专题01 平方根与立方根的10类热考题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 以10类热考题型为框架，通过通法归纳-题型精讲-压轴挑战三级体系，系统构建平方根与立方根的定义辨析、性质应用、实际建模的解题方法链，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1个核心总结|明确三条基础准则（符号规律、非负性、化简要求）|从定义本质出发构建概念框架| |基础题型（类型一至五）|5类各含典例+4变式|聚焦定义直接应用（求根）、非负性联立、规律探究基础|概念→性质→简单应用的递进| |综合题型（类型六至十）|5类各含典例+4变式|强化方程求解（开方降次）、实际建模（面积/体积）、跨概念综合|性质→应用→综合迁移的深化| |压轴挑战|16道综合题|融合易错辨析（符号、小数点移动）与跨知识点应用|通过批判性思维提升解题上限|

专题01 平方根与立方根的10类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、求一个数的平方根/立方根 1 类型二、利用算术平方根的非负性求解 2 类型三、与算术平方根有关的规律探索问题 7 类型四、算术平方根的实际应用 9 类型五、已知一个数的平方根求这个数 12 类型六、利用平方根/立方根解方程 14 类型七、已知一个数的立方根，求这个数 17 类型八、与立方根有关的规律探索问题 19 类型九、立方根的实际应用 21 类型十、平方根与立方根的综合 24 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 平方根与立方根是实数章节的基础核心内容，全部题型围绕定义辨析、非负性性质、方程求解、规律探究、生活实际应用五大核心展开，解题牢记三条基础准则：一是正数有两个互为相反数的平方根，算术平方根唯一非负；二是任意实数都有唯一立方根，立方根符号与被开方数保持一致；三是二次根式被开方数必须≥0，化简结果要化为最简形式，所有计算结果注意符号分类讨论。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、求一个数的平方根/立方根 典例精讲1（25-26八年级上·四川雅安·期中）的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 【答案】 / /0.5 【分析】根据绝对值的性质、算术平方根的定义、平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：的绝对值是； ，算术平方根是； ，4的平方根是， 故答案为：，，． 题型归纳 1.特征：直接给出整数、小数、分数，要求写出它的平方根、算术平方根或立方根，属于基础概念考查题。2.方法： ① 平方根：若，则，算术平方根取（非负）； ② 立方根：若，则，正负零均可直接开方； ③ 分数先化简分子分母，带分数先化为假分数再开方。 3.易错提醒：1）求平方根只写正根漏掉负根；混淆算术平方根与平方根定义；负数错误开平方。 2）求带根号数字的平方根时，应先去根号，再计算平方根 典例精讲1（25-26八年级上·四川雅安·期中）的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 【答案】 / /0.5 【分析】根据绝对值的性质、算术平方根的定义、平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：的绝对值是； ，算术平方根是； ，4的平方根是， 故答案为：，，． 变式训练1（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）196的平方根是__________；169的算术平方根是__________；的立方根是_________． 【答案】 ±14 13 【分析】本题考查算术平方根，平方根，立方根，理解各自的概念正确化简各数是解题关键． 【详解】解：196的平方根是，169的算术平方根是13，的立方根是， 故答案为：；13；． 变式训练2（2025八年级上·山东青岛·专题练习）16的算术平方根是_______，4的立方根是_______，的平方根是_______． 【答案】 4 【分析】本题考查算术平方根、立方根和平方根，根据算术平方根、立方根和平方根的定义和性质求解即可． 【详解】解：16的算术平方根是4，；4的立方根是；的平方根是； 故答案为：4，， 变式训练3（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）的算术平方根是________，的立方根是________，的平方根是________，的绝对值是________． 【答案】 9 / 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根、绝对值的意义，根据算术平方根、立方根、平方根、绝对值的意义求解即可． 【详解】解：，81的算术平方根是， 的立方根是， ，5的平方根是， 的绝对值是， 故答案为：9，，，． 变式训练4（25-26八年级上·四川内江·期中）的平方根是________， 的立方根是______． 【答案】 2 【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，解题的关键是先化简已知根式，再结合平方根、立方根的定义求解． 先计算的结果，再求该结果的平方根；先计算的结果，再求该结果的立方根． 【详解】解：①化简， 因为4的平方根是，所以的平方根是； ②化简， 因为8的立方根是2，所以的立方根是2． 故答案为：①；②． 类型二、利用算术平方根的非负性求解 典例精讲2（25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）若，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解、非负数的性质，利用“几个非负数的和为时，每个非负数都为”求未知数的值是解题的关键． 先通过因式分解将转化为，再根据“几个非负数的和为时，每个非负数都为”的性质求出，， 的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：出现形式，利用偶次根式、绝对值、平方三者非负性联立求值。 2.方法： ① 依据几个非负数相加为 0，则每一项各自等于 0； ② 列方程组求出字母取值，再代入代数式计算结果。 3.易错提醒：忽略被开方数本身隐含的取值范围；多个非负项漏写其中一项等于 0 变式训练1（25-26八年级上·广西柳州·阶段检测）若实数，满足等式，且，恰好是等腰三角形的两条边长，则的周长是________． 【答案】 或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形三边关系，解决本题的关键是要能根据非负数的性质求出的值，再根据或作为腰进行分类讨论．根据绝对值和算术平方根的非负性，由等式求出和的值，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系讨论可能的边长组合，并计算周长． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得：，． ∵是等腰三角形，且，是两条边的边长， ∴分两种情况讨论： ①当腰长为时，三角形三边为，，， 满足三角形三边关系（，，），周长为． ②当腰长为时，三角形三边为，，， 满足三角形三边关系（，，），周长为． 故答案为：或． 变式训练2（25-26八年级上·四川内江·期末）已知、满足等式，则_______； 【答案】1 【分析】本题主要考查了非负数的性质，积的乘方的逆运算，根据题意可得，由非负数的性质可求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ， ∴，且 解得， ∴， 故答案为：1． 变式训练3（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）已知三角形的三边长为、、，如果，则的面积为____________． 【答案】30 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理． 根据非负数的性质，求出、、的值，再根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，并计算面积，即可求解． 【详解】解：因为，且，，， 所以，，， 解得，，． 因为，， 所以， 因此是以为斜边的直角三角形． 直角边为和，面积． 故答案为：30． 变式训练4（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）已知，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，将原等式化为非负数的和为0的形式，求出的值，再根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， ∴． 类型三、与算术平方根有关的规律探索问题 典例精讲3（25-26八年级上·广东清远·期末）已知，，那么的算术平方根约是____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的性质，核心知识点是被开方数与算术平方根的小数点移动规律：当被开方数的小数点向左或向右移动位时，对应的算术平方根的小数点向左或向右移动位 【详解】解：∵， 又∵， ∴； 故答案为：． 题型归纳 1.特征：给出一组带根号的等式、化简结果，观察被开方数小数点移动与根式结果小数点移动的变化规律，推导下一项数值。 2.方法：① 总结规律：被开方数小数点每向左 / 右移动两位，算术平方根小数点同向移动一位； ② 归纳通项表达式，代入数据直接推算。 3.易错提醒：小数点移动位数记反（两位对应一位）；正负符号判断出错 变式训练1（25-26八年级上·宁夏银川·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】1014 【分析】本题考查数式规律问题，实数的运算，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． 根据已知等式总结规律，然后化简并计算即可． 【详解】解：， ， ， … ． 原式． 故答案为：1014． 变式训练2（25-26八年级上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为________． 【答案】 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题． 通过观察表格，发现被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍．已知和，比较可知是的倍，因此是3的 倍． 【详解】解：由表格规律可知，被开方数与算术平方根满足： 被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍． 已知，， 因为，即， 所以． 故答案为：． 变式训练3（25-26八年级上·上海·期中）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根的相关知识，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义及小数点移动规律. (1)根据表格中的数据以及算术平方根的定义进行求解； (2) 由表格知，因为，所以，据此即可解答题目所求； (3) 先对 两边同时平方，再确定n的取值范围，从而得出满足条件的整数n的个数. 【详解】（1）解：由表格可知， 故答案为∶ ； （2）解：由表格知， ∵ ， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：； （3）解∶ 对 两边同时平方可得 计算可得 ∴ n的取值范围是， 则满足条件的整数n的个数为个． 故答案为∶ ． 类型四、算术平方根的实际应用 典例精讲4（24-25八年级上·四川眉山·期末）竖直向上抛出的物体上升的最大高度计算公式为：，其中为重力加速度，为物体抛出时的初始速度，当，时，__________米/秒． 【答案】10 【分析】根据题意，将已知条件代入计算公式，求解算术平方根即可． 【详解】解：把，代入公式中，得 解得：米/秒，（负值舍去）． 题型归纳 1.特征：结合正方形面积求边长、几何图形长度取值、材料裁剪等生活场景，用算术平方根求解线段长度。 2.方法：① 根据面积公式列等式，边长； ② 结合实际意义舍去负根，长度只保留正数结果。 3.易错提醒：求出平方根后未根据实际场景舍去负值；单位漏写、换算失误。 变式训练1（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图是两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、正方形的面积公式，根据题意可得大正方形的面积为，再根据正方形的边长等于其面积的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故答案为：． 变式训练2（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如果正方形的面积扩大为原来的6倍，那么边长扩大为原来的（   ） A．倍 B．倍 C．6倍 D．6倍 【答案】B 【详解】本题考查了算术平方根的应用，求边长扩大为原来的多少倍，实际上是求扩大面积的算术平方根，即求6的算术平方根． 【分析】解：设原边长为a，原面积为S，则， ∵ 新面积，   设新边长为b，则，   ∴，   故边长扩大为原来的倍， 故选：B． 变式训练3（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，一个瓶身部分（不包括瓶颈）是圆柱体的瓶子的容积为，瓶内装着水．当瓶子正放时，瓶内水的高度为；将瓶子倒放时，空余部分的高度为．则瓶子的底面半径为（   ） A．3cm B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用．设瓶子的底面半径为，根据题意列出方程，求出方程的解即可求解． 【详解】解：设瓶子底面半径为， 根据题意得：， 得， 解得：(负值舍去)， 故瓶子的底面半径为， 故选：B． 变式训练4（25-26八年级上·全国·课后作业）有边长分别为和的两个正方形，还有一个大正方形，其面积为这两个正方形的面积之和．那么，这个大正方形的边长是多少厘米？当，时，这个大正方形的边长又是多少厘米？ 【答案】，． 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据正方形面积公式，大正方形的面积等于两个小正方形面积之和，因此边长是面积的算术平方根，然后把，代入计算即可，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由边长为的正方形面积为；边长为的正方形面积为； 所以大正方形的面积为； 所以大正方形的边长为， 当，时，； 故，时，这个大正方形的边长是． 类型五、已知一个数的平方根求这个数 典例精讲5（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是_____________． 【答案】 【分析】根据平方根性质，列方程解方程即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：． 题型归纳 1.特征：告知某正数的两个平方根为含字母的代数式，反求参数与原数 2.方法：① 正数两个平方根互为相反数，相加等于 0 列方程求参数； ② 将参数代回其中一个平方根，平方得到原数。 3.易错提醒：忘记两个平方根互为相反数，直接令两式相等；最后忘记平方计算原数 变式训练1（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）一个正数的两个平方根分别是和，这个正数的立方根是____． 【答案】4 【分析】本题考查了平方根与立方根，熟记平方根与立方根的定义是解题关键． 一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求解a的值，再求正数，最后求立方根． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：． 当时，平方根为和， 故正数为，立方根为． 故答案为：4． 变式训练2（25-26八年级上·四川巴中·期中）已知一个正数m的两个不同的平方根分别为a和，则___，___． 【答案】 3 9 【分析】此题主要考查了平方根的定义，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解a，再求m． 【详解】解：∵一个正数m的两个平方根分别为和， ∴ 解得：． 则． 故答案为：3；9． 变式训练3（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知一个正数的两个平方根分别是与5，则的平方根是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列出方程求出的值，再求出，然后计算的值，最后求其平方根． 【详解】解：和是正数的两个平方根， ， 解得， 则， ， ， 的平方根为． 故答案为：． 变式训练4（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知正数的平方根为和，若，则的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握平方根的定义及性质是解题的关键． 根据平方根的定义，正数的两个平方根互为相反数，且平方根的平方等于原数．利用这一性质，将已知方程中的项用表示，进而求解． 【详解】解：∵正数的平方根为和， ∴，． 代入方程， 得， 即， 解得， ∵， ∴． 故答案为：2． 类型六、利用平方根/立方根解方程 典例精讲6（25-26八年级上·山东青岛·周测）求下列各式中x的值 （1），________；（2），________． 【答案】 或 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程． （1）直接利用平方根性质求解； （2）先化简方程，再利用立方根性质求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或； 故答案为：或； （2）解：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：形如的高次简易方程，借助开方降次求解一元一次方程 2.方法：① 平方型：n≥0时两边同时开平方，得到两个一次方程求解；n<0无实数解； ② 立方型：直接两边开立方，仅有一个实数解，无需讨论正负。 3.易错提醒：平方开方遗漏±符号；被开方数为负数时强行写出实数解 变式训练1（25-26八年级上·黑龙江黑河·阶段检测）如果，那么_____． 【答案】或 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方根的定义解方程．设，将原方程转化为，利用平方差公式求解． 【详解】解：设，则原方程化为，即， 所以， 因此， 即或． 故答案为：或． 变式训练2（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）若，则_____． 【答案】或 【分析】此题考查了利用平方根解方程， 通过化简方程，利用平方根求解即可． 【详解】 整理得， ∴ ∴ ∴ 解得或． 故答案为：或． 变式训练3（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）解方程，求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 变式训练4（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了平方根解方程． （1）先移项合并同类项，再两边同时除以2，开平方求解即可； （2）先计算算术平方根，再开平方求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：或； （2）解：， ， ， ， ， 解得：或． 类型七、已知一个数的立方根，求这个数 典例精讲7（23-24九年级下·广东·阶段检测）若一个数的立方根是5，则这个数是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根的定义，如果一个数x的立方等于a，那么x就是a的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：∵，一个数的立方根是5， ∴这个数是， 故答案为： 题型归纳 1.特征：给出某数的立方根为常数或代数式，反向求被开方的原数 2.方法：将立方根整体三次方，即可还原原数，正负直接保留 3.易错提醒：误用平方运算还原；符号在三次方运算中处理错误 变式训练1（20-21七年级下·贵州黔西南·期末）若，则a的值为______． 【答案】64 【分析】本题考查立方根的定义．利用立方根的定义即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：64 变式训练2（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）已知的立方根是3，则_______． 【答案】5 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义列得方程，解得a的值即可． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， 故答案为：5． 变式训练3（24-25七年级下·湖南永州·阶段检测）已知，则x的值为__________． 【答案】0或1或2 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数．根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， 故答案为：0或1或2． 变式训练4（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为___________ 【答案】或2或3 【分析】本题考查立方根的性质，根据题意得到，结合立方根等于本身的数有，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或或； 故答案为：或2或3． 类型八、与立方根有关的规律探索问题 典例精讲8（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于立方根，若被开方数扩大为原来的倍，则开方后的数比原来扩大10倍，据此解答即可． 【详解】解：， 又， ． 题型归纳 1.特征：给出一组立方根算式，探寻被开方数小数点移动与立方根小数点移动的内在规律 2.方法：被开方数小数点向左 / 右移动三位，立方根小数点同向移动一位，套用规律递推计算 3.易错提醒：记错立方根三位对应一位的移动规则；区分不开平方根与立方根小数点变化规律 变式训练1（2023八年级上·湖南邵阳·竞赛）若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 变式训练2（24-25八年级上·全国·期末）已知，，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根，正确掌握相关的定义与性质是解题的关键． 利用立方根的性质结合已知数据得出答案即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 变式训练3（24-25七年级下·河北邯郸·阶段检测）已知，，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，正确理解题意、找到规律是关键．根据已知的式子结合立方根的定义找到规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，相应的立方根的小数点向右（或向左）移动一位，据此解答，注意符号． 【详解】解：，，，， ， ， 故答案为：． 变式训练4（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 类型九、立方根的实际应用 典例精讲9（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出大正方体的棱长，即可求出每个小正方体的棱长． 【详解】解：根据题意得几何体的边长为， 每个小正方体的棱长为， 故选：B． 题型归纳 1.特征：依托正方体体积求棱长、容器容积、立体构件尺寸等几何实际问题列方程求解 2.方法：由正方体体积，得棱长，立方根仅有唯一解，不用取舍 3.易错提醒：体积公式与棱长开方、开立方混淆；实际问题额外增加多余的正负讨论 变式训练1（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 【答案】A 【分析】此题主要考查了立方根，正确掌握立方根的定义是解题关键． 根据正方体体积比求出边长比，再根据表面积与边长平方成正比，求出表面积比． 【详解】解：设正方体的边长为，则体积， 则正方体的体积为， 正方体的边长为． 正方体的表面积为， 正方体的表面积为， ． 故选：A． 变式训练2（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的值是_____． (结果用含字母 的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律．当被开方数的小数点每向右(或向左)移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右(或向左)移动1位． 根据被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 变式训练3（25-26八年级上·山西晋城·期中）加油站的汽油、柴油储油罐采用卧式油罐，且埋地设置，相比地上罐具有安全性好、不易着火等优点．某加油站有两个正方体卧式油罐，其中大正方体卧式油罐的棱长是小正方体卧式油罐棱长的倍．若将六辆底面直径为，长为装满油的圆柱形油罐车（厚度忽略不计）中的油倒入这两个正方体的卧式油罐内，两个卧式油罐恰好均被装满（不计损耗），则小正方体卧式油罐的棱长为______．（取） 【答案】 【分析】本题考查的是正方体和圆柱的体积计算，灵活运用体积公式是解题的关键．先根据圆柱体积公式求出所有油罐车的油的总体积，再结合正方体体积公式，通过设未知数建立方程，进而求出小正方体卧式油罐的棱长． 【详解】解：每辆圆柱形油罐车的底面半径为，底面积为，体积为， 其中取，故每辆车体积为，六辆车总体积为． 设小正方体卧式油罐的棱长为，则大正方体卧式油罐的棱长为，容积分别为和， 则总容积为， 由题意，， 解得，故． 因此，小正方体卧式油罐的棱长为． 故答案为：2． 变式训练4（25-26八年级上·山西·阶段检测）请根据如图所示的对话内容，解答下列问题．    (1)求该正方体印章的棱长． (2)求该长方体木匣的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根、立方根的应用，解决本题的关键是熟记算术平方根、立方根的定义． （1）根据题意列出方程，由立方根的性质即可解答； （2）根据题意列出方程，由算术平方根的性质即可解答． 【详解】（1）解：设玉石印章的棱长为． 由题意，可得， 解得． 答：该正方体印章的棱长为． （2）解：设该长方体木匣的长为，则高也为． 由题意，可得， 解得（负值舍去）． 答：该长方体木匣的长为． 类型十、平方根与立方根的综合 典例精讲10（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根和算术平方根的定义，分别求出和的值，再计算的平方根． 【详解】解：因为且的立方根是它本身，所以． 因为的算术平方根是4，所以，解得． 因此， 所以的平方根为． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：同一道题目中同时嵌套平方根、算术平方根、立方根三种概念 2.方法： 1）根据等量关系列方程求解字母参数； 2）代入后分别开平方、开立方计算，平方根记得讨论，立方根直接唯一取值； 3）涉及非负相加为 0 时，只有算术平方根、绝对值、平方具有非负性，立方根无约束 变式训练1（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的综合运用，先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案．熟记平方根、立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 变式训练2（23-24七年级下·全国·课后作业）若是的算术平方根，，则的立方根为________． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根及算术平方根的定义，掌握立方根及算术平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于、的方程，求出、的值，即可求解． 【详解】∵是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴的立方根为， 故答案为：． 变式训练3（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的算术平方根是2，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根的性质，解二元一次方程组，利用正数的平方根互为相反数建立方程，结合算术平方根的定义求解参数，再计算表达式的值求立方根． 【详解】解：一个正数的两个平方根互为相反数， ，整理得 又的算术平方根是， 解方程组， 解得 则 的立方根为． 变式训练4（25-26八年级上·山西晋城·期中）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义是正确解答的前提． 根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出、、的值，再将、、的值代入求出结果，再根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：由题可知，，， ， ， ． 是的整数部分， ， ， 的平方根为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：选项A中，选项B中，选项C中，三组数均相等，不互为相反数． 选项D中，与互为相反数． 2．（25-26七年级下·吉林·期末）下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由算术平方根的非负性排除选项A、B，再立方根验证选项C；最后根据算术平方根的非负性判断选项D即可． 【详解】解：，，故A、B均错误． ，故，C错误． ，D正确． 3．（25-26七年级下·山东临沂·期末）下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④的算术平方根是．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】依次根据平方根、立方根、算术平方根的定义以及非负数的性质，对四个判断进行分析． 【详解】解：∵正数的平方根有两个且互为相反数， ∴的平方根是，故①错误； ∵， ∴与互为相反数，故②正确； ∵，，且二者和为， ∴，， 解得，， ∴，故③正确； ∵， ∴的算术平方根不是，故④错误． 综上，正确的结论有个． 4．（21-22七年级下·四川绵阳·开学考试）下列命题中，正确的是（     ） ①算术平方根等于本身的数只有0；        ②倒数等于本身的数只有1； ③立方根等于本身的数有和0；         ④绝对值等于本身的数只有0和1； A．只有③ B．①和② C．只有① D．③和④ 【答案】A 【分析】根据算术平方根、倒数、立方根、绝对值的定义，逐一判断每个命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：①对于算术平方根等于本身的数，的算术平方根是，也等于本身，算术平方根等于本身的数是和，①错误； ②对于倒数等于本身的数，的倒数是，也等于本身，倒数等于本身的数是和，②错误； ③对于立方根等于本身的数，，，，立方根等于本身的数是和，③正确； ④对于绝对值等于本身的数，所有非负数的绝对值都等于本身，不止和，④错误． 综上，只有③正确． 5．（21-22七年级下·四川德阳·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，则的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根、立方根的定义列方程求出，的值，再代入计算后求其平方根． 【详解】解：的算术平方根是， ， 解得， 的立方根是， ， 解得：， ， 的平方根是． 6．（25-26七年级下·四川凉山·期末）若的两个平方根分别是和，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根的定义得到，，则可求出，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵2026的两个平方根是和， ∴，， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·山东滨州·期末）对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是（     ） A．平方根是2 B．算术平方根是2 C．立方根是2 D．立方根是 【答案】D 【分析】先根据新定义运算求出的结果，再根据平方根、算术平方根、立方根的定义判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵负数没有平方根和算术平方根，因此排除A、B选项， 又∵， ∴结果的立方根是，D正确． 8．（21-22七年级下·四川德阳·阶段检测）已知的平方根是，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据平方根的定义得到的值，再通过平方得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， 移项得， 解得． 9．（21-22七年级下·四川德阳·期中）对于任意一个实数x，我们用表示小于x的最大整数．例如：．若a，b都是整数，且；则的平方根是______． 【答案】 【分析】根据的定义，为整数时可得到，，据此列出方程组求解，再代入计算的平方根即可. 【详解】解：是整数，表示小于的最大整数， ， 又， 同理， 整理①得， 代入②得， 解得， 将代入，得， ， ∴的平方根是. 10．（21-22七年级下·上海·期末）有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义得到较小自然数，再利用连续自然数的性质得到较大自然数，最后求出较大自然数的算术平方根． 【详解】解：∵较小的自然数的平方根是， ∴较小的自然数为， ∵两个数是连续的自然数， ∴较大的自然数为， ∴较大的自然数的算术平方根是． 11．（25-26七年级下·陕西商洛·期末）已知的平方根是，的立方根是2，则的算术平方根是______． 【答案】 【分析】根据平方根、立方根的定义求出和的值，再代入计算，最后求它的算术平方根即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 把代入得，解得， ∴，的算术平方根为， ∴的算术平方根为． 12．（25-26七年级下·广东汕头·期末）已知在第四象限内的点 到x轴、y轴的距离相等，且的平方根是它本身，则的算术平方根为____． 【答案】 【分析】先根据立方根的定义求出点的纵坐标，再结合第四象限点的坐标特征和点到坐标轴的距离关系得到第一个方程，根据平方根的定义得到第二个方程，联立方程组求出的值，再计算的算术平方根即可． 【详解】首先计算点的纵坐标：，即 因为点在第四象限， 所以点的横坐标 因为点到轴、轴的距离相等，点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值， 因此可得： 因为，化简得， 即 因为的平方根是它本身，平方根等于本身的数只有， 因此可得：， 即 联立得方程组 解得 计算得， 的算术平方根为． 13．（21-22七年级下·上海·期末）已知：是的立方根，是的相反数，且．那么的（）次方根为___________． 【答案】当为偶数时，为；当为奇数时，为 【分析】根据立方根的定义得到根指数的关系，根据相反数的性质得到与的关系，结合已知列方程组求解，得到后再根据乘方的定义求的次方根． 【详解】解：是的立方根， ， 是的相反数， ， 两边立方得：， 又，， ， ， ， 整理得：， 联立， 解得：， ， ， 求的（）次方根：当为偶数时，正数的偶次方根有两个，互为相反数，结果为；当为奇数时，正数的奇次方根只有一个正根，结果为． 14．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）定义一种新运算：，则_______． 【答案】/ 【分析】由新定义运算，结合立方根、完全平方公式和实数混合运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 15．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）解答下列各题 (1)； (2) (3)已知的平方根是，的立方根是4，c是的整数部分，求的值． 【答案】(1)，． (2)． (3)． 【分析】（1）先化简方程，再开平方求解即可． （2）移项得到立方式，再开立方求解即可． （3）根据平方根和立方根的定义求出，，估算得到整数，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 两边同除以得， 开平方得， 解得，． （2） 移项得 开立方得 解得． （3）解：由题意得，解得， ，解得． 因为，所以的整数部分． 代入得． 16．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知正数有一个平方根是，的立方根是，求的值． 【答案】 【分析】先根据平方根和立方根的定义求出与，再计算即可． 【详解】解：∵正数有一个平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平方根与立方根的10类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、求一个数的平方根/立方根 1 类型二、利用算术平方根的非负性求解 2 类型三、与算术平方根有关的规律探索问题 3 类型四、算术平方根的实际应用 4 类型五、已知一个数的平方根求这个数 5 类型六、利用平方根/立方根解方程 5 类型七、已知一个数的立方根，求这个数 6 类型八、与立方根有关的规律探索问题 6 类型九、立方根的实际应用 7 类型十、平方根与立方根的综合 8 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 平方根与立方根是实数章节的基础核心内容，全部题型围绕定义辨析、非负性性质、方程求解、规律探究、生活实际应用五大核心展开，解题牢记三条基础准则：一是正数有两个互为相反数的平方根，算术平方根唯一非负；二是任意实数都有唯一立方根，立方根符号与被开方数保持一致；三是二次根式被开方数必须≥0，化简结果要化为最简形式，所有计算结果注意符号分类讨论。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、求一个数的平方根/立方根 典例精讲1（25-26八年级上·四川雅安·期中）的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 题型归纳 1.特征：直接给出整数、小数、分数，要求写出它的平方根、算术平方根或立方根，属于基础概念考查题。2.方法： ① 平方根：若，则，算术平方根取（非负）； ② 立方根：若，则，正负零均可直接开方； ③ 分数先化简分子分母，带分数先化为假分数再开方。 3.易错提醒：1）求平方根只写正根漏掉负根；混淆算术平方根与平方根定义；负数错误开平方。 2）求带根号数字的平方根时，应先去根号，再计算平方根 典例精讲1（25-26八年级上·四川雅安·期中）的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 变式训练1（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）196的平方根是__________；169的算术平方根是__________；的立方根是_________． 变式训练2（2025八年级上·山东青岛·专题练习）16的算术平方根是_______，4的立方根是_______，的平方根是_______． 变式训练3（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）的算术平方根是________，的立方根是________，的平方根是________，的绝对值是________． 变式训练4（25-26八年级上·四川内江·期中）的平方根是________， 的立方根是______． 类型二、利用算术平方根的非负性求解 典例精讲2（25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）若，则的值是_______． 题型归纳 1.特征：出现形式，利用偶次根式、绝对值、平方三者非负性联立求值。 2.方法： ① 依据几个非负数相加为 0，则每一项各自等于 0； ② 列方程组求出字母取值，再代入代数式计算结果。 3.易错提醒：忽略被开方数本身隐含的取值范围；多个非负项漏写其中一项等于 0 变式训练1（25-26八年级上·广西柳州·阶段检测）若实数，满足等式，且，恰好是等腰三角形的两条边长，则的周长是________． 变式训练2（25-26八年级上·四川内江·期末）已知、满足等式，则_______； 变式训练3（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）已知三角形的三边长为、、，如果，则的面积为____________． 变式训练4（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）已知，则的值是________． 类型三、与算术平方根有关的规律探索问题 典例精讲3（25-26八年级上·广东清远·期末）已知，，那么的算术平方根约是____． 题型归纳 1.特征：给出一组带根号的等式、化简结果，观察被开方数小数点移动与根式结果小数点移动的变化规律，推导下一项数值。 2.方法：① 总结规律：被开方数小数点每向左 / 右移动两位，算术平方根小数点同向移动一位； ② 归纳通项表达式，代入数据直接推算。 3.易错提醒：小数点移动位数记反（两位对应一位）；正负符号判断出错 变式训练1（25-26八年级上·宁夏银川·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 变式训练2（25-26八年级上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为________． 变式训练3（25-26八年级上·上海·期中）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 类型四、算术平方根的实际应用 典例精讲4（24-25八年级上·四川眉山·期末）竖直向上抛出的物体上升的最大高度计算公式为：，其中为重力加速度，为物体抛出时的初始速度，当，时，__________米/秒． 题型归纳 1.特征：结合正方形面积求边长、几何图形长度取值、材料裁剪等生活场景，用算术平方根求解线段长度。 2.方法：① 根据面积公式列等式，边长； ② 结合实际意义舍去负根，长度只保留正数结果。 3.易错提醒：求出平方根后未根据实际场景舍去负值；单位漏写、换算失误。 变式训练1（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图是两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为___________． 变式训练2（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如果正方形的面积扩大为原来的6倍，那么边长扩大为原来的（   ） A．倍 B．倍 C．6倍 D．6倍 变式训练3（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，一个瓶身部分（不包括瓶颈）是圆柱体的瓶子的容积为，瓶内装着水．当瓶子正放时，瓶内水的高度为；将瓶子倒放时，空余部分的高度为．则瓶子的底面半径为（   ） A．3cm B． C．2 D． 变式训练4（25-26八年级上·全国·课后作业）有边长分别为和的两个正方形，还有一个大正方形，其面积为这两个正方形的面积之和．那么，这个大正方形的边长是多少厘米？当，时，这个大正方形的边长又是多少厘米？ 类型五、已知一个数的平方根求这个数 典例精讲5（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是_____________． 题型归纳 1.特征：告知某正数的两个平方根为含字母的代数式，反求参数与原数 2.方法：① 正数两个平方根互为相反数，相加等于 0 列方程求参数； ② 将参数代回其中一个平方根，平方得到原数。 3.易错提醒：忘记两个平方根互为相反数，直接令两式相等；最后忘记平方计算原数 变式训练1（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）一个正数的两个平方根分别是和，这个正数的立方根是____． 变式训练2（25-26八年级上·四川巴中·期中）已知一个正数m的两个不同的平方根分别为a和，则___，___． 变式训练3（25-26八年级上·陕西安康·期中）已知一个正数的两个平方根分别是与5，则的平方根是_____． 变式训练4（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知正数的平方根为和，若，则的值为________． 类型六、利用平方根/立方根解方程 典例精讲6（25-26八年级上·山东青岛·周测）求下列各式中x的值 （1），________；（2），________． 题型归纳 1.特征：形如的高次简易方程，借助开方降次求解一元一次方程 2.方法：① 平方型：n≥0时两边同时开平方，得到两个一次方程求解；n<0无实数解； ② 立方型：直接两边开立方，仅有一个实数解，无需讨论正负。 3.易错提醒：平方开方遗漏±符号；被开方数为负数时强行写出实数解 变式训练1（25-26八年级上·黑龙江黑河·阶段检测）如果，那么_____． 变式训练2（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）若，则_____． 变式训练3（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）解方程，求x的值： (1)； (2)． 变式训练4（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）解方程 (1)； (2)． 类型七、已知一个数的立方根，求这个数 典例精讲7（23-24九年级下·广东·阶段检测）若一个数的立方根是5，则这个数是__________． 题型归纳 1.特征：给出某数的立方根为常数或代数式，反向求被开方的原数 2.方法：将立方根整体三次方，即可还原原数，正负直接保留 3.易错提醒：误用平方运算还原；符号在三次方运算中处理错误 变式训练1（20-21七年级下·贵州黔西南·期末）若，则a的值为______． 变式训练2（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）已知的立方根是3，则_______． 变式训练3（24-25七年级下·湖南永州·阶段检测）已知，则x的值为__________． 变式训练4（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为___________ 类型八、与立方根有关的规律探索问题 典例精讲8（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：给出一组立方根算式，探寻被开方数小数点移动与立方根小数点移动的内在规律 2.方法：被开方数小数点向左 / 右移动三位，立方根小数点同向移动一位，套用规律递推计算 3.易错提醒：记错立方根三位对应一位的移动规则；区分不开平方根与立方根小数点变化规律 变式训练1（2023八年级上·湖南邵阳·竞赛）若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 变式训练2（24-25八年级上·全国·期末）已知，，则_______． 变式训练3（24-25七年级下·河北邯郸·阶段检测）已知，，，，则________． 变式训练4（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 类型九、立方根的实际应用 典例精讲9（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：依托正方体体积求棱长、容器容积、立体构件尺寸等几何实际问题列方程求解 2.方法：由正方体体积，得棱长，立方根仅有唯一解，不用取舍 3.易错提醒：体积公式与棱长开方、开立方混淆；实际问题额外增加多余的正负讨论 变式训练1（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 变式训练2（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的值是_____． (结果用含字母 的代数式表示) 变式训练3（25-26八年级上·山西晋城·期中）加油站的汽油、柴油储油罐采用卧式油罐，且埋地设置，相比地上罐具有安全性好、不易着火等优点．某加油站有两个正方体卧式油罐，其中大正方体卧式油罐的棱长是小正方体卧式油罐棱长的倍．若将六辆底面直径为，长为装满油的圆柱形油罐车（厚度忽略不计）中的油倒入这两个正方体的卧式油罐内，两个卧式油罐恰好均被装满（不计损耗），则小正方体卧式油罐的棱长为______．（取） 变式训练4（25-26八年级上·山西·阶段检测）请根据如图所示的对话内容，解答下列问题．    (1)求该正方体印章的棱长． (2)求该长方体木匣的长． 类型十、平方根与立方根的综合 典例精讲10（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______． 题型归纳 1.特征：同一道题目中同时嵌套平方根、算术平方根、立方根三种概念 2.方法： 1）根据等量关系列方程求解字母参数； 2）代入后分别开平方、开立方计算，平方根记得讨论，立方根直接唯一取值； 3）涉及非负相加为 0 时，只有算术平方根、绝对值、平方具有非负性，立方根无约束 变式训练1（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 变式训练2（23-24七年级下·全国·课后作业）若是的算术平方根，，则的立方根为________． 变式训练3（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的算术平方根是2，求的立方根． 变式训练4（25-26八年级上·山西晋城·期中）已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（25-26七年级下·吉林·期末）下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东临沂·期末）下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④的算术平方根是．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（21-22七年级下·四川绵阳·开学考试）下列命题中，正确的是（     ） ①算术平方根等于本身的数只有0；        ②倒数等于本身的数只有1； ③立方根等于本身的数有和0；         ④绝对值等于本身的数只有0和1； A．只有③ B．①和② C．只有① D．③和④ 5．（21-22七年级下·四川德阳·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，则的平方根是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·四川凉山·期末）若的两个平方根分别是和，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·山东滨州·期末）对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是（     ） A．平方根是2 B．算术平方根是2 C．立方根是2 D．立方根是 8．（21-22七年级下·四川德阳·阶段检测）已知的平方根是，则的值为_____． 9．（21-22七年级下·四川德阳·期中）对于任意一个实数x，我们用表示小于x的最大整数．例如：．若a，b都是整数，且；则的平方根是______． 10．（21-22七年级下·上海·期末）有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 11．（25-26七年级下·陕西商洛·期末）已知的平方根是，的立方根是2，则的算术平方根是______． 12．（25-26七年级下·广东汕头·期末）已知在第四象限内的点 到x轴、y轴的距离相等，且的平方根是它本身，则的算术平方根为____． 13．（21-22七年级下·上海·期末）已知：是的立方根，是的相反数，且．那么的（）次方根为___________． 14．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）定义一种新运算：，则_______． 15．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）解答下列各题 (1)； (2) (3)已知的平方根是，的立方根是4，c是的整数部分，求的值． 16．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知正数有一个平方根是，的立方根是，求的值． 1 / 10 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