第25章 图形的相似 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（冀教版·新教材）

3时，x1x2=3, 原方程为2x2一8x十+6=0， 整理，得x2一4x十3=0， 分獬因式可得(x一1)(x-3)=0, 解得x1=1,x2=3. 综上，m=3,方程的解为x1=1,x2=3. 旧纳总结本题考查了一元二次方程根与系数的 关系、一元二次方程的解及解一元二次方程；若一 元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的两个根分别 为1，剥有十4=一合1=离练字 a 握以上知识点是关键， 3.设每辆汽车降价x万元， 根据题意，得(25-x-15)(8+2x)=90, 解得x1=1,x2=5, 当x=1时，销售数量为8十2×1=10（辆）； 当x=5时，销售数量为8十2×5=18（辆）. 为了尽快减少库存，∴x=5,此时每辆汽车的售 价为25-5=20（万元）. 故每辆汽车的售价为20万元. 释反白 1.设该茶园这两年单位面积产茶量的年平均增长率 为x, 根据题意，得50(1十x)2=72, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去) 故这两年单位面积产茶量的年平均增长率为 20%. 关键提醒本题考查一元二次方程的应用，关键 是根据题意找到等量关系 2.(1)是[解析]解方程x2-12x十27=0，得x1= 3,x2=9, ∴.x2-12x十27=0是“三倍根方程”. (2)设方程的两根为t,3t, 则t+3t=8,t·3t=c, 解得t=2,∴.c=2×6=12. (3)设方程的两根为a,3a, 则a十3a=m十n,a·3a=mn, 即m+n=4a,mn=3a2, m 3a2 3 …m2+n2(m+n)2-2m16a2-2X3a210 ，38 -8- 2 (2).一元二次方程2x2十3x-1=0的两根分别 为m,n, 六m十n=-3 1 mm=-2, 六m2+n2=(m+n)2-2mm= 4+1= 13 41 (3).实数s,t满足2s2+3s-1=0,2t2+3t-1= 0且s≠t, .st是一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实 数根， 3 :(t-)2=(+)2-4t=(-)}°-4× （》---, 11= -=士17. s t st 1 2 第二十五章图形的相似 D吕第折设2-}日-则一及y xy之 公，5.F2x+4y一之及十b一台1 4 5 kkk 17 x-3y十5z312,251616 及一及F及及 ⑤DB[解析]由条件可得AP-5。己AB, .'AB=4 cm, ÷AP=5,X4=(2w5-2)cm.故选B. 2 例3D[解析]过点A作与五线谱垂直的直线。 五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成 的，0-是AB=9BC=3,放选D 例4C 例5在平行四边形ABCD中. 'ADBC,AB∥CD ∴.∠ADN=∠DMC,∠B+∠C=180°. ,∠ANM=∠B,∠AND+∠ANM=180°， .∠AND=∠C ∴.△ADNp△DMC. 例6，△ABC与△A1B1C1相似且对应中线的比 为4：3， ∴.△ABC与△A1B1C1的相似比为4：3. ‘相似三角形周长的比等于相似比， .△ABC的周长：△A1B1C1的周长=4：3. .△ABC的周长为12， .12:△A1B1C1的周长=4：3， .△A1B1C1的周长=9. 例7如图，过点B作BH⊥EF,垂足为H,交CD 于点G,则BH⊥CD, B AC ∠BGD=∠BHF=90°. 由题意，得AB=CG=EH=1.6m,AC=BG=2m, CE=GH=10 m, ∴.BH=BG+GH=2+10=12(m). .'CD=3 m, ∴.DG=CD-CG=3-1.6=1.4(m). .∠DBG=∠FBH, ∴.△BDGp△BFH, 滑品品 解得FH=8.4, ∴.EF=FH+EH=8.4+1.6=10(m), ∴.大树的高度EF为10m. 例8(1)如图所示，点P(0,-2). (2)如图所示，△A2B2C2即为所求，点M对应点的 坐标为(-a,-b). 巩固特 1.D[解析]设BF=x,则FC=4-x. .AB=AC=3,∴.∠B=∠C. ,△ABC按如题图所示的方式折叠，使点B落在 边AC上，.B'F=BF=x. 当∠B'FC=∠B,而∠C为公共角时， △B'FC∽△ABC, 阳股即店-解得只 当∠FB'C=∠B,则△FB'C∽△ABC, 即∠FB'C=∠C ∴FB'=FC,即x=4-x,解得x=2. 综上所述，若以点B',F,C为顶点的三角形与 △ABC相似，则BP的长度为2或号故选D. 2.(1)设经过x秒，△PCQ的面积等于△ABC面积 郎龄 ,AC=8cm,BC=6cm,点P从点A出发，以 2cm/s的速度沿AC向点C匀速运动，点Q从点C 出发，以1cm/s的速度沿CB向点B匀速运动， .'PC=(8-2x)cm,QC=x cm, 2x(8-2x)号×8×6×行， 解得x1=x2=2, 故经过2秒，△PGCQ的面积等于△ABC面积的后 (2)设经过t秒，△PCQ与△ABC相似. ∠C=∠C, 可分为筒种情祝，0瓷8C, 即82t- 32 6=8,解得= ®瓷即-首解得-号 故经过号支号秒，△PCQ与△ABC相似 解后反思本题考查了一元二次方程的应用，相 似三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关 键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找 出合适的等量关系，列出方程，再求解. 3.(1).∠1=∠E,∴.AD∥BE,.∠D=∠DCE. 394 ∠B=∠D,∴.∠B=∠DCE,∴.ABCD, ∴.∠BAF+∠AFC=180° (2)①.BC=2CE,.BE=3CE 由(1)知，AB∥CD,∴.△EFC∽△EAB, 1 SAEAB S△FCE ②：SAE=9,SAME-SA匹=8， S△FCE SAFCE SACEF 1 郎S四边形cB=8,S阳边形CFAB87 S△FCE 归纳总结本题主要考查了相似三角形的性质， 掌握平行线的性质与判定、相似三角形的性质与 判定是解决本题的关键. 举反白 1.,∠ABC=∠EFC=90°，∠ACB=∠ECF, 容易忽略反射定律对应的角相等关系< △ICAEFC器- .,∠ABC=∠EFC=90°，∠ACB=∠ECF, △AMAFFC-瓷 CF C'F' EF-E'F'=1.7 m,BC=BCT .CC'=12m,CF=1.8m,C'F'=4.2m, 84异20=9m 品-AB=85m 故这棵古松树的高度为8.5m. 2.(1)在△ABC中，AB=AC, △ABC为等腰三角形，∴∠B=∠C 在△BDE中，∠BDE=180°-90°-∠B=90°- ∠B, 在△CDF中，∠CDF=180°-90°-∠C=90°- ∠B,∴∠BDE=∠CDF, ∴D为E,F在直线BC上的反射点 (2)如图(1)，在格点中找到点D,使得四边形ABDC 为矩形，连接AD与BC交于点Q,延长AB,确定 点E,使AB=BE,在格点中找到点F,使得 △AEF≌△CAB,连接AF,DE,两直线交于 点A',即点A'为点A关于BC的对称点，连接 A'Q并延长交AC于点P,点P即为所求. 40 A B (第2题(1)) 证明：令AF与BC交于点G .AB=CD,AC=BD,且∠CAB=90°， ∴.四边形ABDC为矩形 .CB,AD为矩形ABDC的对角线， ..CQ=BQ. AB-BE-TAE-TAC,EF-AB./CAB- ∠AEF=90°， ∴.△AEF≌△CAB,∴.∠FAB=∠C. .∠C+∠ABC=90°， ∴.∠AGC=∠FAB+∠ABC=∠C+∠ABC=90°， 即AF⊥BC. .CD=BE,CD//BE, .四边形CDEB为平行四边形， ∴.AF⊥DE,∠DEB=∠CBA, ∴.△AGB∽△AA'E.AB=BE, .BG为△AA'E的中位线，.AG=A'G 故点A'为点A关于BC的对称点， .AG=AG,QG=QG,AFLBC, ∴.△AQG≌△A'QG,∴.∠AQG=∠A'QG .∠CQP=∠A'QG,∠AQG=∠CQP. 故点P即为所求. (3)如图(2)，作点C关于AB对称点C,作点A 关于BC的对称点A',连接A'C'与AB交于点D, 与BC交于点E,则点D,E即为所求. 连接AC',BC',AE,CD C D (第2题(2) 点C和点C关于AB对称，点A和点A'关于 BC对称，.CD=C'D,AE=A'E,AC=A'C, CB=C'B. ∠ACB=90°，∠ABC=45°，∴.AC=BC, ∴.四边形ACBC为正方形， ∴.易证△C'BE≌△A'CE, BE-EC-B-AC .'AC'BC,∴.△BDE∽△ADC', 柴能- DE 1 旧纳总结本题是三角形综合题，主要考查了等 腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、平行 四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、 三角形的中位线的判定和性质、全等三角形的判 定和性质，正方形的判定和性质等，正确作出图形是 解本题的关键 3.(1)①，四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=90°， ∴.∠AED+∠ADE=90° DE⊥EF,∠DEF=90°， ∴.∠AED+∠BEF=90°， ∴∠ADE=∠BEF,∴.△ADEP△BEF, 说器 ②'四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠C=90°，AB=CD,ADBC a-1Ac-BE,5-2 cF=2a62G58 ∠A=∠C,∴△AEG∽△CDF, AG EG ∠AGE=∠CFD,CF-DF .'AD//BC, .∠ADF=∠CFD,.∠AGE=∠ADF, .GEDF,.∠GED=∠EDF. 品-器AE-BE泥器 又∠A=∠DEF,.△AED∽△EFD, ∴.∠ADE=∠EDF, .∠GDE=∠GED,∴.GD=GE, 架器品-2 (2)如图，过点G作GT⊥EF于点T. BN M (第3题) 设AG=x,EF=y,设△EFG的面积为S,则S= 合，GT-yGm 1 .∠GE℉=45°，∴.∠1=∠2=45°， GT=ET,由勾股定理，得 BG=√ET+GT-GT,GT-2； -2EG, '5-3y.Gr y·EG 过点E作EM⊥EG,过点F作FM⊥EM,设EM 交BC于点N,则△EFM是等腰直角三角形， ME=MF=2EE-② 2y. aD-2AB=10,∠GEr=45能-号， ∴.AE=2,BE=3, .EG=√AG2+AE=√x2+22=√x2+4. :∠GEN=90°，由(1)的结论，得△AEG∽ ABNE器∠ABG=∠BNE 器N :.MN-ME-EN-/y-3/z4 .∠MNF=∠BNE,∴.∠MNF-∠AEG 又∠A=∠M=90°，.△MNF△AEG, √23Wx2+4√2 AEAC,即2 .MN_MF 2 6Wx2+4 .y= 2x-2√2 s= 4y·EG,EG=√x2+4, 41 s=只x6xw+4, 4√2x-2√2 整理，得3x2-2Sx+4S十12=0. .△=4S2-4×3X(4S+12)=4[(S-6)2-72] ≥0，即(S-6-6√2)(S-6+6√2)≥0， ÷S-6-6v2≥0，s-g-6v8≤0， 或 S-6+6√2≥0S-6+6√2≤0. .S>0,解得S≥6+6W2, ∴.S的最小值为6+62，即△EFG面积的最小值 为6+6√2. 素养考向本题属于中考常考的面积最值问题， 涉及相似三角形的判定和性质、一元二次方程的 解法、特殊四边形的性质、勾股定理等，考查学生 的推理能力与模型观念 第二十六章解直角三角形 例1b=√62-22=4√2， 所以sinA=a=2=1 c63 cosA=6=42_22 63’ 如4--是 例22cos45°+4sin30°cos30°-tan60° 2x+4x×- =√2+√5-√3 =2. 例3(1)如图，过点A作AH⊥BD于点H. .∠B=45°，∠AHB=90°， ∴AH=BH=AB·s45-号AB-5. .∠ADC=120°，.∠ADH=60°，∠DAH=30°， DH-AF tan 301 .BD=BH+DH=1十√3. B ，42 (2)如图，过点D作DJ⊥AC于点J. :∠AHD=90°，∠DAH=30°， ∴.AD=2DH=2. .AC=√7， .CH=√AC2-AH=√7-3=2， ∴.CD=CH-DH=1. 1 2·AC·DJ=2·CD·AH, S用等面积法求出D]的长度 解得Dj=V2T 7 7 5√7 ∴.cos∠CAD= AJ 7 5√7 AD 2 14 例4(1)如图，过点C作CH⊥AB交AB于点H, 北 H- ”西十。东 B 160° 南 459 D 则∠CBH=60°，∠CAH=45°，∠H=90°， ACHAC-150/m). 在Rt△ABCH中，am∠CBH-S0-75o2 BHT BH 3， ∴.BH=250√6m, ∴.AB=AH-BH=(750W2-250W6)m. 故AB的长度为(750√2-250√6)m. (2)由题意，得∠DAC=180°-45°-45°=90°， ∠ACD=45°-15°=30°， .∠D=60°. .AC=1500m, AD= AC 3 3×1500=50w3(m, .CD=2AD=1000W3m, 由(1)知AB=(750√2-250√6)m,BH=250√6m, ∠BCH=90°-60°=30°，第二十五章 图形的相似 知识梳理导图 在四条线段a,b,c,d中，如果a与b的 三个角分别相等，三条边成比例 比等于c与d的比，即号=台，则ab,c 成 定义的两个三角形叫作相似三角形 例线段 d,是成比例线段 ● 对应角相等，对应边成比例 如果号=背，那么adbc 比 对应线段的比等于相似比 性质 比例的 例 周长比等于相似比 如果ad=bc(b,d≠0)，那么号=f 基本性质 线 相 面积比等于相似比的平方 段 似 在线段AB上有一，点C,如果点C 平行于三角形一边的直线和其他两边 把AB分成的两条线段AC和BC满 角 (或两边的延长线)相交，截得的三角 足6=C, 那么称线段AB被 形 形与原三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似 ,点C黄金分割，C叫作线段AB的 黄金分割，点，AS叫作黄金比 判定两边成比例且夹角相等 AB 黄金分割 的两个三角形相似 两条直线被一组平行线所 三边成比例的两个三角形相似 平行线 图形的 截，所得的对应线段成比例 分线段 应用 应用相似三角形的性质测高或测距 平行于三角形一边的直线截 成比例 相似 其他两边（或两边的延长线）， 如果两个相似图形的对应点所在的直线 所得的对应线段成比例 都交于一点，那么这两个图形叫位似图 形状分别相同，但是大小不同的 形，对应点所在直线的交点称为位似中 定义 图形叫相似图形 定义 心，位似中心与对应点之间线段的比称 对应角相等，对应边成比例的两 P为位似比 相似多边 个多边形叫作相似多边形，相似形的定义 相 位 应用 似 多边形对应边的比叫作相似比 似 利用位似性质可以对图形进行放大或缩小 图 对应角相等 形 两个位似图形一定是相似图形 对应边成比例 性质 各对应，点所在的直线都经过位似中心 性质 周长比等于相似比 各对应点到位似中心的距离比等于位似比 面积比等于相似比的平方 重难疑点解法 分上分点个利用成比例线段求值 归纳总烤 已知3=4=5 在解答有关比例问题时通常设每一份为，将 例1 x y 则2红+4y一 x-3y+5z 多个未知数统一为含的形式，再代入求值. 上分点2利用黄金分割求线段的长 名师启发 设是=4=5=，用分别表示x, xy之 例2(2025·临汾浮山一模)大自然是美的设计 y,之，再代入要求的表达式. 师，如图是一片银杏叶，P是线段AB的黄金分割点 11 实验班提优训练数学九年级上HBJY (AP>BP),若AB=4cm,则AP的长为(). 中，不相似的是(). ☆7☆ A.(6-2√5)cm B.(2√5-2)cm C.(W5-1)cm D.(3-√5)cm 名师启发根据黄金分割的定义得到AP= 名师启发 形状相同的两个图形叫作相似图形， 5,AB,然后把AB的长度代入可求出AP的长. 据此可得答案。 归纳总结 关建泉醒 本题考查了相似图形的识别，熟练掌握该知识 本题考查了黄金分割.把线段AB分成两条线 点是解题关键， 段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的 比例中项（即AB：AC=AC:BC),叫作把线段 上分点5相似三角形的判定 AB黄金分割，C叫作线段AB的黄金分割点，其 中AC-6AB, 例5如图，在平行四边形ABCD中，M为边 BC上一点，连接DM,N为线段DM上一点，且 ∠ANM=∠B,求证：△ADNp△DMC. 利用平行线分线段成比例求线 分上分点3 D 段的长 例3(2026·邯郸肥乡区期中)如图，五线谱是由 等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线 名师启发根据平行四边形的性质可得AD∥ 上的三个点A,B,C都在横线上，若线段AB=9,则 BC,AB∥CD,再根据平行线的性质可得∠ADN= 线段BC的长是( ) ∠DMC,∠B+∠C=180°，利用等量代换可得 ∠AND=∠C,再根据相似三角形的判定即可得证. A. C.2 D.3 名师启发可以作一条直线与这组平行线垂直， 根据两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例 可得答案。 个关键提醒 归纳总结 本题主要考查了相似三角形的判定和平行四 本题考查的是平行线分线段成比例，熟知三条 边形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的 平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题 关键. 的关键。 利用相似三角形的性质求三角形 分上分点4判断相似图形 上分点6 周长 例4(2025·安徽安庆桐城月考)下列各组图形 例6 )(2026·陕西榆林榆阳区安崖中学期中)已知 12 第二十五章 △ABC与△A1B,C1相似且对应中线的比为4：3， 个关键健提醒 △ABC的周长为12，求△A1B1C1的周长， 本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已 名师启发利用相似三角形的性质（对应中线的 知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的 比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比)，通 关键 过已知的中线比和△ABC的周长，计算△A1B1C1的 上分点8画位似图形 周长 例8已知△ABC在平面直角坐标系的位置如 图所示，点A,B,C的坐标分别为(1,0)，(4，一1)， (3,2),△ABC1与△ABC是以点P为位似中心的 位似图形. (1)请画出点P的位置，并写出点P的坐标； (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC 个关键提醒 的位似图形△A2B2C2,使相似比为1：1，若M(a,b) 本题主要考查了相似三角形的性质（对应中线 为△ABC内一点，请写出点M在△A2B,C2内的对 应点的坐标 的比等于相似比、周长比等于相似比)，熟练掌握相 似三角形的性质是解题的关键 分上分点7相似三角形在实际中的应用 例7(2025·绵阳中考改编)如图，小明在课外实 A 践活动中对一棵大树的高度进行测量.他准备了一根 竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的C处，然后 沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点 后退2m至A点时，看大树顶部F视线恰好经过竹 名师启发(1)直接利用位似图形的性质得出位 竿的顶端D,测得小明的眼睛距地面的高度AB为 似中心的位置； 1.6m,竹竿CD长3m,求大树的高度EF. (2)直接利用位似图形的性质得出对应点坐标 即可 AC 名师启发过点B作BH⊥EF,垂足为H,交 CD于点G,则BH⊥CD,从而可得∠BGD= ∠BHF=90°，根据题意可得，AB=CG=EH= 1.6m,AC=BG=2m,CE=GH=10m,从而可得 BH=12m,DG=1.4m,然后证明△BDG △BFH,从而利用相似三角形的性质进行计算，即可 解答 关健提醒 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点 为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的 坐标的比等于k或一. 134 实验班提优训练数学九年级上HBJY 易错易混辨析 )易错点1 不理解“夹角”的意义而出现 错解 C. 2 例T如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边 )易错点2忽略分类讨论而出现丢解的错误 AB,AC,BC上，且∠AED=∠B,再将下列四个选项 例2经过三边都不相等的三角形的一个顶点 中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF 的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是 相似的是( ) 等腰三角形，另一个三角形和原三角形相似，那么把 A.AE:BD=DE:BF 这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图所 B.AE:BF=DE:BD 示，已知线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD C.AD:BD=AE:BF 为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则 D.BD:BF=AB:BC ∠ACB的度数为 解析AE与DE所夹的角是∠AED,BD与 BF所夹的角是∠B,而这两个角相等，所以能证明两 三角形相似，A,B正确；AD与AE所夹的角是 ∠DAE,BD与BF所夹的角是∠B,而这两个角不相 解析根据题意，得△BCD∽△BAC, 等，C错误；先证明△BDF与△BAC相似，得到 .∠BCD=∠A=46° ∠A=∠BDF,再根据∠B=∠AED,即可证明，D ,△ACD是等腰三角形，∠ADC>∠BCD= 正确. ∠A,.AC≠CD. 答案C ∴.当△ACD是等腰三角形时有两种情况： 辨析伯纳 0-- ①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC= 在利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三 角形相似”时，容易出现的错误是没有注意到“夹 ×(180°-46)=670. 1 !角”这个条件，为此解决这类问题的一般方法为： .∠ACB=67°+46°=113°； !①根据图形找到成比例的四条线段；②找到同一个 ②当AD=CD时，∠ACD=∠A=46° 图形中两条线段的夹角；③看这两个夹角是否相 ∴.∠ACB=∠ACD+∠BCD=46°+46°=92° 等，若相等，则相似；否则，不相似 综上所述，∠ACB=113°或∠ACB=92°. 答案113°或92 巩固特训 辨析归纳 1.将三角形纸片（△ABC)按如图所示的方式折叠， 本题容易出现两种疑问：一是不理解为什么要 使点B落在边AC上，记为点B',折痕为EF,已 分类讨论；二是不理解怎样分类讨论.实际上，因 知AB=AC=3,BC=4,若以点B',F,C为顶点 为△ACD是等腰三角形且∠ACD的度数与等腰 三角形ACD的形状有关，而等腰三角形ACD的 的三角形与△ABC相似，则BF的长度是( ) 形状不确定，所以应对其形状进行分类讨论.又 AC≠CD,所以可能出现AC=AD或AD=CD两 种情况，所以应按上述两种情况分类讨论 (第1题) 巩固特 12 2.(2026·唐山龙华中学期中)如图，在Rt△ABC中， 7 B.2 ∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,点P从点A出 14 第二十五章 发，以2cm/s的速度沿AC向点C匀速运动，点Q 答案由图可知，△ABE与△ADE分别以BE, 从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向点B匀速 S△ABE= 2 .BE 2 DE为底，且高相等，又 运动，当一个点到达终点时，另一点也停止运动 SADE 3,DE=3 (1)经过几秒后，△PCQ的面积等 .ABDC,.△ABE△CDE, SADCE 于△ABC面积的6？ 辨析归纳--..- (2)经过几秒后，△PCQ与△ABC ①只考虑面积比等于相似比的平方而忽略性 相似？ 质使用的范围，必须是相似图形才能使用；②知道 (第2题) 相似比求面积比时，应将相似比平方.避免此类错 误的关键是理解性质的使用范围 巩固特训 3.如图，点E在四边形ABCD的边BC的延长线上， AE交CD于点F,∠1=∠E,∠B=∠D. 利用相似三角形解决面积问题 (1)求证：∠BAF+∠AFC=180°. )易错点3 没有理解比例关系而出错 (2)若BC=2CE,直接写出： 例3如图，已知AB/CD,武e=求 ①gA匹的值，②se SAFCE S△cF一的值. SAE的值， SADCE B (第3题) 解析 利照 3,且这两个三角形等高可 以得到BE与DE的比，利用AB∥CD得到△ABE 与△DEC相似，且相似比为BE与DE的比，最后利 用三角形的面积比等于相似比的平方即可求解。 素养考向提分 新情境 的值为( 例小明用地理中所学的等高线的知识在某 地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示 500A△ 400 意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就 30 200 是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔 在相邻两条等高线的数值范围内)，若点A,B,C三 A. B D.2 点均在相应的等商线上，且三点在同一直线上，则是 解析 ,A,B,C三点均在相应的等高线上，且 154 实验班提优训练数学九年级上HBJY 三点在同一直线上， :A5-500-300_2002 A成2* R增加术 AC500-2003003 答案B C成少号未 n增杂米 点 解析如图，设BC=x米，DE=h米， 利用等高线来计算线段比例. 举反白 A 1.小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有 G 一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他 由题意，得FE=2DE=2h米，AC=2米，CE= 利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放 1米，BC⊥AE,DE⊥AE, 在点C处，他在点F处正好在镜中看到树尖A的 .∠ACB=∠AED=90. 像；第二次他把镜子放在点C处，他在点F处正好 ,∠A=∠A, 在镜中看到树尖A的像.已知AB⊥BF',EF⊥ .△ABC∽△ADE, BF',E'F'⊥BF',小军的眼睛距地面1.7m(即 院器话 2 EF=E'F'=1.7m),量得CC=12m,CF=1.8m, CF=4.2m.求这棵古松树的高度AB.(镜子大 解得工=名h,.BC= 3 米 小忽略不计) ,∠BGC=∠FGE, ∴.△GBC∽△GFE, .BC_GC FE GE (第1题) GC hcC GC=3米， AG=AC-GC=22-2(米). 1 故在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加 一信，圆光源与小明的距离应减少8米 答案A 跨学科 点拨 例2手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线 由BC=x米，DE=h米，根据题意可得， 传播的，图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏。 FE=2h米，AC=2米，CE=1米，BC⊥AE, 在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源 DE⊥AE,根据垂直定义可得∠ACB= 与小明的距离为2米，在小明不动的情况下，要使小 ∠AED=90°，然后证明△ABCP△ADE,从而 狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应 利用相似三角形的性质可得BC=号h米，再证 2 (). 明△GBC∽△GFE,从而利用相似三角形的性 质可得GC= 来，最后进行计算即可解答。 16 第二十五章 举反日 新考法 2.[背景]如图(1)，光的反射定律告诉我们，光线经 例3 在△ABC中，AC=AB,∠CAB=a, 平面镜反射，入射角=反射角. D是平面内不与B,C重合的任意一点，连接CD,将 [定义]如图(2)，点M,N在直线PQ同侧，点T 线段CD绕点C逆时针旋转α得到线段CE,连接 在直线PQ上，∠MTP=∠NTQ,则称T为M, AD.BE.DE N在直线PQ上的反射点. AD (1)如图(1)，当a=60时，BE ,求直 线BE与直线AD所夹的角度； (2)如图(2)，当a=90时，若P,Q分别是AC, AB的中点，点D在直线PQ上，求点A,D,E在同 (1) (2) (3) 直线上时，AD的值。 CE (4) (5) (第2题) (1) (2) [应用] (1)如图(3)，在△ABC中，AB=AC,点D在BC 解析 (1)证明△ACD2△BCE即可求得 BE 上，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证： 1,延长AD,BE交于点F,设∠CAD=∠CBE=0,根 D为E,F在直线BC上的反射点 据三角形内角和定理即可求得∠F,得到直线BE与 (2)如图(4)，在正方形网格中，点A,B,C均在格 直线AD所夹的角度， 点上，请用没有刻度的直尺在AC上画出点P,在 (2)①当点E在线段AD上时，根据P,Q分别 BC上画出点Q,使A,P在BC上的反射点Q满 为AC,AB的中点，可得PQ是△ABC的中位线，进 足CQ=BQ. 而可得∠DPC=∠APQ=45°=∠CDA,∠DCA= (3)如图(5)，在点B处放置两面夹角为45°的平面 ∠PCD,证明△CPD∽△CDA,设CE=a,则CD= 镜AB,BC,∠ACB=90°，光从点C射出，在平面 a,设AC=2b,则AP=PC=b,代入相关比例式求得 镜AB上点D处反射，反射光线在平面镜BC上 a=√2b,进而证明△CAE△DAP.设AE=x,列代 DE 点E处再次反射后经过点A,画出示意图，求CD 数式解得AE=(3-1b,即可求得恶的值；@当点 的值. D在线段AE上时，同理可得CE=√2b,AD=(√3 1D6,哪可求得号的位 答案(1)1提示：.在△ABC中，AC=AB, ∠CAB=60°， .△ABC是等边三角形， ∴.AC=BC,∠BCA=60°. ,将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段 CE,∴.∠DCE=60°，CD=CE, ∴.△CDE是等边三角形. 174 实验班提优训练数学九年级上HBY :∠ACD=∠ACB-∠BCD,∠BCE=∠DCE- ∠DCB,∴.∠ACD=∠BCE. (AC-BC, 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD=CE, (1) (2) ∴.△ACD≌△BCE(SAS), ②如图(2)，当点D在线段AE上时， aDE,∠CAD-∠CBE品L 同理可得CE=√2b, 延长AD,BE交于点F. AD=(3-1)b, 设∠CAD=∠CBE=0, :.CE26 √6+√2 则∠FBA=∠ABC+∠FBC=60°+0， AD(3-1)b 2 ∠FAB=∠CAB-∠CAD=60°-0. 袋上所述，器的值为6或6 CE 在△FBA中，∠F=180°-∠FBA-∠FAB= 2 180°-(60°+0)-(60°-0)=60°， 点拨 即直线BE与直线AD所夹的角度是60°. 本题考查了全等三角形的性质与判定、相 (2)①当点E在线段AD上时，如图(1). 似三角形的性质与判定，设参数法求解是解题 由题意，得△ABC,△CDE是等腰直角三角形， 的关键。 ∴.∠CDA=45°，∠ACB=45°. ,P,Q分别为AC,AB的中点， 例4[问题背景]如图(1)，在矩形ABCD中，点E, ..PQ//BC, F分别是AB,BC的中点，连接BD,EF,求证： ∴.∠APQ=∠ACB=45°. △BCD∽△FBE. .∠CPD=∠APQ=45°=∠CDA, [问题探究]如图(2)，在四边形ABCD中，AD∥ ∠DCA=∠PCD,.△CPDP△CDA. BC,∠BCD=90°，E是AB的中点，点F在边BC 设CE=a,AC=2b,则CD=a,DE=√2a,AP= 上，AD=2CF,EF与BD交于点G,求证：BG=FG. PG=6-贵2元 [问题拓展]如图(3)，在[问题探究]的条件下，连 .a>0,b>0,∴.a=√2b, 接AG,AD=CD,AG=FPG,直接写出票的值 .DE=√2a=2b. .∠CED=45°，∴.∠CEA=135° ∠CPD=45°， ∴.∠DPA=180°-∠CPD=135°， (1) (2) (3) ∠CEA=∠DPA. 解析[问题背景]根据中点可得出两边对应成 又∠CAE=∠DAP,∴.△CAE∽△DAP, 比例且夹角相等的两个三角形相似； 则是S设AE则 [问题探究]由中点和平行线可以联想作倍长中 b 26+x 线证全等，即延长FE交DA延长线于点M,作FH 解得x1=(W3-1)b,x2=-(W3十1)b(舍去). ⊥AD于点H,证△AME≌△BFE(AAS),再证 经检验，x=(√3一1)b是原方程的解， △MFH≌△BDC(SAS)即可得证； ∴.AE=(3-1)b, [问题拓展]这一问是建立在上一问的基础上， 器6+得-w √2b √6-√2 所以很容易想到构造相似通过线段关系转化求解，过 2 点F作FM⊥AD于点M,取BD中点H,连接AF, 18 第二十五章 EH,设CF=a,则AM=DM=CF=a,AD=CD= 设CF=a,则AM=DM=CF=a,AD=CD= 2a=MF,从而得AF=√5a,证FE垂直平分AB得到 2a=MF, AF=BF=√5a,再证△EGH△FGB即可求解. .AF=√AM+MF2=√5a. 答案[问题背景]E,F分别是AB和BC的 .E是AB的中点，且AG=FG=GB, 中点， ∴.FE垂直平分AB, 器既 ∴.BF=AF=√5a. ,H是BD的中点， ,四边形ABCD是矩形， .EH是△ABD的中位线， ∴.AB=CD, 混器 EH=号AD=a,EHAD/BC. '.△EGH∽△FGB, :∠C=∠EBF=90, EG EH a 5 ∴.△BCD∽△FBE. GF BF 5a5 [问题探究]如图(1)，延长FE交DA的延长线于 点M,过点F作FH⊥AD于点H,则四边形CDHF 6o点拨 本题主要考查了相似三角形的判定和性 是矩形 质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及 ,E是AB的中点， 中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识和添 ∴AE=BE 加辅助线是解题的关键. .AM//BC, ∴.∠AME=∠BFE,∠MAE=∠FBE, 举反白 .△AME≌△BFE(AAS), 3.已知，四边形ABCD是矩形，AD>AB,E,F,G ∴.AM=BF. .AD=2CF,CF-=DH, 分别是AB,nC,AD上的点铝- ∴.AH=DH=CF, (1)若n=1,DE⊥EF. ∴.AM+AH=BF+CF,即MH=BC. .FH=CD,∠MHF=∠BCD=90°， ①咖图求证品-器， ∴.△MFH≌△BDC(SAS), ②如图(@，连接DR,若CF-2AG,* .∠AMF=∠CBD, 又∠AMF=∠BFG, 2如图8.a号AD-2AB-0,∠GEr=45,求 ∴.∠CBD=∠BFG, △EFG面积的最小值. ..BG=FG. D M H D (1) (2) (第3题) (1) (2) [问题拓展]如图(2)，过点F作FM⊥AD于点 M,取BD中点H,连接AF,EH,则四边形CDMF是 矩形， .'.CF=DM. .AD=2CF,∴.AM=DM=CF. 194