29.3弧长和扇形面积（4大知识点+13大题型+分层训练）2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.3 弧长和扇形面积 学习目标导航 1、掌握公式：理解弧长和扇形面积公式的推导过程，能熟练运用公式进行计算。 2、综合应用：掌握圆锥的侧面积和全面积的计算方法，能解决与圆锥侧面展开图相关的实际问题。 3、拓展探究：通过“探究与发现：等宽曲线”等板块，拓展对圆的特殊性质的认知，提升数学探究能力。 洞悉◆教材核心知识 知识点一 弧长公式 弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l为： 【注意】 1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，在应用公式计算时，n和180可不用写单位． 2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量都可以求出第三个量． 3）要正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧. 知识点二 扇形面积公式 扇形的面积公式：圆心角为n°的扇形面积S为：； 【方法】 （1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量． （2）当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，可以选用公式；当已知半径R和弧长l求扇形的面积时，可以选用公式. 知识点三 圆锥的侧面积和全面积 1）母线的定义：把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 2）圆锥的侧面展开图及有关计算 （1）沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开， 容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形. （2）圆锥常见量之间的关系（如图） 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h （1）这个扇形的弧长为2πr； （2）； （3） （4） （5）圆锥侧面展开图的圆心角度数为 【总结】圆锥与侧面展开图的等量关系：， 【易错点】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系. 知识点四 圆锥的侧面上的最短路径问题 圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，在圆锥上求最短距离，需把圆锥侧面展开为平面图形，然后利用“两点之间，线段最短”和勾股定理解决问题. 核心题型◆归纳 题型01 利用弧长公式求弧长 题型02 利用弧长公式求扇形面积 题型03 利用弧长公式求圆心角 题型04 求某点的弧形运动路径长度 题型05 求扇形面积 题型06 求弓形面积 题型07 求图形旋转后扫过的面积 题型08 求其它不规则图形面积 题型09 求圆锥侧面积和表面积 题型10 求圆锥的高、底面半径、母线长 题型11 求圆锥侧面展开图的圆心角 题型12 圆锥的实际问题 题型13 圆锥侧面上最短路径问题 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 利用弧长公式求弧长 例1．如图，点在圆弧上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型02 利用弧长公式求扇形面积 例2．已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为___________． 题型03 利用弧长公式求圆心角 例3．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点P随之旋转，则__． 题型04 求某点的弧形运动路径长度 例4．如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若．，则点走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 题型05 求扇形面积 例5．如图，正六边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画弧，交正六边形于点，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 题型06 求弓形面积 例6．已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水面宽为，则阴影部分面积为______． 题型07 求图形旋转后扫过的面积 例7．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 题型08 求其它不规则图形面积 例8．如图，点是以为直径的半圆的圆心，以点为圆心，的长为半径的弧交半圆于点，以点为圆心，的长为半径的弧交半圆于点是上一点．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 题型09 求圆锥侧面积和表面积 例9．已知一个圆锥的主视图与左视图都是边长为的等边三角形，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 题型10 求圆锥的高、底面半径、母线长 例10．若一个圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为________． 题型11 求圆锥侧面展开图的圆心角 例11．草帽是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠结的中国特有的传统草编工艺品．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 题型12 圆锥的实际问题 例12．如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（    ） A．米2 B．米2 C．米2 D．米2 题型13 圆锥侧面上最短路径问题 例13．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是（  ）． A． B． C． D． ABC分层训练 1．如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 3．如图，半径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，则点所对应的数是（π取3）（    ） A．7 B．10 C．9 D．11 4．如图是将一个圆锥的侧面展开得到的扇形纸片，已知该扇形的半径是，弧长是，则这个圆锥的高是（　　）    A． B． C． D． 5．如图，圆锥的底面半径，高．则这个圆锥的侧面展开后扇形的圆心角是（    ） A． B． C． D． 6．如图，圆锥体的高，底面圆半径，则该圆锥体的侧面积是（   ） A． B． C． D． 7．如图，四边形ABCD内接于，的半径为3，，则的长为_____． 8．如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为______． 9．如图，格点纸中每个小正方形的边长均为，以小正方形的顶点为圆心，为半径做了一个扇形，并用该扇形围成一个圆锥的侧面．针对此做法， （1） _________；（2）该圆锥的侧面积为________． 10．如图，在扇形中，，，，求图中阴影部分的面积． 11．如图，已知等腰中，，以为直径作交于点，过作于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 12．如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：），电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？ 13．（1）已知圆锥的底面半径为，母线长为，求圆锥的表面积； （2）用圆心角为，半径为的扇形做成一个无底的圆锥侧面，求圆锥的侧面积； （3）如图，圆锥的侧面积为，底面半径为3，求圆锥的高． 14．如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地面顺时针旋转，当旋转时，点在地面划出的痕迹长为（   ） A． B． C． D． 15．如图，在半径为3的中，边长为3的等边两顶点B，C在圆上，若在圆内绕翻滚一周后，回到原位置，则点B的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 16．如图，的半径为2，将的内接正六边形绕点O顺时针旋转，第二次与自身重合时，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 17．如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（   ） A． B． C． D． 18．如图，中，是直角，，，将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到边延长线上的处，则边扫过的图形中阴影部分的面积是____． 19．如图，中，，，，把绕点顺时针旋转至的位置，使点的对应点落在斜边上，则图中阴影部分的面积是_______． 20．如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为______． 21．如图所示，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到．若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是______（结果保留π）． 22．如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 23．图中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图１），制作这种外包装需要用如图２所示的等腰三角形材料，其中，，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合，圆锥底面圆的直径为． (1)求图1中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图2中阴影部分）的面积．（结果保留π） 24．综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示． (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草㡌，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.3 弧长和扇形面积 学习目标导航 1、掌握公式：理解弧长和扇形面积公式的推导过程，能熟练运用公式进行计算。 2、综合应用：掌握圆锥的侧面积和全面积的计算方法，能解决与圆锥侧面展开图相关的实际问题。 3、拓展探究：通过“探究与发现：等宽曲线”等板块，拓展对圆的特殊性质的认知，提升数学探究能力。 洞悉◆教材核心知识 知识点一 弧长公式 弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l为： 【注意】 1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，在应用公式计算时，n和180可不用写单位． 2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量都可以求出第三个量． 3）要正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧. 知识点二 扇形面积公式 扇形的面积公式：圆心角为n°的扇形面积S为：； 【方法】 （1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量． （2）当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，可以选用公式；当已知半径R和弧长l求扇形的面积时，可以选用公式. 知识点三 圆锥的侧面积和全面积 1）母线的定义：把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 2）圆锥的侧面展开图及有关计算 （1）沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开， 容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形. （2）圆锥常见量之间的关系（如图） 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h （1）这个扇形的弧长为2πr； （2）； （3） （4） （5）圆锥侧面展开图的圆心角度数为 【总结】圆锥与侧面展开图的等量关系：， 【易错点】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系. 知识点四 圆锥的侧面上的最短路径问题 圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，在圆锥上求最短距离，需把圆锥侧面展开为平面图形，然后利用“两点之间，线段最短”和勾股定理解决问题. 核心题型◆归纳 题型01 利用弧长公式求弧长 题型02 利用弧长公式求扇形面积 题型03 利用弧长公式求圆心角 题型04 求某点的弧形运动路径长度 题型05 求扇形面积 题型06 求弓形面积 题型07 求图形旋转后扫过的面积 题型08 求其它不规则图形面积 题型09 求圆锥侧面积和表面积 题型10 求圆锥的高、底面半径、母线长 题型11 求圆锥侧面展开图的圆心角 题型12 圆锥的实际问题 题型13 圆锥侧面上最短路径问题 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 利用弧长公式求弧长 例1．如图，点在圆弧上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理得到，再由弧长公式求解即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 题型02 利用弧长公式求扇形面积 例2．已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查求扇形的面积，根据弧长公式求出扇形的半径，再利用扇形面积公式求解． 【详解】解：设扇形的半径为，则， 解得 ∴扇形面积， 故答案为：． 题型03 利用弧长公式求圆心角 例3．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点P随之旋转，则__． 【答案】72 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：∵的周长为， ∴顺时针转动2周时，点P移动的弧长为， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型04 求某点的弧形运动路径长度 例4．如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若．，则点走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式．证明是等边三角形是本题的关键．利用含30度的直角三角形三边的关系得到，利用勾股定理求出，再根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，得到，即旋转角为，再利用弧长公式计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，即旋转角为， ∴， ∴点走过的路径长为． 故选：A． 题型05 求扇形面积 例5．如图，正六边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画弧，交正六边形于点，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的定义及内角和，扇形的面积公式．根据正多边形的定义求出该多边形的内角，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：正六边形的内角为， ∴阴影部分的面积为， 故选：D． 题型06 求弓形面积 例6．已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水面宽为，则阴影部分面积为______． 【答案】 【分析】本题考查圆中求线段长、求不规则图形面积等知识，涉及圆的对称性、垂径定理、勾股定理、含直角三角形性质、扇形面积公式及间接法求不规则图形面积，锐角三角函数的应用．如图，过作交于，交于，由图形可知，，在中求解从而得到，由扇形面积公式及三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图，过作交于，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为： 题型07 求图形旋转后扫过的面积 例7．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形的面积公式直接计算即可求解，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积， 故选：． 题型08 求其它不规则图形面积 例8．如图，点是以为直径的半圆的圆心，以点为圆心，的长为半径的弧交半圆于点，以点为圆心，的长为半径的弧交半圆于点是上一点．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理以及勾股定理，关键是不规则图形面积的求法；根据进行计算即可． 【详解】解：是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 故选：A ． 题型09 求圆锥侧面积和表面积 例9．已知一个圆锥的主视图与左视图都是边长为的等边三角形，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆锥主视图和左视图的信息得到圆锥的母线长和底面直径，再利用圆锥侧面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：∵圆锥的主视图与左视图都是边长为的等边三角形， ∴圆锥的母线长，底面圆的直径为， 可得底面圆的周长 ， ∵， ∴ . 题型10 求圆锥的高、底面半径、母线长 例10．若一个圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积公式，根据圆锥侧面积公式代入已知侧面积和母线长求解底面半径即可． 【详解】解：由圆锥侧面积公式得：， 解得：． 故答案为：1． 题型11 求圆锥侧面展开图的圆心角 例11．草帽是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠结的中国特有的传统草编工艺品．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、圆锥的侧面展开图与扇形的关系，解题关键是利用圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，结合勾股定理求出圆锥底面半径． 先由圆锥母线长和高，用勾股定理求出底面半径；再计算底面周长（即扇形弧长）；最后根据弧长公式列方程求解圆心角． 【详解】解：由圆锥母线长为、高为，得底面半径为， 底面周长为， 设所需扇形卡纸的圆心角的度数为， 扇形弧长公式为， 化简得，解得， 即所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 故选：． 题型12 圆锥的实际问题 例12．如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（    ） A．米2 B．米2 C．米2 D．米2 【答案】A 【分析】由底面圆的半径＝5米，根据勾股定理求出母线长，利用圆锥的侧面面积公式，以及利用矩形的面积公式求得圆柱的侧面面积，最后求和． 【详解】解：∵底面半径=5米，圆锥高为2米，圆柱高为3米， ∴圆锥的母线长=米， ∴圆锥的侧面积=， 圆柱的侧面积=底面圆周长×圆柱高， 即， 故需要的毛毡：米， 故选：A． 【点睛】此题主要考查勾股定理，圆周长公式，圆锥侧面积，圆柱侧面积等，分别得出圆锥与圆柱侧面积是解题关键． 题型13 圆锥侧面上最短路径问题 例13．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键． 由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． ∵，， ∴， 故最短路径长是． 故选：C． ABC分层训练 1．如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定、求弧长 【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴是等边三角形． ∴． ∴的长为． 故选：D． 2．如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求弧长、求圆锥的高、求圆锥底面半径、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了弧长公式、求圆锥的底面半径、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 先求出剩下的扇形的角度，再由弧长公式计算可得剩下的扇形的弧长，从而求出圆锥的底面半径，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形， ∴剩下的扇形的角度为， ∴剩下的扇形的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为， 故选：B． 3．如图，半径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，则点所对应的数是（π取3）（    ） A．7 B．10 C．9 D．11 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查了圆的周长公式以及数轴的认识，关键是理解半圆滚动一周的长度等于半圆的周长．半圆从原点滚动一周，圆心走过的距离是半圆的弧长，等于圆周长的一半，根据圆的周长公式先求出半圆的弧长，除了半圆的弧长，点还经过了一段等于半圆直径的距离，此时半圆的直径为4，所以点对应的数是半圆弧长加上直径即为所求． 【详解】解：由题意知，的长度为半圆的弧长与半圆直径之和， 此时， ∵π取3， ∴， 即点所对应的数是10． 故选：B． 4．如图是将一个圆锥的侧面展开得到的扇形纸片，已知该扇形的半径是，弧长是，则这个圆锥的高是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求圆锥的高、用勾股定理解三角形 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程得到，然后利用勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 即圆锥的底面圆的半径为， 所以这个圆锥的高为． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式． 5．如图，圆锥的底面半径，高．则这个圆锥的侧面展开后扇形的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何体展开图的认识、求圆锥侧面展开图的圆心角、用勾股定理解三角形 【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再利用底面周长=展开图的弧长，圆锥的母线长=展开图的扇形的半径，即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的母线长， 设圆锥的侧面展开后扇形的圆心角为，则 ， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了圆锥的有关计算，解答本题的关键是确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后设圆锥的侧面展开后扇形的圆心角为，由扇形的弧长公式和圆的周长公式列方程求值． 6．如图，圆锥体的高，底面圆半径，则该圆锥体的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求圆锥侧面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的计算方法计算方法求得侧面积． 【详解】解：∵圆锥的母线长是 ， ∴底面周长是 ∴圆锥体的侧面积是： 故选C． 7．如图，四边形ABCD内接于，的半径为3，，则的长为_____． 【答案】 【知识点】求弧长、已知圆内接四边形求角度 【分析】连接，，根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：连接，， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∴的长=， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 8．如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为______． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查了弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为也考查了旋转的性质．点从开始到结束，所经过路径为两段弧，第一段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，第二段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，然后根据弧长公式计算． 【详解】解：为等边三角形， ， 每次旋转的度数为， 点从开始到结束，所经过路径的长度． 故答案为． 9．如图，格点纸中每个小正方形的边长均为，以小正方形的顶点为圆心，为半径做了一个扇形，并用该扇形围成一个圆锥的侧面．针对此做法， （1） _________； （2）该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查扇形圆心角的确定、等边三角形的判定及性质以及圆锥侧面积与扇形面积的转化，熟练掌握扇形圆心角的推导方法和扇形面积公式是解题关键． （1）先判定是等边三角形，得∠，进而确定的度数． （2）圆锥侧面积等于围成它的扇形面积，根据扇形面积公式（ 为圆心角， 为扇形半径 ）计算． 【详解】解：（1）连接 ， ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 故答案为：． （2）∵半径，圆心角， ∴根据扇形面积公式可得： 故答案为： ． 10．如图，在扇形中，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，扇形的面积公式．先根据弧与圆心角的关系求出的度数，然后根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴图中阴影部分的面积为． 11．如图，已知等腰中，，以为直径作交于点，过作于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：连接， ， ． 又， ， ， ． ， ． 是的半径， 是的切线； (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、含30度角的直角三角形、求扇形面积、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，根据易得到，结合半径相等得到，进而得到，结合得到，再利用切线的判定求解； （2）根据，进而得到，结合易得到，利用勾股定理求出、的长度，进而得到的长度，最后用来求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ． 而， ， ， 即． 又， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，求出圆的半径和、、的长度是解答关键． 12．如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：），电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？ 【答案】11.44πkg 【知识点】圆锥的实际问题 【分析】由图形可知，浮筒的表面积＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.11kg，可求出一个浮筒需用锌量，即可求出100个这样的锚标浮筒需用锌量． 【详解】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为400mm=0.4m， 圆锥的高为300mm=0.3m， 则圆锥的母线长为：＝0.5m． ∴圆锥的侧面积＝π×0.4×0.5＝0.2π（m2）， ∵圆柱的高为800mm=0.8m． 圆柱的侧面积＝2π×0.4×0.8＝0.64π（m2）， ∴浮筒的表面积＝＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，＝1.04π（m2）， ∵每平方米用锌0.11kg， ∴一个浮筒需用锌：1.04π×0.11kg， ∴100个这样的锚标浮筒需用锌：100×1.04π×0.11＝11.44π（kg）． 答：100个这样的锚标浮筒需用锌11.44πkg． 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算和圆柱侧面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几何体的构成，熟记侧面积公式． 13．（1）已知圆锥的底面半径为，母线长为，求圆锥的表面积； （2）用圆心角为，半径为的扇形做成一个无底的圆锥侧面，求圆锥的侧面积； （3）如图，圆锥的侧面积为，底面半径为3，求圆锥的高． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【知识点】求圆锥的高、求圆锥侧面积、用勾股定理解三角形 【分析】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （1）先利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算出侧面积，然后加上底面积即可得到圆锥的表面积； （2）利用圆锥的侧面展开图为一扇形，所以扇形面积公式计算即可得到圆锥的侧面积； （3）设圆锥的母线长为R，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得•2π•3•R＝15π，解得R＝5，然后利用勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：（1）圆锥的表面积； （2）圆锥的侧面积； （3）设圆锥的母线长为R， 根据题意得， 解得， 所以圆锥的高． 14．如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地面顺时针旋转，当旋转时，点在地面划出的痕迹长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质求解、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题主要考查勾股定理和弧长公式的应用．解题关键在于确定点的运动轨迹是圆弧，利用勾股定理求出圆弧所在圆的半径，再准确运用弧长公式进行计算．本题需要先确定点的运动轨迹，再根据弧长公式计算轨迹长度．点绕点顺时针旋转，其运动轨迹是以为圆心，长为半径的一段圆弧，先求出的长度，再利用弧长公式计算． 【详解】解：∵底面是边长为的正方形， ∴对角线的长度为． ∵，半径． ∴点在地面划出的痕迹长． 15．如图，在半径为3的中，边长为3的等边两顶点B，C在圆上，若在圆内绕翻滚一周后，回到原位置，则点B的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的性质、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，明确点B的运动路径是解题的关键．画出在圆内绕翻滚一周的图形，可知点B经过的路径分别是圆心角为的三条弧，即点B的运动路径长为半径为3的圆的周长，进行计算即可． 【详解】解：如图，在圆内绕翻滚一周后，回到原位置，则点B的运动路径分别为圆心角为：的三条弧长，即点B的运动路径长为半径为3的圆的周长， ∴点B的运动路径长为：， 故选：D． 16．如图，的半径为2，将的内接正六边形绕点O顺时针旋转，第二次与自身重合时，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查旋转对称图形，解题的关键是求出第二次重合的旋转角，然后根据弧长公式计算是解题的关键． 【详解】解：∵的内接正六边形绕点顺时针旋转，第二次与自身重合时旋转角为， ∴点B经过的路径长为， 故选C． 17．如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查轨迹、圆的弧长公式，如图，圆心运动路径的长度的长，根据弧长公式计算即可．解题的关键是搞清楚轨迹是什么图形，记住弧长公式，圆周长公式． 【详解】解：如图，圆心运动路径的长度： 的长， ∴圆心运动路径的长度等于． 故选：C． 18．如图，中，是直角，，，将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到边延长线上的处，则边扫过的图形中阴影部分的面积是____． 【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查的是扇形面积的计算．由将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到的延长线上的点处，可得，由题给图象可知：可得出阴影部分面积． 【详解】解：中，是直角，， ，． 将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到的延长线上的点处， ． 所以 ． 故答案为：． 19．如图，中，，，，把绕点顺时针旋转至的位置，使点的对应点落在斜边上，则图中阴影部分的面积是_______． 【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质．将图中不规则阴影部分的面积，转化为规则的扇形和三角形面积之间的关系即可解决问题． 【详解】解：由旋转可知， ，． ， ． ，， ． 在中， ， ． 故答案为：． 20．如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为______． 【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积．由旋转可得，，进而得到，据此解答即可求解． 【详解】解：∵是绕点旋转得到的， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴线段扫过的图形面积为， 故答案为：． 21．如图所示，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到．若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是______（结果保留π）． 【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积是：是关键； 分别求得∶扇形的面积、以及的面积，即可求解． 【详解】，，， ， 的面积是： ， 在中， ，， ， ， 则阴影部分的面积是：， ， ， ． 故答案为：． 22．如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】圆锥侧面上最短路径问题、求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】（1）根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解即可； （2）画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是90°； （2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 【点睛】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键． 23．图中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图１），制作这种外包装需要用如图２所示的等腰三角形材料，其中，，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合，圆锥底面圆的直径为． (1)求图1中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图2中阴影部分）的面积．（结果保留π） 【答案】(1) (2) 【知识点】求弧长、求圆锥底面半径、等腰三角形的性质和判定、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查圆锥与扇形的关系，扇形弧长公式，等腰直角三角形的性质，掌握“圆锥底面圆周长=扇形弧长”是解题关键． （1）利用“圆锥底面圆周长=扇形弧长”，结合扇形圆心角，代入弧长公式求出母线AE 的长． （2）先求等腰直角三角形的面积，再求扇形的面积，用三角形面积减去扇形面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）解：根据题意，圆锥底面圆周长与长度一致， 故， 可得， 即． （2）由条件可得， 故． 24．综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示． (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草㡌，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 【答案】(1)相等，6 (2) (3) 不够长；理由： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴够长． 【知识点】求弧长、求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则解答即可． （2）根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得到等式，变形表示即可． （3）根据（2）得，得到，计算最短，继而得到，比较解答即可． 【详解】（1）解：根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则， 解得， 故答案为：相等，6． （2）解：根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得， 解得． （3）略 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开，弧长公式，扇形与底面圆的关系，勾股定理，熟练掌握展开图的意义是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $