第3章自我检测-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

数学 九年级下册（北师大版） 的函数关系式为y=-x+180(30≤x≤80).(2)设利 19.(1)证明：∠ADC和∠ABC分别是△CDE 润为U元，由题意，得u=(x-30)(-x+180)=-X2+210x- 和△CBF的外角，∴.∠ADC=∠E+∠ECD,∠ABC= 5400(30≤x≤80).令-x2+210x-5400=3600,解得= ∠F+∠FCB.∠E=∠F,∠ECD=∠FCB,.∠ADC= 60或=150（舍去）.答：如果该超市销售这种商品每 ∠ABC.(2)解：如图，连接EF,:∠A+∠BCD= 天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60 180°，∠DCE+∠BCD=180°，.∠DCE=∠A.:∠DCE= 元.(3)将函数U=-x2+210x-5400配方，得0=-(x- ∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2.∠A+∠1+∠2+∠AEB+ 105)2+5625.-1<0,.抛物线开口向下，对称轴为x= ∠AFD=180°，，2∠A+∠AEB+∠AFD=180°.：∠AEB= 105..当x≤105时，w随x的增大而增大.30≤x≤ 40°，∠AFD=42°，..2∠A=98°...∠A=49° 80,.当x=80时，0最大，最大利润为5000元.答： 当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最 大利润是5000元. 第三章自我检测 1.B2.C3.A4.B5.B6.C7.30° 8.2V/3cm9.124°10.2011.7012.5 13.(3,-2 第19题答图 第20题答图 14.解：连接AE,CF,则∠DFC=∠AEB=90° DF=BE,AB=DC,.△ABE≌△CDE∴∠B=∠D=50° 20.(1)证明：如图，连接EF,:∠BAC=90°， 15.解：连接AO并延长交⊙0于点D,连接DC, ,EF是⊙0的直径.OA=OE..∠BAD=∠AEO.点D 则∠ACD=90°.∠B=∠D,∠B=60°，∠D=60°.在 是Rt△ABC的斜边BC的中点，∴AD=BD.∠B= Rt△ACD中，AC=3cm,∠D=60°，.AD=2V3cm, ∠BAD.∴.∠AEO=∠B..OE∥BC.EG⊥BC,.OE⊥ .⊙0的直径为2V3cm. EG.:点E在⊙0上，∴EG是⊙0的切线.(2)解： 16.解：AB∥CE.理由：：四边形ABCD是圆内接 ⊙0的半径为5，EF=20E=10.在Rt△AEF中，AF 四边形，∠ED1=∠B又8e,△ED 6,根据勾股定理，得AE=VEF-AF=V10-6=8.由 △CBA...∠DAE=∠CAB..∠DAE=∠ACD,∴.∠ACD= )知0E/BC,小品-品01=0,6能=4B=8 ∠CAB..AB∥CE. 21(1)证明：如图，连接0E,0E=0C, 17.解：(1)连接A0并延长交⊙0于点E,连接 ∠OEC=∠OCE.:DF=FE,∴.∠FED=∠FDE:LFDE= EC,EB,则∠ACE=∠ABE=90°.AE=4,AB=2V3, ∠CDO,OC⊥AB,即∠CD0+∠OCD=90°，.∠FED+ ∴.∠BAE=30°..∠BCE=∠BAE=30°..∠ACB=∠ACE+ ∠0EC=90°.∴.∠FE0=90°，即OE⊥FE.OE是⊙0的 ∠BCE=120°.(2)过点D作DH⊥AB于点H. 半径，.EF为⊙0的切线.(2)解：设⊙0的半径 S=ABDH,AB=2V3,当DH最大时，SA E0=B0=r,则BD=BF=T-1.∴.FE=2BD=2(r-1).在 Rt△OEF中，由勾股定理，得FE+OE-0F,.(2r-2)2+ 最大.点D在优弧ADB上，DH过圆心O时最大 2-(2r-1)只.解得=3或=1（舍去）..⊙0的半径为3. .当DH最大值=2+V22-(V3)2=3时，Sm最大=3V3. 18.(1)证明：AC是⊙0的直径，.∠ABC=90° .∠BAC+∠ACB=90°..CF与⊙0相切，AC是⊙0的 直径，∴.∠ACF=90°.∴.∠F+∠FAC=90°.：B,D两点关 于AC对称，AB=AD,AC⊥BD..∠BAC=∠FAC.. ∠ACB=∠F(2)解：如图，连接OD,B,D两点 关于AC对称，AC⊥BD..BC=DC.OE=CE, ∴.OD=CD..0C=OD=CD=20E=2.∴.△0CD是等边三角 第21题答图 形.∴LC0D=60°.DC=60xm×2=4如 180 3 22.(1)证明：.OA为⊙0的半径，AB与⊙0相 切于点A,.OA⊥AB..∠OAB=90°.BD⊥OB, ∠DBC=90°..OA=OC,∴.∠OAC=∠OCA.∠OCA= ∠BCD,.∴∠OAC=∠BCD.'∠OAC+∠BAD=90°，∠D+ ∠BCD=90°，∴.∠BAD=∠D.∴AB=BD.(2)解： ∠OAB=90°，AB=BD=5V3,BC=5,∴AB+A0=OB .(5V3)2+0A2=(0A+5)2..0A=5..0B=10..0A= 第18题答图 248 参考答案与提示 20BL0=60.弦AC与AC周成的图形（阴影部 理由：由题意可知，样本中两个年级数据的平均数相 同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年 分)的面积-5r5eu-0路古×分55V3- 级学生成绩的波动程度较小，故①说法正确；若八年 级小明同学的成绩是84分，大于八年级成绩的中位 25π_25V3 数，所以可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以 6 4 23.解：(1)456(2)不对.理由：0P= 上学生的成绩，故②说法正确。 (3)600x12+5=340 30 2,PQ=3,0Q=4,且4≠32+22，即0Q≠PQ+0P, (名).答：七年级成绩优秀的学生人数大约为340名. ∴.OP与PQ不垂直.PQ与⊙0不相切.(3)①3 19.解：(1)描出各点，并连接，如图. ②油①知，在⊙0上存在点P,P到l的最大距离为3， 此时，OP将不能再继续向左（或向右）转动，如图 Ay/cm 2 OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是 0 POP.连接P'P,交OH于点D.PQ,PQ均与l1垂 18 16 直，且PQ=PQ=3,.四边形PQQP是矩形..QQ∥ 14 PP.OH⊥l,.OH⊥PP.又OP-OP,PD=PD. 10 由0P-2,0D=0H-HD=4-3=1,cos∠D0P-0D=1 0P2 ∠D0P=60°..∠POP=120°..所求最大圆心角的度 09 数为120°. 123456789xh H 第19题答图 (2)由(1)中图象可知该函数为一次函数，设该 函数的表达式为y=kx+b,点(1,6)，(2,10)在 :+66,。解得， 该函数上，2k+b=10, 导62，可与x的丽数表 达式为y=4+2.(3)当y=12时，即4x+2=12,解得 =2.5,9+2.5=11.5.答：圆柱形容器液面高度达到12cm 第23题答图 时是上午11：30. 模拟试题（一） 20.解：如图，过点A作AH⊥FG的延长线于点 H,由题意知，AH=3,AE=5,AB=(8.8-0.8)÷2=4, 1.A2.B3.D4.C5.B6.C7.A8.D 9.B10.B AB⊥BE.在Rt△ABE中，∠ABE=90°，Sin∠AEB=AB AE 1.212.号13.3y3 2 14.8 3 15.72°或 =号由勾股定理得BE=VAAB=V平=3.：四边 67.5° 形AEFG是平行四边形，AE∥GF,AG∥EF.LAEB= 16.解：(1)原式=9+V3-1-12=-4+V3. ∠GFE,∠GFE=∠HGA..∴.∠AEB=∠HGA.∴.sin∠AEB= (2)原式=2-3+1+4. =2-2a+1 a a(a+1)(a-1) 0 血∠HGA.在R△AHG中，sinAGH=-是.即 AG =(a-1)2, =a-1 (a+1)(a-1) a(a+1)(a-1)a+1 号，46=(BG-BE)=A6=(23-3)-53 4 17.解：(1)设每支A种型号的毛笔x元，每支 侧最多可以设置停车位5个..矩形空地中最多可以设 B种型号的毛笔y元，由题意，得3+2， 置停车位10个. 2x+3y=24, 解得 H K=6,答：每支A种型号的毛笔6元，每支B种型号 ly=4. m 的毛笔4元.(2)设购买A种型号的毛笔a支，由 安全空间 题意可得6a+4(80-a)≤420，解得a≤50.答：最多可 以购买50支A种型号的毛笔. 18.解：(1)把七年级30名学生的成绩从小到大 第20题答图 排列，第15个数和第16个数分别是81,85，故中位 21.(1)证明：BD平分∠ABC,.∠ABD= 数m=81+85-83;七年级30名学生的成绩中出现次数 ∠EBD.BD是⊙O的直径，∴.∠A=90°.·∠ABD+ 2 ∠ADB=90°.，∠BFPD=∠ADB,∠ABD=∠EBD,. 最多的是85，故众数n=85.(2)①正确，②正确. ∠EBD+∠BFD=90°..∴.∠FDB=90°..OD⊥DF.又.OD第三章自我检测 第三章自我检测 (考试时间：90分钟满分：100分) 一、选择题（每小题2分，共12分） 1.已知在△ABC中，∠C=90°，若以AB为直径作⊙O,则点C与⊙O的位置关系 是() A.点在圆外 B.点在圆上 C.点在圆内 D.无法确定 2.如图，一个圆环的面积为9π，大圆的弦AB切小圆于点C,则弦AB的长为() A.9 B.18 C.6 D.3 3.如图，小华从一个圆形场地A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走 到场地边缘B后，再沿着与半径OB的夹角为α的方向折向行走，按照这种方式，小华第 五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则αx的度数是（) A.52° B.60° C.72 D.76° 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC>BC,若以AC为底面圆半径、BC为高的圆锥的 侧面积为S,以BC为底面圆半径、AC为高的圆锥的侧面积为S2,则() A.S=S2 B.S>S2 C.S<S2 D.S,S2的大小关系不确定 °0 c 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 5.如图是一个单心圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10m,净高CD为7m,则此隧 道单心圆的半径OA长() A.5m &罗m D.7 m 6.如图，AB是⊙0的直径，点C,D,E都在⊙0上，若∠C=∠D= LE,则∠A+∠B等于() 0 A.90 B.120° C.135° D.150° 第6题图 18 数学 九年级下册（北师大版） 二、填空题（每小题2分，共14分） 7.如图，AD是⊙0的直径，AB∥CD,∠AOC=60°，则∠BAD= C 0 0 B 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的 长为 9.如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，∠A0C=44°，D是BC的中点，则 ∠ACD= 10.在△ABC中，BC=16cm,外心D到BC的距离为6cm,则△ABC外接圆直 径为 cm. 11.如图，在⊙O中，A,P,B,C是⊙0上四个点，已知∠APC=60°，∠CPB=50°， 则∠ACB的度数为 0 M P 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，点A,B是⊙0上两点，AB=10,点P是⊙0上的动点（点P与点A,B不 重合)，连接AP,PB,过点O分别作OE⊥AP于点E,OF⊥PB于点F,则EF= 13.如图，⊙M交x轴于原点右侧两点A,B,并与y轴相切于原点下方的点C,AB= 3,OC=2,则圆心M的坐标是 三、解答题(1416题各6分，17~23题各8分，共74分)》 14.如图，AB,CD是⊙O的直径，DF,BE是弦，且DF=BE,∠D=50°.求∠B的度数， 第14题图 ® 第三章自我检测 15.如图，⊙0经过点A,B,C,∠B=60°，AC=3cm,求⊙0的直径. ●0 B 第15题图 16.如图，D是△ABC外接⊙O上一点，在射线CD上取一点E,使∠EAD=∠ACD, 若4B=BC,判断AB与CE的位置关系，并说明理由. AD DE 0● 第16题图 @ 数学 九年级下册（北师大版） 17.如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2V3,点C与点D分别是劣弧AB与 优弧ADB上的任一点.（点C,D均不与点A,B重合） (1)求∠ACB的度数： (2)求△ABD的最大面积. ◆0 C 第17题图 18.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径，B,D两点关于AC对称，过 点C作⊙O的切线，交AD的延长线于点F (1)求证：∠ACB=∠F (2)若OE=CE,且OE=1,求弧CD的长. 第18题图 ⑧ 第三章自我检测 19.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E,F (I)若∠E=∠F,求证：∠ADC=∠ABC (2)若∠E=40°，∠F=42°，求∠A的度数. D 0 第19题图 20.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O, 分别与AB,AC交于点E,F,过点E作EG⊥BC于点G. (1)求证：EG是⊙O的切线. (2)若AF=6,⊙0的半径为5，求BE的长. 第20题图 © 数学 九年级下册（北师大版） 21.如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C,D为OB上一点，延长CD交 ⊙O于点E,延长OB至点F,使DF=FE,连接EF (1)求证：EF为⊙O的切线 (2)若OD=1且BD=BF,求⊙O的半径. 第21题图 @ 第三章自我检测 22.如图，OA为⊙0的半径，点C在⊙0上，AB与⊙0相切于点A,与OC的延长 线交于点B,过点B作BDLOB,交AC的延长线于点D. (1)求证：AB=BD. (2)若BC=5,BD=5V3,求弦AC与弧AC围成的图形（阴影部分）的面积. 第22题图 ⑧ 数学 九年级下册（北师大版） 23.某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图.其工作原理是滑 块Q在平直滑道1上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ 带动连杆OP绕固定点O摆动.在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上 运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥1于点H, 并测得OH=4dm,PQ=3dm,OP-2dm. 解决问题： (1)点Q与点O间的最小距离是 dm,点Q与点O间的最大距离是 dm,点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 dm. (2)如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙0是相切的.”你 认为他的判断对吗？为什么？ (3)①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到1的距离最小.”事实上，还 存在着点P到1距离最大的位置，此时，点P到l的距离是 dm; ②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的 度数 滑道 滑块 H(Q) 10 连杆 图1 图2 图3 第23题图 @