第25章 图形的相似 提优测评卷-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（冀教版·新教材）

第二十五章提优测评卷 答案P45 时间：120分钟满分：120分 第I卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1.(2026·浙江温州瑞安期末)下面四组线段中不是成比例线段的是( ). A.3,6,2,4 B.4,6,8,10 C.1,√2，√3，√6 D.√5，W√15,2,2√3 2.在下面的图形中，相似的一组是( 别 40o 0 A B D 3.将直角三角形三边扩大同样的倍数，得到的新的三角形是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 4.下列各选项中，平行于原正多边形一边的直线将其分成两部分，其中阴影部分多边形与原多边 形相似的是(). B 5.(2026·河南衡阳期中)在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,根据下列条件，不能判定△ABC和 △DEF相似的是( AB AC AB BC A. DE一DF B. DE一EF C.∠B=∠E D.∠C=∠F 6.如图，给出下列条件：①∠ADC=∠ACB;②∠B=∠ACD;③AC2=AD·AB;④CD C AB BC, 其中不能判定△ABC∽△ACD的条件为( ) A.① B.② C.③ D.④ D 4开 对开M 8开 (第6题) (第7题) (第9题) 7.(2026·安徽合肥四十二中月考)如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD沿E℉对开 后，再把矩形E℉CD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于( A.√2 B. √2 C.5-1 D.2 2 13 8.下列四个1×5的正方形网格中，均有两个涂色的三角形，其中在同一网格中的两个三角形相 似的是( A B C D 9.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，连接AE,点F在AE上，且EF=CE, 连接CF并延长交AB于点G,则BG的长是(). A.√5-1 B.W5+1 C.3-√5 D.1 10.分类讨论思想如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=5,点P从点C出发以每秒1个 单位长度的速度沿CB一BA运动，设运动时间为tS,以A,P,C为顶点的三角形与△ABC相似 (不包含全等)时，t的值为( 9 A.5 4 c号9 D. B.M B,M,B、 M,B M.B B G A. A. (第10题) (第11题) (第12题) 11.在正方形ABCD中，E为AD中点，点F在对角线AC上，且AC=6AF,连接EF,过点F作 FG⊥EF交BD于点H,交BC于点G,连接EH,厕的值为 A 2√5 2 B. 2w61 D 2W10 5 5 12.如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1,M2,M3,…,Mm为边B1B2, B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1,△B2C2M2的面积为S2,…, △B.C,M,的面积为1020则n等于（ A.128 B.127 C.129 D.126 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 3.中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易 懂.如图所示是中国象棋的棋盘（各个小正方形的边长均相等），根据“马走日”的规则，“马”应 该落在位置 处，能使“马”“炮”“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“车”“相”所 在位置的格点构成的三角形相似. 马 B 炮② 3) 相 E C D 帅 车 6050403020100 (第13题) (第14题) 14 14.(2025·秦皇岛卢龙期中)如图，测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为12cm,AC被分为60等 份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB),那么小玻璃管口径DE是 cm. 15.(2025·黑龙江中考)如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=7,BC=9,M是△ABC内部一点， 连接AM,BM,CM,若CM=3,则AM十3BM的最小值为 D M B (第15题) (第16题) 16.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6,过点C作BC的垂线CD,点P在线段BC上 运动，点Q在射线CD上运动，始终满足∠BAP=∠CAQ,连接PQ,当△PCQ与△ABC相 似时，线段BP的长是 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17.7分已知：号-号-后且a-6+2x=2 (1)求a,b,c的值； (2)添上一个数d= ,使得a,b,c,d四个数能构成比例式. 18.(8分)如图，FECD,AF=3,AD=5,AE=4. (1)求AC的长； (2若AB-,求证：△ADEn△ABC (第18题) 15 第二十五章提优测评卷 19.(8分)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上且AE·AB=AD·AC,连接DE,BD. (1)求证：△ADE∽△ABC; (2)若E为AB中点，AD：AE=6:5,若AB=20,求CD的长 (第19题) 20.(8分)在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(一2，一1)，B(一1，一3)， △O1A1B1与△OAB是以点P为位似中心的位似图形. (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点B1的坐标； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2,使它与 △OAB的位似比为2：1，并写出点B的对应点B2的坐标； (3)△OAB的内部一点M的坐标为(a,b),写出M在△OA2B2中的对应点M2的坐标 (第20题) 实验班提优训练数学九年级上HBJY 16 21.(9分)(2025·山西长治壶关期中)如图，在平面直角坐标系中，点A(1,0),点B在y轴的正半轴上， 点C在x轴的负半轴上，且满足(OB一√3)2+√OC一3=0. (1)求点B,C的坐标； (2)若点P在y轴上从点B出发，沿射线BO运动，连接CP(不含CB),是否存在点P,使得 以C,O,P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明 理由. (第21题) 22.(9分)光污染是继废气、废水、废渣和噪声等污染之后的一种新的环境污染源，主要包括白亮 污染、人工白昼污染和彩光污染.如图，小明家正对面的高楼外墙上安装着一幅巨型广告宣传 牌AB,小明想要测量窗外的广告宣传牌AB的高度，他发现晚上家里熄灯后对面楼上的广告 宣传牌从A处发出的光恰好从窗户的最高点C处射进房间落在地板上F处，从窗户的最低 点D处射进房间落在地板上E处(B,O,E,F在同一直线上)，小明测得窗户距地面的高度 OD=1m,窗高CD=1.5m,并测得OE=1m,OF=3m.请根据以上测量数据，求广告宣传 牌AB的高度. D OE F (第22题) 17 23.(11分)(2026·邯郸峰峰矿区期中)在△ABC中，点D在边BC上，点E在边AC上，AD与BE交 于点F. D如图(D,D是BC中点，F是AD中点，DG/BE交AC丁点G,求证能-： (2)如图(2)，若BD:DC=1:4,AF：FD=3:2,求AE:EC的值， D (1) (2) (第23题) 24.(12分)如图，已知△ABC的三边长AB=6cm,BC=8cm,AC=4cm,点D在边AB上，且 AD=1.5cm,动点P从点A出发沿A一C一B方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，设运 动时间为ts. (1)当点P在线段AC上时，AP=,当点P在BC上时，BP= ;(用含t的 代数式表示) (2)在点P运动的过程中，若直线DP截得的三角形与△ABC相似，求t的值 D B C B∠ (第24题) 备用图 18SAPBC=- PM.nC.5am=AN.BC, .S△PBC PM.BC PM PD 1 AN·BC AN AD x+6 同六8 ',SAABC=S△PB+S△PAC+S△PAB, 异6+产6+平。1， 之 因此x(y十6)（之+6）十y(x十6)（之+6）+z(x十6)(y+ 6)=(x+6)(y+6)(之+6)， .xyz=108-3(xy+yz+zx)=24. 第二十五章提优测评卷 1.B[解析]A.2×6=3×4,能成比例，不符合题意； B.4×10≠6×8，不能成比例，符合题意； C.1X6=√2×√3，能成比例，不符合题意； D.√5×23=√15×2，能成比例，不符合题意 故选B. 解后反思若四条线段a,6c,d满足分-台，则a,6 c,是成比例线段；判断四条线段是否满足 C 6=立，只要 满足ad=bc. 2.C3.B4.A 5B解折]2-条∠A-∠D,△AICADE, 放A不符合题意，是-器∠A=∠D不符合相似三 AB BC 角形的判定定理，由DE一EF,∠A=∠D不能判定 △ABC和△DEF相似，故B符合题意；，∠A=∠D, ∠B=∠E,∴.△ABC∽△DEF,故C不符合题意； ∠A=∠D,∠C=∠F,∴△ABC△DEF,故D不符 合题意.故选B. 6.D[解析]①∠ADC=∠ACB,再加上∠A为公共角，可 以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ②∠B=∠ACD,再加上∠A为公共角，可以根据有两组 角对应相等的两个三角形相似来判定；③，AC2=AD· AB,小S二再加上∠A为公共角，可以根据两组对 应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判 定；④中∠A不是已知的比例线段的夹角，无法判定两三 角形相似.故选D. 7.A[解析]，矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的 2倍，且各种开本的矩形郑相似六（侣）-2一船 AB/ √2（负值舍去）.故选A 8.A[解析]A.两个三角形中都有一个135的夹角，且该角 的两边比例均 12 为2一2，一两个涂色的三角形相似，故该 选项正确，符合题意；B.第一个三角形为等腰三角形，且三 边长分别为2，w2和2，第二个三角形三边长分别为√2， √5和3，∴.两个涂色的三角形不相似，故该选项错误，不符 合题意；C.第一个三角形三边长分别为1√2和√5，第二个 答案6D详解 三角形边长分别为√2，√5和3，∴.两个涂色的三角形不相 似，故该选项错误，不符合题意；D.第一个三角形三边长分 别为1,2和√5，第二个三角形边长分别为1,3和√10， ∴两个涂色的三角形不相似，故该选项错误，不符合题意. 故选A 9.A 0.D[解析]在Rt△ABC中，由勾股定理，得 BC=√AB2-AC=√52-3=4. PC AC 当△ACBn△PCA时，A=BC, 罗n0= ,点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度运动， 4=号÷1-（秒， 9 如图，当△ACBC∽△APC时， CP AC BC-AB∠ACB=∠APC=90, .cp.cp 4 B- (第10题) ∴BP=√BC2-CP2= √-(-马 BP+c-9+4-9 ,点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度运动， 综上所述，以A,P,C为顶点的三角形与△ABC相似时， :的值为或故选D 1.A[解析]如图，建立平面直角坐标系， (OB N G (第11题) 设正方形边长为6，易得E(3,6),D(6,6),过F作MN∥ AB,交AD于点M,交BC于点N, ∴.△AMF为等腰直角三角形，∴.AM=MF=1,.EM= 2,FN=5,.F(1,5),易证△EMF∽△FNG,可得GN= 号CG-号，G(径o）-由BC0,0,D(6,6)可得直线 BD表达式为y=,由F(1,5),G(?,o)可得直线FG 表达式为y=一2x+7,联立得y=x, y=-2x+7, 解得 x=3’ 7 H(仔，)， y一1 3, -√-}+(6-》-5，恶-2 CG 3 故选A 2.A[解析]'BC//B1C1,∴△M,B.C.∽△MnB1C1, 45拿 ◇实验班提优训练数学九年级上HBY M,BB.C M.B.BIC' 1 2 B.C . 2+n-1 1 ,∴.BCm=2n-1' 1 1 1 :△B.C,M.的面积为1020， 1 小4(2m-D1020,则n=128.故选A 13.② 14.8[解析]：DE∥AB,∴.△CDE∽△CAB,∴.CD: AC=DE:AB.,AB的长为12cm,AC被分为60等份， DE正好对着量具上20等份处，∴.(60-20)：60=DE: 12,.DE=8cm. 15.5√2[解析]如图，在BC上取点G,使CG=1,连接 AG,MG. M B (第15题) CG CM 1 :BC=9,CM-3,CN-BC=3,∠MCG=∠MCB, ÷△Ma0caCu,÷品-器-号Mc=号M, AM+3BM=AM+MG≥AG. :AG=√AC2+CG=W√72+12=5√2， AM+号BM≥5E,即当点M在AG上时，AM+ 号BM取最小值为5V反。 16.5或6.4[解析]在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8, AC=6,由勾股定理得BC=√AB2+AC=√82+62= 10,∠B+∠ACB=90°.：CD⊥BC,∴.∠BCD=90°， ∠ACD+∠ACB=90°，∴∠ACD=∠B.∠BAP= ∠CaQ,△APn△A00÷器-%-号-是，设 B即=，则有P0=10-,竖=，G0= △PCQ与△ABC相似，分两种情况讨论： 3 当△PCQD△BAC时，心AB-AC,8 6,解 得x=5:当△P0Q△CB时爱-8得10.2- 6 3 8,解得x=6.4,综上所述，线段BP的长是5或6.4 17.(1)根据题意，设a=2k,b=3k,c=6k, .a-b+2c=22, ,2k一3k+12k=22,解得k=2, .a=4,b=6,c=12. (2)2或8或18[解析]根据(1)可知，a=4,b=6,c=12, 會46 ,a,b,c,d四个数能构成比例式， ∴.当a:b=c:d时，则有ad=bc,即4d=72, 解得d=18; 当a:c=d:b时，则有ab=cd,即24=12d, 解得d=2; 当a:b=d:c时，则有ac=bd,即48=6d, 解得d=8. 综上所述，当d=2或8或18时，能使得a,b,c,d四个 数能构成比例式. 8E/D5能 AF=3AD-5AE=4…号-C 解得AC-号 (②：aC-9AE=6,AD-5AB- 3 品怎 ∠A=∠A,.△ADE∽△ABC. 19.(1),AE·AB=AD·AC, 怎铝 又∠DAE=∠CAB, '.△ADE∽△ABC. (2).E为AB中点，AB=20, ∴AE=合AB=10, AD:AE=6:5,.AD=12. :△ADB△ABc铝--怎. 号器是4c-碧 3 CD=AC-AD-9-12=# .14 20.(1)位似中心P如图所示，P(-5,-1),B1(3,-5). y◆ B B生 (第20题) (2)△OA2B2如图所示，B2(-2,-6). (3)点M2(2a,2b). 21.(1)(0B-√3)2+√OC-3=0, .OB-√3=0，O℃-3=0， ∴.OB=√3，OC=3. ,点B在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上， .点B的坐标为(0√3)，点C的坐标为（一3,0）. (2)存在点P,使得以C,O,P为顶点的三角形与△AOB 相似.理由如下： .∠COP=∠BOA=90°， ∴.以C,O,P为顶点的三角形与△AOB相似需分两种情 况讨论： ①当△COP∽△A0B时，OA-OB, OC OP ÷0P-0B.0c-35=3w5 OA Γ1 ,点P在射线BO上（不与点B重合），∴点P的坐标 为(0，-33). ②当Aa0P△B0A时6品-8， :0P=OA0C=2=5. 点P在射线BO上（不与，点B重合）， ∴点P的坐标为(0，一√3). 综上所述，存在点P,使得以C,O,P为顶点的三角形与 △AOB相似，点P的坐标为(0，-3√3)或(0，-√3). 22.,D0⊥BF,.∠DOE=90°.OD=1m,OE=1m, .∴.∠DEB=45°..AB⊥BF, ∴∠BAE=45°，∴AB=BE.设AB=EB=xm. .AB⊥BF,CO⊥BF, ∴.ABCO. .△ABF△COF, 器-品即+日-=得=10 3 经检验，x=10是原方程的解且符合题意 故AB的高度是10m. 23.(1)DGBE,D是BC中点， D=D,品器 ..CG=EG. F是AD中点，DGBE,AF=DF, 能品AB-c。 .AE AE 1 ∴AE=CG=EG,小E元=EG+Cc=2 (2)如图，过点D作DHBE交AC于点H, A B D (第23题) .'BD DC=1:4,DH//BE, 贺0子CH=HE AF:Fm-32,DHBE能F- AE-号HE AE:BC=(侵HE）:(HE+4HE)=3:10, :AE:EC的值为 24.(1)2tcm(12-2t)cm[解析]根据题意，当点P在线 段AC上时，AP=2tcm,当点P在BC上时，BP=8+ 4-2t=(12-2t)cm. (2)当点P在AC上时，0t≤2， ①如图(1)， 答案6D详解 D B (1) 当品时， ∠A=∠A,.△ADP∽△ABC, 此时-会解得=之 1 ②如图(2)， D D B< (2) 若始把时， ∠A=∠A,.△APDn△ABC, 此时后解得合： 当点P在BC上时，2<t≤6， ③如图(3)， D B D (3) 若器酥 ∠B=∠B,△BPDD△BCA, 6-1.512-2t 此时6 81 解得t=3; ④如图(4)， B (4) （第24题) 若肥贸时， ∠B=∠B,.△BPD△BAC, 此时安5-2。解得：-铝 6 或8或3欧兽 1 9 综上可知，t= 期中提优测评卷 1.B2.B 3D[解析A兰令-2品能判定相似，放不符合题意： 且产-日8=58，能判定相似，放不符合题意，C40 40°，且对顶角相等，能判定相似，故不符合题意；D.35°= 35°，不能判定相似，故符合题意.故选D. 4.D[解析]，关于x的方程kx2一2x十3=0是一元二次 方程，k≠0. ,方程有两个实数根，∴△=（一2）2一4×3≥0， 解得≤行，“k的取值范围是k≤号且及≠0，故选D 47合