第1章《反比例函数》 单元测试卷 -2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九年级上册《反比例函数》培优卷，以科技（送餐机器人、电子体重秤）、文化（长征研学）等真实情境为载体，覆盖函数定义、图像性质、k几何意义、实际应用等核心知识，梯度设计适配单元复习培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题24分|反比例函数定义、k值计算、图像象限|第7题结合台灯电流电阻考函数关系，体现模型意识| |填空题|10题30分|k几何意义、对称点、新定义|第18题创新设计“对偶关系”，考查数学抽象能力| |解答题|10题96分|跨学科应用、动态探究|23题结合物理电路考函数建模，27题旋转与菱形存在性提升推理能力|

第1章《反比例函数》（培优卷）-2026-2027学年苏科版数学九年级上册单元测试卷 一、选择题(共8题；共24分) 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．已知点(-3，2)在反比例函数 的图象上，则k的值为(　　) A．-3 B．3 C．-6 D．6 3．若|k|=-k（k≠0），则反比例函数y的图象在（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 4． 如图，点是反比例函数的图象上任一点，垂直轴，垂足为，设的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 5．已知点A（-2，y1），B（1，y2）在反比例函数的图象上，则y1，y2满足（　　） A． B． C． D． 6．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 7．如图甲为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流I (A)与电阻R (Ω)之间的函数关系如图乙所示，则下列说法正确的是(　　) A．I随R的增大而增大 B．当I=0.2时， R=100 C．I与R的函数表达式是 D．当10<R<20时， I的取值范围是0.25<I<0.5 8．如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数 的图像与正方形的两边AB、BC 分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN .下列结论： ①△OCN≌△OAM ； ②ON =MN ； ③四边形DAMN与△MON 面积相等； ④若∠MON=45°， MN =2，则点C的坐标为 其中正确结论的是(　　) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 二、填空题(共10题；共30分) 9．若是反比例函数，则m的值为　 　． 10．反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第　 　象限. 11．已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标为(1，3)，则另一个交点坐标是　 　. 12．若点都在反比例函数 的图象上，且 则y1，y2，y3的大小关系为　 　. 13．如图，点A，B分别在和的图象上，且轴，点在轴上，若的面积为7，则　 　． 14．点A（m，n）与点B（3，4）在同一条反比例函数 上，若0＜m＜3，则n的取值范围是　 　. 15．排箫的发声频率f和音管长度L之间的关系为 其中c为常数。已知自然大调各音阶的频率 fn与半音数n之间的关系如下表所示，其中 则音阶 xi对应的音管长度是音阶 fa对应的音管长度的　 　倍。 音阶 do re mi fa so la xi do' 半音数n 0 2 4 5 7 9 11 12 频率 f0 f0·q2 f0·q4 f0·q5 f0·q7 f0·q9 f0·q11 f0·q12 16．如图，点A、B是函数y＝x与y＝的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为　 　． 17．如图，反比例函数的图象与直线，直线分别交于点、．若线段、、曲线段所围成的封闭图形（不包括边界）内有且只有个整点（横纵坐标均为整数），则的取值范围是　 　． 18．若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”． ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若是函数与函数的“对偶值”，则； ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 以上结论正确的是　 　．（写出所有正确结论） 三、解答题(共10题；共96分) 19．列出下列函数关系式，并判断它们是否为反比例函数． （1）某农场的粮食总量为，求该农场人数(人)与平均每人占有粮食量的函数关系式． （2）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，求总价(元)与加油量的函数关系式． （3）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均的速度用了到达乙地，当他按原路匀速返回时，求汽车的速度与行驶时间的函数关系式． 20．已知一个长方体的体积是100 cm3，它底面相邻的两条边长分别是γcm和10 cm，高是x cm. （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）当x=2时，求y的值. 21．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象交于A (1， 2)， B (n，-1)两点，与x轴交于点 C. （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2） 求△AOB的面积； （3）直接写出不等式 的解集. 22．最近DeepSeek火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活.小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的.在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强p/Pa … 4×104 6×104 8×104 1×105 … 接触面积S/m2 … 1.2×10-2 6×10-3 4.8×10-3 … （1）求地面所受压强p(Pa)关于接触面积， 的函数表达式； （2）若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为 问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米? 23． 电子体重科读数直观又便于携带， 为人们带来了方便． 某综合实践活动小组设计了简易电子体重科： 制作一个装有踏板 (踏板质量忽略不计) 的可变电阻 与踏板上人的质量 之间的函数关系式为 (其中 为常数， )， 其图象如图 1 所示． 图 2 的电路中， 电源电压恒为 8 伏， 定值电阻 的阻值为 30 欧， 接通开关， 人站上踏板， 电压表显示的读数为 ， 该读数可以换算为人的质量 ． 温馨提示： ① 导体两端的电压 ， 导体的电阻 ， 通过导体的电流 ， 满足关系式 ． ②串联电路中电流处处相等， 各电阻两端的电压之和等于总电压． （1） 求 的值． （2） 求 关于 的函数解析式． （3） 用含 的代数式表示 ． （4） 若电压表量程为 伏， 为保护电压表， 请确定该简易电子体重科可称的最大质量． 24．今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午8：00从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度ν（km/h）与步行全程所用时间t（h）的函数关系如图1所示. （1）求v关于t的函数表达式. （2）如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过2.5h，那么学生步行的平均速度至少为多少? （3）学生出发0.25 h后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场.李老师、学生已走路程y（km）与学生步行时间t（h）的函数关系如图2所示.下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为1h； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为4km. 其中正确说法的序号是　 　. 25． 设函数 函数y2=k2x+b(k1， k2， b是常数， （1）若函数y1和函数y2的图象交于点A (1， m)，点B (3， 1). ①求函数y1，y2的表达式： ②当2<x＜3时，比较y1与y2的大小(直接写出结果). （2）若点C(2，n)在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点 D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值. 26．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． （1）这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． （2）当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． （3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 27．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上不与点重合的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，过点作轴的垂线，与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图，将点绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，平面内是否存在一点使得、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 28．我们知道，一次函数y=x-1的图象可以由正比例函数y=x的图象向下平移1个单位得到；也可以由正比例函数y=x的图象向右平移一个长度单位得到；函数 也可以由一个反比例函数通过平移得到，使用“描点法”作出函数 的图象，列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值. x … -6 -5 -4 -3 -2 0 1 2 … y= … 2 -2 -1 0 … 描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，连线：如图1，将图中直线x=-1两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来. （1）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①函数 的图象是由函数 向　 　（填“左”或“右”)平移1个单位得到 . ②函数 的图象关于点 　 　中心对称（填写点的坐标). （2）一次函数y1=kx+b的图象经过函数 的中心对称点，并且与函数 的图象交于点A（0，2)，点B.当y1＜y2时，x的取值范围是　 　 （3）如图2，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0)、（0，3). 点D是OA 的中点， 连结OB， CD交于点E， 函数 的图象经过B，E两点. ①求出函数 的表达式. ②过线段BE中点M 的一条直线l与这个函数的图象交于 P，Q两点（P在Q右侧)，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点 P的坐标. 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】3 10．【答案】四 11．【答案】(－1，－3) 12．【答案】 13．【答案】6 14．【答案】n＞4 15．【答案】 16．【答案】2 17．【答案】 18．【答案】②③ 19．【答案】（1）解：由题意得： ∴该函数为反比例函数. （2）解：由题意得：该函数不是反比例函数. （3）解：由题意可知：甲地到乙地的距离为： ∴ ∴该函数为反比例函数. 20．【答案】（1）解：由题意可得：y×10·x=100， （2）解：把x=2代入得： 21．【答案】（1）解：∵一次函数.y=kx+b的图象与反比例函数 的图象交于A (1， 2)， B (n， −1) 两点， ∴n= - 2， m=2， ∴反比例函数解析式为： ∵A (1， 2)， B (-2， - 1)在一次函数y= kx+b的图象上， 解得 ∴一次函数解析式为：y=x+1. （2）解：在一次函数y=x+1中，令y=0，则x=-1， ∴OC=1， （3）解：-2<x<0或x>1. 22．【答案】（1）解：由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系. 设地面所受压强p(Pa)关于接触面积 S(m2)的函数表达式为 将(4×104， 1.2×10-2)代入入 得. . ∴地面所受压强p(Pa)关于接触面积S(m2)的函数表达式为 . （2）解：将 代入 时， ∴当这段玻璃通道能承受的最大压强为5×104 Pa|时，这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为 23．【答案】（1）解：把（0，240），（120，0）代入R1＝km＋b，得，解得； ∴ （2）解：∵， ∴； （3）解：由（1）可知， ∴R1＝m＋240， 又∵， ∴=m＋240，即：； （4）解：∵电压表量程为0~6伏， ∴当时， 答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克． 24．【答案】（1）解：由题意知，；由图可知，t＝2时，v＝4； ∴， （2）解：当t＝2.5时，， ∵由图1可知，当t＞0时，v随t的增大而减小， ∴若所用时间不超过2.5h，t＝2.5时v最小， 即学生步行的平均速度 v 至少为3.2km/h. （3）②③ 25．【答案】（1）解：①把点B(3，1)代入 解得：k1=3， ∴函数y1的表达式为 把点A(1，m)代入，解得m=3， 把点A(1，3)，点B(3，1)代入y2=k2x+b， 解得 ∴函数y2的表达式为y2=-x+4； ②y1<y2 （2）解：由平移，可得点D坐标为(-2，n-2)， ∴-2(n-2)=2n， 解得：n=1， ∴n的值为1. 26．【答案】（1）32，10 （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为 （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有小时 27．【答案】（1）解：反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点， ， ， ， 把坐标代入得，， ， 反比例函数的表达式为； （2）解： 如图，设点，则， 点在反比例函数图象上， ， 整理得：， 解得负值已舍去， ； ​​​​​​ （3）解：如图，过点作轴，过点作于，过点作于，则， 由旋转得：，， ， ， ， ≌， ，， 设， ， ，， ， 即， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：舍，， ，； 分三种情况： ①当是的对角线时，如图，连接，交于点， 是的中点，是的中点， ， 是菱形， ，， 的中点的坐标为， ， ； ②当是的对角线时，如图， ， 不可能是菱形， 此种情况不符合题意； ③当是的对角线时，如图， ， 不可能是菱形， 此种情况不符合题意； 综上， 28．【答案】（1）左；(-1，1) （2）x<-2或-1<x<0 （3）解：①将E (2， 1)、B(6， 3) 代入函数 可得： 解得： ②点 P 的坐标为( 或 1 学科网（北京）股份有限公司 $