专题29.3弧长与扇形面积（11大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年人教版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦弧长与扇形面积核心知识点，系统梳理从圆的半径、圆心角出发，到弧长公式、扇形面积公式的推导，再延伸至弓形、不规则图形面积计算及圆锥侧面展开相关问题（侧面积、底面半径等）的递进式学习支架。 该资料通过11个题型分类训练，结合易错点分析（如公式混淆、半径直径不分）和技巧口诀（如“弧长分母一百八”），例题选用中考及期末真题（如日晷面积、摩天轮路径计算），培养学生运算能力与应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题29.3弧长与扇形面积 【新人教版】 【题型1 求弧长】...................................................................................................................................................2 【题型2 求扇形面积】...........................................................................................................................................3 【题型3 求扇形半径、圆心角】...........................................................................................................................4 【题型4 求弓形面积】...........................................................................................................................................5 【题型5 求其他不规则图形的面积】...................................................................................................................6 【题型6 求某点的弧形运动路径长度】...............................................................................................................7 【题型7 求圆锥侧面积】.......................................................................................................................................8 【题型8 求圆锥底面半径】...................................................................................................................................8 【题型9 求圆锥的高】...........................................................................................................................................9 【题型10 求圆锥侧面展开图的圆心角】...........................................................................................................10 【题型11 圆锥侧面上最短路径问题】...............................................................................................................10 1. 公式 设圆半径为r，圆心角度数为n° · 弧长公式： · 扇形面积公式： 2.弓形面积 弓形面积=扇形面积±三角形面积； 弧为劣弧：S弓形=S扇形-S三角形； 弧为优弧：S弓形=S扇形+S三角形。 3.公式理解 公式中n是圆心角的度数，不带单位；所有角度采用角度制。 易错1：公式混淆 弧长公式分母180，扇形面积公式分母360，经常记混。 易错2：分不清半径与直径 题目给出直径，直接代入公式，没有先换算成半径r。 易错3：弓形面积不区分优劣弧 直接固定用扇形减三角形，优弧弓形需要相加。 易错4：角度误用弧度 公式只适用于角度制，不能直接代入弧度计算。 易错5：计算结果漏写π 没有看清题目要求，随意把π取近似值。 技巧1：速记口诀 弧长分母一百八，扇形面积三百六； 已知弧长求面积，二分之一l乘r。 技巧2：公式选用策略 已知圆心角n、半径r，优先选用带n的公式； 已知弧长l，优先使用，计算更简便。 技巧3：弓形面积解题步骤 判断优弧/劣弧→求出对应扇形面积→结合三角形面积加减。 技巧4：不规则阴影思路 割补转化为扇形、三角形等规则图形面积的和差。 技巧5：旋转路径长度题型 动点绕定点旋转一段圆弧，直接用弧长公式计算运动轨迹长度。 题型一 求弧长 【例1】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）圆心角为，半径为3的扇形的弧长为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东泰安·期末）如图，已知中，，以为直径作半圆（圆心为点），分别交，于点D，E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·吉林·中考真题）如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【变式1-3】（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 题型二 求扇形面积 【例2】（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”，如图所示．通过测量得到晷面内圈的半径为．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束（从旋转到）划过的图形面积（图中阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）如图，在边长为 1 的网格中，点 A ，C，D 都为格点，线段 经过点 C．以 A 为圆心，为半径画弧，弧 经过格点 D，则扇形 的面积是 _____________ ． 题型三 求扇形半径、圆心角 【例3】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（   ） A．6 B．10 C．12 D．24 【变式3-1】（25-26九年级上·四川广安·期末）一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·广西南宁·期末）的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（   ） A．12 B．9 C．6 D．5 【变式3-3】（25-26九年级上·河北·课后作业）(1)已知扇形的圆心角为，弧长等于，则该扇形的半径是________； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为________． 【例4】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，是的弦，半径，则阴影部分的面积为（）题型四 求弓形面积 A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东湛江·期末）已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水面宽为，则阴影部分面积为______． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江丽水·阶段检测）如图，垂直弦的半径为，弓形的高为． (1)求的长． (2)求弓形的面积． 题型五 求其他不规则图形的面积 【例5】（25-26九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在中，，，，以点C为圆心交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，是的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为_______． 【变式5-2】（26-27九年级·全国·暑假作业）设计一个商标图案如图中阴影部分，矩形中，，且，以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点，则商标图案的面积等于________． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交于点，且点是弧的中点，若，则图中阴影部分的面积为_____． 题型六 求某点的弧形运动路径长度 【例6】（25-26九年级上·重庆忠县·期末）如图，矩形的边在直线l上，已知，，若矩形每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转，如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点、、位置；如第2次旋转以为中心，旋转后点C、、分别旋转到点、、位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·河南周口·模拟预测）摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留） 【变式6-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，等腰中，，，将沿所在直线向右翻动（不滑动）至如图位置，则点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是__________．（结果保留） 【变式6-3】（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且的周长为，，若，将线段绕点逆时针旋转到点在上时，求点的运动路径长_______． 题型七 求圆锥侧面积 【例7】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知一个圆锥的底面半径为，高为，则这个圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，圆锥体的高底面圆半径，则该圆锥体的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，冰淇淋甜筒呈圆锥形，则圆锥部分侧面包装纸的面积（接缝忽略不计）是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26九年级上·江西宜春·期末）如果某圆锥形纸帽的底面直径为，沿侧面剪开后所得扇形的半径为，则该圆锥纸帽的侧面积为___________（结果保留）． 题型八 求圆锥底面半径 【例8】（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展开，所得扇形的面积为，圆心角为，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【变式8-1】（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，母线长为40，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式8-2】（25-26九年级上·广东东莞·期末）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·浙江·模拟预测）如图，从一块直径是 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______． 题型九 求圆锥的高 【例9】（25-26九年级上·山东威海·期末）若一个圆锥的母线长为8，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的高为（    ） A．4 B． C． D． 【变式9-1】（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角的度数为，则该圆锥的高为_____ ． 【变式9-3】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，若从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是____． 题型十 求圆锥侧面展开图的圆心角 【例10】（25-26九年级上·云南大理·期末）一个底面半径为的圆锥，展开后的扇形半径为，则这个扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）已知一个圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于_____． 【变式10-2】（25-26九年级上·福建南平·期末）如图，有一种竹编斗笠，外形是圆锥，它的母线长为，底面直径为，则该斗笠的侧面展开图的圆心角大小为_______． 【变式10-3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的圆心角度数为______． 题型十一 圆锥侧面上最短路径问题 【例11】（25-26九年级下·广东东莞·阶段检测）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26九年级上·云南丽江·阶段检测）如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 【变式11-2】（25-26九年级·广东广州·自主招生）如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是_______．    【变式11-3】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29.3弧长与扇形面积 【新人教版】 【题型1 求弧长】...................................................................................................................................................2 【题型2 求扇形面积】...........................................................................................................................................5 【题型3 求扇形半径、圆心角】...........................................................................................................................7 【题型4 求弓形面积】...........................................................................................................................................9 【题型5 求其他不规则图形的面积】.................................................................................................................13 【题型6 求某点的弧形运动路径长度】.............................................................................................................17 【题型7 求圆锥侧面积】.....................................................................................................................................20 【题型8 求圆锥底面半径】.................................................................................................................................22 【题型9 求圆锥的高】.........................................................................................................................................24 【题型10 求圆锥侧面展开图的圆心角】...........................................................................................................27 【题型11 圆锥侧面上最短路径问题】...............................................................................................................29 1. 公式 设圆半径为r，圆心角度数为n° · 弧长公式： · 扇形面积公式： 2.弓形面积 弓形面积=扇形面积±三角形面积； 弧为劣弧：S弓形=S扇形-S三角形； 弧为优弧：S弓形=S扇形+S三角形。 3.公式理解 公式中n是圆心角的度数，不带单位；所有角度采用角度制。 易错1：公式混淆 弧长公式分母180，扇形面积公式分母360，经常记混。 易错2：分不清半径与直径 题目给出直径，直接代入公式，没有先换算成半径r。 易错3：弓形面积不区分优劣弧 直接固定用扇形减三角形，优弧弓形需要相加。 易错4：角度误用弧度 公式只适用于角度制，不能直接代入弧度计算。 易错5：计算结果漏写π 没有看清题目要求，随意把π取近似值。 技巧1：速记口诀 弧长分母一百八，扇形面积三百六； 已知弧长求面积，二分之一l乘r。 技巧2：公式选用策略 已知圆心角n、半径r，优先选用带n的公式； 已知弧长l，优先使用，计算更简便。 技巧3：弓形面积解题步骤 判断优弧/劣弧→求出对应扇形面积→结合三角形面积加减。 技巧4：不规则阴影思路 割补转化为扇形、三角形等规则图形面积的和差。 技巧5：旋转路径长度题型 动点绕定点旋转一段圆弧，直接用弧长公式计算运动轨迹长度。 题型一 求弧长 【例1】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）圆心角为，半径为3的扇形的弧长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形弧长的计算，熟练掌握扇形弧长公式是解题的关键．直接运用扇形弧长公式，代入题目给出的圆心角和半径的数值，计算即可得到弧长． 【详解】解：∵扇形弧长公式为，其中，， ∴， 故选：A． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东泰安·期末）如图，已知中，，以为直径作半圆（圆心为点），分别交，于点D，E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长的计算和圆周角定理．连接、，先根据圆周角定理得到，则可计算出，再根据得到，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后根据弧长公式求解． 【详解】解：连结、，如图， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长度为． 故选：A． 【变式1-2】（2026·吉林·中考真题）如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【答案】/ 【分析】根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，车轮半径，圆心角 ∴劣弧的长 ． 【变式1-3】（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，由角平分线的定义和圆周角定理得到，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 题型二 求扇形面积 【例2】（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 【变式2-1】（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形可知，四个阴影扇形的圆心角之和即为四边形的内角和，利用四边形内角和为及扇形面积公式即可求解． 【详解】解：四边形的内角和为， 四个扇形的圆心角之和为 四个圆的半径都是， 四个扇形的面积之和． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”，如图所示．通过测量得到晷面内圈的半径为．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束（从旋转到）划过的图形面积（图中阴影部分）是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了扇形面积的计算，解题的关键是读懂题意找出数量关系．先求出夹角，再根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：由题意可知，一个地支的夹角为， 从“巳”时开始到“申”时结束走过的图形是扇形，且圆心角为，即， ∵晷面内圈的半径为， ∴（）， ∴晷针投影在晷面上划过的图形面积是． 故选：B． 【变式2-3】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）如图，在边长为 1 的网格中，点 A ，C，D 都为格点，线段 经过点 C．以 A 为圆心，为半径画弧，弧 经过格点 D，则扇形 的面积是 _____________ ． 【答案】 【分析】本题考查网格与勾股定理，求扇形面积；先求出半径，再求出圆心角，根据计算即可． 【详解】解：网格边长为，由题意可知 ，圆心角， 由勾股定理，即； 扇形面积：（为圆心角，为半径）； 代入，，得． 答案：． 题型三 求扇形半径、圆心角 【例3】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（   ） A．6 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】此题考查了弧长的计算，理解记忆弧长公式是解题的关键． 由弧长公式分别代入相应的数值求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， 解得． 故选：C． 【变式3-1】（25-26九年级上·四川广安·期末）一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算．利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可． 【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l， 由题意得：，即， 解得：， 又由可得：， 解得：， 故选：D． 【变式3-2】（25-26九年级上·广西南宁·期末）的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（   ） A．12 B．9 C．6 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式（为圆心角，为半径），根据弧长公式即可求解． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为， 则， 解得：， 故选：C． 【变式3-3】（25-26九年级上·河北·课后作业）(1)已知扇形的圆心角为，弧长等于，则该扇形的半径是________； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为________． 【答案】 2 /60度 【分析】此题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用扇形弧长公式代入求解即可． 【详解】解：（1）设扇形的半径为R， 则根据题意，得， 解得. 故该扇形的半径是2． （2）根据弧长公式得， 解得， 故扇形圆心角的大小为． 故答案为：2；． 【例4】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，是的弦，半径，则阴影部分的面积为（）题型四 求弓形面积 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点O作于C，延长交于D，求出，得，由计算即得． 【详解】解：过点O作于C，延长交于D． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了弓形面积计算．熟练掌握垂径定理，勾股定理，余弦定义，30度的三角函数值，含30度的直角三角形性质，扇形面积和三角形面积公式，是解题的关键． 【变式4-1】（2026·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东湛江·期末）已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水面宽为，则阴影部分面积为______． 【答案】 【分析】本题考查圆中求线段长、求不规则图形面积等知识，涉及圆的对称性、垂径定理、勾股定理、含直角三角形性质、扇形面积公式及间接法求不规则图形面积，锐角三角函数的应用．如图，过作交于，交于，由图形可知，，在中求解从而得到，由扇形面积公式及三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图，过作交于，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为： 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江丽水·阶段检测）如图，垂直弦的半径为，弓形的高为． (1)求的长． (2)求弓形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积，含角的直角三角形性质等知识点，解题的关键是掌握以上性质定理． （1）利用垂径定理得出，然后根据勾股定理求解即可； （2）利用含角的直角三角形性质得出角的度数，然后利用扇形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， 由垂径定理得，， 由勾股定理得， ∴； （2）解：如图所示，连接， 由（1）得，在中，， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积为：, ∴弓形的面积为． 题型五 求其他不规则图形的面积 【例5】（25-26九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在中，，，，以点C为圆心交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形性质，等边三角形的判定与性质和扇形面积的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；由题意可得：， ，，求得，再证得是等边三角形，然后即可求解； 【详解】解：连接，如图： ， 由题意可得：在中，，，， ∴， ，， ∴， ∵点C为圆心交于点D，交于点E， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴点是斜边的中点， ∴， ∴， ， ∴， 故选：C 【变式5-1】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，是的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为_______． 【答案】 【分析】根据垂径定理可得，根据圆周角定理可得，即可得出，然后解直角三角形得，的长度，然后证明出，得到，最后利用代数求解即可． 【详解】解：如图，设线段、交于点， ∵是的直径，弦，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∴． 【变式5-2】（26-27九年级·全国·暑假作业）设计一个商标图案如图中阴影部分，矩形中，，且，以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点，则商标图案的面积等于________． 【答案】 【分析】根据解答即可； 【详解】 解：在矩形中， 则， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点， ∴， ∴， ∴ ． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交于点，且点是弧的中点，若，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，圆周角定理，勾股定理及等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 连接，，证明，设，则，从而可表示出、，另一方面，由此建立方程求出的值，利用阴影部分的面积△的面积扇形的面积即可求解． 【详解】解：连接，，如图． ，， ， ， ， ， 是弧的中点， ． ． ， ， 是等腰直角三角形． 设，则 ， ， ， 解得 阴影部分的面积的面积扇形的面积． 故答案为：． 题型六 求某点的弧形运动路径长度 【例6】（25-26九年级上·重庆忠县·期末）如图，矩形的边在直线l上，已知，，若矩形每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转，如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点、、位置；如第2次旋转以为中心，旋转后点C、、分别旋转到点、、位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴对角线长为， ∴转动一次的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 转动五次的路线长是：， 以此类推，每四次循环， 故顶点转动四次经过的路线长为：， 顶点转动2026次经过的路线长为：． 故选：D． 【变式6-1】（2026·河南周口·模拟预测）摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留） 【答案】 【分析】根据题意求出圆的半径，根据转速求出圆心角的度数，最后利用弧长公式求解． 【详解】解：根据题意得，摩天轮的半径为， 摩天轮每分钟转动的圆心角度数为， ∴后圆心角， ∴的长度为． 【变式6-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，等腰中，，，将沿所在直线向右翻动（不滑动）至如图位置，则点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是__________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求弧长，根据题意求得点从开始到结束所经过的路径为半径为，圆心角为的2个弧长，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， 依题意， ∴点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是 故答案为：． 【变式6-3】（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且的周长为，，若，将线段绕点逆时针旋转到点在上时，求点的运动路径长_______． 【答案】 【分析】先利用切线性质得到垂直关系，结合求出的度数；再根据三角形周长和切线长定理求出的长度；最后根据弧长公式计算点的运动路径长（即绕点旋转的弧长）． 【详解】解：连接、， ∵与，分别相切于点，， ∴，， ∴， ∵四边形内角和为，， ∴−−−， ∵的周长为，内切圆与，，分别相切于，，， ∴，，， ∵， ∴−， ∵，且，， ∴， ∴−， ∵， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转到点在上， ∴点的运动路径为以为圆心，为半径，圆心角为的弧， ∴弧长， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、多边形内角和、弧长公式，熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键． 题型七 求圆锥侧面积 【例7】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知一个圆锥的底面半径为，高为，则这个圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥侧面为扇形，最后运用扇形面积公式计算侧面积即可． 【详解】解：∵圆锥底面半径，高 ∴由勾股定理得，母线长 ∵圆锥底面周长 又∵圆锥侧面积等于其侧面展开图扇形的面积，扇形面积公式为弧长母线长 ∴圆锥侧面积，即C选项符合题意． 【点睛】掌握圆锥的侧面积公式（c为圆锥底面周长，l为母线的长）． 【变式7-1】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，圆锥体的高底面圆半径，则该圆锥体的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，解题的关键是先利用勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式计算． 先根据圆锥的高和底面半径，用勾股定理求出母线长；再将和底面半径代入侧面积公式，计算得出结果． 【详解】解：， ． ． 故选：C． 【变式7-2】（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，冰淇淋甜筒呈圆锥形，则圆锥部分侧面包装纸的面积（接缝忽略不计）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥侧面积的求解，根据圆锥的侧面积底面周长母线长． 【详解】解：由图知，底面直径为，则底面周长l为，母线长为， 所以侧面展开图的面积． 故选：C． 【变式7-3】（25-26九年级上·江西宜春·期末）如果某圆锥形纸帽的底面直径为，沿侧面剪开后所得扇形的半径为，则该圆锥纸帽的侧面积为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积的求法，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键．首先求得圆锥的底面周长，然后利用圆锥侧面积公式即可求解． 【详解】解：∵圆锥底面直径， ∴底面半径，底面周长， ∵侧面剪开后所得扇形的半径， ∴侧面积． 故答案为： 题型八 求圆锥底面半径 【例8】（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展开，所得扇形的面积为，圆心角为，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据扇形面积求出扇形的半径，根据圆锥底面周长等于扇形的弧长，进行求解即可. 【详解】解：设圆锥的母线长为，底面圆的半径为， 由题意，得， 解得（舍去负根）； ∵， 解得； 故该圆锥的底面圆的半径为1. 【变式8-1】（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，母线长为40，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径． 【详解】解：设圆锥底面圆半径为， 由题意得：， 解得， 因此，该圆锥的底面圆半径为， 故选：B． 【变式8-2】（25-26九年级上·广东东莞·期末）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆锥侧面展开图的性质，利用圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长这一关系列方程求解即可． 【详解】解：设该圆锥的底面圆的半径为， ∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长， ∴，化简得，解得， ∴该圆锥的底面圆的半径为， 故选B． 【变式8-3】（2026·浙江·模拟预测）如图，从一块直径是 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______． 【答案】 【分析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求得． 【详解】解：∵的直径为 ，则半径是： ， ∴， 连接、设的中点为，连接，根据题意知 ， ∵, ∴是直径， ∴， 在中，， 即扇形的对应半径， 弧长， 设圆锥底面圆半径为r，则有， 解得：． 题型九 求圆锥的高 【例9】（25-26九年级上·山东威海·期末）若一个圆锥的母线长为8，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的高为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的高的计算，先利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长求出底面半径，再结合母线长，通过勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：设圆锥底面半径为，高为h， ∵圆锥母线长为8，侧面展开图是半圆， ∴侧面展开图半圆的弧长为， ∵圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长， ∴，解得， ∵圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形，母线为斜边， ∴由勾股定理得， 即这个圆锥的高为， 故选：B． 【变式9-1】（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出，最后用勾股定理即可得出结论. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：B． 【变式9-2】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角的度数为，则该圆锥的高为_____ ． 【答案】4 【分析】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长，然后再利用勾股定理求圆锥的高即可． 【详解】解：圆锥的底面周长为：； ∴圆锥侧面展开图的弧长为, 设圆锥的母线长为, ∴， 解得． 由勾股定理得圆锥的高为（）. 故答案为：4． 【变式9-3】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，若从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的计算方法进行求解是解决本题的关键．根据圆的周长公式计算出剪去圆周的一个扇形的周长，这个扇形的周长就是圆锥底面圆的周长，根据圆的周长公式计算出圆锥底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高即可． 【详解】解：半径为的圆，剪去圆周的一个扇形的弧长为， 设圆锥的底面半径为r，高为h，则母线， 则有， 解得：， ∴． 故答案为：． 题型十 求圆锥侧面展开图的圆心角 【例10】（25-26九年级上·云南大理·期末）一个底面半径为的圆锥，展开后的扇形半径为，则这个扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥侧面展开图的性质，关键是掌握扇形弧长与圆锥底面周长的相等关系． 圆锥展开后的扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用此关系列方程求解圆心角即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为， 圆锥底面周长为， 扇形弧长， 圆锥展开后的扇形的弧长等于圆锥底面的周长， ，即，解得． 这个扇形的圆心角为． 故选C． 【变式10-1】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）已知一个圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于_____． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图的圆心角．圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：设圆心角为，则扇形的弧长为，圆锥底面的周长为， 根据弧长相等，得， 解得， 故答案为：． 【变式10-2】（25-26九年级上·福建南平·期末）如图，有一种竹编斗笠，外形是圆锥，它的母线长为，底面直径为，则该斗笠的侧面展开图的圆心角大小为_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算及扇形圆心角的计算，先根据题意利用圆锥的侧面积公式计算其侧面积，再设侧面展开图的圆心角的度数为n，利用扇形圆心角的公式列出方程，求得n的值即为所求． 【详解】解：由题意知，底面直径为， ∴底面半径为， ∴， 设侧面展开图的圆心角的度数为n， ∴， 即，解得， 即该斗笠的侧面展开图的圆心角大小为， 故答案为：． 【变式10-3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的圆心角度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，弧长公式，如图，根据题意得，，由直角三角形性质可得，所以圆锥侧面展开图的弧长为，设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，则，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，，， ∵， ∴， ∴， ∴圆锥侧面展开图的弧长为， 设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， ∴，解得：， ∴圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 故答案为：． 题型十一 圆锥侧面上最短路径问题 【例11】（25-26九年级下·广东东莞·阶段检测）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可． 【详解】连接，过B作于D， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，， 则， ∵，， ∴， 由，可求得， ∴，， 即这根绳子的最短长度是． 【变式11-1】（25-26九年级上·云南丽江·阶段检测）如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 【答案】 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是， 以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，弧长是， 设展开后的圆心角是，则， 解得：， ∴展开后， ，， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段的长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【变式11-2】（25-26九年级·广东广州·自主招生）如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是_______．    【答案】 【分析】根据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可得． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴圆锥的底面周长是， 则 ∴， 即圆锥侧面展开图的圆心角是， 如图所示，    ∴， ∵为母线的中点， ∴， ∴在圆锥侧面展开图中， ∴蚂蚁在圆锥侧面上从B爬到P的最短距离是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短距离问题，解题的关键是掌握圆锥的计算，勾股定理，将最短距离转化为平面上两点间的距离并正确计算． 【变式11-3】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $