2.2.2《因式分解法》同步学案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册·

该初中数学导学案聚焦“因式分解法”解一元二次方程，通过投篮高度的生活情境导入，引导学生回顾因式分解四种方法，建立“积为零”法则与降次思想的联系，形成从旧知到新知的学习支架。 以运算能力、推理能力、模型观念为核心素养导向，设置分层练习（基础到拓展）、易错专攻和中考链接，强化分解工具应用与防丢根意识，典例变式结合情境问题，培养化归思想和问题解决能力，学后反思促进自主评估，提升学习效率。

2.2.2《因式分解法》同步学案 苏科版 九年级数学 上册 · 第 2 章第 2 节（第 2 课时） 2026–2027 学年 · 1 课时 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 一、学习目标 （核心素养指向：运算能力、推理能力、模型观念）本课结束后，你应该能够： 1. 能说出“如果 ，那么 或 ”这一依据，并解释因式分解法为什么能把二次方程“降次”成两个一次方程. 2. 能用提公因式、平方差、完全平方、十字相乘四种工具把方程左边分解因式，从而求出方程的两个根. 3. 能根据方程的特点，在直接开平方、配方法、因式分解法中选出最简便的一种，并说明理由. 二、学习重难点 重点：因式分解法的三步：化为右边为 → 左边分解成两个因式的积 → 令每个因式为 分别求解. 难点：恰当选择分解工具；不把含未知数的式子当除数约掉而丢根. 三、学法指导·知识回顾 1. 学习路径：回顾因式分解的四种方法 → 理解“两个因式的积为 ”意味着什么 → 用它把二次方程降次 → 归纳三步 → 与配方法比较，学会择优. 2. 本课数学思想方法主线：核心是“降次”与“化归”——把一个二次方程转化为两个一元一次方程.这与上一节配方法的思路一脉相承，都是“把陌生化成熟悉”. 3. 已学铺垫（先自己答一答）：（1）把 、、 分别分解因式；（2）若 ， 与 有哪几种可能？ 三种解法的择优口诀：能分解就分解，缺一次项用开平方，都不行再配方.因式分解法是最快的一把刀，前提是左边分得开. 四、知识清单·划重点 1. 依据（“积为零”法则）：如果 ，那么 ______ 或 ______；反过来也成立. 2. 因式分解法三步：① 把方程化为右边是 ______ 的形式；② 把左边分解成两个 ______ 的积；③ 令每个因式分别等于 ______，得到两个一元一次方程并分别求解. 3. 常用分解工具：提公因式 ______；平方差 ______；完全平方 ______；十字相乘 ______. 4. 特别提醒：解 时，绝不能两边同除以 ______，否则会丢掉 ______ 这个根；正确做法是先移项再提公因式. 小贴士：① 右边必须先化成 ，否则“积为零”法则根本用不上；② 形如 的方程，丢根是头号失分点；③ 由 得到的根是 ，符号要反过来写. 五、情境导入 生活情境：体育课上小明原地起跳投篮，篮球离手后的高度 （单位：m）与飞行时间 （单位：s）近似满足 . 球回落到离地 2 m 高时正好被队友接住，这需要多长时间？把 代入，得 ，整理得 . （示意图：投篮时球的飞行） 想一想：这个方程的常数项是 ，左边可以提出公因式，写成 .两个数相乘的积等于 ，这说明什么？ 顺着这个想法，不用配方法你也能一眼看出 的两个值.它们分别对应球的哪两个时刻？ 本环节先感受“积为零”的威力：常数项为 的方程，用因式分解法几乎可以口算. 六、典例精析与变式 例 1（基础 · 提公因式与平方差）：解下列方程. (1) ；(2) . 【分析】(1) 左边有公因式 ；(2) 左边是平方差.两题都能直接分解；特别注意 (1) 不能两边约去 . 【解答】(1) 分解得 ，所以 或 ，即 ，；(2) 分解得 ，所以 ，. 变式 1：解方程 . 【解答】移项得 ，提公因式得 ，所以 ，.（若两边同除以 ，就丢掉了 .） 例 2（变式 · 十字相乘）：解方程 . 【分析】常数项 ，且 ；因为一次项系数是 、常数项为正，两个数同取负号. 【解答】分解得 ，所以 或 ，即 ，. 变式 2：解方程 . 【解答】由 且 ，分解得 ，所以 ，. 例 3（综合 · 先化一般形式再分解）：解方程 . 【分析】右边不是 ，绝不能直接令 .必须先展开、移项化成右边为 ，再重新分解. 【解答】展开得 ，移项得 ，分解得 ，所以 ，. ★ 易错预警：① 右边不为 就直接拆因式（由 写出 ）——本节最典型的错误.② 两边约去含未知数的因式导致丢根.③ 十字相乘时符号配错.④ 分解后只解一个一次方程，漏掉另一个根. 七、夯实基础·当堂测 限时 15 分钟，独立完成.做完先自己圈出没把握的题号，再对照配套讲评稿逐题订正. ★A 基础过关 本组练什么：本组 8 题依据教材例习题的基础考法编写，覆盖三类基础分解——提公因式（含防丢根）、平方差与完全平方、十字相乘.这是本节的必得分区，力争全对. A1． 解方程 . A2． 解方程 . A3． 解方程 . A4． 解方程 . A5． 解方程 . A6． 解方程 . A7． 解方程 . A8． 解方程 . ★★B 能力提升 本组练什么：本组练“右边不为 0”的陷阱题：必须先移项化为一般形式再分解.看清这一步，就避开了本节最大的坑. B1． 解方程 . B2． 解方程 . B3． 解方程 . ★★★C 拓展挑战 本组练什么：本组练因式分解法在几何中的应用：解出两根后还要用三角形三边关系（或实际意义）检验并舍根，这是从“会解”到“会用”的分水岭. C1． 已知直角三角形的两条直角边分别为 cm 和 cm，斜边长为 cm，求 的值. C2． 用一根长 cm 的铁丝折成一个矩形，面积为 cm，求矩形的宽. 八、能力提升·拓展 本组练什么：本组练两类进阶分解——整体思想（把整个括号看成一个字母）与平方差的变形使用.看出结构，比硬展开快得多. D1． 解方程 . D2． 解方程 . 遇到 这类两边都是完全平方的方程，移项后用平方差公式整体分解，比展开再合并快得多. 九、易错专攻 错点 1：右边不为 0 就直接拆因式. 辨析：由 直接写 或 是错的——“积为零”法则只对 成立，因为 可以拆成无数对数的积.必须先化成 再分解.（对应 B1、D1） 错点 2：两边同除以含未知数的式子，丢掉一个根. 辨析：解 时若两边同除以 得 ，就丢掉了 .含未知数的式子可能等于 ，不能作除数；正确做法是移项后提公因式.（对应 A3、A6） 错点 3：分解后只解一个因式，或符号抄反. 辨析：由 应得两个根 、.注意 解出的是 不是 ；两个一次方程都要解，缺一个就少一半分.（对应 A4、A5、A7） 因式分解法自检三连问：右边化成 了吗？有没有约掉含未知数的因式？两个根都写全了吗？ 十、真题演练·中考链接 本组练什么：本组练中考对本节的常规考法：给定方程直接求根，或由一个根反推系数，考的都是分解的熟练度与防丢根意识. E1． 已知方程 的一个根是 ，求它的另一个根及 的值. E2． 已知 是方程 的一个根，求 的值及另一个根. E3． 解方程 并写出它的两个根. 本组聚焦“分解熟练度 + 防丢根”：看到方程先判断能不能分解、右边是否为 ；凡含字母系数，务必记住“含未知数的式子不能作除数”. 十一、学后反思 请对照下列三问，在横线上写下你的思考（只给框架，不代写结论）： · 知识：我能说出因式分解法解方程的 ____ 个步骤，并说明它依据的是什么法则. · 方法·思想：本课的核心是“____ 思想”——把一个二次方程转化成两个一次方程，我在 ______ 处体会到了它. · 努力方向：我最容易错的地方是 ____________，下次我会 ____________. □ 我能说出“积为零”法则，并用它把方程降次 □ 我能用提公因式、平方差、完全平方、十字相乘分解方程左边 □ 我知道什么时候用因式分解法最快，而且不会丢根 自评：本次当堂测我做对 ______ / 18 题，错题号：____________. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2《因式分解法》同步学案·答案与解析 苏科版 九年级数学 上册 · 第 2 章第 2 节（第 2 课时） 2026–2027 学年 · 1 课时 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 使用说明：本册为《2.2.2《因式分解法》同步学案》的配套讲评稿.每题按【原题】→【考查】→【解答】→【易错】四步呈现，题号与学案完全一致，可逐题对照订正. 一、★A 基础过关 · 逐题精讲 A1． 【原题】解方程 . 【考查】提公因式法解方程（常数项为 0） 【解答】答案 ，.左边提公因式得 ，所以 或 ，即 ，. 【易错】不能两边同除以 （会丢掉 这个根）；应先提公因式 . A2． 【原题】解方程 . 【考查】平方差公式分解 【解答】答案 ，.用平方差分解为 ，所以 或 ，即 ，. 【易错】写成 是错的；应是 . A3． 【原题】解方程 . 【考查】提公因式法（防丢根） 【解答】答案 ，.移项得 ，提公因式得 ，所以 ，. 【易错】两边同除以 会丢掉 ；必须先移项再提公因式. A4． 【原题】解方程 . 【考查】完全平方公式分解 【解答】答案 .左边是完全平方式 ，所以 ，即 . 【易错】把 误写成 ；应为 . A5． 【原题】解方程 . 【考查】十字相乘法分解 【解答】答案 ，.因为 且 ，分解为 ，所以 ，. 【易错】十字相乘配数时符号出错；常数项为正、一次项系数为负，两数应同取负号. A6． 【原题】解方程 . 【考查】提公因式法（防丢根） 【解答】答案 ，.移项得 ，提公因式得 ，所以 ，. 【易错】两边同除以 得 ，漏掉 ；应移项后提公因式. A7． 【原题】解方程 . 【考查】平方差公式分解 【解答】答案 ，.用平方差分解为 ，所以 或 ，即 ，. 【易错】把 当作 时指数写错；应为 . A8． 【原题】解方程 . 【考查】十字相乘法分解 【解答】答案 ，.由 且 ，分解为 ，所以 ，. 【易错】配数时把符号弄反； 且 ，应得 . 二、★★B 能力提升 · 逐题精讲 B1． 【原题】解方程 . 【考查】右边不为 0：必须先展开移项化为一般形式 【解答】答案 ，.展开得 ，移项得 ，分解为 ，所以 ，. 【易错】直接令 或 是错的；“积为零”法则只对 成立. B2． 【原题】解方程 . 【考查】先化为一般形式再分解 【解答】答案 ，.展开得 ，移项得 ，分解为 ，所以 ，. 【易错】没有先移项；右边是 不是 ，不能直接拆括号 B3． 【原题】解方程 . 【考查】右边不为 0 的陷阱 【解答】答案 ，.展开得 ，移项得 ，分解为 ，所以 ，. 【易错】直接写 或 是典型错误；必须先化一般形式. 三、★★★C 拓展挑战 · 逐题精讲 C1． 【原题】已知直角三角形的两条直角边分别为 cm 和 cm，斜边长为 cm，求 的值. 【考查】几何应用：列方程后用实际意义舍根 【解答】答案 .由勾股定理得 ，整理得 ，即 ，解为 ，.边长不能为负，舍去 ，故 . 【易错】解出两根后忘了舍去负值；边长必须为正数， 要舍去. C2． 【原题】用一根长 cm 的铁丝折成一个矩形，面积为 cm，求矩形的宽. 【考查】应用题：设元列方程并检验根的合理性 【解答】答案 宽为 cm.设宽为 cm，则长为 cm，由 得 ，解为 ，.当宽为 时长 ，通常取较小值为宽，故宽为 cm. 【易错】解出两根后未舍去不合题意的负值；矩形边长必须为正. 四、能力提升·拓展 逐题精讲 D1． 【原题】解方程 . 【考查】两边都是完全平方：移项后用平方差整体分解 【解答】答案 ，.移项得 ，平方差分解为 ，即 ，所以 ，. 【易错】直接开平方得 丢掉一半解；应移项用平方差. D2． 【原题】解方程 . 【考查】整体思想：把 当作一个整体提公因式 【解答】答案 ，.把 视为整体，提公因式得 ，即 ，所以 ，. 【易错】先展开再合并也能做，但慢且易错；看出整体 更快. 五、真题演练·中考链接 逐题精讲 E1． 【原题】已知方程 的一个根是 ，求它的另一个根及 的值. 【考查】由一根反求另一根与参数 【解答】答案 另一根为 ，.设另一根为 ，由两根之积 得 ；再由两根之和 得 . 【易错】用和求 时忘记和公式里的负号；两根之和 . E2． 【原题】已知 是方程 的一个根，求 的值及另一个根. 【考查】由已知根反求参数与另一根 【解答】答案 ，另一根为 .把 代入得 ，解得 ；方程为 ，分解为 ，另一根为 . 【易错】把 代入后算错常数项符号；代入要连同符号一起算. E3． 【原题】解方程 并写出它的两个根. 【考查】基础求根（提公因式） 【解答】答案 ，.提公因式得 ，所以 或 ，即 ，. 【易错】提公因式后只写一个根；两个因式都要令其为 . 六、错因统计与订正指引 把做错的题号填进对应格子，就能看出自己的薄弱点，并按“补救动作”针对性重练： ① 提公因式时丢根（A3、A6）→ 我错了 ______ 题.补救：把“含未知数的式子不能作除数”抄写一遍，再把这两题完整重做. ② 平方差 / 完全平方分解错（A2、A7）→ 我错了 ______ 题.补救：默写三个乘法公式，然后各造 2 个方程自解自查. ③ 十字相乘配数错（A5、A8）→ 我错了 ______ 题.补救：做“两数之积等于常数项、两数之和等于一次项系数”的凑数训练 10 组. ④ 右边不为 就拆因式（B1、D1）→ 我错了 ______ 题.补救：以后见到“括号相乘等于一个非零数”，先在草稿上写“移项化 0”四个字. ⑤ 解出根后不检验实际意义（C1）→ 我错了 ______ 题.补救：凡几何背景题，解完必须回头检查是否满足三角形三边关系或题目限制. 订正要求：错题不是抄一遍答案，而是①写清错在哪一步 ②写出正确的那一步 ③在错点分类表里打勾. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $