第60讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以分类加法与分步乘法计数原理为核心，通过基础到复杂场景的梯度训练，系统提炼直接应用、分类讨论、排除法等解题方法，构建“原理-应用-拓展”的知识逻辑链，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-4题|直接应用计数原理|原理概念直接应用，建立分步与分类思维| |综合应用|5-11题|分类讨论+排除法|原理结合限制条件，提升逻辑推理能力| |拓展提升|12-16题|特殊情境建模|原理在几何/集合/数列中迁移，强化数学应用意识|

第60讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (时间:45分钟) 1.三名同学分别从英语和日语中选修一门外语课程,则不同的选法种数为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.23 D.32 2.有5本不同的语文书,4本不同的数学书,3本不同的英语书,从中任取一本,不同的取法有 (　 ) A.3种 B.12种 C.60种 D.以上答案均不正确 3.为响应国家“节约粮食”的号召,某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤菜、4种小荤菜中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜,并在用餐时积极践行“光盘行动”,则不同的选取方法有 (　 ) A.48种 B.36种 C.24种 D.12种 4.[2025·江苏徐州模拟] 甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩,其中甲去过北京,所以甲不去北京,则不同的选法有 (　 ) A.18种 B.48种 C.108种 D.192种 5.(多选题)若从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2,3,3,4条,现要从一面上山,从剩余三面中的任意一面下山,则下列结论正确的是 (　 ) A.从东面上山有20种走法 B.从西面上山有27种走法 C.从南面上山有30种走法 D.从北面上山有32种走法 6.用1,5,9,13中任意一个数作分子,4,8,12,16中任意一个数作分母,可构造　　　　个不同的分数,可构造　　　　个不同的真分数.  7.如图,用四种不同颜色给矩形A,B,C,D涂色,要求相邻的矩形涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有　　　　种.  8.由数字1,2,3,4可以组成可以有重复数字的三位奇数的个数为 (　 ) A.12 B.24 C.48 D.32 9.一个盒子里有4个分别标有号码1,2,3,4的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号的最大值是4的取法有 (　 ) A.17种 B.27种 C.37种 D.47种 10.某日,甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到A,B,C三家医院接种疫苗且每个单位只能被随机预约到一家医院,每家医院每日至多接待两个单位.已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗,B医院接种的是需要打两针的灭活疫苗,C医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗,则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为 (　 ) A.27 B.24 C.18 D.16 11.(多选题)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的三位数.如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如301,423等都是“凹数”,则下列结论中正确的是 (　 ) A.组成的三位数的个数为60 B.在组成的三位数中,偶数的个数为30 C.在组成的三位数中,“凹数”的个数为20 D.在组成的三位数中,“凹数”的个数为30 12.古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界,画出形状相同的两个阴阳鱼,阳鱼的头部有个阴眼,阴鱼的头部有个阳眼,表示万物都在相互转化,互相渗透,阴中有阳,阳中有阴,阴阳相合,相生相克,蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.由八卦模型图可抽象得到正八边形,从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形,其中梯形的个数为　　　　.  13.集合A是{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}的子集,且A中的元素有完全平方数,则满足条件的集合A共有　　　　个.  14.如图,这是一面含A,B,C,D,E,F六块区域的墙,现有五种不同颜色的油漆,一位工人要对这面墙涂色,相邻的区域不同色,则共有　　　　种不同的涂色方法;若区域D不能涂甲颜色,则共有　　　　种不同的涂色方法.  15.魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法,风靡程度经久未衰,每年都会举办大小赛事,是最受欢迎的智力游戏之一.已知经典三阶魔方(如图)自由转动之后的色块组合约有4.3×1019种.现将如图所示已还原的魔方按5步打乱,且每一步互相独立,则打乱方式共有 (　 ) A.种 B.种 C.185种 D.195种 16.[2024·上海延安中学三模] 已知数列{an}共有5项,且满足:①a1=,a5=;②a1<a2<a3<a4<a5;③cos2an+1=sin2an,n=1,2,3,4.则满足条件的数列{an}共有　　　　个.  参考答案 第60讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.C　[解析] 因为每名同学均有2门外语课程可以选择,所以不同的选法有2×2×2=23(种).故选C. 2.B　[解析] 分3类:取一本语文书有5种方法,取一本数学书有4种方法,取一本英语书有3种方法.由分类加法计数原理得,不同的取法有5+4+3=12(种),故选B. 3.B　[解析] 由题意可知,分三步完成:第一步,从2种主食中任选一种,有2种选法;第二步,从3种素菜中任选一种,有3种选法;第三步,从6种荤菜中任选一种,有6种选法.根据分步乘法计数原理,共有2×3×6=36(种)不同的选取方法,故选B. 4.D　[解析] 应该分步完成:第一步,因为甲不去北京,所以甲从上海、西安、长沙三个城市中任选一个,有3种选法;第二步,乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个,有4×4×4=64(种)选法.由分步乘法计数原理可得,不同的选法有3×64=192(种).故选D. 5.ABD　[解析] 若从东面上山,则上山走法有2种,下山走法有10种,由分步乘法计数原理可得共有20种走法,故A正确;若从西面上山,则上山走法有3种,下山走法有9种,由分步乘法计数原理可得共有27种走法,故B正确;若从南面上山,则上山走法有3种,下山走法有9种,由分步乘法计数原理可得共有27种走法,故C错误;若从北面上山,则上山走法有4种,下山走法有8种,由分步乘法计数原理可得共有32种走法,故D正确.故选ABD. 6.16　10　[解析] 从1,5,9,13中任选一个数作分子,4,8,12,16中任选一个数作分母,可构造4×4=16(个)不同的分数.由真分数的定义知,①若1为分子,则分母有4种选择;②若5为分子,则分母有3种选择;③若9为分子,则分母有2种选择;④若13为分子,则分母有1种选择.所以真分数共有4+3+2+1=10(个). 7.48　[解析] 先涂矩形A,再依次涂矩形B,C,D,根据分步乘法计数原理,共有4×3×2×2=48(种)涂色方法. 8.D　[解析] 由数字1,2,3,4组成的可以有重复数字的三位奇数中,个位数字从两个奇数中选择,十位、百位没有限制,依据分步乘法计数原理,共有2×4×4=32(个).故选D. 9.C　[解析] 从盒子中每次取出一个小球,共取3次,有43=64(种)取法,其中取得小球标号的最大值不是4的取法有33=27(种),所以取得小球标号的最大值是4的取法有64-27=37(种),故选C. 10.D　[解析] 由题意,甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗,即甲单位不可预约C医院,则甲单位可预约A,B两家医院.①若甲单位预约A医院,乙单位预约A医院,则丙单位可预约B,C医院,有2种情况;②若甲单位预约A医院,乙单位预约B或C医院,则丙单位可预约A,B,C医院,有2×3=6(种)情况;③若甲单位预约B医院,乙单位预约A或C医院,则丙单位可预约A,B,C医院,有2×3=6(种)情况;④若甲单位预约B医院,乙单位预约B医院,则丙单位可预约A,C医院,有2种情况.所以甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为2+6+6+2=16.故选D. 11.BC　[解析] 因为百位上的数字不能为0,所以组成的三位数的个数为4×4×3=48,故A错误;将所有三位数的偶数分为两类,①个位数为0,则有4×3=12(个),②个位数为2或4,则有2×3×3=18(个),所以在组成的三位数中,偶数的个数为12+18=30,故B正确;将组成的三位数中的“凹数”分为三类,①十位为0,则有4×3=12(个),②十位为1,则有3×2=6(个),③十位为2,则有2×1=2(个),所以在组成的三位数中,“凹数”的个数为12+6+2=20,故C正确,D错误.故选BC. 12.24　[解析] 梯形的上、下底平行且不相等,如图.若以AB为底边,则可构成2个梯形,根据对称性可知,此类梯形有2×8=16(个);若以AC为底边,则可构成1个梯形,此类梯形共有1×8=8(个).所以梯形的个数是16+8=24. 13.896　[解析] 集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中的完全平方数有1,4,9,令B={1,4,9},C={2,3,5,6,7,8,10},则集合B={1,4,9}的非空子集有23-1=7(个),集合C={2,3,5,6,7,8,10}的子集有27=128(个),则满足条件的集合A为集合B的非空子集与集合C的子集的并集,故共有7×128=896(个). 14.1200　960　[解析] 第一空:若C,E的涂色相同,则共有5×4×3×2×3=360(种)不同的涂色方法;若C,E的涂色不相同,则共有5×4×3×2×(1×3+2×2)=840(种)不同的涂色方法.故共有360+840=1200(种)不同的涂色方法.第二空:因为区域D不能涂甲颜色,所以区域D的涂色方法有4种.若C,E的涂色相同,则共有4×4×3×3×2=288(种)不同的涂色方法;若C,E的涂色不相同,则共有4×4×3×2×(1×3+2×2)=672(种)不同的涂色方法.故共有288+672=960(种)不同的涂色方法. 15.C　[解析] 在三阶魔方中,随机选择一层,有9种选法,每一层有2种旋转方式,故每一次旋转魔方,有9×2=18(种)旋转方式,所以若将一个已还原的三阶魔方按5步打乱,且每一步互相独立,则共有185种打乱方式.故选C. 16.80　[解析] 因为cos2an+1=sin2an,cos2an+1+sin2an+1=1,所以sin2an+sin2an+1=1,又sin2a1=sin2=,所以sin2a2=,sin2a3=,sin2a4=,所以sin a2=±,sin a3=±,sin a4=±,又因为a1=,a5=,a1<a2<a3<a4<a5,所以a2,a4∈,a3∈.当a3=时,a2有2种选法,a4有6种选法,一共有2×6=12(种)选法;当a3=时,a2有2种选法,a4有6种选法,一共有2×6=12(种)选法;当a3=时,a2有4种选法,a4有4种选法,一共有4×4=16(种)选法;当a3=时,a2有4种选法,a4有4种选法,一共有4×4=16(种)选法;当a3=时,a2有6种选法,a4有2种选法,一共有6×2=12(种)选法;当a3=时,a2有6种选法,a4有2种选法,一共有6×2=12(种)选法;当a3=时,a2有8种选法,a4有0种选法,一共有8×0=0(种)选法.所以满足条件的数列{an}共有12+12+16+16+12+12+0=80(个). 1 学科网（北京）股份有限公司 $