第29章 《圆》单元测试 A卷 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 新人教版九年级上册《圆》单元测试A卷，以传统文化与生活实践为情境，覆盖圆的核心知识，适配单元复习，提升数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|点与圆位置关系、圆心角、弧长计算等|反证法（第1题）考查推理意识，圆锥侧面积（第7题）结合实践| |填空题|4/12|圆锥全面积、垂径定理、阴影面积计算|月洞门拱高（第16题）体现几何直观与应用意识| |计算题|6/36|圆内接等边三角形、蒙古包表面积、筒车半径计算|蒙古包（第20题）融合文化传承，培养模型观念| |解答题|1/8|圆内接四边形性质证明与面积计算|对角线垂直四边形面积（第23题）发展推理能力与创新意识|

新人教版九年级上册《圆》单元测试A卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.用反证法证明时，假设结论“点在圆内”不成立，那么点与圆的位置关系只能是(    ) A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆外 【答案】D  【解析】略 2.下面四个图中的，是圆心角的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 3.扇形的弧长为，面积为，那么扇形的半径是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查弧长和扇形面积，解此类题目的关键是掌握扇形面积公式和弧长公式之间的等量关系：． 根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系，把对应的数值代入即可求得半径的长． 【解答】 解：， ， 故选：． 4.已知圆弧所在圆的半径为，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 5.如图，点，，在上，，的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】，故选B． 6.如图，是的弦，半径于点若，，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】，， ． 又， 在中，，故选A． 7.某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥形工艺品．若这种圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 8.“轮动发石机”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图是陈列在展览馆的仿真模型，图是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】的半径为，的周长为， 顺时针转动周时，点转动的弧长为， ，解得，故选D． 9.已知的半径为，是的一条弦，是的中点，过点作直径，若，则的长是． A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查垂径定理，解题的关键是连接，根据垂径定理得，，在中，，结合图形即可得到的长． 【解答】 解：连接， 是的中点，直径过点， ，， 在中， ， 或， 故选：． 10.如图，小红拿出一张正方形纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆圆与扇形及正方形纸片的两边相切，圆的圆心与扇形的圆心在正方形纸片对角线上，用扇形围成一个圆锥，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面，经测量，得圆锥母线长，则这张正方形纸片的边长是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】设圆锥的底面圆的半径为，则，解得． 如图，过点作正方形纸片两边的垂线，垂足分别为和，则易知 因为，且，所以四边形是正方形， 所以易得，所以正方形纸片的对角线长为， 所以易得正方形纸片的边长为故选B． 11.如图，已知点为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】由题意知，圆锥底面圆的周长等于， 沿母线将圆锥侧面展开后，如图所示，连接，． 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为， 根据底面周长等于侧面展开后所得扇形的弧长得，解得， 所以侧面展开图中， 因为， 所以为等边三角形， 又因为为的中点， 所以， 在中，，， 根据勾股定理求得， 所以蚂蚁爬行的最短路程为． 故选B． 12.如图，是边长为的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】四边形是正方形，， ， ，， ，点在以为直径的圆上， 如图，取的中点，连接，，则是该圆的圆心，点在外，， ，当，，三点共线时，有最小值，此时故选D． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.已知一个圆锥沿侧面展开，得到一个圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的全面积为          结果保留 【答案】  【解析】略 14.如图，的直径垂直于弦，垂足为，，半径为，则弦的长为          ． 【答案】  【解析】略 15.如图是两个半圆，点为大半圆的圆心，大半圆的弦平行于直径，且与小半圆相切，已知，则图中阴影部分的面积为          ． 【答案】  【解析】略 16.如图，是的直径，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点是直径上一点，若的半径为，则的最小值是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，轴对称的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力． 作关于的对称点，连接交于点，连接，，则最小，根据解直角三角形求出，根据轴对称求出即可． 【解答】 解：作关于的对称点，连接交于点，连接，， 则根据垂径定理得：在上，连接交于，则若在时，最小， 是半圆上的一个三等分点， ， 是的中点， ， ， ， 即， 故答案为． 三、计算题：本大题共6小题，共36分。 17.如图，，是以为直径的上的两点，且求证：． 【答案】解：连接，如图，  ，  ，，  又，   ，  ，  ．   【解析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系 连接，根据平行线的性质得到，，而，所以，则根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论． 18.一只蚂蚁以每分钟米的速度在一个半径为米的半圆形花坛的周边爬行寻找食物．如图，蚂蚁从圆心出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬完下面三条线路： 线段； 半圆； 线段，最后回到出发点取 蚂蚁爬到的中点时，用时        分钟 若沿途只有一处有食物，蚂蚁在找到食物后停下来，将食物吃完后继续爬行．蚂蚁在吃食物前后始终保持爬行且爬行速度不变．蚂蚁从圆心出发，回到出发点，共用时分钟．求蚂蚁吃完食物所用的时间 若蚂蚁停下来吃食物的地方与出发点的距离为米，求蚂蚁找到食物所用的时间 【答案】(1)5  (2)全程爬行总路程为4+12+4=20米， 纯爬行时间为20÷2=10分钟． 总用时12分钟， 因此吃食物时间为12-10=2分钟  (3)由于离O点距离为2米的点只可能在线段OA或线段OB上（半圆上所有点到O距离都为半径4米，不存在符合条件的点）， ①食物在线段OA上： ∵蚂蚁爬行路程为2米， ∴用时2÷2=1分钟； ②食物在线段BO上： ∵蚂蚁总爬行路程为4+12+2=18米， ∴用时18÷2=9分钟． ∴蚂蚁找到食物所用的时间为1分钟或9分钟  【解析】解：半圆的长度为米， 蚂蚁从到弧中点，总路程为米， 用时分钟． 故答案为：； 全程爬行总路程为米， 纯爬行时间为分钟． 总用时分钟， 因此吃食物时间为分钟． 由于离点距离为米的点只可能在线段或线段上半圆上所有点到距离都为半径米，不存在符合条件的点，  食物在线段上： 蚂蚁爬行路程为米， 用时分钟；  食物在线段上： 蚂蚁总爬行路程为米， 用时分钟． 蚂蚁找到食物所用的时间为分钟或分钟． 先分别计算线段的长度、从到半圆中点的弧长，将两段长度相加得到总路程；用总路程除以蚂蚁的爬行速度得到用时． 因为要求蚂蚁吃完食物的时间，所以先计算蚂蚁不休息爬完三条线路的总路程，再根据速度算出正常爬行总时间；用实际总用时减去正常爬行总时间，即可得到吃食物的时间． 因为蚂蚁停下来吃食物的地方与点距离为米，所以需要分情况讨论：食物在线段上、线段上、半圆上，如果食物在线段或上，直接根据距离和速度计算时间；如果食物在半圆上，需要先利用圆的相关性质求出对应弧长，再结合之前的线段长度计算总路程，最后根据速度算出时间． 本题主要考查了圆的有关性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 19.如图，等边三角形的顶点都在上，连接，． 求的度数； 若，求的半径． 【答案】   【解析】解：为等边三角形， ， ， ； 过点作于点，则， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得：负值舍去， 若，则的半径为． 由为等边三角形，得，然后通过圆周角定理即可求解； 过点作于点，则，由为等边三角形，得，则，由等腰三角形性质可得，所以，则有，最后通过勾股定理即可求解． 本题考查了垂径定理，圆周角定理，等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 20.蒙古包，是镌刻着游牧智慧、承载着民俗信仰的传统民居瑰宝，也是国家级非物质文化遗产“蒙古包营造技艺”的核心载体．如图是某种蒙古包的示意图，其下半部为圆柱，顶部为圆锥，营造好支架后，顶毡覆盖两层羊毛毡，围毡覆盖三层羊毛毡．门窗处也要覆盖，拼接处忽略不计 圆柱形的蒙古包在大风中阻力小，风可以顺利地从蒙古包的两旁通过，减少大风对建筑物的直接作用，圆锥形的包顶不积雨雪，寒气不易侵入，是保暖防寒防雨雪的安全住所 如图，若底面圆周长为米，求这个蒙古包占地面积．取 若米，米，米，求所需羊毛毡的面积．结果保留 【答案】(1)利用圆周长求出圆半径，再求圆面积可知： 设底面圆半径为r米， ∵底面圆周长为25.12米， ∴3.14×2r=25.12， 解得：r=4， ∴蒙古包占地面积：3.14×42=50.24（平方米）  (2)顶毡所需羊毛毡的面积：（平方米）， 围毡所需羊毛毡的面积：3×1.6×2×π×3=28.8π（平方米）， ∴共需21π+28.8π=49.8π（平方米）  【解析】解：利用圆周长求出圆半径，再求圆面积可知： 设底面圆半径为米， 底面圆周长为米， ， 解得：， 蒙古包占地面积：平方米； 顶毡所需羊毛毡的面积：平方米， 围毡所需羊毛毡的面积：平方米， 共需平方米． 先利用圆周长求出圆半径，再求圆面积即可； 求出圆锥的侧面积乘以，再求出圆柱的侧面积乘以，然后相加即可． 本题考查了圆锥的计算，熟练掌握该知识点是关键． 21.如图，筒车是明代科学家宋应星所著天工开物中记载的经典水利灌溉工具，它利用流水冲击圆形转轮带动筒车转动，通过遍布圆周的竹筒舀水至顶部，并倾倒在水槽中，实现将低处河水提升至高处水槽中，再引流至农田，达到自流灌溉的目的，是我国古代劳动人民智慧的结晶． 如图，已知某筒车的转轮圆心为，吃水深度转轮最低点到水位线的距离与转轮半径的比为：，转轮圆心到水槽底部的距离为米，提水高度水槽底部到水位线的竖直高度是吃水深度的倍求这个筒车的转轮半径． 【答案】米．  【解析】解：设这个筒车的转轮半径为米． 由题意得，吃水深度米， 提水高度米． 由图可知，米． ，且米， 列方程得：， ， ， ， ， 这个筒车的转轮半径为米． 本题属于一元一次方程的实际应用，通过梳理竖直方向各段距离的等量关系建立方程求解．先根据题目给出的比例关系，用转轮半径表示出吃水深度、提水高度的表达式．结合转轮半径和吃水深度的几何位置关系，推导出圆心到水位线的竖直距离的表达式．利用提水高度的两种不同表述方式建立等式：提水高度既等于倍的吃水深度，也等于圆心到水槽底部的距离加上圆心到水位线的竖直距离，解一元一次方程即可得到转轮半径的数值． 题目考查了垂径定理的应用，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 22.如图，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，如图是古人根据营造法式中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高，现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 解答下列问题： 如图，已知月洞门的横跨为，拱高为，用尺规作图的方法在图中作出月洞门的设计图保留作图痕迹，不写作法； 若，，求的半径长． 【答案】月洞门的设计图，如图即为所求；   【解析】解：月洞门的设计图，如图即为所求； 如图，，，连接，设的半径为，则，， 由题意可知，垂直平分， ，， 在直角中，由勾股定理得：， ， 解得：． 答：的半径长为． 按照题意进行作图即可； 连接，设的半径为，由可知，垂直平分，在直角中，使用勾股定理构造方程，并解方程即可． 本题考查作图应用与设计作图，垂径定理与勾股定理，掌握好尺规作图的规范是解题关键． 四、解答题：本题共1小题，共8分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 23.本小题分 研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半如图，已知四边形内接于，对角线，且． 求证： 若的半径为，的度数为，求四边形的面积 如图，作于点，请猜测与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵AC=BD， ∴， 则， ∴AB=CD.  (2).  (3)解：AD=2OM.证明如下： 如图，连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E. ∵OE⊥AD， ∴AE=DE， ∵∠BOC=2∠BAC， 而∠BOC=2∠BOM， ∴∠BOM=∠BAC， 同理可得∠AOE=∠ABD， ∵BD⊥AC， ∴∠BAC+∠ABD=90°， ∴∠BOM+∠AOE=90°， ∵∠BOM+∠OBM=90°， ∴∠OBM=∠AOE， 在△BOM和△OAE中， ， ∴△BOM≌△OAE， ∴OM=AE， ∴AD=2OM．  【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新人教版九年级上册《圆》单元测试A卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.用反证法证明时，假设结论“点在圆内”不成立，那么点与圆的位置关系只能是(    ) A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆外 2.下面四个图中的，是圆心角的是(    ) A. B. C. D. 3.扇形的弧长为，面积为，那么扇形的半径是(    ) A. B. C. D. 4.已知圆弧所在圆的半径为，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为． A. B. C. D. 5.如图，点，，在上，，的度数是(    ) A. B. C. D. 6.如图，是的弦，半径于点若，，则的长是(    ) A. B. C. D. 7.某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥形工艺品．若这种圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则该圆锥的侧面积为(    ) A. B. C. D. 8.“轮动发石机”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图是陈列在展览馆的仿真模型，图是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则(    ) A. B. C. D. 9.已知的半径为，是的一条弦，是的中点，过点作直径，若，则的长是． A. B. C. 或 D. 或 10.如图，小红拿出一张正方形纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆圆与扇形及正方形纸片的两边相切，圆的圆心与扇形的圆心在正方形纸片对角线上，用扇形围成一个圆锥，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面，经测量，得圆锥母线长，则这张正方形纸片的边长是(    ) A. B. C. D. 11.如图，已知点为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程为(    ) A. B. C. D. 12.如图，是边长为的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.已知一个圆锥沿侧面展开，得到一个圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的全面积为          结果保留 14.如图，的直径垂直于弦，垂足为，，半径为，则弦的长为          ． 15.如图是两个半圆，点为大半圆的圆心，大半圆的弦平行于直径，且与小半圆相切，已知，则图中阴影部分的面积为          ． 16.如图，是的直径，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点是直径上一点，若的半径为，则的最小值是          ． 三、计算题：本大题共6小题，共36分。 17.如图，，是以为直径的上的两点，且求证：． 18.一只蚂蚁以每分钟米的速度在一个半径为米的半圆形花坛的周边爬行寻找食物．如图，蚂蚁从圆心出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬完下面三条线路： 线段； 半圆； 线段，最后回到出发点取 蚂蚁爬到的中点时，用时        分钟 若沿途只有一处有食物，蚂蚁在找到食物后停下来，将食物吃完后继续爬行．蚂蚁在吃食物前后始终保持爬行且爬行速度不变．蚂蚁从圆心出发，回到出发点，共用时分钟．求蚂蚁吃完食物所用的时间 若蚂蚁停下来吃食物的地方与出发点的距离为米，求蚂蚁找到食物所用的时间 19.如图，等边三角形的顶点都在上，连接，． 求的度数； 若，求的半径． 20.蒙古包，是镌刻着游牧智慧、承载着民俗信仰的传统民居瑰宝，也是国家级非物质文化遗产“蒙古包营造技艺”的核心载体．如图是某种蒙古包的示意图，其下半部为圆柱，顶部为圆锥，营造好支架后，顶毡覆盖两层羊毛毡，围毡覆盖三层羊毛毡．门窗处也要覆盖，拼接处忽略不计 圆柱形的蒙古包在大风中阻力小，风可以顺利地从蒙古包的两旁通过，减少大风对建筑物的直接作用，圆锥形的包顶不积雨雪，寒气不易侵入，是保暖防寒防雨雪的安全住所 如图，若底面圆周长为米，求这个蒙古包占地面积．取 若米，米，米，求所需羊毛毡的面积．结果保留 21.如图，筒车是明代科学家宋应星所著天工开物中记载的经典水利灌溉工具，它利用流水冲击圆形转轮带动筒车转动，通过遍布圆周的竹筒舀水至顶部，并倾倒在水槽中，实现将低处河水提升至高处水槽中，再引流至农田，达到自流灌溉的目的，是我国古代劳动人民智慧的结晶． 如图，已知某筒车的转轮圆心为，吃水深度转轮最低点到水位线的距离与转轮半径的比为：，转轮圆心到水槽底部的距离为米，提水高度水槽底部到水位线的竖直高度是吃水深度的倍求这个筒车的转轮半径． 22.如图，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，如图是古人根据营造法式中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高，现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 解答下列问题： 如图，已知月洞门的横跨为，拱高为，用尺规作图的方法在图中作出月洞门的设计图保留作图痕迹，不写作法； 若，，求的半径长． 四、解答题：本题共1小题，共8分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 23.本小题分 研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半如图，已知四边形内接于，对角线，且． 求证： 若的半径为，的度数为，求四边形的面积 如图，作于点，请猜测与的数量关系，并证明你的结论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $