2.2.1《配方法》同步学案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦《配方法》，核心知识点包括直接开平方法、完全平方公式应用及配方法五步步骤。课堂导入从正方形苗圃改造的生活情境引出方程，通过回顾平方根和直接开平方法，逐步过渡到配方法，搭建知识前后联系的学习支架。 该导学案以化归思想为主线，通过分层习题（基础、能力、拓展、中考链接）和易错专攻，培养学生运算能力和推理能力。生活情境导入体现模型观念，学后反思引导自主总结，助力学生扎实掌握配方法，提升数学核心素养。

2.2.1《配方法》同步学案·答案与解析 苏科版 九年级数学 上册 · 第 2 章第 2 节（第 1 课时） 2026–2027 学年 · 1 课时 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 使用说明：本册为《2.2.1《配方法》同步学案》的配套讲评稿.每题按【原题】→【考查】→【解答】→【易错】四步呈现，题号与学案完全一致，可逐题对照订正. 一、★A 基础过关 · 逐题精讲 A1． 【原题】用直接开平方法解方程 . 【考查】直接开平方法的依据：一个正数有两个平方根 【解答】答案 ，.因为 的平方根有两个，所以两边直接开平方得 ，即 ，. 【易错】开平方只写正根，漏掉负根；应写 ，两根都要写出. A2． 【原题】填空：把 配方，应加上常数项 ______，写成完全平方式 的形式. 【考查】配方补项：加上一次项系数一半的平方 【解答】答案 加 ，.一次项系数 的一半是 ，其平方为 ，故 . 【易错】补的常数项算错；一次项系数是 ，一半是 ，应加 . A3． 【原题】将 配方，写成 的形式. 【考查】配方补项（一次项系数为负） 【解答】答案 .一次项系数 的一半是 ，平方为 ，故 . 【易错】一次项系数为负时，一半的平方仍为正； 的一半是 ，平方是 . A4． 【原题】填空：若要使 成为完全平方式，应加上 ______（用含 的代数式表示）. 【考查】配方的一般结论：加 【解答】答案 .一次项系数为 ，一半是 ，其平方为 ，故加 得 . 【易错】忘记除以 或忘记平方，误写成 ；应是 . A5． 【原题】用直接开平方法解方程 . 【考查】形如 直接开平方 【解答】答案 ，.两边开平方得 ，所以 ，即 ，. 【易错】开平方后忘记把常数项移回去，写成 ；应为 . A6． 【原题】解方程 （提示：先使二次项系数为 ）. 【考查】系数化 1 后再开平方 【解答】答案 ，.移项得 ，两边同除以 得 ，开平方得 . 【易错】没有先除以 就直接开平方；应先化为 再求解. A7． 【原题】解方程 . 【考查】括号内含一次项时的直接开平方 【解答】答案 ，.开平方得 ，即 ，所以 ，得 ，. 【易错】开平方后写成 但忘了除以 ；解得 . A8． 【原题】用配方法解方程 . 【考查】二次项系数为 1 的完整配方五步 【解答】答案 ，.移项得 ，两边同加 得 ，开平方得 ，故 ，. 【易错】只给左边配方、右边忘记同加 ；应得 . 二、★★B 能力提升 · 逐题精讲 B1． 【原题】用配方法求二次式 的最小值，并说明 取何值时取得. 【考查】配方求最值（不解方程，把二次式化为 ） 【解答】答案 最小值为 ，当 时取得.配方得 .因为 ，所以当 时原式取最小值 . 【易错】配方时只加不减，写成 ；应减去所加的常数 . B2． 【原题】不论 取何实数，判断 的值是否恒为正，并说明理由. 【考查】配方判断二次式的符号 【解答】答案 恒为正.配方得 .因为 ，所以原式 ，恒为正. 【易错】配方后写成 却误判为可等于 ； 故恒大于 . B3． 【原题】用配方法求 的最大值. 【考查】二次项系数为负时配方求最大值 【解答】答案 最大值为 .原式 .因为 ，所以当 时取最大值 . 【易错】先提负号时括号里符号弄错；应为 . 三、★★★C 拓展挑战 · 逐题精讲 C1． 【原题】若 ，求 、 的值. 【考查】非负数性质：几个平方式的和为 0 则每个都为 0 【解答】答案 ，.因为 且 ，和为 只能两项都为 ，故 、，得 ，. 【易错】忘记平方数非负试图分别讨论；直接由各项为 得 、. C2． 【原题】若 ，求 的值. 【考查】非负数性质的逆向应用 【解答】答案 .由非负数性质得 且 ，所以 ，，故 . 【易错】只求到一个字母就停；需两个都求出再相加. 四、能力提升·拓展 逐题精讲 D1． 【原题】用配方法解方程 . 【考查】二次项系数不为 1 的配方（先化 1 再配方） 【解答】答案 ，.两边同除以 得 ，移项配方得 ，开平方得 . 【易错】没有先除以 就对 直接配方；应先得 . D2． 【原题】用配方法解方程 . 【考查】二次项系数不为 1 的配方（分数结果） 【解答】答案 ，.除以 得 ，移项得 ，配方得 ，开平方得 . 【易错】除以 后常数项算错；应为 ，配方得 . 五、真题演练·中考链接 逐题精讲 E1． 【原题】将方程 配方成 的形式，求 、 的值. 【考查】配方与参数反求：配方后比较系数 【解答】答案 ，.移项得 ，两边同加 得 ，与 比较得 ，. 【易错】配方时右边忘记同加；应得 ，故 、. E2． 【原题】若 是一个完全平方式，求 的值. 【考查】完全平方式的系数关系（与配方互补） 【解答】答案 .完全平方式形如 ，故一次项系数 . 【易错】只想到 漏掉 ；完全平方式可写成 ，一次项系数有正负两种. E3． 【原题】要使 成为完全平方式，求 的值. 【考查】完全平方式的逆向识别 【解答】答案 .观察常数项 ，对照完全平方式 ，一次项系数应为 ，所以 . 【易错】漏掉负值；常数项为 ，一次项系数 . 六、错因统计与订正指引 把做错的题号填进对应格子，就能看出自己的薄弱点，并按“补救动作”针对性重练： ① 直接开平方类错（A1、A5、A7）→ 我错了 ______ 题.补救：牢记“一个正数有两个平方根”，把这三题的两个根重新完整写一遍. ② 配方补项错（A2、A3、A4、A8）→ 我错了 ______ 题.补救：任写 5 个 的式子，逐一补上一次项系数一半的平方并写成完全平方式. ③ 系数化 1 漏做（A6、D1、D2）→ 我错了 ______ 题.补救：见到二次项系数不是 ，先在草稿纸角落写下“先除以系数”五个字再动笔. ④ 右边忘记同加（E1、B1）→ 我错了 ______ 题.补救：把配方每一步写成“左边 = 右边”的对照两行，强制两边同步变化. ⑤ 配方的综合应用错（C1）→ 我错了 ______ 题.补救：专练“几个完全平方式的和为 ”模型 3 题，体会“每一项都必须为 ”. 订正要求：错题不是抄一遍答案，而是①写清错在哪一步 ②写出正确的那一步 ③在错点分类表里打勾. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1《配方法》同步学案 苏科版 九年级数学 上册 · 第 2 章第 2 节（第 1 课时） 2026–2027 学年 · 1 课时 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 一、学习目标 （核心素养指向：运算能力、推理能力、模型观念）本课结束后，你应该能够： 1. 能说出平方根的意义，会用直接开平方法解形如 与 的方程，并写全两个根. 2. 能用完全平方公式把 补成完全平方式，说出“补上一次项系数一半的平方”这一关键步骤. 3. 能按“化 1 → 移项 → 两边同加 → 写成完全平方 → 开平方”五步，用配方法解一元二次方程，包括二次项系数不为 1 的情形. 二、学习重难点 重点：配方法的五个步骤，尤其是“两边同加一次项系数一半的平方”. 难点：二次项系数不为 1 时先化 1 再配方；配方过程中右边同步变化的符号处理. 三、学法指导·知识回顾 1. 学习路径：回顾平方根 → 直接开平方法解 → 用完全平方公式“凑”出 → 归纳配方五步 → 处理二次项系数不为 1 的情形. 2. 本课数学思想方法主线：核心是“化归”思想——把不会解的 ，一步步转化成会解的 .全课每一步变形都在服务这一个目的. 3. 已学铺垫（先自己答一答）：（1）、、 的平方根分别是什么？（2） 与 的展开式是什么？（3）2.1 学过：怎样检验一个数是不是方程的解？ 配方法是本章的“母法”：下一节的求根公式，正是对一般式 直接配方推导出来的.这一节学扎实，公式法就水到渠成. 四、知识清单·划重点 1. 直接开平方法：如果 （ ______ ），那么 ______；形如 （）的方程，开平方得 ______，从而 ______， ______. 2. 完全平方公式：；.配方的关键：给 补上一次项系数 的 ______ 的平方，即加上 ______. 3. 配方法五步：① 二次项系数化为 ______；② 移项（把 ______ 项移到方程右边）；③ 两边同加 ______；④ 左边写成 ______ 式；⑤ ______ 求解. 4. 判断有没有解：配方后若右边 ，方程有 ______ 个不相等的实数根；若 ，有 ______ 个相等的实数根；若 ，方程 ______ 实数根. 小贴士：① 左边加多少，右边就必须加多少——这是本节头号得分点；② 二次项系数不是 时，常数项也要一起除；③ 开平方后别忘了负根，两个根都要写. 五、情境导入 生活情境：学校劳动基地有一块正方形苗圃，为扩大种植面积，把它的一边增加 3 m（另一边不变），改造成一块矩形苗圃，量得矩形面积是 40 . 设原正方形的边长为 m，由“面积 = 长 × 宽”可列出 ，整理成一般形式就是 . （示意图：方形苗圃地块） 想一想：2.1 我们只学了怎样“写出”这样的方程，还没学怎样“解”它.但如果方程长成 的样子，你能立刻求出 吗？ 本课要做的事，就是把 这类方程，想办法“变形”成能直接开平方的样子. 本环节先不必算出 ，重点体会：解方程的思路是“把陌生的化成熟悉的”. 六、典例精析与变式 例 1（基础 · 直接开平方法）：解下列方程. (1) ；(2) . 【分析】形如 或 且 时，两边可直接开平方；注意一个正数有两个平方根，符号 不能丢. 【解答】(1) 开平方得 ，即 ，；(2) 开平方得 ，即 或 ，所以 ，. 变式 1：解方程 . 【解答】两边先除以 得 ，开平方得 ，所以 ，. 例 2（变式 · 配方法，二次项系数为 1）：用配方法解方程 . 【分析】先把常数项移到右边，再给左边补上一次项系数 的一半的平方，即补 ；右边必须同时加 . 【解答】移项得 .两边同加 ，得 ，即 .开平方得 ，所以 ，. 变式 2：用配方法解方程 . 【解答】移项得 .两边同加 ，得 .开平方得 ，所以 ，. 例 3（综合 · 二次项系数不为 1）：用配方法解方程 . 【分析】二次项系数不是 ，第一步必须两边同除以 （常数项也要除），之后再按五步配方. 【解答】两边同除以 ，得 .移项得 .两边同加 ，得 .开平方得 ，所以 ，. ★ 易错预警：① 只在左边加“一半的平方”，右边忘了加——本节头号错因.② 二次项系数不为 时直接配方.③ 开平方只写正根，漏掉负根.④ 配方后右边是负数（如 ）应判定无实数根，不要硬开方. 七、夯实基础·当堂测 限时 15 分钟，独立完成.做完先自己圈出没把握的题号，再对照配套讲评稿逐题订正. ★A 基础过关 本组练什么：本组 8 题依据教材例习题的基础考法编写，覆盖本节四类必会题型——直接开平方（A1、A5、A7）、配方补项与完全平方式（A2、A3、A4、A8）、系数化 1 的第一步（A6）.做完这 8 题，本节基础分即可拿满. A1． 用直接开平方法解方程 . A2． 填空：把 配方，应加上常数项 ______，写成完全平方式 的形式. A3． 将 配方，写成 的形式. A4． 填空：若要使 成为完全平方式，应加上 ______（用含 的代数式表示）. A5． 用直接开平方法解方程 . A6． 解方程 （提示：先使二次项系数为 ）. A7． 解方程 . A8． 用配方法解方程 . ★★B 能力提升 本组练什么：本组练“配方法的反向用法”——不解方程，而是用配方判断一个二次式的正负或最值.这是配方法从“解方程工具”升级为“分析工具”的关键一跳. B1． 用配方法求二次式 的最小值，并说明 取何值时取得. B2． 不论 取何实数，判断 的值是否恒为正，并说明理由. B3． 用配方法求 的最大值. ★★★C 拓展挑战 本组练什么：本组练“两个完全平方式的和为 0”这一经典模型：只有每一项都为 才成立，由此一次求出两个字母的值.期末填空压轴常客. C1． 若 ，求 、 的值. C2． 若 ，求 的值. 八、能力提升·拓展 本组练什么：本组练带分数的配方——二次项系数不为 、配方后右边是分数.这类题步骤最长、最容易半路算错，务必一步一行写清楚. D1． 用配方法解方程 . D2． 用配方法解方程 . 二次项系数不为 时，“先除后配”永远是第一步；而且要注意：配方补的是化 1 之后那个一次项系数的一半的平方，不是原来的. 九、易错专攻 错点 1：只在左边加“一半的平方”，右边忘记同加. 辨析：解 时，两边必须同加 ：左边成为 ，右边成为 ，得 .若右边不加，就会得出 的荒谬结论.把配方写成上下对照的两行，可以强制自己两边同步.（对应 A2、A3、E1） 错点 2：二次项系数不为 1 时不先化 1. 辨析：解 ，不能直接对 配方.正确做法是两边先同除以 （常数项一起除），得 ，再移项配方.（对应 A6、D1、D2） 错点 3：开平方漏掉负根，或忘了把常数移回去. 辨析：由 得 ，两个根都要写：，.只写 ，或写成 （忘了移 ），都是丢分写法.（对应 A1、A5、A7） 配方自检三连问：系数化 1 了吗？两边都加了吗？两个根都写全了吗？ 十、真题演练·中考链接 本组练什么：本组练“配方与参数结合”的中考常考形态：把方程配成 后由系数反求参数，本质仍是考“右边是否同步加”这一步是否真正掌握. E1． 将方程 配方成 的形式，求 、 的值. E2． 若 是一个完全平方式，求 的值. E3． 要使 成为完全平方式，求 的值. 本组聚焦“配方 + 参数”综合：看得懂 的结构，就能由系数反推 、 —— 这一步的本质仍是“左边加多少，右边必须同步加多少”. 十一、学后反思 请对照下列三问，在横线上写下你的思考（只给框架，不代写结论）： · 知识：我能说出配方法解一元二次方程的 ____ 个步骤，并能举例说明每一步在做什么. · 方法·思想：本课的核心是“____ 思想”——把不会解的方程变成会解的 ，我在 ______ 处体会到了它. · 努力方向：我最容易错的地方是 ____________，下次我会 ____________. □ 我能用直接开平方法解 ，并写全两个根 □ 我能把 配成完全平方式 □ 我能处理二次项系数不为 的配方，并算对分数 自评：本次当堂测我做对 ______ / 18 题，错题号：____________. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $