）与8； （3）与0.5； （4）与1． ▌题型04 与算术平方根由关的规律探究 1. 小数点移动规律：被开方数小数点每左右移动两位，算术平方根小数点同向移动一位。 例： 2. 递推规律：列出前几组计算结果，观察数字、符号、小数点变化，归纳通用公式。 3. 变形技巧：统一根号内形式（整数、小数、分数统一）再找周期 / 递推关系。 4. 验证：总结规律后代入数值验算，避免归纳错误。 【典例4-1】（1）观察发现： a（a＞0） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … 表格中x＝　 ，y＝　 ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 　 　移动 　 　位． （3）规律运用：①已知，则 　 ； ②已知，则m＝　 　． 【典例4-2】探究以下问题： (1)【特例探究】 _______，_______，______． (2)【规律总结】 对于实数a，当时，_______，当时，______． (3)【学以致用】 计算：． 【变式1-1】先填写表格，通过观察后再回答问题． 0 0.0001 0.01 1 100 10000 … 0 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数位的规律：当被开方数每扩大100倍时，扩大________倍，利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，，则________； ②已知，，用含的式子表示． 【变式1-2】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：实践探究： (1)按照此规律，计算： ； (2)计算：； 【变式1-3】在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)【规律发现】_____； (2)用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； (3)【规律应用】计算：______； (4)若符合上述规律，则x的值为______． ▌题型05 算术平方根的实际应用 1. 常见场景：正方形面积求边长、正方形场地改造、几何长度计算。 2. 公式：正方形面积，边长（边长为正数，只用算术平方根）。 3. 取值取舍：实际长度、面积只能取正数，舍去负根。 4. 单位统一：计算前统一长度、面积单位，最后按题意作答。 【典例5-1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）蓝印花布是中国传统镂空版白浆防染印花工艺品，被列入国家级非物质文化遗产名录，其以蓝白两色为主，图案朴素优雅，具有深厚的文化底蕴． 现有一块长方形蓝印花布面料，长和宽之比为，面料面积为． (1)求这块长方形蓝印花布面料的长和宽； (2)某工人想用这块面料沿着与边平行的方向裁出一块面积为的正方形布料，他能裁出来吗？请通过计算说明理由． 【典例5-2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”． (1)若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍．当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c（）的k倍．若面积为S，则________． 【变式1-1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）交通警察通常根据刹车后车轮滑动的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑动的距离（单位：m），f表示动摩擦因数． (1)若某车刹车后车轮滑动的距离，动摩擦因数，这辆车的速度是___________； (2)在某次交通事故调查中，测得，，该路段限速，这辆肇事汽车是否超速？ 【变式1-2】（25-26七年级下·广东东莞·期中）为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为__________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长、宽之比为，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 【变式1-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）（1）如图1，分别把两个边长为的小正方形沿一条对角线裁开，得到4个小三角形，然后拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 ． （2）如图2，元旦手抄报展览即将开始．为制作出精美的主题展览作品，小华想用一张面积为的正方形卡纸，沿着边的方向裁出一张面积为的长方形卡纸，用于制作展览作品的背景．若设计长方形卡纸的长宽之比为，小华能用这张卡纸裁出符合要求的长方形卡纸吗？若能，请你帮助小华设计裁剪方案；若不能，请说明理由． ▌题型06 平方根概念的理解 1. 平方根定义：若，则叫的平方根，记作。 2. 平方根与算术平方根区分 · 算术平方根：，仅一个非负结果； · 平方根：，互为相反数两个结果（）。 3. 三种数的平方根情况 · 正数：2 个互为相反数的平方根； · 0：只有 1 个平方根 0； · 负数：没有平方根。 4. 符号含义：算术平方根、负平方根、全部平方根。 【典例6-1】下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 【典例6-2】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．4的算术平方根是 C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0 【变式1-1】下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【变式1-2】下列说法正确的是（    ） A．没有平方根 B．算术平方根是其本身的数是 C．的平方根是 D．的值一定是 【变式1-3】有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌题型07 求一个数的平方根 1. 步骤 ① 把原数化为最简整数 / 分数； ② 找出平方等于该数的两个互为相反数的数； ③ 写成形式并化简。 2. 化简规则：带分数先化成假分数，小数化分数；能开尽方直接开方。 3. 特殊值：0 的平方根是 0；负数无平方根。 4. 书写规范：求平方根必须带，只写只代表算术平方根。 【典例7-1】81的平方根是________． 【典例7-2】的平方根是（     ） A． B．9 C． D． 【变式1-1】的平方根是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）的平方根是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）的平方根是________． ▌题型08 已知一个数的平方根，求这个数 1. 核心性质：一个正数的两个平方根互为相反数，相加等于 0。 2. 基础题型解法 若两个平方根为，则，解出未知数后代入任意平方根，平方得原数。 3. 隐藏分类讨论 题干未说明两个不同平方根时，存在两种情况：①两式互为相反数；②两式相等（均为 0）。 4. 验算：求出原数后，反向求平方根验证是否符合题意。 【典例8-1】若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【典例8-2】一个正数的平方根分别是和，则的值为______； 【变式1-1】（25-26七年级下·安徽池州·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．25 B．5 C． D．2 【变式1-2】若，则的算术平方根为_______． 【变式1-3】（25-26七年级下·江西南昌·期末）已知正数的两个不相等的平方根为和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． ▌题型09 利用平方根定义解方程 1. 标准形式： 2. 分类讨论 ① ：开平方得，分两个一元一次方程求解； ② ：，只有 1 个实数根； ③ ：无实数解。 3. 解题步骤 移项→化为完全平方 = 常数→开平方→分别解一次方程。 4. 易错提醒：开平方不要漏掉，实际应用题舍去负根。 【典例9-1】（24-25八年级上·江苏·期末）解方程： (1) (2) 【典例9-2】求下列各式中的值： (1)； (2)． 【变式1-1】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1) (2)． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【变式1-3】求下列各式中的x： （1）9x2﹣25＝0； （2）（x+1）2+8＝72； （3）2（x﹣1）2﹣32＝0． ▌题型10 利用平方根或算术平方根的定义求值 1. 两类核心条件 （1）某数的算术平方根为：则原数； （2）某数一个平方根为：另一个平方根为，原数。 2. 联立求值：结合双重非负性、平方根互为相反数列方程，先求字母值，再代入代数式计算。 3. 限制条件：出现隐含，求值前先确定字母取值范围，排除无意义解。 4. 复合式化简：先根据定义求出未知数，再化简根式、整式后代入计算。 【典例10-1】已知的平方根为它本身，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【典例10-2】已知：与是m的平方根，，c的算术平方根等于它本身； (1)求a，b，c，m的值； (2)求的平方根． 【变式1-1】已知一个正数p的两个平方根分别是和． (1)求p和a的值； (2)若，求的算术平方根． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知的平方根是和3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【变式1-3】如图，点A表示的实数为，点A沿数轴向右移动了2个单位长度到达点B，设点B表示的实数为m． (1)实数m的值为_________； (2)求的值； (3)若数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求的平方根． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平方根十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 求一个数的算术平方根 题型02 算术平方根非负性的应用 题型03利用算术平方根比较大小 题型04 与算术平方根由关的规律探究 题型05 算术平方根的实际应用 题型06 平方根概念的理解 题型07 求一个数的平方根 题型08 已知一个数的平方根，求这个数 题型09 利用平方根定义解方程 题型10 利用平方根或算术平方根的定义求值 ▌题型01 求一个数的算术平方根 【典例1-1】【答案】B 【典例1-2】【答案】D 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】 【答案】（1）8； （2）0.5； （3）； （4）0.1． 【分析】根据算术平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：（1）8； （2）0.5； （3）； （4）0.1． 【点睛】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． ▌题型02 算术平方根非负性的应用 【典例2-1】【答案】C 【典例2-2】【答案】1 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】 【答案】2 【分析】根据算术平方根与平方数的非负性，两个非负数相加为0则各自为0，列出二元一次方程组，用加减消元法求出、的值，再代入代数式计算结果． 【详解】解：由条件可知：， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， 当，时，． 【变式1-3】 【答案】(1)， (2)代数式的值为 【详解】（1）解：∵，，且两者和为0， ∴，， 解得：，； （2）解：将，代入代数式： . ▌题型03 利用算术平方根比较大小 【典例3】 【分析】（1）利用平方运算，比较大小即可解答； （2）根据算术平方根的意义，比较大小即可解答； （3）先估算出的值的范围，再估算出1的值的范围，进行计算即可解答； （4）先估算出的值的范围，再估算出1的值的范围，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）∵62＝36，（）2＝35， ∴36＞35， ∴6， 故答案为：＞； （2）∵8＜10， ∴， 故答案为：＜； （3）∵4＜5＜9， ∴23， ∴11＜2， ∴1， 故答案为：＜； （4）∵1＜3＜4， ∴12， ∴21＜3， ∴1， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了数的大小比较，熟练掌握估算算术平方根的值的大小是解题的关键． 【变式1-1】【答案】＜ 【变式1-2】【答案】＞，＞． 【变式1-3】比较下列各组数的大小 （1）与； （2）与8； （3）与0.5； （4）与1． 【分析】（1）根据8＜10，即可解答； （2）根据8，即可进行比较； （3）求出23，不等式两边都减去1，再不等式两边都除以2即可； （4）求出23，不等式两边都减去1，再不等式两边都除以2即可． 【详解】解：（1）∵8＜10， ∴； （2）∵8，64＜65， ∴， ∴8； （3）∵23， ∴11＜2， ∴1， ∴． （4）∵23， ∴11＜2， ∴1， ∴． 【点睛】本题考查了数的大小比较的应用，主要考查学生能否选择适当的方法比较两个数的大小． ▌题型04 与算术平方根由关的规律探究 【典例4-1】 【分析】（1）直接计算即可； （2）观察（1）中表格数据，找出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解． 【详解】解：（1），， 故答案为：0.1，10； （2）被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右，1； （3）①已知，则， ②已知7.07，，则m＝25， 故答案为：22.4，25． 【点睛】本题考查算术平方根，能够理解题意是解题的关键． 【典例4-2】 【答案】(1)5，0，6 (2)a， (3) 【分析】（1）根据算术平方根的性质即可求出各数的值； （2）根据正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，求解即可． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：，，． （2）解：根据算术平方根的非负性，， 当时，； 当时，． （3）解：∵，，，， ∴ ． 【变式1-1】 【答案】(1)0.1；10 (2)10；①26.5；② 【分析】（1）通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当被开方数的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍，①根据从到被开方数扩大到原来的倍，结果扩大到原来的倍，即可得到答案；②根据题意可得，进一步得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得，，． （2）解：根据表格可得规律：当被开方数每扩大100倍时，相应地扩大倍． ① ， ； ② ， ， ． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据式子的规律，即可求解； （2）根据规律表示出每项，再计算乘法，即可求解． 【详解】（1）解：∵; ∴; ∴; （2）解： 【变式1-3】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据发现的规律即可求解； （2）根据发现的规律即可用代数式表示； （3）根据规律计算出每个因数，再相乘即可； （4）根据规律计算出等式左边的结果，可求得n的值，即可求得x的值． 【详解】（1）解：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 第n个等式：； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． ▌题型05 算术平方根的实际应用 【典例5-1】 【答案】(1) 长为，宽为 (2) 不能裁出来，理由见解析 【分析】（1）根据长宽比例设未知数，利用长方形面积公式列方程求解，得到长和宽的值； （2）先根据正方形面积求出边长，再将边长和长方形的宽比较大小，判断能否裁出，用到长方形，正方形面积公式和算术平方根的性质． 【详解】（1）解 ：设这块长方形蓝印花布面料的长为，宽为，其中 已知面料面积为，根据长方形面积公式可得： 整理得 化简得 因为， 所以 因此长为，宽为。 这块面料长为，宽为 ； （2）解：设裁出的正方形布料边长为，其中 已知正方形面积为，可得： 因为， 所以 因为长方形面料的宽为，且，， 所以， 即正方形边长大于长方形面料的宽， 因此不能裁出来 答：他不能裁出来符合要求的正方形布料． 【典例5-2】 【答案】(1)直角三角形的三边长为15，20，25； (2) 【分析】本题考查了算术平方根的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，先求出的值，再得出的值，即可解答； （2）设直角三角形的三边长分别为，，，利用三角形的面积公式得出，则有． 【详解】（1）解：当面积S等于150时， 第一步：， 第二步：， 第三步：直角三角形的三边长分别为，，， 直角三角形的三边长为15，20，25； （2）解：设直角三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴， ∴直角三角形的面积， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】 【答案】(1) (2)这辆肇事汽车超速了 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）将，代入计算即可； （2）将，代入计算求出车速，进而比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， 故答案为：； （2）解：， ， ， 这辆肇事汽车超速了． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) 解：能将明信片不折叠就放入此信封，理由如下： ∵信封的长、宽之比为， ∴设信封的长是，则宽是， ∵信封的面积是， ∴， 解得：，或（不合题意，舍去）， ∴，， ∴信封的长是cm，宽是cm． ∵， ∴能将明信片不折叠就放入此信封． 【分析】（1）根据正方形面积公式，求的算术平方根即可； （2）设信封的长是，则宽是，根据面积为，列方程，利用平方根的性质求出的值，即可求出信封的长和宽，比较宽与（1）中所求明信片的边长即可得答案． 【详解】（1）解：∵正方形感恩明信片的面积为， ∴该明信片的边长为． （2）略 【变式1-3】 【答案】（1）；（2）小华不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，理由见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质、一元二次方程的应用、算术平方根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先求出大正方形的面积，然后求其算术平方根即可； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，再根据面积列一元二次方程求解，然后进行比较即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：大正方形的面积， ∴大正方形的边长为． 故答案为∶ ． (2)∵长方形纸片的长宽之比为， ∴设长方形纸片的长为，则宽为， ∴， ∴，解得∶， 又∵， ∴， ∴长方形纸片的长为， 又∵，即：， ∴小华不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． ▌题型06 平方根概念的理解 【典例6-1】【答案】D 【典例6-2】【答案】D 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】【答案】C ▌题型07 求一个数的平方根 【典例7-1】【答案】 【典例7-2】【答案】A 【变式1-1】 【答案】D 【变式1-2】【答案】A 【变式1-3】【答案】 ▌题型08 已知一个数的平方根，求这个数 【典例8-1】【答案】C 【典例8-2】【答案】4 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】或 【变式1-3】 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 当时，． ∴． （2）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 由题意可得，． 解得． ∵， ∴． ▌题型09 利用平方根定义解方程 【典例9-1】 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程； （1）先把方程变形为，然后利用平方根的性质解方程； （2）先把方程变形为，然后利用平方根的性质解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， 解得． 【典例9-2】 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平方根，关键是掌握平方根的定义．如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根． （1）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可； （2）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： 解得：； （2）解：整理得：， ， 或． 【变式1-1】 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以9，最后把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 【变式1-2】 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查利用平方根定义解方程，熟知一个正数有两个平方根，且互为相反数是解答的关键． （1）利用平方根定义解方程即可； （2）利用平方根定义解方程即可． 【详解】（1）解：由得 ∴； （2）解：由得 即或 ∴或． 【变式1-3】 【答案】（1）x＝±； （2）x＝﹣9或x＝7； （3）x＝﹣3或x＝5． 【分析】（1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可； （2）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可； （3）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：（1）移项得，9x2＝25， 两边都除以9得，x2， 由平方根的定义得，x＝±； （2）（x+1）2+8＝72， 移项得，（x+1）2＝72﹣8， 合并同类项得，（x+1）2＝64， 由平方根的定义得，x+1＝±8， 即x＝﹣9或x＝7； （3）移项得，2（x﹣1）2＝32， 两边都除以3得，（x﹣1）2＝16， 由平方根的定义得，x﹣1＝±4， 即x＝﹣3或x＝5． 【点睛】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提． ▌题型10 利用平方根或算术平方根的定义求值 【典例10-1】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，列式得，，再算出，的值，即可作答． （2）由（1）得，即，故得出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的平方根为它本身，的算术平方根是3． ∴， ∴； （2）解：由（1）得， 故， ∴的平方根为． 【典例10-2】 【答案】(1)；；或；或 (2)或 【分析】（1）根据平方根定义列出关于x的方程，求出x的值，再求出m；根据非负数的性质求出a、b的值即可；根据算术平方根定义求出c的值即可； （2）先求出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵与是m的平方根， ∴或， 解得：或， 当时，； 当时，； ∵， ∴，， 解得：，； ∵c的算术平方根等于它本身， ∴或； （2）解：当时，， ∵的平方根为， ∴此时的平方根为； 当时，， ∵4的平方根为， ∴此时的平方根为； 综上，的平方根为或． 【变式1-1】 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求解即可； （2）根据“如果几个非负数的和为0，则这几个数都为0”求解即可． 【详解】解：（1）因为一个正数p的两个平方根分别是和， 所以，解得． 将代入，得． 所以； （2）因为，且， 所以． 因为，，，且它们的和为0， 所以，，， 解得，，． 所以， 因此的算术平方根为． 【变式1-2】 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查平方根、算术平方根以及无理数的估算，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提． （1）直接利用平方根以及算术平方根的定义得出a，b，c的值； （2）利用（1）中所求，代入求出答案． 【详解】（1）解：∵的平方根是和3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 【变式1-3】 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由（1）可知，则可得出，，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出，，或，．的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解： （2）解：因为，则，， 所以 （3）解：因为与互为相反数， 所以， 所以，， 解得，，或，． ①当，时，， 所以无平方根． ③当，时，， 所以的平方根为． 综上，的平方根为． 【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $