第1章反比例函数典例精讲与强化训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 以反比例函数概念为核心，通过典例精讲与分层训练，系统整合定义辨析、图象性质、几何综合及实际应用，突出数形结合与分类讨论思想，培养数学眼光与思维。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3道|待定系数法求解析式、数形结合判范围、分类讨论解等腰直角三角形、分段函数建模|从概念（定义）到性质（增减性、图象），再到综合应用（与一次函数交点、几何图形面积、实际问题）| |强化训练|19道（单选8/填空6/解答5）|k的几何意义应用、坐标特征分析、完全平方公式迁移、反比例关系判断|覆盖概念辨析、图象识别、综合计算、实际建模，形成“概念-性质-应用”完整逻辑链|

第1章反比例函数典例精讲与强化训练 典例精讲 1．如图，已知直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，的值； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围． 2．直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 3．为了预防“甲型”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？ (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？ (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 强化训练 一、单选题 1．下列函数关系中，是反比例函数关系的是（    ） A．正方体的体积y与棱长x之间的关系 B．汽车的速度为时，它的行驶路程s与行驶时间t之间的关系 C．快递件数为10万件时，自动分拣机工作效率x与工作时间y之间的关系 D．周长为100m的篱笆围成的长方形的面积y与长x之间的关系 2．下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 4．已知反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A．1 B． C．2025 D． 5．若反比例函数的图像在每一个象限内随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 7．如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 8．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴于点C．若，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 二、填空题 9．已知y与x成反比例，并且当时，，当时，y的值为______． 10．若点是直线与双曲线的一个交点，则___________． 11．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示．则I与R之间的函数关系式是_________． 12．如图，矩形的顶点A、C在双曲线上，顶点B、D在x轴上，交y轴于点E，若，则_________． 13．如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线＞上，连接交于，连接，则图中是________． 14．如图，矩形四个顶点都在反比例函数的图象上，若点，则点的坐标为______． 三、解答题 15．某工程队承接一项挖管道任务，计划每天所挖的长度与天数如下表所示： 每天所挖的长度（米） 150 200 300 500 … 所挖的天数（天） 20 15 10 6 … (1)这项工程所挖管道共有多少米？ (2)所挖的天数是怎样随着每天所挖的长度的变化而变化的？ (3)用表示所挖的天数，表示每天所挖的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P是x轴上一点，使得是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 17．如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点P在边上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（）． (1)若反比例函数图像经过P点、Q点，求a的值； (2)若是以为底的等腰直角三角形，求a的值； (3)若垂直平分，求a的值； (4)当Q点运动到中点时，是否存在a使为直角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； 18．平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点和点，直线分别与轴、轴交于C，D两点，为轴上一动点（不与点重合），连接、． (1)求和的值； (2)问：与的面积之比是否为定值？请说明理由； (3)是否存在点，使得，若存在，求出相应的点的坐标；若不存在，请说理． 19．已知菱形对角线，，以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，双曲线恰好经过边的中点，过直线上的点P作直线轴，交双曲线于点Q． (1)求的值及直线的函数解析式； (2)双曲线与直线交于M、N两点，试求线段的长； (3)是否存在点P，使以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例精讲解析 1．(1)； (2)或 【分析】（1）把点代入反比例函数关系式即可确定的值，再把代入求出的值，把，分别代入直线即可求出的值； （2）先把不等式进行变形，再观察图象写出答案． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象交于，两点． ， ，即， 点坐标为． 一次函数的图象过，两点， ，解得， ，； （2）解：由得， ，， 不等式的解集为或． 2．(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 3．(1)药物燃烧时y关于x的函数关系式为；药物燃烧后y关于x的函数关系式为 (2)30分钟 (3)有效，理由如下： 把代入， 解得：， 把代入， 解得：， ∵， ∴这次消毒是有效的． 【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式，把点代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式，把点代入即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出相应的x即可； （3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效． 【详解】（1）解：设药物燃烧时y与x之间的解析式为， 把点代入， 得 解得：， 设药物燃烧后y与x之间的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， 故药物燃烧时y与x的函数关系式为； 药物燃烧后y与x的函数关系式为． （2）解：把，代入，得； ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室． （3）略 强化训练解析 1．C 【分析】此题考查了反比例函数的定义．判断每个选项中的函数关系是否满足反比例函数形式（k 为常数，）． 【详解】解：A：∵ 正方体体积y与棱长x的关系为，∴ 不是反比例函数． B：∵ 汽车速度恒定，路程s与时间 t的关系为，∴ 是正比例函数，不是反比例函数． C：∵ 总件数固定为件，∴ 工作效率 x 与工作时间 y 满足，即，∴ 是反比例函数． D： ∵ 周长，长x，宽，∴ 面积， ∴不是反比例函数． ∴ 选 C． 2．B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义．反比例函数的形式为（k为常数），据此解答即可． 【详解】解：A、y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意； B、y是x的反比例函数，故本选项符合题意； C、y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意； D、y不是x的反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质，根据知反比例函数图象的两支分布在第一、三象限，无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交，故可得答案． 【详解】解：对于反比例函数，， ∴反比例函数图象的两支分布在第一、三象限，无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了求反比例函数值，能理解函数图象上点的特点是解此题的关键． 将点A的坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图像性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质，当比例系数时，图像经过第一、三象限，且y随x的增大而减小，据此解答即可． 【详解】解：反比例函数的图像在每一个象限内y随x的增大而减小， 则比例系数， 故选：A． 6．B 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 当时，， 从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班． 故选B． 7．B 【分析】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的几何意义． 由点在反比例函数（）的图象上，得到即可求解． 【详解】解：点在反比例函数（）的图象上，且， ， 矩形的面积为2，故选B． 8．C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点B的坐标是解题的关键．设A的横坐标为a，则纵坐标为，根据题意得出点B的坐标为，代入即可求得k的值． 【详解】解：设A的横坐标为a，则纵坐标为， ∵，轴， ∴B的横坐标为，轴， ∴， ∵点B在函数的图象上， ∴， 故选：C． 9．6 【分析】本题考查了反比例函数，利用待定系数法求函数解析式是解题关键；根据待定系数法，可得反比例函数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】解：设反比例函数为， 当时，，， 解得， 反比例函数为， 当时，， 故答案为：6． 10．16 【分析】本题考查了函数的交点问题以及完全平方公式，联想到完全平方公式是解决本题的关键． 由题意可得，，再利用完全平方式即可求出的值． 【详解】解：∵点是直线与双曲线的一个交点， ， ， 故答案为：16． 11． 【分析】本题主要考查反比例函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想是解答本题的关键．设电流（A）与电阻之间的函数关系，根据待定系数法求得． 【详解】解：由图象可知，电流（A）与电阻之间满足反比例函数关系， 设电流（A）与电阻之间的函数关系为， 点在函数的图象上， ， 解得：， 电流（A）与电阻之间的函数关系为， 故答案为：． 12． 【分析】过点A，C作轴的垂线，垂足分别为P，Q，连接，证明，得到，则，证明是等边三角形，得到，则，得到，即可得到，得到的值即可． 【详解】解：过点A，C作轴的垂线，垂足分别为P，Q，连接，则 ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵矩形的顶点A、C在双曲线上， ∴， ∴点O是的中点， ∴点O是的中点， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质、求反比例函数解析式、矩形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含的直角三角形的性质等知识，数形结合是关键． 13． 【分析】本题考查的是反比例函数，等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，综合运用以上知识是解题的关键． 先根据和均为正三角形可知，故可得出，所以，过点B作于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点E，则， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据点的坐标，求出反比例函数的解析式，连接，根据反比例函数图象和矩形的对称性，得到点为对称中心，进而得到，设，勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵点， ∴， ∵矩形四个顶点都在反比例函数的图象上，矩形和反比例函数均为中心对称图形，且点为反比例函数图象的对称中心， ∴点为矩形的对称中心， 设， ∴， ∴， 解得：或或或， 由图可知：点的横坐标应为， ∴； 故答案为：． 15．(1)3000米 (2)所挖天数随着每天所挖的长度的增加而减少 (3)，反比例关系 【分析】本题主要考查了列式计算、函数的表示、反比例等知识点，理解表格是解题的关键． （1）直接列式计算即可； （2）分析表格即可解答； （3）先根据题意列出函数关系式，再根据函数关系式判断与成什么比例关系即可． 【详解】（1）解：（米）． 答：这项工程所挖管道共有3000米． （2）解：由表格可知：所挖天数随着每天所挖的长度的增加而减少． （3）解：由题意可得：， 所以与成反比例关系． 16．(1) (2)或或或 【分析】本题考查一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）先求出点坐标，待定系数法求出反比例函数的表达式即可； （2）分，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴， 作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当是等腰三角形时，分3种情况： ①当时， 则点或； ②当时，则，故，即； ③当时，此时点与点重合为； 综上：或或或． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了反比例函数，坐标与图形，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的应用． （1）先用t表示出P，Q两点的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特点即可得出结论； （2）证明，推出，，，即可解答； （3）先根据垂直平分得出，求出t的值，再由即可得出a的值； （4）分与两种情况进行分类讨论． 【详解】（1）解：∵，点P在边上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动， ∴， ∵反比例函数图象经过P点、Q点， ∴， 解得； （2）解：如图，是等腰直角三角形，且，， 根据题意得，，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵垂直平分， ∴， ∴，解得， ∴， ∵， ∴，解得； （4）解：存在，的值为， 如图， ∵Q为的中点， ∴， 当时，， 即， 整理得，， ∵， ∴此方程无解，即此种情况不存在； 当时，，即， 整理得，，解得， ∵， ∴，即，解得； 综上，存在a使为直角三角形，的值为． 18．(1)； (2)是定值， 理由：由（1）知， 令，则， 且， 设，则， ， ， ，为定值 (3) 解：不存在点使得，理由如下： 假设存在点，使得，则有， 由（1）可知，，即． 依题意可知， ∴，这与矛盾， 假设不成立， 故不存在符合条件的点使． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）先求解且，设，则，表示，，再进一步求解即可； （3）假设存在点，使得，则有，由（1）可知，，即，利用勾股定理可得依，可得，这与矛盾，从而可得结论． 【详解】（1）解：依题意得，， 解得 ，代入得； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数，反比例函数的解析式，坐标与图形面积，勾股定理的应用，因式分解的应用，非负数的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 19．(1)， (2) (3)存在，，，， 【分析】（1）根据菱形的性质得到，于是得到B，C，D的坐标，求得的中点，于是求得，由待定系数法即可求出直线的解析式为； （2）列方程得到，于是得到，，如图1，过点N、M分别作x轴、y轴的垂线交于点E，根据勾股定理即可得到结论； （3）由直线轴可得轴，，当时，以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形，设，，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形为菱形 ，， ，，， 中点为，在反比例函数上， ， ， 设直线的解析式为，B、C两点坐标代入， ， 解得：，， ； （2）令，解得， 当时，； 当时，， ∴，， 如图1，过点N、M分别作x轴、y轴的垂线交于点E， 可得，， 由勾股定理可得 （3）由直线轴可得：轴， ， 当时，以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形， 设，， ①当点Q在点P上方时：，解得， 可得：，； ②当点Q在点P下方时：，解得， 可得， 综上所述：以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形时，，， 【点睛】本题考查了菱形的性质，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $