2.1《一元二次方程》同步学案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦《一元二次方程》，引导学生理解概念、一般形式及根的检验。通过学校劳动基地围矩形花圃的生活情境导入，对比一元一次方程、分式方程，建立“方程家族”知识脉络，为后续解法学习奠定基础。 突出数学抽象、建模与运算核心素养，贯穿模型观念与化归思想。典例变式分层设计，当堂测含基础、提升、拓展及中考真题，易错专攻精准突破，学后反思促进自主总结，助力学生高效掌握知识，培养理性思维与应用意识。

2.1《一元二次方程》同步学案 苏科版 九年级数学 上册 · 第 1 章第 1 节 2026–2027 学年 · 1 课时 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 一、学习目标 （核心素养指向：数学抽象、数学建模、数学运算）本课结束后，你应该能够： 1. 能观察一组方程的“元”与“次”，说出什么是一元二次方程，并准确复述它的三个特征：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数是 2. 2. 能将方程化为一般形式 ，正确读出二次项系数 、一次项系数 、常数项 ，并解释为什么必须 . 3. 能把一个数值代入左、右两边检验，判断它是否为方程的解（根）. 二、学习重难点 重点：一元二次方程的概念与一般形式 . 难点：理解“二次项系数 ”的必要性；准确识别各项系数（尤其符号与缺项时记 0）. 三、学法指导·知识回顾 1. 学习路径：回顾一元一次方程的“元”与“次” → 观察新方程特征 → 归纳定义 → 化为一般形式 → 用代入法检验根. 2. 本课数学思想方法主线：贯穿“模型观念”（把实际问题转化为方程模型）与“化归”思想（把复杂方程化为标准形式）. 3. 已学铺垫： （1）什么叫一元一次方程？它的标准形式是什么？ （2）方程 是一元一次方程吗？为什么？ 本课是“方程家族”的第三位成员，承接七年级“一元一次方程”、八年级“分式方程”；后续配方法、公式法、因式分解法都建立在“先识别、再化一般式”之上. 四、知识清单·划重点 1. 一元二次方程的定义：只含 ______ 个未知数，并且未知数最高次数是 ______ 的 ______ 式方程，叫做一元二次方程. 2. 一般形式：（______），其中 叫 ______ 项， 是 ______ 系数； 叫 ______ 项， 是 ______ 系数； 叫 ______. 3. 方程的解（根）：使方程左、右两边 ______ 的未知数的值，叫做方程的解.检验时把数值分别代入 ______ 边计算即可. 小贴士：① 三要素缺一不可：整式、一元、最高次为 2；② 是隐含条件，漏掉它就退化为一次方程；③ 分式方程（含 ）直接排除. 五、情境导入 生活情境：学校劳动基地有一面长 30 m 的墙，用总长为 22 m 的篱笆靠这面墙围成一个矩形花圃（墙作为花圃的一条边），使花圃面积为 30 . 设花圃垂直于墙的一边长为 m，你能根据“面积 = 长 × 宽”列出关于 的方程吗？ （示意图：矩形花圃靠墙围篱） 想一想：你列出的方程，和我们学过的“一元一次方程”“分式方程”一样吗？它有什么新特点？ 本环节不必解出 ，先关注“方程长什么样”. 六、典例精析与变式 例 1（基础 · 概念辨析）：判断下列各方程是否是一元二次方程，并说明理由. (1) ；(2) ；(3) . 【分析】紧扣三条：整式、一元、最高次为 2；尤其注意 (3) 是分式方程，(2) 次数是 3. 【解答】(1) 是，满足三要素；(2) 不是，未知数最高次数是 3；(3) 不是，因为含有 ，不是整式方程. 变式 1：把 (3) 中的 改为 （即 ），它还满足三要素吗？ 【分析】整理为 ，只含一个未知数且最高次为 2，是整式方程，故是一元二次方程. 【解答】变式 1 是一元二次方程. 例 2（变式 · 化一般形式）：把下列方程化为一般形式，并指出 . (1) ；(2) . 【分析】(1) 先去括号得 ，移项合并同类项整理成右边为 0 的标准形；(2) 两边都有 时要先移项再合并，避免直接约去. 【解答】(1) 一般形式为 ，，，；(2) 展开得 ，移项合并得 ，，，. 变式 2：把 化为一般形式，并写出 . 【解答】展开 ，移项合并得 ，，，. 例 3（综合 · 检验根）：已知方程 ，检验 与 是不是它的解. 【分析】把数值分别代入方程左、右两边，看是否相等；相等则是根，否则不是. 【解答】代入 ，左边得 ，与右边相等，故 是根；代入 ，左边得 ，与右边相等，故 是根. ★ 易错预警：① 漏掉 ：如 ，当 时就不是二次方程.② 系数符号与缺项：移项后 要带符号；缺一次项时 ，不要漏写 .③ 含 的分式方程不是整式方程，直接排除. 七、夯实基础·当堂测 限时 15 分钟，独立完成.做完先自己圈出没把握的题号，再对照配套讲评稿逐题订正. ★A 基础过关 本组练什么：本组 8 题全部来自 2026 春各地期末原题，覆盖本节四类基础考法——定义辨识（A1~A3）、一般形式中的系数读取（A4~A5）、化为一般形式的变形（A6~A7）、含参时 的条件（A8）.做完这 8 题，本节基础分即可拿满. A1． （2026春•岳麓区校级期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）. 　　A．　B．　C．　D． A2． （2026春•拱墅区校级月考）下列方程为一元二次方程的是（ ）. 　　A．　B．　C．　D． A3． （2026春•定远县期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）. 　　A．　B．　C．　D． A4． （2026春•马鞍山期末）一元二次方程 的一次项系数是（ ）. 　　A．　B．　C．　D． A5． （2026春•南通期末）一元二次方程 的一次项系数、常数项分别是（ ）. 　　A．，　B．，　C．，　D．， A6． （2026春•谯城区期末）把一元二次方程 化为一般形式是（ ）. 　　A．　B．　C．　D． A7． （2026春•颍州区期末）把一元二次方程 化成一般形式，正确的是（ ）. 　　A．　B．　C．　D． A8． （2026春•朝阳区校级期末）若关于 的方程 是一元二次方程，则 的取值范围是（ ）. 　　A．　B．　C．　D． ★★B 能力提升 本组练什么：本组练“双条件联立”——期末最爱设的陷阱：题目给一个条件（如常数项为 0），同时“是一元二次方程”这句话本身还暗含 .两个条件都用上才不会多解. B1． （2026春•舒城县期末）若关于 的一元二次方程 的常数项是 ，则 （ ）. 　　A．　B．　C．　D． 或 ★★★C 拓展挑战 本组练什么：本组练“逆向思维”——已知一个根，反推被遮住的系数，把第六节“代入检验”的方法反过来用.这是从会算到会想的关键一跳. C1． （2026•东莞市校级模拟）关于 的一元二次方程 的常数项 被墨迹覆盖，已知 是该方程的一个解，则 （ ）. 　　A．　B．　C．　D． 八、能力提升·拓展 本组练什么：本组练含参方程的两类高频综合——“根为 0 ⇒ 常数项为 0”（D1）与“根为定值 ⇒ 代回解参”（D2）.两题都要再叠加 的隐含条件，是期末压轴小题的常见组合. D1． （2026春•平谷区期末）若关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值是（ ）. 　　A．　B．　C．　D． D2． （2026春•福州期末）若关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值为（ ）. 　　A．　B．　C．　D． 含参方程“是一元二次方程”⇔ 二次项系数不为 0；“一根为某数”⇔ 把该数代入原方程等式成立.两步都要用上. 九、易错专攻 错点 1：忽略 的隐含条件. 辨析：方程 ，当说“它是一元二次方程”时，必须 ，即 ；若只写“二次项存在”而忘了限制 ，就会多解.（对应 A8、B1、D1、E1） 错点 2：移项后系数符号写错 / 缺项漏写 0. 辨析：把 化为一般形式，常见错写成 （移项方向反了）.正确是 .缺一次项时应写 ，不可漏掉该项.（对应 A4~A7） 错点 3：把分式方程误判为二次方程. 辨析：含 、 的方程不是整式方程，直接排除，再“像”也不是一元二次方程.判断类型看原方程形式，不能先去分母.（对应 A1、A3） 自检三连问：是整式吗？只一个未知数吗？最高次是 2 吗？三项全过才是. 十、真题演练·中考链接 本组练什么：本组练“指数含参”两步法——先由“最高次为 2”定指数，再由 排除增解.这是中考对本节的最高要求，也是本节所有知识点的集成. E1． （2026春•贵池区期末）若关于 的方程 （其中指数 ）是一元二次方程，则 的值是（ ）. 　　A．　B．　C．　D． 真题透视：此类题两步缺一不可，只做第一步会得到 两个值而误选. 十一、学后反思 请对照下列三问，在横线上写下你的思考（只给框架，不代写结论）： · 知识：我能说出一元二次方程的 ____ 个特征，并能举例说明. · 方法·思想：本课用到了“模型观念”和“____ 思想”，我在 ______ 处体会到了它. · 努力方向：我最容易错的地方是 ____________，下次我会 ____________. □ 我能说出一元二次方程的定义与一般形式 □ 我能正确找出 并解释 □ 我能用代入法检验方程的根 自评：本次当堂测我做对 ______ / 13 题，错题号：____________. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1《一元二次方程》同步学案·答案与解析 苏科版 九年级数学 上册 · 第 1 章第 1 节 2026–2027 学年 · 1 课时 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 使用说明：本册为《2.1《一元二次方程》同步学案》学案的配套讲评稿.每题按【原题】→【考查】→【解答】→【易错】四步呈现，题号与学案完全一致，可逐题对照订正. 一、★A 基础过关 · 逐题精讲 A1． （2026春•岳麓区校级期末） 【原题】下列方程中，是一元二次方程的是（ ）.　A．　B．　C．　D． 【考查】一元二次方程的定义（整式·一元·最高次为 2） 【解答】答案 C.逐项对照定义三要素.A 中含 、 两个未知数，不满足“一元”；B 中含 ，未知数在分母上，不是整式方程；D 的未知数最高次数是 1，是一元一次方程；C 中 只含一个未知数、是整式方程且最高次为 2，符合定义.故选 C. 【易错】把 这类分式方程误当成整式方程. A2． （2026春•拱墅区校级月考） 【原题】下列方程为一元二次方程的是（ ）.　A．　B．　C．　D． 【考查】定义辨识 + 含参式子能否称为一元二次方程 【解答】答案 B.A、D 化简后最高次都是 1，是一元一次方程；C 中 没有限定，当 时它退化为一次方程，不能断言是一元二次方程；B 移项得 ，满足整式、一元、最高次为 2.故选 B. 【易错】看到 就选，忘了题目没有给出 . A3． （2026春•定远县期末） 【原题】下列方程是一元二次方程的是（ ）.　A．　B．　C．　D． 【考查】定义辨识（同时排除含参未定与分式两类干扰） 【解答】答案 C.A 未给 ，不能确定；B 原方程含 ，本身是分式方程，判断方程类型要看原方程形式，不能先去分母；D 是一元一次方程；C 完全符合定义.故选 C. 【易错】把 去分母后得 ，就误判原方程是一元二次方程. A4． （2026春•马鞍山期末） 【原题】一元二次方程 的一次项系数是（ ）.　A．　B．　C．　D． 【考查】从一般形式 中读取一次项系数 【解答】答案 D.对照一般形式 ，此处 ，一次项是 ，所以一次项系数 （符号必须跟着一起读）.故选 D. 【易错】只看数字丢掉负号，误选 . A5． （2026春•南通期末） 【原题】一元二次方程 的一次项系数、常数项分别是（ ）.　A．，　B．，　C．，　D．， 【考查】一次项系数与常数项的同时读取 【解答】答案 D. 中，二次项是 （系数 ），一次项是 （系数 ），常数项是 .题目问的是一次项系数与常数项，即 与 .故选 D. 【易错】把二次项系数 当成一次项系数；或漏掉 的负号. A6． （2026春•谯城区期末） 【原题】把一元二次方程 化为一般形式是（ ）.　A．　B．　C．　D． 【考查】去括号 → 移项 → 合并同类项，化为一般形式 【解答】答案 C.先去括号：.再把右边各项移到左边（移项要变号）：.合并同类项得 .一般形式习惯让二次项系数为正，两边同乘 得 .故选 C. 【易错】移项不变号；或把二次项相减写反（ 与 混淆）. A7． （2026春•颍州区期末） 【原题】把一元二次方程 化成一般形式，正确的是（ ）.　A．　B．　C．　D． 【考查】含括号的化归：先分配律展开再合并 【解答】答案 B.展开括号：（负号要分配到括号内每一项），原方程变为 .移项得 ，合并同类项得 .故选 B. 【易错】 只乘第一项，漏乘 ，错写成 . A8． （2026春•朝阳区校级期末） 【原题】若关于 的方程 是一元二次方程，则 的取值范围是（ ）.　A．　B．　C．　D． 【考查】一元二次方程成立的隐含条件：二次项系数 【解答】答案 C.方程要是一元二次方程，二次项必须真实存在，即二次项系数不为 ：，解得 .注意这里是不等于而非大于小于.故选 C. 【易错】把条件写成不等号 ，或错盯 . 二、★★B 能力提升 · 逐题精讲 B1． （2026春•舒城县期末） 【原题】若关于 的一元二次方程 的常数项是 ，则 （ ）.　A．　B．　C．　D． 或 【考查】双条件联立：常数项为 与二次项系数 【解答】答案 C.第一步，由常数项为 得 ，解得 或 .第二步，题目说它是一元二次方程，所以二次项系数 ，即 .两个条件取交集，舍去 ，得 .故选 C. 【易错】只解 得 就选 D，漏掉排除 . 三、★★★C 拓展挑战 · 逐题精讲 C1． （2026•东莞市校级模拟） 【原题】关于 的一元二次方程 的常数项 被墨迹覆盖，已知 是该方程的一个解，则 （ ）.　A．　B．　C．　D． 【考查】逆向思维：由“根”反推系数（把代入检验反过来用） 【解答】答案 A.“ 是方程的解”意味着把 代入后等式成立.代入得 ，即 （注意 ，），所以 ，解得 .故选 A. 【易错】代入时把 算成 ，或把 算成 . 四、能力提升·拓展 逐题精讲 D1． （2026春•平谷区期末） 【原题】若关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值是（ ）.　A．　B．　C．　D． 【考查】“一根为 0 ⇔ 常数项为 0”，叠加 【解答】答案 C.把 代入方程， 的项全部为 ，只剩常数项：，解得 或 .又因为是一元二次方程，，即 .故 ，选 C.（规律：一个根是 ，等价于常数项 ，可直接套用.） 【易错】得到 后忘记排除 ，误选 A. D2． （2026春•福州期末） 【原题】若关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值为（ ）.　A．　B．　C．　D． 【考查】把已知根代回原方程，转化为关于参数的一元一次方程 【解答】答案 D.把 代入 ，得 ，即 .整理得 ，所以 ，（两边同除以 时要变号）.故选 D. 【易错】移项时符号出错，把 解成 . 五、真题演练·中考链接 逐题精讲 E1． （2026春•贵池区期末） 【原题】若关于 的方程 （其中指数 ）是一元二次方程，则 的值是（ ）.　A．　B．　C．　D． 【考查】指数含参：由“最高次为 2”定指数，再由 排除 【解答】答案 A.第一步（定次数）：一元二次方程未知数最高次为 2，故指数 ，即 ，得 ，即 或 .第二步（保系数）：二次项系数 ，即 ，舍去 .所以 .故选 A.（中考两步法：定指数 → 排增解，缺一不可.） 【易错】只由 得 就选 C，漏掉第二步排除. 六、错因统计与订正指引 把做错的题号填进对应格子，就能看出自己的薄弱点，并按“补救动作”针对性重练： ① 定义辨识错（A1、A2、A3）→ 我错了 ______ 题.补救：把“整式、一元、二次”三要素抄写一遍，再回看错题逐条比对. ② 系数读取错（A4、A5）→ 我错了 ______ 题.补救：任写 5 个方程，逐一化一般形式并读出 （带符号）. ③ 化一般形式错（A6、A7）→ 我错了 ______ 题.补救：重点练“移项变号”与“负号分配到每一项”，把 A6、A7 的每一步重抄一遍. ④ 漏掉 （A8、B1、D1、E1）→ 我错了 ______ 题.补救：以后见到“是一元二次方程”六个字，先在草稿纸角落写下 . ⑤ 根的代入与逆推错（C1、D2）→ 我错了 ______ 题.补救：把 、 代入时的符号计算单独练 5 遍. 订正要求：错题不是抄一遍答案，而是①写清错在哪一步 ②写出正确的那一步 ③在错点分类表里打勾. 学科网（北京）股份有限公司 $