第五单元 第7课时 圆的面积（一）（讲义）2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦圆的面积这一核心知识点，承接圆的基本特征与周长计算，为后续扇形面积、圆柱圆锥表面积等知识铺垫。通过定义理解、化圆为方推导公式、基础应用、逆用求解、半径与面积变化关系及刘徽割圆术数学史，构建完整学习支架。 资料以分层设计（基础夯实、能力拓展、思维素养）为主线，融入转化与极限思想，通过割补拼接推导公式培养推理意识，结合生活调查实践活动强化应用意识。课中助力教师系统授课，课后易错预警与精准解析帮助学生查漏补缺，提升模型思想与运算能力。

第 7 课时 圆的面积（一） 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心解题方法图谱记忆 2 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 3 考点一：圆的面积公式推导（核心重难点） 3 考点二：面积公式的基础应用（核心必考） 5 考点三：面积公式的逆用（提升层级） 6 考点四：半径与面积的变化关系（提升层级） 7 考点五：圆的面积实际应用（拓展应用） 9 第三部分 高频易错预警与避坑指南 10 易错点 1：面积公式记错，混淆半径与直径，漏算平方 10 易错点 2：面积与周长的概念混淆，单位混用 10 易错点 3：半径与面积的变化关系混淆，误认为半径扩大 n 倍，面积扩大 n 倍 11 易错点 4：面积公式逆用，与混淆，开方错误 11 易错点 5：实际应用中，单位不统一，直接计算 11 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 12 一、基础夯实达标练（6 题） 12 二、能力拓展提升练（4 题） 13 三、思维素养拓展练（2 题） 15 四、数学活动拓展 15 第五部分 习题精准解析与知识点睛 16 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版 2024 版六年级上册第五单元《圆》的核心测量计算课，承接前 6 课时圆的基本特征、周长计算的知识基础，严格对标《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“图形与几何” 领域图形的认识与测量主题要求，是学生从 “圆的长度测量” 进阶到 “圆的面积测量” 的关键认知节点，也是后续圆的面积应用、扇形面积、圆柱圆锥表面积与体积等知识的核心铺垫。本课时核心掌握圆的面积的定义、圆的面积公式推导（化圆为方转化法）、面积公式的理解与基础应用、半径与面积的变化关系、面积公式的逆用、刘徽割圆术的数学史文化六大核心内容。全课时建立 “直观感知 — 操作探究 — 转化推导 — 公式建构 — 应用实践” 的完整学习路径，围绕运算能力、推理意识、模型思想、文化自信四条核心素养主线，让学生深刻理解圆的面积公式的推导逻辑，熟练掌握公式的基础应用，体会 “化曲为直、化圆为方” 的转化思想与极限思想，了解我国古代数学家的辉煌成就，为后续圆的面积综合应用筑牢认知与方法根基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 圆的面积核心定义 圆的面积的定义（圆所占平面的大小），面积与周长的概念区分 概念辨析法、直观感知法 混淆圆的面积与周长的概念，面积是平面大小，周长是曲线长度 面积公式推导 化圆为方转化法，将圆分割拼接成近似长方形，推导 操作探究法、转化推导法 无法理解转化逻辑，混淆长方形的长、宽与圆的对应关系 面积公式基础应用 已知半径 / 直径，运用求圆的面积，基础计算巩固 公式应用法、直接计算法 半径与直径混淆，公式记错，计算时平方失误 面积公式逆用 已知圆的面积，求半径、直径，公式逆推与方程求解 逆推公式法、方程法 公式变形错误，开方计算失误，忽略半径的正数属性 半径与面积的变化关系 圆的半径扩大 / 缩小倍，面积扩大 / 缩小倍 规律探究法、对比归纳法 误认为半径扩大倍，面积也扩大倍，忽略平方关系 数学史文化渗透 刘徽割圆术、“割之弥细，所失弥少” 的极限思想，我国古代数学成就 文化感悟法、历史探究法 对割圆术的核心思想理解不清，无法准确表述古代数学家的贡献 二、核心解题方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 转化推导法 圆的面积公式推导题型 ① 将圆平均分成若干个偶数份的扇形；② 把扇形拼接成近似的长方形；③ 分析长方形的长、宽与圆的周长、半径的对应关系；④ 由长方形面积公式推导出圆的面积公式 圆的面积不用慌，化圆为方来推导，长是周长的一半，宽是半径，长乘宽得面积，πr² 记心房 基础公式应用法 已知半径 / 直径求面积的基础题型 ① 明确已知条件是半径还是直径；② 已知直径先求半径；③ 代入面积公式计算；④ 检验结果，单位正确 面积公式要记牢，半径平方乘 π，直径先除以 2，再算平方错不了 面积逆推求解法 已知面积求半径 / 直径的题型 ① 由面积公式，逆推得；② 计算的值，开方求出半径；③ 直径；④ 或列方程求解，设半径为，列方程 面积逆用很简单，面积除以 π 得半径平方，开方得半径，直径再乘 2 变化规律判断法 半径与面积变化关系题型 ① 明确半径的变化倍数；② 面积的变化倍数是半径变化倍数的平方；③ 举例验证规律，确保判断正确 半径扩大 n 倍，面积扩大 n 平方倍，平方关系要记牢，不能直接乘倍数 概念辨析法 面积与周长的区分判断题型 ① 回忆面积与周长的定义；② 面积是圆所占平面的大小，单位是面积单位；③ 周长是曲线的长度，单位是长度单位；④ 结合定义判断正误 面积周长要分清，面积是平面大小，周长是曲线长度，单位不同概念不同 三、课时数学思想与素养提升 1. 转化思想：化圆为方的核心推导逻辑 核心要义：将曲线图形 “圆” 的面积计算，转化为已学的直线图形 “长方形” 的面积计算，把未知的曲线面积问题，转化为已知的直线图形面积问题，实现 “化曲为直、化圆为方” 的转化思想，培养转化与化归能力。 典型范式：把圆平均分成 16 份、32 份、64 份…… 的扇形，拼接成近似的长方形，分的份数越多，拼接的图形越接近长方形，从而把圆的面积转化为长方形的面积，推导出面积公式。 2. 极限思想：割圆术的数学本质 核心要义：通过对圆的无限分割，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，让学生理解 “无限逼近” 的极限思想，培养严谨的逻辑推理能力。 典型范式：圆平均分成的份数越多，拼接的图形的上下边越接近直线，图形越接近长方形，当分的份数无限多时，拼接的图形就完全等于长方形，从而实现面积公式的严谨推导。 3. 模型思想：圆的面积通用公式模型 核心要义：提炼出圆的面积通用计算公式，所有圆的面积计算都可以套用这个模型解决，实现 “学一类、通一片” 的迁移效果，培养模型建构与应用能力。 典型范式：无论是已知半径、直径求面积，还是已知面积求半径、直径，都可以通过的模型，通过公式变形或方程求解，实现公式的灵活应用。 4. 文化自信思想：数学史的文化渗透 核心要义：通过了解我国古代数学家刘徽的割圆术，感受我国古代数学的辉煌成就，理解极限思想的最早应用，培养民族自豪感与数学文化自信，落实新课标 “文化自信” 的核心素养要求。 典型范式：刘徽在 1700 多年前，就通过割圆术的方法，计算出圆周率的近似值，比西方早了 1000 多年，是我国古代数学的伟大成就。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：圆的面积公式推导（核心重难点） 典型例题 1（核心层级）—— 公式推导 题目：请你通过割补拼接的方法，推导出圆的面积公式，并说明推导过程中用到的数学思想。 思路点拨： ① 第一步：明确推导的核心方法：化圆为方，转化思想。将圆这个曲线图形，转化为已学的长方形直线图形，通过长方形的面积公式推导圆的面积公式。 ② 第二步：操作割补拼接： · 把一个圆平均分成若干个偶数份的扇形（如 16 份）； · 把上半部分的扇形和下半部分的扇形，交错拼接，拼成一个近似的长方形； · 分的份数越多，拼接的图形越接近长方形，当份数无限多时，就完全是长方形，体现极限思想。 ③ 第三步：分析对应关系： · 拼接成的长方形的长，等于圆的周长的一半，即； · 拼接成的长方形的宽，等于圆的半径。 · ④ 第四步：推导公式： · 长方形的面积 = 长 × 宽； · 代入对应关系，圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径 =； · 最终得到圆的面积公式：。 ⑤ 第五步：说明用到的数学思想：转化思想（化圆为方）、极限思想（无限分割逼近长方形）。 【答案】 推导过程如上，最终推导出圆的面积公式为，用到的数学思想是转化思想和极限思想。 【知识点睛】圆的面积公式推导核心要点： 1. 核心推导逻辑：化圆为方，将圆分割拼接成近似长方形，通过长方形面积公式推导圆的面积公式，本质是转化思想的应用。 2. 关键对应关系： · 长方形的长 = 圆周长的一半 = ； · 长方形的宽 = 圆的半径 = ； · 圆的面积 = 长方形的面积 = 长 × 宽 = 。 3. 极限思想的体现：分的份数越多，拼接的图形越接近长方形，当份数无限多时，图形就完全等于长方形，这是极限思想的核心应用。 4. 数学史背景：我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，首创 “割圆术”，通过不断倍增圆内接正多边形的边数，逼近圆的面积，是极限思想的最早应用，比西方早了 1000 多年。 5. 易错提醒：推导过程中，长方形的长是圆周长的一半，不是圆的周长；宽是圆的半径，不是直径，对应关系不能混淆。 考点二：面积公式的基础应用（核心必考） 典型例题 2（核心层级）—— 基础计算 题目：计算下面各圆的面积。 （1） （2） 思路点拨： ① 第（1）题： · 第一步：明确已知条件。题目给出了圆的半径厘米，直接代入面积公式。 · 第二步：选择公式。已知半径求面积，用公式。 · 第三步：代入数据计算。取 3.14，平方厘米。 · 第四步：检验作答。面积单位是平方厘米，计算正确，结果合理。 ② 第（2）题： · 第一步：明确已知条件。题目给出了圆的直径分米，需要先求出半径。 · 第二步：求半径。半径分米。 · 第三步：选择公式。代入面积公式，平方分米。 · 第四步：检验作答。面积单位是平方分米，计算正确，结果合理。 【答案】 （1）圆的面积是平方厘米； （2）圆的面积是平方分米。 【知识点睛】圆的面积公式基础应用核心要点： 1. 核心公式：，其中是圆的半径，通常取 3.14。 2. 解题通用步骤： ① 审题，明确已知条件是半径还是直径； ② 已知直径的，先通过求出半径； ③ 代入面积公式计算，注意先算平方，再算乘法； ④ 检验结果，面积单位是平方单位，规范作答。 3. 易错提醒：计算时先算半径的平方，再乘，不要先乘再平方；已知直径的，必须先求半径，再代入公式，不能直接用直径代入公式。 考点三：面积公式的逆用（提升层级） 典型例题 3（提升层级）—— 逆用求解 题目：一个圆的面积是 78.5 平方米，求这个圆的半径和直径。 思路点拨： ① 第一步：明确已知条件和所求问题。已知圆的面积平方米，求半径和直径，属于面积公式的逆用。 ② 第二步：逆推公式。由面积公式，等式两边同时除以，得到。 ③ 第三步：计算的值。取 3.14，。 ④ 第四步：求半径。因为，所以半径米（半径是正数，只取正根）。 ⑤ 第五步：求直径。直径米。 ⑥ 第六步：检验作答。把代入面积公式，平方米，符合已知条件，结果正确。 【答案】 这个圆的半径是米，直径是米。 【知识点睛】面积公式逆用核心要点： 1. 逆用公式： · 已知面积求半径的平方： · 已知面积求半径：（小学阶段通过平方数逆推） · 已知面积求直径： 2. 解题方法： · 方法一：公式逆推，先求，再通过平方数逆推半径，再求直径； · 方法二：方程法，设半径为米，根据面积公式列方程：，解方程得，，再求直径。 3. 易错提醒：逆用公式时，是面积除以得到，不是面积除以直接得到；半径是正数，只取正的平方根，忽略负数。 考点四：半径与面积的变化关系（提升层级） 典型例题 4（提升层级）—— 变化规律 题目：判断下面的说法是否正确？请说明理由。 （1）圆的半径扩大到原来的 2 倍，面积也扩大到原来的 2 倍。 （2）圆的半径扩大到原来的 3 倍，面积扩大到原来的 9 倍。 思路点拨： ① 第（1）题： · 第一步：举例验证。设原来的半径厘米，原来的面积平方厘米； · 半径扩大到原来的 2 倍后，厘米，面积平方厘米； · 面积扩大到原来的倍，不是 2 倍。 · 第二步：判断。说法错误。 ② 第（2）题： · 第一步：举例验证。设原来的半径厘米，原来的面积平方厘米； · 半径扩大到原来的 3 倍后，厘米，面积平方厘米； · 面积扩大到原来的倍。 · 第二步：判断。说法正确。 【答案】 （1）错误。理由：圆的半径扩大到原来的倍，面积扩大到原来的倍，半径扩大 2 倍，面积扩大 4 倍，不是 2 倍。 （2）正确。理由：半径扩大 3 倍，面积扩大倍，符合变化规律。 【知识点睛】半径与面积变化关系核心要点： 1. 核心规律：圆的半径扩大到原来的倍，直径扩大到原来的倍，周长扩大到原来的倍，面积扩大到原来的倍。 2. 规律推导： · 原来的面积； · 半径扩大倍后，，面积； · 因此面积扩大到原来的倍。 1. 易错提醒：面积的变化倍数是半径变化倍数的平方，和周长、直径的变化倍数不同，不能混淆。半径扩大倍，周长扩大倍，面积扩大倍，要严格区分。 考点五：圆的面积实际应用（拓展应用） 典型例题 5（拓展层级）—— 生活场景应用 题目：一个圆形花坛的直径是 20 米，要在花坛里铺满草坪，草坪的面积是多少平方米？如果每平方米草坪需要 8 元，铺满这个花坛一共需要多少元？ 思路点拨： ① 第一步：分析场景，明确所求问题。草坪的面积就是圆形花坛的面积，先求出花坛的面积，再计算总费用。 ② 第二步：求花坛的半径。已知直径米，半径米。 ③ 第三步：计算花坛的面积。代入面积公式，平方米。 ④ 第四步：计算总费用。每平方米 8 元，总费用 = 面积 × 每平方米价格 =元。 ⑤ 第五步：检验作答。草坪面积 314 平方米，总费用 2512 元，符合实际场景，结果合理。 【答案】草坪的面积是平方米，铺满花坛一共需要元。 【知识点睛】圆的面积实际应用核心要点： 1. 核心应用逻辑：生活中圆形物体的占地面积、铺地面积、桌面面积等，都是求圆的面积，先通过直径 / 半径求出面积，再结合其他条件计算总费用、总量等。 2. 常见生活场景： · 圆形花坛、草坪的占地面积； · 圆形桌面、井盖的面积； · 圆形蒙古包、帐篷的占地面积； · 圆形零件的横截面积。 3. 解题步骤： ① 分析场景，明确要求的是圆的面积； ② 提取已知的半径 / 直径，统一单位； ③ 代入面积公式计算面积； ④ 结合单价、数量等条件，计算最终结果； ⑤ 检验结果，结合实际场景判断合理性，规范作答。 4. 易错提醒：注意单位统一，直径和半径的对应关系，面积公式的正确应用，不要和周长公式混淆。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：面积公式记错，混淆半径与直径，漏算平方 错误范式：已知半径厘米，计算面积时，用平方厘米，漏算平方，结果错误；或已知直径厘米，直接用平方厘米，没有先求半径，结果错误。 成因剖析：对面积公式记忆不牢，混淆了半径和直径的公式，忘记了面积是半径的平方乘，不是直径的平方，也不是半径直接乘。 避坑方案：牢记面积公式：，必须是半径的平方乘。口诀：面积公式很简单，半径平方乘 π，直径先除以 2，再算平方错不了。计算前先看已知的是半径还是直径，直径必须先除以 2 求半径，再代入公式，先算平方，再算乘法。 易错点 2：面积与周长的概念混淆，单位混用 错误范式：一个圆的半径是 3 厘米，计算出周长是 18.84 厘米，面积是 28.26 厘米，面积单位错用成长度单位。 成因剖析：对面积和周长的概念理解不清，混淆了二者的定义和单位，周长是曲线的长度，单位是长度单位；面积是平面的大小，单位是面积单位。 避坑方案：牢记核心区分：周长是长度，单位用厘米、米；面积是平面大小，单位用平方厘米、平方米。口诀：周长算的是长度，单位长度要记牢；面积算的是大小，平方单位不能忘。计算时先明确求的是周长还是面积，再用对应的公式，单位也要对应。 易错点 3：半径与面积的变化关系混淆，误认为半径扩大 n 倍，面积扩大 n 倍 错误范式：判断题 “圆的半径扩大到原来的 3 倍，面积也扩大到原来的 3 倍”，直接打对号，忽略了平方关系。 成因剖析：对半径与面积的变化规律理解不清，没有通过举例验证，错误认为面积的变化倍数和半径的变化倍数相同。 避坑方案：牢记核心规律：半径扩大到原来的倍，面积扩大到原来的倍。口诀：半径扩大 n 倍，周长扩大 n 倍，面积扩大 n 平方倍，平方关系要记牢。遇到相关判断题，先举例验证，再判断，避免凭感觉出错。 易错点 4：面积公式逆用，与混淆，开方错误 错误范式：已知圆的面积是 28.26 平方厘米，求半径时，直接用，认为半径是 9 厘米，忘记了 9 是，不是，结果错误。 成因剖析：对面积公式的逆用逻辑理解不清，忘记了得到的是，不是，需要再通过平方数逆推半径。 避坑方案：牢记逆用步骤：已知面积求半径，先除以 π 得 r²，再看哪个数的平方等于 r²，这个数就是半径。口诀：面积逆用，先除 π，得 r 平方，再开方，半径数值不能忘。 易错点 5：实际应用中，单位不统一，直接计算 错误范式：一个圆形花坛的直径是 2 米，计算面积时，直接用平方米，忘记了直径要先除以 2 求半径，结果错误；或者直径 20 厘米，直接用 20 厘米计算，没有换算成米，单位不统一。 成因剖析：只关注数字计算，忽略单位的差异和直径与半径的区别，导致计算错误。 避坑方案：计算前先看单位和已知条件，单位不同先统一，直径先除以 2 求半径，再代入公式计算。口诀：计算面积先看条件，单位统一再动笔，直径先求半径，公式用对不出错。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空： （1）圆的面积是指圆所占（ ）的大小，它的计算公式是（ ）。 （2）圆的面积公式是通过把圆转化成（ ）推导出来的，这个过程用到的数学思想是（ ）和（ ）。 （3）已知半径厘米，面积（ ）平方厘米；已知直径分米，面积（ ）平方分米。 （4）一个圆的面积是 50.24 平方米，它的半径是（ ）米，直径是（ ）米。 （5）圆的半径扩大到原来的 4 倍，面积扩大到原来的（ ）倍。 2. 判断： （1）圆的面积公式是。（ ） （2）圆的半径越大，面积就越大。（ ） （3）圆的直径扩大到原来的 2 倍，面积也扩大到原来的 2 倍。（ ） （4）已知圆的面积，可以求出它的半径和直径。（ ） （5）周长相等的两个圆，面积也一定相等。（ ） 3. 选择： （1）一个圆的半径是 4 厘米，它的面积是（ ）平方厘米。 A. 12.56 B. 25.12 C. 50.24 （2）一个圆的面积是 314 平方分米，它的半径是（ ）分米。 A. 10 B. 20 C. 31.4 （3）下面的说法中，正确的是（ ）。 A. 圆的面积和周长相等 B. 圆的半径扩大 3 倍，面积扩大 9 倍 C. 圆的面积是半径的 π 倍 （4）在一个边长为 10 厘米的正方形里，画一个最大的圆，这个圆的面积是（ ）平方厘米。 A. 78.5 B. 314 C. 31.4 4. 计算下面各圆的面积： （1）半径米；（2）直径厘米；（3）周长分米，求面积。 5. 解决问题： （1）一个圆形圆桌的直径是 1.2 米，要在桌面上铺一块同样大小的玻璃，玻璃的面积是多少平方米？ （2）一个圆形草坪的半径是 15 米，这个草坪的面积是多少平方米？如果每平方米草坪需要 12 元，铺满这个草坪一共需要多少元？ 6. 说理题： 请你说一说，圆的面积公式是怎么推导出来的？我们在计算圆的面积时，要注意哪些问题？ 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 选择： （1）两个圆的半径比是 2:3，它们的面积比是（ ）。 A. 2:3 B. 4:9 C. 3:2 （2）一个圆的半径增加 2 厘米，面积增加了（ ）平方厘米。 A. 12.56 B. 25.12 C. 无法确定 （3）在一个长 8 厘米、宽 6 厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的面积是（ ）平方厘米。 A. 50.24 B. 28.26 C. 113.04 8. 填空： （1）一个圆的周长是 25.12 厘米，它的面积是（ ）平方厘米。 （2）圆的半径缩小到原来的，面积缩小到原来的（ ）。 （3）一个圆的面积是，如果半径扩大到原来的 2 倍，面积是（ ）。 9. 解决问题： （1）一个圆形喷水池的周长是 62.8 米，这个喷水池的占地面积是多少平方米？ （2）用一根长 31.4 分米的铁丝围成一个圆形，这个圆的面积是多少平方分米？ 10. 探究题： 两个圆的半径比是 1:2，它们的周长比是多少？面积比是多少？你发现了什么规律？ 三、思维素养拓展练（2 题） 11. 一个半圆形的花坛，周长是 20.56 米，这个花坛的面积是多少平方米？ 12. 甲、乙两个圆，甲圆的半径等于乙圆的直径，甲圆的面积比乙圆的面积多 94.2 平方厘米，求甲、乙两个圆的面积分别是多少平方厘米？ 四、数学活动拓展 实践活动：生活中的圆的面积大调查 活动任务： 1. 收集生活中 3 个圆形物体（如圆桌、井盖、钟面、圆形花坛等）； 2. 测量或查询物体的半径 / 直径，计算它的面积； 3. 和同学分享你的测量计算结果，讨论圆的面积在生活中的应用价值； 4. 自己编一道用圆的面积解决的实际应用题，和同学交换解答。 要求：通过真实生活调查与计算，深化对圆的面积公式的理解，体会数学的实用价值，提升应用意识与实践探究能力。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】 （1）平面； （2）长方形；转化思想；极限思想 （3）78.5；28.26 （4）4；8 （5）16 思路点拨： ① 圆的面积的定义和公式； ② 面积公式的推导方法，转化为长方形，用到转化思想和极限思想； ③ 半径 5cm，面积cm²；直径 6dm，半径 3dm，面积dm²； ④ ，半径 4m，直径 8m； ⑤ 半径扩大 4 倍，面积扩大倍。 【知识点睛】基础概念识记题型，全面覆盖圆的面积定义、公式推导、基础计算、逆用、变化规律，夯实概念基础。 2. 【答案】（1）√ （2）√ （3）× （4）√ （5）√ 思路点拨： ① 圆的面积公式是，正确； ② 半径越大，面积越大，正确； ③ 直径扩大 2 倍，半径扩大 2 倍，面积扩大 4 倍，错误； ④ 已知面积可以求半径和直径，正确； ⑤ 周长相等，半径相等，面积相等，正确。 【知识点睛】概念辨析题型，针对性规避面积变化规律、公式逆用等高频易错点，深化概念理解。 3. 【答案】（1）C （2）A （3）B （4）A 思路点拨： ① 半径 4cm，面积cm²，选 C； ② ，半径 10dm，选 A； ③ A 选项面积和周长单位不同，不能相等，错误；B 选项半径扩大 3 倍，面积扩大 9 倍，正确；C 选项面积是半径平方的 π 倍，错误，选 B； ④ 正方形内最大的圆，直径等于边长 10cm，半径 5cm，面积cm²，选 A。 【知识点睛】基础选择题型，考查面积计算、逆用、变化规律、正方形内最大圆，训练基础应用能力。 4. 【答案】 （1）（平方米） （2）半径厘米，（平方厘米） （3）半径分米，（平方分米） 思路点拨： 根据已知条件，先求半径，再代入面积公式计算，注意运算顺序，先算平方，再算乘法。 【知识点睛】基础计算题型，巩固面积公式的正反应用，训练规范的计算步骤。 5. 【答案】 （1）直径 1.2 米，半径米，面积（平方米） 答：玻璃的面积是 1.1304 平方米。 （2）半径 15 米，面积（平方米） 总费用：（元） 答：草坪的面积是 706.5 平方米，铺满需要 8478 元。 思路点拨： 实际应用中，先求半径，再计算面积，最后结合单价计算总费用，注意单位统一。 【知识点睛】基础应用题，结合生活场景考查面积的实际应用，强化知识的实际使用。 6. 【答案】 推导过程：把圆平均分成若干个偶数份的扇形，拼接成一个近似的长方形，分的份数越多，越接近长方形。长方形的长等于圆周长的一半（），宽等于圆的半径（），因为长方形的面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 =。 注意事项：① 计算前先明确已知条件是半径还是直径，直径要先除以 2 求半径；② 计算时先算半径的平方，再乘 π，运算顺序不能错；③ 面积单位是平方单位，不要和长度单位混淆；④ 已知面积求半径时，先除以 π 得 r²，再逆推半径，不要直接除以 π 得半径。 思路点拨： 从推导过程和计算注意事项两个维度阐述，逻辑清晰，覆盖核心要点。 【知识点睛】概念归纳题型，培养总结概括能力，深化对圆的面积公式的理解与应用。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】（1）B （2）C （3）B 思路点拨： ① 面积比是半径比的平方，，选 B； ② 原来的半径未知，无法确定增加的面积，选 C； ③ 长方形内最大的圆，直径等于宽 6cm，半径 3cm，面积cm²，选 B。 【知识点睛】综合应用题型，考查面积比、长方形内最大圆、面积变化，提升综合应用能力。 8. 【答案】 （1）50.24 （2） （3） 思路点拨： ① 半径cm，面积cm²； ② 半径缩小到，面积缩小到； ③ 半径扩大 2 倍，面积扩大 4 倍，为。 【知识点睛】进阶填空题，考查周长与面积的综合应用、变化规律，强化灵活应用能力。 9. 【答案】 （1）半径米，面积（平方米） 答：喷水池的占地面积是 314 平方米。 （2）半径分米，面积（平方分米） 答：这个圆的面积是 78.5 平方分米。 思路点拨： 已知周长求面积，先通过周长公式求出半径，再代入面积公式计算，步骤规范。 【知识点睛】综合应用题，结合周长与面积的公式应用，提升分析与解决问题的能力。 10. 【答案】 周长比是 1:2，面积比是 1:4。 规律：两个圆的半径比是，则周长比是，面积比是，面积比是半径比的平方。 举例：半径 1cm 和 2cm，周长比，面积比，符合规律。 思路点拨： 通过举例计算，验证半径比、周长比、面积比的关系，归纳出通用规律。 【知识点睛】探究拓展题型，通过举例验证规律，培养归纳推理能力，深化对圆的半径、周长、面积关系的理解。 三、思维素养拓展练解析 11. 【答案】 先求半圆的半径： 设半圆的半径为米，半圆周长公式为 再求半圆的面积： 半圆面积 =（平方米） 答：这个花坛的面积是 25.12 平方米。 思路点拨： 先根据半圆周长公式列方程求出半径，再代入半圆面积公式计算，注意半圆面积是圆面积的一半。 【知识点睛】半圆周长与面积结合的拓展题，培养方程思想与综合应用能力，深化对半圆相关公式的理解。 12. 【答案】 设乙圆的半径为厘米，则甲圆的半径为厘米。 甲圆的面积： 乙圆的面积： 面积差： 解得： 甲圆的面积：（平方厘米） 乙圆的面积：（平方厘米） 答：甲圆的面积是 125.6 平方厘米，乙圆的面积是 31.4 平方厘米。 思路点拨： 根据甲、乙圆的半径关系，设未知数，分别表示出面积，再根据面积差列方程求解，计算出两个圆的面积。 【知识点睛】两圆面积结合的拓展题，培养方程思想与逻辑推理能力，深化对圆的面积公式的综合应用。 四、数学活动拓展解析 活动参考过程： 1. 场景调查：收集圆桌、井盖、钟面、圆形花坛等生活中的圆形物体，测量或查询半径 / 直径数据； 2. 计算实践：对每个物体，代入面积公式计算面积，结合实际场景理解面积的应用价值； 3. 分享交流：和同学分享计算结果，讨论圆的面积在生活中的广泛应用，总结不同场景的解题注意事项； 4. 编题互动：自主编一道用圆的面积解决的实际应用题，和同学交换解答，互相批改，巩固方法。 【知识点睛】通过真实生活实践，深化对圆的面积公式的理解，提升应用意识、实践探究能力与合作交流能力，让学生在真实场景中感受数学的实用价值，落实应用意识核心素养的培养目标。 1 学科网（北京）股份有限公司 $