2.2.1直接开方法导学案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程解法中的直接开平方法，通过回顾平方根意义导入新课，搭建旧知与新知的学习支架，引导学生理解直接开平方法原理，掌握“移项、系数化1、开平方、解一次方程”的规范步骤。 资料设置分层巩固练习与多题型典例，覆盖基础方程、整体型方程、参数问题及新定义应用等，强调分类讨论与化归转化思想，助力学生发展抽象能力与推理意识，提升解题规范性和问题解决能力，适合自主学习与教师教学评估。

2.2.1一元二次方程解法-直接开方法导学案 一、学习目标 1、理解直接开平方法的原理（平方根的意义），会解形如、型的一元二次方程。 2、规范解方程的步骤，能区分三种情况下方程根的个数，体会分类讨论的数学思想。 3、能熟练通过移项、系数化 1，将方程整理为可直接开平方的标准形式，再完成求解，体会化归转化的数学思想。 二、学习重难点 重点：直接开平方法的解题步骤，解形如、的标准型一元二次方程。 难点：根据右边常数的正负判断方程根的存在性，解形如的特殊型方程，以及利用直接开方法解决含参数、新定义的拓展问题。 三、新课引入 我们之前已经学习过平方根的相关知识： 如果，那么就叫做的平方根。其中： 正数有两个平方根，它们互为相反数； 0 的平方根是 0； 负数没有平方根。 那如果我们遇到方程，是不是可以直接利用平方根的意义，求出？这种直接通过开平方来解一元二次方程的方法，就是我们本节课要学习的直接开平方法，它可以帮我们把二次方程降次为一次方程，快速求解。 四、知识点梳理 知识点 1：直接开平方法的定义 根据平方根的意义，直接对一元二次方程的两边开平方，进而求出方程的根，这种方法叫做直接开平方法。 知识点 2：常见方程类型与根的情况 直接开平方法适用于可以化为 “左平方、右常数” 形式的方程，根据右边常数的取值，根的情况分为三类： 类型 1： 当时：方程有两个不相等的实数根，； 当时：方程有两个相等的实数根，； 当时：负数没有平方根，方程无实数根。 类型 2： 我们可以把看成一个整体，按照上面的规律求解： 当时：方程有两个不相等的实数根，； 当时：方程有两个相等的实数根，； 当时：方程无实数根。 知识点 3：直接开平方法的解题步骤 1、移项：将常数项移到等号的右侧，将含未知数的平方项留在左侧； 2、系数化为 1：将平方项的系数化为 1，把方程整理为标准的或的形式； 3、开平方：根据平方根的意义，对等式两边开平方，将二次方程转化为两个一元一次方程； 4、解一次方程：分别求解两个一元一次方程，得到原方程的两个根。 记忆口诀：正有二、零有一、负无实 五、典例精讲 题型 1：解形如的基础方程 例 1解方程： 解析： 移项，将常数项移到右侧： 直接开平方： 因此原方程的解为： 题型 2：解形如的系数化 1 型方程 例 2解方程： 解析： 移项： 系数化为 1： 开平方： 因此原方程的解为： 题型 3：解形如的整体型方程 例 3解方程： 解析： 将看成整体，直接开平方： 转化为两个一元一次方程： ，解得 ，解得 因此原方程的解为： 题型 4：解形如的复合整体型方程 例 4解方程： 解析：移项： 开平方： 解一次方程： ，解得 ，解得 因此原方程的解为： 题型 5：根据根的存在性求参数范围 例 5若方程有实数解，则的取值范围是？ 解析： 直接开平方法中，平方项右侧的常数必须是非负数，方程才有实数根，因此。 题型 6：解形如的双平方型方程 例 6解方程： 解析： 两边开平方，可得：， 分两种情况讨论： 当时，解得 当时，整理得 因此原方程的解为： 题型 7：新定义运算下的直接开方法应用 例 7定义新运算：，若，求的值。 解析：根据新运算的定义，将等式转化为常规方程： 整理得： 开平方得： 解得： 六、分层巩固练习 基础过关 1、方程的解是 。 2、解方程： 3、解方程： 4、方程的解是 。 5、一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是 。 6、解方程： 7、若方程有实数根，则的取值范围是 。 中等提升 8、解方程： 9、解方程： 10、解方程： 11、解方程： 12、解方程： 13、解方程： 14、若关于的方程有实数根，则的取值范围是 。 15、一个正方形的原边长为 6，若边长增加后，新正方形的面积变为 100，列方程并求解的值。 提优拓展 16、（2025・江苏南京・阶段练习）数轴上点 A、B 表示方程的两个根，则的值是 。 17、定义新运算：，若，求的值。 18、已知关于的方程的解是，求和的值。 七、练习答案与解析 基础过关 1、答案： 解析：直接开平方得。 2、答案： 解析：移项得，开平方得。 3、答案： 解析：系数化为 1 得，开平方得。 4、答案： 解析：系数化为 1 得，开平方得。 5、答案： 解析：开平方后，整体的正负两种情况，因此另一个是。 6、答案： 解析：开平方得，解得或。 7、答案： 解析：平方项右侧的常数非负，方程才有实根，因此。 中等提升 8、答案： 解析：系数化为 1 得，开平方得，解得或。 9、答案： 解析：系数化为 1 得，开平方得，解得或。 10、答案： 解析：开平方得，解得或。 11、答案： 解析：开平方得，解得或。 12、答案： 解析：移项得，开平方得，解得或。 13、答案： 解析：开平方得，分情况解得或。 14、答案： 解析：平方项右侧的，因此。 15、答案：，解得 解析：新边长是，面积是，开平方得（负根舍去），所以 x=4。 提优拓展 16、答案： 解析：方程的两个根是和，因此。 17、答案： 解析：根据定义得，开平方得，解得 x=5 或 x=1。 18、答案： 解析：方程的解是，因此，，解得。 八、课堂总结 本节课我们学习了一元二次方程的第一种解法 —— 直接开平方法，核心要点如下： 1、核心原理：直接开平方法的本质是利用平方根的意义，将二次方程降次为两个一次方程，实现化归转化。 2、根的分类：要牢记 “正有二、零有一、负无实” 的规律，根据平方项右侧的常数，快速判断方程根的个数。 3、解题步骤：遵循 “移项→系数化 1→开平方→解一次方程” 的步骤，规范书写，避免漏解。 4、整体思想：对于复杂的方程，我们可以把含未知数的整体看成一个平方项，比如，甚至，用整体思想来简化求解，这也是我们后续学习其他解法的重要基础。 学科网（北京）股份有限公司 $