两个计数原理的应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以两个计数原理为核心，通过基础到提升的层级设计，系统构建“原理应用-分类讨论-情境迁移”的解题方法体系，强化逻辑推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |必备知识基础|7题|分步乘法/分类加法原理直接应用、特殊元素优先法|从数字、集合等简单情境切入，构建计数原理基本应用框架| |关键能力提升|7题|正难则反（13题）、分类讨论（11题）、分步涂色法（10题）|拓展至新情境（科创竞标）、复杂结构（子集对、多区域涂色），形成“原理-变式-综合”递进逻辑|

2027届高考数学一轮复习专项训练 两个计数原理的应用 一、必备知识基础 1.从0,1,2,…,9这10个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a,b)的坐标,能够确定不在x轴上的点的个数是(　　) A.100 B.90 C.81 D.72 2.把10个一模一样的乒乓球分成三堆,要求每堆至少1个,至多5个,则不同的分法共有(　　) A.4种 B.5种 C.6种 D.7种 3.某城市的电话号码由七位升为八位(首位数字均不为零),则该城市可增加的电话部数是(　　) A.9×8×7×6×5×4×3×2 B.8×97 C.9×107 D.8.1×107 4.某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班,甲、乙、丙、丁四人报名参加,每人只报名参加一项,且甲、乙不参加同一项,则不同的报名方法种数为　　　. 5.已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对∀x∈A,y∈B,x<y恒成立,则称(A,B)为集合M的一个“子集对”,则集合M的“子集对”共有　　　个.  6.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1个,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案有　　　种.  7.现有某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则不同的选取种数为　　　,m,n都取到奇数的概率为　　　.  二、关键能力提升 8.(新情境)为全面提升学生的科创实践能力,某校举办“科创项目竞标赛”,设置了智能机器人、无人机编程、航天模型、新能源技术共4个不同的竞标项目,由4名同学通过随机抽签确定每人负责一个项目.已知这4名同学每人都有且仅有一个心仪的竞标项目,且4人心仪的项目互不相同,则仅有1名同学抽到自己心仪的竞标项目的抽取方法种数为(　　) A.4 B.8 C.12 D.24 9.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中,位于第一、二象限不同点的个数为(　　) A.18 B.16 C.14 D.10 10.现有五种不同的颜色,要对图形中的四个部分进行着色,要求有公共边的相邻两个部分不能用同一种颜色,不同的涂色方法有　　　种.  11.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷三次,掷出的数字顺次排成一个三位数. (1)可以排出多少个不同的三位数? (2)各位数字互不相同的三位数有多少个? (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个? 12.将5种不同的颜色分别填入下图中,要求相邻的区域不同色,求各自不同的填法数. 图1 图2 图3 13.将三个分别标有A,B,C的球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.求: (1)1号盒中无球的不同放法种数; (2)1号盒中有球的不同放法种数. 参考答案 1.C　分两步完成:第1步,先选b.因为b≠0,所以有9种不同的选法;第2步,选a,因为a≠b,所以有9种不同的选法.由分步乘法计数原理知,能够确定不在x轴上的点的个数为9×9=81. 2.A　三堆中“最多”的一堆为5个,其他两堆总和为5,每堆至少1个,只有2种分法,即1和4,2和3两种方法. 三堆中“最多”的一堆为4个,其他两堆总和为6,每堆至少1个,只有2种分法,即2和4,3和3两种方法. 由分类加法计数原理,不同的分法共有2+2=4种. 3.D　电话号码是七位数字时,由分步乘法计数原理,该城市可安装电话9×106部,同理升为八位时,由分步乘法计数原理,该城市可安装电话9×107部,所以可增加的电话部数是9×107-9×106=8.1×107. 4.54　甲有三个培训班可选,甲、乙不参加同一项,所以乙有两个培训班可选,丙、丁各有三个培训班可选,根据分步乘法计数原理,不同的报名方法种数为3×2×3×3=54. 5.17　当A={1}时,B有23-1=7种情况; 当A={2}时,B有22-1=3种情况; 当A={3}时,B有1种情况; 当A={1,2}时,B有22-1=3种情况; 当A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B均有1种情况,所以集合M的“子集对”共有7+3+1+3+3=17个. 6.96　完成承建任务可分五步.第1步,安排1号子项目,有4种不同的承建方案;第2步,安排2号子项目,有4种不同的承建方案;第3步,安排3号子项目,有3种不同的承建方案;第4步,安排4号子项目,有2种不同的承建方案;第5步,安排5号子项目,有1种承建方案.由分步乘法计数原理得,共有4×4×3×2×1=96种不同的承建方案. 7.63　　因为正整数m,n满足m≤7,n≤9,由分步乘法计数原理,(m,n)所有可能的取值的种数为7×9=63,其中m,n都取到奇数的情况有4×5=20种,故所求概率为 8.B　从4名同学中选1名同学抽到自己心仪的竞标项目,则有4种情况.设剩下3名同学分别为甲、乙、丙,他们心仪的竞标项目分别为A,B,C,当甲抽到B时,乙只能抽到C,丙只能抽到A;当甲抽到C时,乙只能抽到A,丙只能抽到B,共2种情况.故仅有1名同学抽到自己心仪的竞标项目的抽取方法有4×2=8(种). 9.C　分两类:第1类,以集合M中的元素为横坐标,以集合N中的元素为纵坐标,位于第一、第二象限不同点的个数为3×2=6; 第2类,以集合N中的元素为横坐标,以集合M中的元素为纵坐标,位于第一、第二象限不同点的个数为4×2=8. 由分类加法计数原理,位于第一、第二象限不同点的个数为6+8=14. 10.180　依次给区域Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ涂色,分别有5,4,3,3种不同的涂色方法,根据分步乘法计数原理,不同的涂色方法的种数为5×4×3×3=180. 11.解 (1)分三步完成:第1步,排百位,有6种排法; 第2步,排十位,有6种排法; 第3步,排个位,有6种排法. 根据分步乘法计数原理知,可以排出6×6×6=216个不同的三位数. (2)分三步完成:第1步,排百位,百位上数字的排法有6种; 第2步,排十位,十位上数字的排法有5种; 第3步,排个位,个位上数字的排法有4种. 根据分步乘法计数原理知,各位数字互不相同的三位数有6×5×4=120(个). (3)两个数字相同有三种可能,即百位、十位相同,十位、个位相同,百位、个位相同,且每种都有6×5=30个三位数,故满足条件的三位数共有3×30=90(个). 12.解 在题图1中,当对角区域同色时,有5×4×4种填法; 当对角区域异色时,有5×4×3×3种填法. 综上,不同的填法有5×4×4+5×4×3×3=260(种). 在题图2中,先除去左上角,问题化为题图1,由题图1知,有260种填法. 再填左上角的区域,有3种,则有260×3=780种填法. 在题图3中,左边区域有5种颜色可供选择,右上区域有4种填法,右中区域有3种填法,右下区域有3种填法,则共有5×4×3×3=180种填法. 13.解 (1)1号盒中无球即A,B,C三个球只能放入2,3,4号盒子中,由分步乘法计数原理,有33=27种放法. (2)1号盒中有球可分三类:第一类是1号盒中有一个球,共有3×32=27种放法;第二类是1号盒中有两个球,共有3×3=9种放法,第三类是1号盒中有三个球,有1种放法. 由分类加法计数原理,共有27+9+1=37种放法. 学科网（北京）股份有限公司 $