2.2.2一元二次方程解法-配方法导学案 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程配方法，引导学生理解配方法原理，掌握二次项系数为1和不为1的方程求解步骤。通过复习直接开平方法，提出非完全平方式转化问题，搭建新旧知识衔接的学习支架。 资料设置典例精讲与分层巩固练习，涵盖解方程、最值、三角形形状判断等题型，注重转化思想渗透。通过规范步骤训练和拓展应用，培养学生运算能力与推理意识，提升用数学语言解决实际问题的应用能力。

2.2.2一元二次方程解法-配方法导学案 一、学习目标 1、理解配方法的原理，掌握二次项系数为 1 和不为 1 的一元二次方程的配方方法，会用配方法解一元二次方程。 2、规范配方法的解题步骤，能将一般的一元二次方程转化为的形式，体会转化的数学思想。 3、能利用配方法解决最值、参数范围、代数式符号判断、三角形形状判断等拓展问题，体会配方法的广泛应用价值。 二、学习重难点 重点：用配方法解一元二次方程的基本步骤，二次项系数为 1 和不为 1 的方程的配方操作。 难点：二次项系数不为 1 时的系数化 1 操作，以及配方法在拓展问题中的应用，利用完全平方式的非负性解决综合问题。 三、新课引入 我们上节课学习了直接开平方法，它可以解形如的方程，那如果我们遇到像这样的方程，它不是完全平方式，我们能不能把它转化为我们学过的直接开平方法的形式呢？ 我们可以把左边的式子配成完全平方式： 这样，原来的方程就变成了，就可以用直接开平方法求解了！这种通过配成完全平方式来解方程的方法，就是我们本节课要学习的配方法。 四、知识点梳理 知识点 1：配方法的定义 通过恒等变形，将一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，从而将方程转化为的形式，再用直接开平方法求解，这种方法叫做配方法。 知识点 2：配方法解一元二次方程的步骤 对于一元二次方程，配方法的步骤如下： 1、移项：将常数项移到方程的右侧，将含未知数的项留在左侧； 2、系数化为 1：方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为 1； 3、配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，右侧合并为常数； 4、开平方求解：若右侧的常数，则用直接开平方法求解；若，则方程无实数根。 知识点 3：配方法的拓展应用 配方法不仅可以用来解一元二次方程，还是一种非常重要的代数变形方法，它的核心是利用完全平方式的非负性，可以解决很多拓展问题： 求代数式的最大值或最小值； 判断代数式的符号（证明恒正 / 恒负）； 利用非负性求未知数的值； 判断三角形的形状； 在实数范围内分解因式； 求参数的取值范围。 五、典例精讲 题型 1：二次项系数为 1 的配方法解方程 例 1解方程： 题型 2：二次项系数不为 1 的配方法解方程 例 2解方程： 题型 3：配方变形，求的值 例 3把方程化成的形式，求的值。 题型 4：配方法求代数式的最值 例 4求代数式的最小值。 题型 5：配方法证明代数式的符号 例 5求证：代数式的值恒为正数。 题型 6：配方法判断三角形的形状 例 6已知是的三边长，且满足，试判断的形状。 题型 7：配方法求参数的取值范围 例 7无论为何值，多项式的值都为负数，求常数的取值范围。 六、分层巩固练习 基础过关 1、用配方法解方程： 2、用配方法解方程： 3、将配方成的形式，则，。 4、用配方法解方程： 5、代数式的最小值是 。 中等提升 6、用配方法解方程： 7、用配方法解方程： 8、用配方法分解因式：。 9、用配方法解方程： 10、用配方法解方程： 11、若代数式的最小值是 1，求的值。 12、试说明：无论取何值，代数式的值恒为正数。 13、已知，求的值。 14、用配方法求代数式的最大值。 提优拓展 15、（2025・江苏南京・阶段练习）已知实数满足，求的值。 16、已知是三角形的三边长，且满足，试判断这个三角形的形状。 17、已知关于的方程有实数根，用配方法求的取值范围。 七、课堂总结 本节课我们学习了一元二次方程的第二种解法 —— 配方法，核心要点如下： 1、核心原理：配方法的本质是通过恒等变形，将一般的一元二次方程转化为我们已经学过的直接开平方法的形式，实现了化归转化，这是我们解决数学问题的重要思想。 2、解题步骤：要牢记 “移项→系数化 1→配方→开平方” 的步骤，其中配方的关键是 “两边同时加上一次项系数一半的平方”，这一步是配方法的核心。 3、拓展应用：配方法不仅仅是解方程的方法，它更是一种重要的代数变形工具，利用完全平方式的非负性，我们可以解决最值、参数范围、三角形形状判断等很多问题，这也是我们后续学习二次函数的重要基础。 学科网（北京）股份有限公司 $ 一、典例精讲 例 1 解析：移项：将常数项移到右侧，得 配方：两边同时加上一次项系数一半的平方，即，得： 整理为完全平方式： 开平方求解：，解得 例 2 解析： 系数化为 1：两边同时除以 2，得 移项： 配方：两边同时加上，得： 整理： 开平方：，解得 例 3 解析： 移项： 配方：两边同时加上，得 整理： 因此。 例 4 解析： 对代数式进行配方： =2(x2+2x)+5 =2(x2+2x+1-1)+5 =2(x+1)2-2+5 =2(x+1)2+3 因为，所以， 当时，代数式取得最小值 3。 例 5 解析： 对代数式配方： =4(x2-2x)+9 =4(x2-2x+1-1)+9 =4(x-1)2-4+9 =4(x-1)2+5 因为，所以，因此无论 x 取何值，代数式的值恒为正数。 例 6 解析：对等式进行配方： （+）++）=0 因为平方数非负，所以，即，因此，所以是等腰三角形。 例 7 解析： 对多项式配方： 要让多项式的值恒为负数，那么它的最大值必须小于 0，而，所以多项式的最大值为，因此： 二、练习答案与解析 基础过关 1、答案： 解析：移项得，配方得，开平方得，解得 x=3 或 x=-1。 2、答案： 解析：移项得，配方得，开平方得，解得 x=1 或 x=-5。 3、答案： 解析：配方得，即，所以 m=-4,n=15。 4、答案： 解析：移项得，配方得，开平方解得 x=2±√5。 5、答案：2 解析：配方得，最小值为 2。 中等提升 6、答案： 解析：系数化为 1 得，配方得，开平方解得 x=1±。 7、答案： 解析：系数化为 1 得，配方得，开平方解得 x=1±。 8、答案： 解析：配方得。 9、答案： 解析：系数化为 1 得，配方得，开平方解得 x= 或 x=-2。 10、答案： 解析：系数化为 1 得，配方得，开平方解得 x=2 或 x=。 11、答案：10 解析：配方得，最小值为 m-9=1，所以 m=10。 12、答案： 解析：配方得，因为，所以原式≥1>0，因此恒为正数。 13、答案：7 解析：配方得，所以 a=3,b=4，a+b=7。 14、答案：10 解析：配方得，最大值为 10，当 x=3 时取得。 提优拓展 15、答案：1 解析：配方得，所以 x=-1,y=2，因此= 16、答案：等腰三角形 解析：三个式子相加，配方得 (a-3)2+(b-2)2+(c-2)2=0$，所以 a=3,b=2,c=2，因此 b=c，是等腰三角形。 17、答案： 解析：配方得，要让方程有实根，那么 4-4m≥0，所以 m≤0。 学科网（北京）股份有限公司 $