第二十五章 图形的相似（11考点+12易错+易错训练）（知识清单）数学新教材冀教版九年级上册

该初中数学“图形的相似”单元知识清单系统梳理了比例线段、相似多边形、相似三角形判定与性质及实际应用等核心内容，构建了从基础概念到判定方法再到性质应用的递进式学习支架。 清单通过“知识点-易错点-对点训练”三级架构呈现知识体系，如将“相似三角形判定”标注为重点并附易错提醒，培养学生几何直观与推理能力。设计“实际应用案例”如测量物体高度，结合黄金分割等模型意识，助力学生高效掌握，教师可据此优化教学。

第二十五章 图形的相似 知识点一 比例线段 1.线段的比：两条线段长度的比叫做这两条. （1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的是一个结果，是一个数； （2）在表示两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有； （3）线段的比，最终要化成 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段； 知识点二、比例的基本性质 1.基本性质：如果a：b＝c：d，那么ad＝bc，反过来，如果ad＝bc（b≠0，d≠0），那么a：b＝c：d. 2.合比性质：如果，那么， 如果，那么. 知识点三、比例中项 在比例式中，如果c＝b，那么，我们把b叫做a和d的. 如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B，点B为线段AC的，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为 1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的； 3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数； 4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”. 知识点四、相似形 形状相同的图形是. 1.至少有两个图形，图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2.全等形是一种特殊的相似形； 3.相似形与图形的、无关，与和也无关. 知识点五、相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的，称为. 两个相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”，相似多边形的对应边的比叫做. 1.相似多边形的三个条件：①；②；③； 2.全等多边形得相似比是1，相似比是1的相似多边形是； 3.当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 知识点六、平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有： 1.； 2.； 3.. 当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 知识点七、相似三角形的判定 由平行判定三角形相似 ，所截得的三角形与原三角形相似，如图所示： 由两角关系判定三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 由两边及夹角的关系判定两三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 由三边关系判定两个三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 知识点八、相似三角形周长比的性质 1.相似三角形等于相似比； 2.相似多边形等于相似比. 如图所示，若，则， 则. 知识点九、相似三角形面积比的性质 相似三角形面积的比等于 如图所示，若，则，分别作出与的高AD和， 则. 知识点十、相似三角形对应线段比的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 2.相似三角形中的对应线段的比等于； 3.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于. 注：相似三角形中除了上述三种线段外，只要是对应的线段，它们的比都等于相似比. 知识点十一、相似三角形的实际应用 相似三角形核心原理是对应角相等、对应边成比例，常用来解决生活中无法直接测量的长度、高度、距离问题，应用十分广泛。 第一，测量物体高度。借助太阳光、标杆、镜面反射构造相似三角形，通过测量可获取的地面距离、标杆高度，利用比例计算出大树、高楼、旗杆等高大物体的高度，规避直接测量的困难。 第二，测量不可跨越距离。可用于测算河宽、两建筑物间距等无法直接丈量的距离，通过在平地构造相似直角三角形，依托已知边长，精准推算出未知距离。 第三，生活与工程缩放应用。用于图纸绘制、摄影投影、灯光投影等场景，利用相似图形形状不变、比例恒定的特点，实现图形精准缩放，同时可解决影子、视野盲区等实际计算问题。 易错点1 比例线段 易错提醒 求解比例线段问题时，注意线段长度为正数，计算结果要舍去负根。进行比例变形，切勿随意交叉改写比例式，分清内项与外项，防止比例颠倒出错。运用比例性质、合比与等比性质时，等比性质要注意分母之和不能为 0 这一隐藏条件。 求线段比例，务必统一线段长度单位，单位不统一直接计算极易算错。遇到比例尺题型看清图上距离与实际距离的对应关系。做题还要区分比例式与线段实际长度，不要把比值直接当作线段长，求出结果后结合图形检验是否符合题意。 【对点训练】1．（25-26九年级上·河北保定·期末）已知，则的值为______． 【对点训练】2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知（），，则______． 【对点训练】3．（25-26九年级上·河北唐山·期中）一道习题及其不完整的解答过程如下： 已知，求的值． 解：设， 则，， ① ，……第一步 ② ．……第二步 (1)第一步的①处应填________，第二步的②处应填________； (2)模仿上述解答过程，已知，求的值． 易错点2 黄金分割 易错提醒 黄金分割要分清较长线段、较短线段与整条线段的关系，牢记黄金比，不要记反数值。注意一条线段有**两个黄金分割点**，做题容易只算一个点造成漏解。 计算时线段长度为正数，舍去负的计算结果。审题看清求的是较长段、较短线段还是整条线段，避免对象混淆。作图类题目区分近似值与准确值，不要直接用小数代替根式。部分题型结合方程求解，求出结果后要检验是否符合线段大小逻辑。 【对点训练】4．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【对点训练】5．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为____．（结果保留根号） 【对点训练】6．（24-25八年级下·福建福州·期中）摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 易错点3 平行线分线段成比例 易错提醒 使用定理前提是存在一组平行线，切忌在不平行的条件下套用比例等式。分清对应线段，严格按照上下对应书写比例式，线段对应错位是高频错误。 分清平行线分线段成比例与三角形平行线推论，看清是截直线还是截线段。做题不要混淆线段和与单条线段，不要随意更改分子分母位置。 遇到多组平行线图形，找准被截的两条直线。计算得到的线段长度要舍去负根，求解后对照图形验证长短关系，避免凭主观感觉列比例。 【对点训练】7．（2026·河北张家口·三模）在中，是边上的中线，点在上，且．若，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【对点训练】8．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为 _____ ． 【对点训练】9．（2026·河北保定·二模）如图，在中，是边上的中线，F是的中点，连接并延长交于点E，则的值为______． 易错点4 相似多边形 【对点训练】10．（2025·河北唐山·一模）如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（   ） A． B． C． D． 【对点训练】11．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在矩形纸片中，，，截去矩形．若剩下的矩形与矩形相似，则的长为________． 【对点训练】12．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，，，于点F，交于点E，矩形矩形． （1）的长为_________； （2）连接，与交于点M，则的长为_________． 易错点5 相似三角形的判定找不到相似条件 易错提醒 判定相似时，容易错找对应角、对应边，不按对应关系写三角形，导致比例式出错。忽略公共角、对顶角、同角的余角补角等隐藏相等角，遗漏平行带来的等角条件。 部分学生盲目套用 SSA 判定，混淆全等与相似判定方法。图形复杂时不会分离基础小三角形，被多余线条干扰。不会利用等角转换、边的比例变形推导条件。做题先标记相等角与成比例边，找准对应顶点，条件不足时善于借助中间三角形间接证明相似。 【对点训练】13．（25-26九年级上·河北秦皇岛·阶段检测）已知：平行四边形，是延长线上一点，与、交于、． (1)图中有 对相似三角形； (2)求证：． 【对点训练】14．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【对点训练】15．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 易错点6 选择或者补充条件证明相似出现问题 易错提醒 补充相似条件时，容易误选 SSA 类错误条件，混淆全等和相似的判定依据。忽视已有条件，新增多余或者重复条件，不会结合图形找准对应顶点。 审题不区分 “△ABC∽△DEF” 与 “以 A、B、C 为顶点的三角形相似”，后者对应关系不唯一，容易漏解。添加角的条件要保证是对应角，添加边的条件要满足夹边成比例。选完条件后应当回代检验，确认条件能够推导出相似，排除看似可行实际不成立的选项，注意多解情况。 【对点训练】16．（25-26九年级上·北京昌平·期末）如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 【对点训练】17．（2025·浙江杭州·一模）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 【对点训练】18．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有__________． 易错点7 利用相似三角形的性质求解出错 易错提醒 利用相似三角形性质计算极易因对应关系出错。学生常混淆对应边、对应高、对应周长与面积的比例关系，误将面积比直接等于相似比。忽略相似三角形对应线段成比例、面积比为相似比平方的核心性质，计算时公式乱用。做题时常找错对应三角形，乱套比例列式导致计算失误。同时容易忽略图形隐藏条件，不验证边长比例和角度关系，且遇到多组相似图形时梳理不清对应关系，计算步骤不严谨，出现漏解、错解，是考试高频丢分点。 【对点训练】19．（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，．若，，则___________． 【对点训练】20．（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，中，，，，过点作，，连接交于点． (1)点到的距离_______． (2)求的长度； (3)求的面积． 【对点训练】21．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． (1)当时，求的长． (2)当时，求的长． (3)点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 易错点8 网格中相似三角形问题 【对点训练】22．（25-26九年级下·全国·阶段检测）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上．在图1，图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图1中以线段为边画一个格点三角形，使它与相似； (2)在图2中画一个格点三角形，使它与相似（不全等）． 【对点训练】23．（25-26九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)图①中，在线段上取一点，连接，使得； (2)图②中，在内部取一点，连接，使得； (3)图③中，在内部取一点，连接，使得． 【对点训练】24．（25-26九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留作图痕迹．      (1)在图①中，在线段上确定一点，使； (2)在图②中，在线段上确定一点，使； (3)在图③中，在线段上确定一点，连结，使． 易错点9 相似三角形的动点问题不会表示 易错提醒 动点问题容易忽略运动方向与时间取值范围，直接设时间为 t 后，线段长度表达式书写出错。未分类讨论三角形相似的对应顶点，只考虑一种对应情况造成漏解。 不会用含 t 的代数式准确表示动态边长，忽视线段相减时要保证结果为正。求解出 t 值后，不检验动点是否在线段上，保留超出范围的增根。复杂图形中分不清两组相似三角形的对应边，比例式列错，做题要先标注动点线段，分情况列式，最后检验 t 的实际取值。 【对点训练】25．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【对点训练】26．（2026·河北秦皇岛·一模）如图，在中，，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒． (1)为何值时，？ (2)当是直角三角形时，直接写出的值． 【对点训练】27．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图1，在锐角中，是边上的高，，动点P沿线段从点A向点D运动，过点P作，交于E，交于F，以为边向下作正方形． (1)设长为x，利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为___________；如图2，当_________时，恰好落在边上，此时长为_________； (2)如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求的值）． 易错点10 重心的有关性质不会运用 易错提醒 相似三角形动点问题是几何高频难点。学生最易忽略动点运动的分段讨论，未区分不同位置的三角形形态，导致严重漏解。解题时常找错动态图形的对应边、对应角，盲目套用相似判定和比例公式。多数同学忽视动点取值范围与边界条件，不解验根，出现增根错误。不会用时间参数准确表示动态线段长，列式混乱。同时容易混淆不同相似模型，无法区分多组相似情况，分类不全面，解题思路不清晰，书写不规范，是考试主要丢分点。 【对点训练】28．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 【对点训练】29．（25-26九年级上·山东滨州·期末）【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【对点训练】30．（25-26八年级上·重庆大足·期末）在学习综合与实践活动一《确定简单平面图形的重心位置》时发现，三角形的三条中线的交点是三角形的重心，下面我们进一步探究三角形重心的性质． 已知，点O是重心． 【探究】 （1）如图1，若的面积为m，则___________，___________； （2）在（1）的条件下，试猜想，，的值，并选择其中一个说明理由． 【应用】 （3）如图2，在中，若交于点O，，，求四边形的面积． （4）已知的中线，，请直接写出面积的最大值． 易错点11 相似三角形的判定与性质综合 【对点训练】31．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，是边的中线，过点D作，连接交于点F，交于M，点M恰为中点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求． 【对点训练】32．（2026·江苏宿迁·中考真题）按要求解题： (1)【问题猜想】如图1，在中，，是中点，点、分别在、的延长线上，且．请猜想与的大小关系，并证明． (2)【问题探究】如图2，在中，，点在上，点、分别在、的延长线上，且．求证：． (3)【问题延伸】如图3，在中，是中点，，点、分别在、的延长线上，且．求证：． 【对点训练】33．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，四边形和四边形都是正方形，点C、F、G在一条直线上，连结并延长交边于点M． (1)求证：． (2)若，，求正方形的面积． (3)直接写出的值． 易错点12 相似三角形的实际应用 易错提醒 相似三角形依托对应边成比例的特点，常用于测量难以直接丈量的长度。常见类型有利用太阳光影子、标杆、镜面反射测量旗杆、树木、楼房高度；构造几何模型测算河宽、两地间距等不可直达的距离。解题关键是从现实情境中抽象出相似三角形，找准对应边列出比例式。学生容易出错的地方是无法准确识别图形模型，混淆对应线段，列式颠倒比例。遇到镜面、影子问题，要抓住相等角构造相似，结合题意检验结果是否符合现实意义，规范完成计算。 【对点训练】34．（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 【对点训练】35．（2026·河南平顶山·三模）隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物——天堂，它在紫微城遗址上修建，是昔日女皇武则天理政、礼佛、生活的重要场所，如今成为洛阳旅游必打卡的景点．某数学兴趣小组在学习了锐角三角函数以后，开展测量物体高度的实践活动，于是把“测量天堂的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量天堂的高度 活动方案 “标杆”方案 方案示意图    实施过程 ①在与天堂B位于同一水平地面的D处立一标杆； ②测量B，D两点间的距离； ③小组成员站在F处时，眼睛E、标杆顶点C和天堂顶点A在同一条直线上； ④测量D，F两点间的距离； ⑤测量E到地面的高度 测量数据 ①； ②； ③； ④ 说明 ①图上所有点均在同一平面内； ②，，均与地面垂直 根据活动报告，求天堂的高度．（结果精确到） 【对点训练】36．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）综合与实践： 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． (1)【探究1】 如图1，竖立的两根灯杆、中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为、的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； (2)【探究2】如图2，竖立的两根灯杆、之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子落在线段BD上时，他的影长、是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出、满足的等量关系；若不存在，请说明理由； 1．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·云南·一模）如图，线段相交于点，，若，，则线段的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（2026·河北沧州·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，已知是边长为5的等边三角形，点为边上一点，将沿折叠，使点落在平面上处，与边交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北·期末）如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 6．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，是的边上的中点，，的延长线交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在正方形中，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．若，，则的长为（    ） A．4.5 B．4.8 C．4.9 D．5.2 8．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，点D，E分别在边上，，那么_____． 9．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）如图，是等边三角形，点D、B、C、E在一条直线上，，已知，，则等边的边长为______． 10．（24-25九年级下·广东中山·期中）边长分别为1的正方形和长和宽分别为5与2的长方形按如图所示放置，图中阴影部分的面积是______． 11．（2025·山西临汾·二模）善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为_______cm． 12．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为________． 13．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，在平行四边形中，对角线、交于点．为中点，连接交于点，且．若的面积为2，则四边形的面积为_____． 14．（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）如图，，的顶点A在射线上，顶点B在射线上，已知，，设，连接． （1）当的某一条边与的一条边平行时，_________． （2）当最大时，_________． 15．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在长方形中，内接三个大小相同的正方形，点E，F，G，H分别在边，，，上，若，，则每个小正方形的边长为_______． 16．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，中，90°，，，过点作的垂线，点在线段上运动，点在射线上运动，始终满足，连结，当与相似时，线段的长是__________． 17．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，菱形中，于点，分别交及的延长线交于点、，且，则的值为______． 18．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，，，，，点在线段上运动，点为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是____________ 19．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段AB按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，请解答下列问题： （1）当__________时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （2）当__________时，的面积等于4． 20．（2026·河北·中考真题）按要求解答下列问题： (1)尺规作图：如图1，在中，作出边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，在中，，点在边上，且．若，，求线段的长． 21．（2026年河北省石家庄市桥西区二模数学试题）如图，在和中，，，点D在边上（不与点B，C重合），且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 22．（25-26九年级上·上海松江·期中）如图，已知梯形中，，对角线交于点O，，点E在线段的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 23．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，矩形中，，，点E，F分别在上，将四边形沿翻折，使点的对称点落在边上，点的对称点为点G，交于点，已知，设． (1)求的长； (2)求的长． 24．（25-26九年级上·山西临汾·期中）《黑神话：悟空》上线之后，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量并制作了下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案 及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平直线于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值） 计算结果 请你根据上述信息，帮助嘉嘉实践小组求出飞虹塔的大致高度． 25．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，与位似，的延长线与的延长线交于点，点和点在线段上． (1)与的位似中心为点________． (2)若与的相似比为，，求的长． (3)若，，求的度数． 26．（25-26九年级上·河北张家口·期中）综合与探究 【问题情境】 如图1，正方形外有一动点是等腰直角三角形，，连接，请探究的位置关系． 【问题解决】 (1)请直接写出的位置关系：__________； (2)将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，如图2，其中，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 27．（25-26九年级上·河北·单元复习）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，，，求的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 28．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）如图，在平行四边形中，E为边上一点，且，在上取一点F，使． (1)求证：； (2)若，，求的值． 29．（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，等边三角形的边长为3，点、分别是、上的动点（点、与三角形的顶点不重合），且，、相交于点． (1)设线段为，线段为，求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当的面积是的面积的2倍时，求的长； (3)点、分别在、上移动过程中，和能否互相垂直？如能，请指出点的位置；如不能，请说明理由． 30．（2025·河北邯郸·模拟预测）【情境】在一次综合实践活动课上，老师给每名同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何确定正方形一边上的一个三等分点． 嘉嘉通过折叠的方法确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作1】如图1，他先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折，得折痕，交于点G；过点G折叠正方形纸片，使折痕．    （1）嘉嘉的思路是先证明，再证明，就可以证明M是边的三等分点，请你按照嘉嘉的证明思路写出证明过程． 淇淇利用折叠和尺规作图相结合的方法确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作2】如图2，她先将正方形纸片对折，使点A和点D重合，然后展开铺平，确定的中点E；再利用尺规作图在正方形内作，最后延长，交边于点G，淇淇猜想点G即为边的三等分点． （2）①利用尺规作图补全图形． ②淇淇的猜想______（填“正确”或“不正确”） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 图形的相似 知识点一 比例线段 1.线段的比：两条线段长度的比叫做这两条. （1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的是一个结果，是一个数； （2）在表示两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有； （3）线段的比，最终要化成 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段； 知识点二、比例的基本性质 1.基本性质：如果a：b＝c：d，那么ad＝bc，反过来，如果ad＝bc（b≠0，d≠0），那么a：b＝c：d. 2.合比性质：如果，那么， 如果，那么. 知识点三、比例中项 在比例式中，如果c＝b，那么，我们把b叫做a和d的. 如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B，点B为线段AC的，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为 1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的； 3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数； 4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”. 知识点四、相似形 形状相同的图形是. 1.至少有两个图形，图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2.全等形是一种特殊的相似形； 3.相似形与图形的、无关，与和也无关. 知识点五、相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的，称为. 两个相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”，相似多边形的对应边的比叫做. 1.相似多边形的三个条件：①；②；③； 2.全等多边形得相似比是1，相似比是1的相似多边形是； 3.当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 知识点六、平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有： 1.； 2.； 3.. 当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 知识点七、相似三角形的判定 由平行判定三角形相似 ，所截得的三角形与原三角形相似，如图所示： 由两角关系判定三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 由两边及夹角的关系判定两三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 由三边关系判定两个三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 知识点八、相似三角形周长比的性质 1.相似三角形等于相似比； 2.相似多边形等于相似比. 如图所示，若，则， 则. 知识点九、相似三角形面积比的性质 相似三角形面积的比等于 如图所示，若，则，分别作出与的高AD和， 则. 知识点十、相似三角形对应线段比的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 2.相似三角形中的对应线段的比等于； 3.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于. 注：相似三角形中除了上述三种线段外，只要是对应的线段，它们的比都等于相似比. 知识点十一、相似三角形的实际应用 相似三角形核心原理是对应角相等、对应边成比例，常用来解决生活中无法直接测量的长度、高度、距离问题，应用十分广泛。 第一，测量物体高度。借助太阳光、标杆、镜面反射构造相似三角形，通过测量可获取的地面距离、标杆高度，利用比例计算出大树、高楼、旗杆等高大物体的高度，规避直接测量的困难。 第二，测量不可跨越距离。可用于测算河宽、两建筑物间距等无法直接丈量的距离，通过在平地构造相似直角三角形，依托已知边长，精准推算出未知距离。 第三，生活与工程缩放应用。用于图纸绘制、摄影投影、灯光投影等场景，利用相似图形形状不变、比例恒定的特点，实现图形精准缩放，同时可解决影子、视野盲区等实际计算问题。 易错点1 比例线段 易错提醒 求解比例线段问题时，注意线段长度为正数，计算结果要舍去负根。进行比例变形，切勿随意交叉改写比例式，分清内项与外项，防止比例颠倒出错。运用比例性质、合比与等比性质时，等比性质要注意分母之和不能为 0 这一隐藏条件。 求线段比例，务必统一线段长度单位，单位不统一直接计算极易算错。遇到比例尺题型看清图上距离与实际距离的对应关系。做题还要区分比例式与线段实际长度，不要把比值直接当作线段长，求出结果后结合图形检验是否符合题意。 【对点训练】1．（25-26九年级上·河北保定·期末）已知，则的值为______． 【答案】/0.25 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 【对点训练】2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知（），，则______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键． 利用等比性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【对点训练】3．（25-26九年级上·河北唐山·期中）一道习题及其不完整的解答过程如下： 已知，求的值． 解：设， 则，， ① ，……第一步 ② ．……第二步 (1)第一步的①处应填________，第二步的②处应填________； (2)模仿上述解答过程，已知，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． （1）根据比例的基本性质即可得到答案； （2）设，得到，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：第一步的①处应填，第二步的②处应填； 故答案为：，； （2）解：设， ， ． 易错点2 黄金分割 易错提醒 黄金分割要分清较长线段、较短线段与整条线段的关系，牢记黄金比，不要记反数值。注意一条线段有**两个黄金分割点**，做题容易只算一个点造成漏解。 计算时线段长度为正数，舍去负的计算结果。审题看清求的是较长段、较短线段还是整条线段，避免对象混淆。作图类题目区分近似值与准确值，不要直接用小数代替根式。部分题型结合方程求解，求出结果后要检验是否符合线段大小逻辑。 【对点训练】4．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查黄金分割比，掌握黄金分割的定义是关键． 由黄金分割的定义可得，，代入值计算即可． 【详解】解：∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【对点训练】5．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为____．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，设，则，根据黄金分割的定义可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∵两点都是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴的长为． 故答案为：． 【对点训练】6．（24-25八年级下·福建福州·期中）摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，依据题意，设，根据正方形的性质可得，然后根据黄金分割的意义可得，从而可得，最后进行计算即可解答．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：设， 四边形是正方形， ， ∴． 由题意，根据黄金分割的意义：矩形满足， ∴ ． 经检验：是原方程的根， ． 故选：D． 易错点3 平行线分线段成比例 易错提醒 使用定理前提是存在一组平行线，切忌在不平行的条件下套用比例等式。分清对应线段，严格按照上下对应书写比例式，线段对应错位是高频错误。 分清平行线分线段成比例与三角形平行线推论，看清是截直线还是截线段。做题不要混淆线段和与单条线段，不要随意更改分子分母位置。 遇到多组平行线图形，找准被截的两条直线。计算得到的线段长度要舍去负根，求解后对照图形验证长短关系，避免凭主观感觉列比例。 【对点训练】7．（2026·河北张家口·三模）在中，是边上的中线，点在上，且．若，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例得，进而得，计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵为的中线， ∴， ∴， ∴． 【对点训练】8．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为 _____ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得：，根据，可得：. 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【对点训练】9．（2026·河北保定·二模）如图，在中，是边上的中线，F是的中点，连接并延长交于点E，则的值为______． 【答案】 【分析】过点D作的平行线，得到中点G，再用平行线分线段成比例定理得到，然后求出的值． 【详解】解：如图，过点D作交于点G， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错点4 相似多边形 【对点训练】10．（2025·河北唐山·一模）如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例，即可求解． 【详解】解：设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， ∴， ∴缩小后的宽是， 缩小后的矩形的面积． 故选：D． 【对点训练】11．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在矩形纸片中，，，截去矩形．若剩下的矩形与矩形相似，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解答本题的关键． 由相似多边形的对应边成比例可得，代入数据计算即可． 【详解】解：为矩形， ， 矩形与矩形相似， ，即， 解得：， 故答案为：． 【对点训练】12．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，，，于点F，交于点E，矩形矩形． （1）的长为_________； （2）连接，与交于点M，则的长为_________． 【答案】 / 【分析】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用相似多边形的性质即可求解； （2）首先得到，再得到，即可求解． 【详解】解：（1）∵矩形矩形， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）连接，与交于点M，如图： ∵四边形，是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 易错点5 相似三角形的判定找不到相似条件 易错提醒 判定相似时，容易错找对应角、对应边，不按对应关系写三角形，导致比例式出错。忽略公共角、对顶角、同角的余角补角等隐藏相等角，遗漏平行带来的等角条件。 部分学生盲目套用 SSA 判定，混淆全等与相似判定方法。图形复杂时不会分离基础小三角形，被多余线条干扰。不会利用等角转换、边的比例变形推导条件。做题先标记相等角与成比例边，找准对应顶点，条件不足时善于借助中间三角形间接证明相似。 【对点训练】13．（25-26九年级上·河北秦皇岛·阶段检测）已知：平行四边形，是延长线上一点，与、交于、． (1)图中有 对相似三角形； (2)求证：． 【答案】(1)6； (2) 证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， 即． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， 则， ∵， 则， 综上所述，共有6对相似三角形； （2）略． 【对点训练】14．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键． （1）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）先证明，，从而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【对点训练】15．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； (2) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，结合，则结论得证； （2）证明即可； 【详解】（1）略 （2）略 易错点6 选择或者补充条件证明相似出现问题 易错提醒 补充相似条件时，容易误选 SSA 类错误条件，混淆全等和相似的判定依据。忽视已有条件，新增多余或者重复条件，不会结合图形找准对应顶点。 审题不区分 “△ABC∽△DEF” 与 “以 A、B、C 为顶点的三角形相似”，后者对应关系不唯一，容易漏解。添加角的条件要保证是对应角，添加边的条件要满足夹边成比例。选完条件后应当回代检验，确认条件能够推导出相似，排除看似可行实际不成立的选项，注意多解情况。 【对点训练】16．（25-26九年级上·北京昌平·期末）如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 【答案】 证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 或选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】略 【对点训练】17．（2025·浙江杭州·一模）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 【答案】 选择条件①的证明为： ∵， ∴， 又∵， ∴； 选择条件②的证明为： ∵， ∴． 【分析】若选择条件①，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 若选择条件②，可利用两角相等的两个三角形相似． 【详解】略 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键． 【对点训练】18．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有__________． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键．根据相似三角形的判定定理对各项逐一分析． 【详解】解：①，，； ②，，； ③，，； ④，但对应边夹角不是公共角，所以无法判定． 故答案为：①②③． 易错点7 利用相似三角形的性质求解出错 易错提醒 利用相似三角形性质计算极易因对应关系出错。学生常混淆对应边、对应高、对应周长与面积的比例关系，误将面积比直接等于相似比。忽略相似三角形对应线段成比例、面积比为相似比平方的核心性质，计算时公式乱用。做题时常找错对应三角形，乱套比例列式导致计算失误。同时容易忽略图形隐藏条件，不验证边长比例和角度关系，且遇到多组相似图形时梳理不清对应关系，计算步骤不严谨，出现漏解、错解，是考试高频丢分点。 【对点训练】19．（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，．若，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 根据三角形内角和为，求得，再根据相似三角形的对应角相等，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【对点训练】20．（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，中，，，，过点作，，连接交于点． (1)点到的距离_______． (2)求的长度； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，即得，进而由平行线的性质得，即得到点到的距离即为的长，即可求解； （）证明，利用相似三角形的性质解答即可求解； （）求出的面积，再根据可得，即得到，代入计算即可求解； 本题考查了勾股定理的逆定理，点到直线的距离，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 即， ∵， ∴， ∴点到的距离即为的长，等于， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【对点训练】21．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． (1)当时，求的长． (2)当时，求的长． (3)点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 不存在，理由如下： 由（1）可得，， ∴， 当时，设， 则， ∴， 整理得，, ∵， ∴方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，从而可证，可得，即可求解； （2）根据平行线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而证明，可得，即可求解； （3）由（2）可得，，即，当时，设，则，可得，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，经检验符合题意， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 易错点8 网格中相似三角形问题 【对点训练】22．（25-26九年级下·全国·阶段检测）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上．在图1，图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图1中以线段为边画一个格点三角形，使它与相似； (2)在图2中画一个格点三角形，使它与相似（不全等）． 【答案】(1) 解：如图1， 即为所求； (2) 解：如图2，即为所求． 【分析】本题考查作图相似变换、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）取格点，连接，则，由相似三角形的判定方法可知； （2）取格点，，，连接，，，使，，即可． 【详解】（1）略 （2）略 【对点训练】23．（25-26九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)图①中，在线段上取一点，连接，使得； (2)图②中，在内部取一点，连接，使得； (3)图③中，在内部取一点，连接，使得． 【答案】(1) 点E为所求作； (2) 如图，与的交点为所求作； (3) 如图，与的交点为所求作． 【分析】本题主要考查相似三角形的作图，掌握相似三角形的性质是作图的关键． （1）先连接，与的交点为的中点，连接，证明，从而得出； （2）先延长点在方格中的横线，得点所在的横线，再连接，使得，最后得与的交点为所求作； （3）先延长点在方格中的横线，得点所在的横线，再连接，使得，最后得与的交点为所求作． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【对点训练】24．（25-26九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留作图痕迹．      (1)在图①中，在线段上确定一点，使； (2)在图②中，在线段上确定一点，使； (3)在图③中，在线段上确定一点，连结，使． 【答案】(1) 如图①所示． (2) 如图②所示． (3) 如图③（或图④）所示．    【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及利用网格构造线段比例关系．熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理以及利用网格构造线段比例关系是解题的关键． （1）按照确定点位置即可； （2）首先借助勾股定理计算出的长度，再根据的长度要求，在上确定距离点为的点； （3）依据相似三角形的判定定理，结合网格个点，在上找到点，使得与的边满足相似比例关系，从而保证． 【详解】（1）略 （2）略 （3） 略 易错点9 相似三角形的动点问题不会表示 易错提醒 动点问题容易忽略运动方向与时间取值范围，直接设时间为 t 后，线段长度表达式书写出错。未分类讨论三角形相似的对应顶点，只考虑一种对应情况造成漏解。 不会用含 t 的代数式准确表示动态边长，忽视线段相减时要保证结果为正。求解出 t 值后，不检验动点是否在线段上，保留超出范围的增根。复杂图形中分不清两组相似三角形的对应边，比例式列错，做题要先标注动点线段，分情况列式，最后检验 t 的实际取值。 【对点训练】25．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【答案】或 【分析】分类讨论：①，②，逐个分析求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴， 由题意，有， ∴， ∴①当时，如答图1，   ，， ， ，即， 解得秒； ②当时，如答图2，   ，， ， ，即， 解得秒， 综上所述，为秒与秒时，与相似． 【对点训练】26．（2026·河北秦皇岛·一模）如图，在中，，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒． (1)为何值时，？ (2)当是直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)秒 (2)秒或秒 【分析】（1）由平行可得，根据相似三角形的性质列式计算即可； （2）过点作于，分两种情况：当点为直角顶点时，当点为直角顶点时，然后得到相似三角形，再根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，，则， ， ， ， 即， 解得， 当秒时，； （2）解：过点作于， ，， ， 当点为直角顶点时，则， ，， ， ， 即， 解得， 当点为直角顶点时，则， ，， ， ， 即， 解得， 综上，当秒或秒时，是直角三角形． 【对点训练】27．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图1，在锐角中，是边上的高，，动点P沿线段从点A向点D运动，过点P作，交于E，交于F，以为边向下作正方形． (1)设长为x，利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为___________；如图2，当_________时，恰好落在边上，此时长为_________； (2)如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求的值）． 【答案】(1)，， (2)2 【分析】（1）证明，根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可；证明四边形是矩形，得出，根据列出关于x的方程，求解即可； （2）设，由（1）同理可求，，根据正方形与公共部分的面积为6，得出四边形的面积为6，则可列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴ ∴， 又，， ∴， ∴； ∵正方形， ∴，， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 又， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， 由（1）同理可求，， ∵在外部， ∴， ∵正方形与公共部分的面积为6， ∴四边形的面积为6， ∴， 解得， 即的值为2． 易错点10 重心的有关性质不会运用 易错提醒 相似三角形动点问题是几何高频难点。学生最易忽略动点运动的分段讨论，未区分不同位置的三角形形态，导致严重漏解。解题时常找错动态图形的对应边、对应角，盲目套用相似判定和比例公式。多数同学忽视动点取值范围与边界条件，不解验根，出现增根错误。不会用时间参数准确表示动态线段长，列式混乱。同时容易混淆不同相似模型，无法区分多组相似情况，分类不全面，解题思路不清晰，书写不规范，是考试主要丢分点。 【对点训练】28．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 【答案】(1) 证明：， ，， ，， ，， ，， ． (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，平行线的性质，掌握重心的性质是解题关键． （1）利用平行线得到两组相似三角形，通过中间比建立比例关系，从而证明； （2）由重心性质得到线段比，再结合平行线得到的相似三角形，推出． 【详解】（1）略 （2）解：点为的重心， ， ， ， ， ， ， ． 答：． 【对点训练】29．（25-26九年级上·山东滨州·期末）【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】 证明：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用： 证明：点是的重心， ， 又， ， ； 提升：应用中结论成立．证明： 如图，过点作交的延长线于点与的延长线相交于点， 则， ， ， 又， 而是的中点，即， ， ， 又， ， 故结论成立． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形的中位线，平行线分线段成比例： 证明：利用三角形的中位线和三角形的相似即可证明结论； 应用：利用三角形的重心和平行线分线段成比例即可证明； 提升：过点作交的延长线于点与的延长线相交于点，则，得到，进而推出，，即可证明． 【详解】证明：点为的重心， 点分别为线段的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ∴得到结论：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用：略 提升：略 【对点训练】30．（25-26八年级上·重庆大足·期末）在学习综合与实践活动一《确定简单平面图形的重心位置》时发现，三角形的三条中线的交点是三角形的重心，下面我们进一步探究三角形重心的性质． 已知，点O是重心． 【探究】 （1）如图1，若的面积为m，则___________，___________； （2）在（1）的条件下，试猜想，，的值，并选择其中一个说明理由． 【应用】 （3）如图2，在中，若交于点O，，，求四边形的面积． （4）已知的中线，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1）， （2），，，理由： 由（1）知三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 则， ∵两个三角形高相等， ∴， ∴， 同理可得：，； （3）12（4）72 【分析】本题主要考查三角形重心的性质，三角形中线与三角形面积，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）设，，，根据题意可得，，即可得到,三条中线分成的六个三角形面积相等，从而可得到答案； （2）由（1）可知，三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，则，由两个三角形高相等，则，即可得出，同理可得，； （3）求出，，根据可求解； （4）设交于重心，则，, 当时，面积最大，从而可求出面积的最大值． 【详解】解：（1）设，，， ∵是的中点， ∴， ∵，，， 同理：，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， ∴，； 故答案为：；； （2）略 （3）∵点O是重心， 由（1）、（2）可知：，， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴， ， 则，         ∴； （4）设交于重心，则，, 当时，面积最大，最大为, ∴的最大面积． 易错点11 相似三角形的判定与性质综合 【对点训练】31．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，是边的中线，过点D作，连接交于点F，交于M，点M恰为中点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵点M为中点， ∴， ∴， ∴， ∵是边的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是边的中线，， ∴， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）证明，得到，根据斜边上的中线得到，进而推出，即可得出结论； （2）证明，得到，进而得到，设，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段之间的数量关系，求出的值，再根据三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 【对点训练】32．（2026·江苏宿迁·中考真题）按要求解题： (1)【问题猜想】如图1，在中，，是中点，点、分别在、的延长线上，且．请猜想与的大小关系，并证明． (2)【问题探究】如图2，在中，，点在上，点、分别在、的延长线上，且．求证：． (3)【问题延伸】如图3，在中，是中点，，点、分别在、的延长线上，且．求证：． 【答案】(1)解：，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)证明：如图，作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)证明：如图，过点作于点，作于点，连接， 则， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1），证明过程为：延长至点，使得，连接，先得出，则，，进而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）作，交延长线于点，先得出，则，，进而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得证； （3）过点作于点，作于点，连接，先得出，则，再得出，由此即可得证． 【详解】（1）略． （2）略． （3）略． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形． 【对点训练】33．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，四边形和四边形都是正方形，点C、F、G在一条直线上，连结并延长交边于点M． (1)求证：． (2)若，，求正方形的面积． (3)直接写出的值． 【答案】(1)证明：∵四边形和四边形都是正方形， ，． ， ． ． ； (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明出，再由公共角相等即可证明； （2）先利用勾股定理计算出，再利用求出，接着计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到正方形的面积； （3）证明，然后利用相似比求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴正方形的面积； （3）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 易错点12 相似三角形的实际应用 易错提醒 相似三角形依托对应边成比例的特点，常用于测量难以直接丈量的长度。常见类型有利用太阳光影子、标杆、镜面反射测量旗杆、树木、楼房高度；构造几何模型测算河宽、两地间距等不可直达的距离。解题关键是从现实情境中抽象出相似三角形，找准对应边列出比例式。学生容易出错的地方是无法准确识别图形模型，混淆对应线段，列式颠倒比例。遇到镜面、影子问题，要抓住相等角构造相似，结合题意检验结果是否符合现实意义，规范完成计算。 【对点训练】34．（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 【答案】塔的高度为37米 【分析】设，，证明，得到，证明，得到，然后推出，求出，进而求解即可． 【详解】解：设，， ，， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， 解得（检验成立）， ， 解得（检验成立）． 答：塔的高度为37米． 【对点训练】35．（2026·河南平顶山·三模）隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物——天堂，它在紫微城遗址上修建，是昔日女皇武则天理政、礼佛、生活的重要场所，如今成为洛阳旅游必打卡的景点．某数学兴趣小组在学习了锐角三角函数以后，开展测量物体高度的实践活动，于是把“测量天堂的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量天堂的高度 活动方案 “标杆”方案 方案示意图    实施过程 ①在与天堂B位于同一水平地面的D处立一标杆； ②测量B，D两点间的距离； ③小组成员站在F处时，眼睛E、标杆顶点C和天堂顶点A在同一条直线上； ④测量D，F两点间的距离； ⑤测量E到地面的高度 测量数据 ①； ②； ③； ④ 说明 ①图上所有点均在同一平面内； ②，，均与地面垂直 根据活动报告，求天堂的高度．（结果精确到） 【答案】天堂的高度约为 【分析】如图，过点E作，交于点N，交于点M，证明，利用相似三角形的性质，结合已知求解即可． 【详解】解：如图，过点E作，交于点N，交于点M，则四边形和四边形均为矩形， ∴，，， 则，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 答：天堂的高度约为． 【对点训练】36．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）综合与实践： 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． (1)【探究1】 如图1，竖立的两根灯杆、中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为、的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； (2)【探究2】如图2，竖立的两根灯杆、之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子落在线段BD上时，他的影长、是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出、满足的等量关系；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)能，灯杆的高度为 (2)存在， 【分析】（1）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而根据线段的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：能，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：存在，，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，得，观察各选项中是否满足即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 选项A：图中所作为的角平分线， 故，满足； 选项B：图中所作为线段的垂直平分线， 得， ∴， ∴，满足； 选项C：图中所作为的垂线， ∴，故不满足； 选项D：图中所作为， ∴，满足； 综上，不满足的做法为选项C． 2．（2026·云南·一模）如图，线段相交于点，，若，，则线段的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】首先由得到，得到，然后结合得到，然后代数求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴． 3．（2026·河北沧州·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质和勾股定理求出，根据翻折的性质得出，，，根据三角形内角和定理，等角对等边可求出，证明，根据相似三角形的性质求出，结合，即可求解． 【详解】解：∵正方形中， ∴，，，， ∴，， ∵翻折， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 4．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，已知是边长为5的等边三角形，点为边上一点，将沿折叠，使点落在平面上处，与边交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质以及相似三角形的判定与性质． 根据等边三角形和折叠的性质得到相关角度和边长，通过角度关系证明三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例列方程求解即可． 【详解】解：是边长为5的等边三角形， ，， 由折叠可知，， ，，， ， ， ， ， ，， ， 设， 则， ，， ， ， 解得：． 故选：D． 5．（25-26九年级上·河北·期末）如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，证结合正方形的性质得，求出即可解答． 【详解】解：∵在正方形和正方形中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，是的边上的中点，，的延长线交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，过点作交于点，得出，根据相似三角形的性质，结合已知条件，得出，，即可求解． 【详解】如图，过点作交于点， ∴， ∴，点是的中点， ∴，则， ∴， 故选：C． 7．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在正方形中，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．若，，则的长为（    ） A．4.5 B．4.8 C．4.9 D．5.2 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由正方形的性质得出，，，得出，再由，得出，由勾股定理求出，得出，由得出比例式，求出，即可得出的长． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：C 8．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，点D，E分别在边上，，那么_____． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由题意得，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：， ， （负值舍去）， ， ， 故答案为： ． 9．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）如图，是等边三角形，点D、B、C、E在一条直线上，，已知，，则等边的边长为______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，证明是解题的关键． 由等边三角形的性质及，可得，由三角形外角的性质可得，，进而可得，，推出，，代入数值即可求解． 【详解】解：是等边三角形，设边长为a， ，， ， ， 又，， ，， ， ， ， ， （负值舍去）， 即等边的边长为． 故答案为：． 10．（24-25九年级下·广东中山·期中）边长分别为1的正方形和长和宽分别为5与2的长方形按如图所示放置，图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的面积等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可得，易证，根据相似三角形的性质列比例式可得，进而得到，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵长方形的长和宽分别为5与2，正方形的边长为1， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（2025·山西临汾·二模）善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为_______cm． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，理解黄金分割知识是解题的关键， 根据矩形的性质求出的长度，再代入即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴, ∴, ∴四边形是矩形， ∵， ∵， ∴． 故答案为：． 12．（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为________． 【答案】2或 【分析】由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 13．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，在平行四边形中，对角线、交于点．为中点，连接交于点，且．若的面积为2，则四边形的面积为_____． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形判定及性质，平行四边形性质等．根据题意过点作，可得，再利用平行四边形性质可得，继而得到，再得到，继而得到，即可得到本题答案． 【详解】解：过点作， ∵，的面积为2， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积：， 故答案为：9． 14．（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）如图，，的顶点A在射线上，顶点B在射线上，已知，，设，连接． （1）当的某一条边与的一条边平行时，_________． （2）当最大时，_________． 【答案】 或 【分析】（1）过点C作于点D，则，且．若，有，得求得x；若，有得解得x； （2）连接，则，在中，有，当O，D，C三点共线时，值最大，即，结合等腰直角三角形的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点C作于点D． ， ， ∴由勾股定理得：． （1）若， 且， ． ，即． ． 若， 且， ． ，即， ， 故答案为或． （2）如图，连接．如图， ， ， ∵在中，， 当O，D，C三点共线时，值最大， 即． 垂直平分， ，且， ， ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半以及三角形三边关系，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和分类讨论思想应用． 15．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在长方形中，内接三个大小相同的正方形，点E，F，G，H分别在边，，，上，若，，则每个小正方形的边长为_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 由矩形的性质得，而，所以，，可证明，，则，，所以，由，求得，则，，根据勾股定理得出的值，从而得出的值，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴在和中， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴，， ， ， ∴每个小正方形的边长为， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，中，90°，，，过点作的垂线，点在线段上运动，点在射线上运动，始终满足，连结，当与相似时，线段的长是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理．首先根据直角三角形两锐角互余可知，根据可知，所以可得，可证，设，则有、，当与相似时，分两种情况：一种是；另一种是．再根据相似三角形对应边成比例得到关于的方程，解方程求出的值即为线段的长度． 【详解】解：中，90°，，， ，， ， ， ， ； ∵， ， ， 设，则有， ， ； ， ， 当时， ， ， 解得：； 当时， ， ， 解得：； 综上所述，线段的长是或． 故答案为：或． 17．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，菱形中，于点，分别交及的延长线交于点、，且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，连接，证明，求出的值，平行线分线段成比例，得到的值，进而得到的值，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：连接，设交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 18．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，，，，，点在线段上运动，点为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是____________ 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，三角形斜边上的中线性质，熟悉运用相似三角形的性质建立比值关系是解题的关键． 利用，，判定出，通过相似三角形的性质可得到，由为线段的中点推出，再利用相似三角形的比值关系求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴当最小时最小， 又∵， ∴，与都为定值，即最小时，最小，则时符合题意，为边上的高， 在中，，，则：， ∵，即：， 解得：， ∴ ∴； 故答案为：． 19．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段AB按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，请解答下列问题： （1）当__________时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （2）当__________时，的面积等于4． 【答案】 或 5 【分析】本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元二次方程，分类讨论． （1）当时，则，当，则，两种情况建立方程求解即可； （2）过P作，垂足为D，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于t的方程，解之即可． 【详解】（1）解：当时，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 当 或 时，以点P、B、 Q为顶点的三角形与相似． 故答案为：或 （2）如图，过P作，垂足为D，作边上的高， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，故不合题意， ∴，即存在，使得的面积等于4． 故答案为：5 20．（2026·河北·中考真题）按要求解答下列问题： (1)尺规作图：如图1，在中，作出边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，在中，，点在边上，且．若，，求线段的长． 【答案】(1)如图1，直线即为所求； (2) 【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可； （2）根据等边对等角以及三角形的外角性质证明，即可证明，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得． 21．（2026年河北省石家庄市桥西区二模数学试题）如图，在和中，，，点D在边上（不与点B，C重合），且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角得，再证，，根据两组对角相等，可证； （2）作于点G．由等腰三角形三线合一，可得，再由勾股定理计算出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】（1）证明：，， ． ，且，，，， ，． ． （2）解：如图，作于点G． ，， ． 由勾股定理得． ， ． 由（1）得， ， ． 22．（25-26九年级上·上海松江·期中）如图，已知梯形中，，对角线交于点O，，点E在线段的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ∽， ， ，， ． (2) 证明：∽， ， ， ，， ∽， ， ， ． 【分析】由，得，由，得，所以∽，则，即可由，，证明． 由∽，得，变形为，由，，证明∽，得，则，所以 此题重点考查平行线的性质、等角的补角相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 【详解】（1）略； （2）略． 23．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，矩形中，，，点E，F分别在上，将四边形沿翻折，使点的对称点落在边上，点的对称点为点G，交于点，已知，设． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，可求出，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）可证明，，再根据（1）所求代入数值计算即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得，则， ∴， ∴． 24．（25-26九年级上·山西临汾·期中）《黑神话：悟空》上线之后，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量并制作了下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案 及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平直线于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值） 计算结果 请你根据上述信息，帮助嘉嘉实践小组求出飞虹塔的大致高度． 【答案】飞虹塔的大致高度为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题可得，，，，设，则，，证明，所以，即，则有，再证明，所以，即，然后求出的值并检验即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由题可得：，，，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：飞虹塔的大致高度为． 25．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，与位似，的延长线与的延长线交于点，点和点在线段上． (1)与的位似中心为点________． (2)若与的相似比为，，求的长． (3)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）位似图形的位似中心是对应点连线的交点，由图中可知交点为，因此位似中心为点． （2）根据与的相似比为，可以得到对应边成比例，即可求解的长． （3）根据相似三角形对应角相等可得到的值，再根据三角形外角的性质求得的度数． 【详解】（1）略． （2）解：与的相似比为， ． ， ． （3）解：与位似，， ． ， ． 26．（25-26九年级上·河北张家口·期中）综合与探究 【问题情境】 如图1，正方形外有一动点是等腰直角三角形，，连接，请探究的位置关系． 【问题解决】 (1)请直接写出的位置关系：__________； (2)将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，如图2，其中，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：（1）中的结论仍然成立， 理由如下： 设与交于点，与交于点，如图所示： ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）设与交于点，与交于点，由四边形是正方形，则，由是等腰直角三角形，所以，证明，得出，进而证明； （2）设与交于点，与交于点，先由角度和差证明，从而可证，再由相似三角形的性质可得，然后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下： 设与交于点，与交于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 【点睛】本题考查四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 27．（25-26九年级上·河北·单元复习）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，，，求的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】 【感知】∵， ∴， ∴， ∴； 【探究】3；【拓展】4或． 【分析】【感知】根据相似三角形判定定理解答即可； 【探究】证明，再根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 【拓展】证明，分三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】【感知】 略 【探究】：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得：； 【拓展】∵， ∴， ∵是的外角， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴不成立； 当时，，则， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：是等腰三角形时，的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 28．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）如图，在平行四边形中，E为边上一点，且，在上取一点F，使． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1) 证明：平行四边形中，， ， ，， ， ， 又， ； (2)24 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，找出相似三角形是解题的关键． （1）由可得，由三角形外角的性质可得，结合可得，进而可得，即可证明； （2）设，则，根据推出，可求x的值，再证，可得． 【详解】（1）略 （2）解：， 设，则， ，， 由（1）知， ， ， ， 解得（负值舍去）， ，． ， ， ，， ， 又平行四边形中，， ， ， 又， ， ， ， ． 29．（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，等边三角形的边长为3，点、分别是、上的动点（点、与三角形的顶点不重合），且，、相交于点． (1)设线段为，线段为，求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当的面积是的面积的2倍时，求的长； (3)点、分别在、上移动过程中，和能否互相垂直？如能，请指出点的位置；如不能，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)不可能互相垂直，理由： ， ， ， 是等边三角形， ， 和不可能互相垂直． 【分析】（1）作，在直角中，利用勾股定理即可得到关于，的方程，即可写出函数关系式； （2）证，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解； （3）由，易证得，即可得和不可能互相垂直． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ∴， 作于 ，， ，，， ，； （2）， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， （舍，， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 的长为； （3）略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解分式方程和一元二次方程等知识． 30．（2025·河北邯郸·模拟预测）【情境】在一次综合实践活动课上，老师给每名同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何确定正方形一边上的一个三等分点． 嘉嘉通过折叠的方法确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作1】如图1，他先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折，得折痕，交于点G；过点G折叠正方形纸片，使折痕．    （1）嘉嘉的思路是先证明，再证明，就可以证明M是边的三等分点，请你按照嘉嘉的证明思路写出证明过程． 淇淇利用折叠和尺规作图相结合的方法确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作2】如图2，她先将正方形纸片对折，使点A和点D重合，然后展开铺平，确定的中点E；再利用尺规作图在正方形内作，最后延长，交边于点G，淇淇猜想点G即为边的三等分点． （2）①利用尺规作图补全图形． ②淇淇的猜想______（填“正确”或“不正确”） 【答案】 （1）证明：由折叠可知，， 四边形是正方形， ，，， ，， ， ， 由折叠知，， ， ∴， ， ， 即M是的三等分点； （2）①如图，    ②正确 【分析】（1）根据折叠可知，根据得出，从而，根据得出，从而，从而得出M是的三等分点； （2）①分别以C和E为圆心，和为半径画弧，两弧交于点F，延长EF，交于点G； ②连接CG，可证得，从而，设，，则，，，根据勾股定理得出，从而得出，求得，进而得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：①分别以C和E为圆心，和为半径画弧，两弧交于点F，延长，交于点G； ②淇淇猜想是正确的，理由如下： 连接， ，，， ∴， ， ，，， ，， ， ∴ ， 设，，则，，， ， ， ， ， ，故淇淇的猜想是正确的， 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，正方形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $