第24章 一元二次方程 提优测评卷-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（冀教版·新教材）

实验班提优训练数学九年级上HBY 思路引得(1)根据相框所占面积为照片面积的二分之 一，列式计算即可；(2)设相框的宽度为xcm,根据配上相 框的照片面积=照片面积十相框的面积，列出一元二次方 程，解之取符合题意的值即可. 6.设这个两位数的个位上的数字为x,则十位上的数字为 (8-x), 由题意，得[10(8-x)+x][10x十(8-x)]=1855,解得 x1=3,x2=5. .这个两位数的十位上的数字为5或3. 故这个两位数为53或35. 7.(1)由题可知CM=AC-AM=(5-t)cm, CN=BC-BN=(12-3t)cm 12÷3=4(秒)，.0≤t≤4. (2):S2aw=18,2CM.CN=18, .(5-t)(12-3t)=36, 解得t1=1,t2=8(舍去)， .当t为1时，△CMN的面积为18cm. 思路引得(1)根据各数量之间的关系用含t的代数式 表示出各线段的长度；(2)找准等量关系，正确列出一元二 次方程，解方程即可得到答案， 8.存在.理由如下： ①当小猫C在AO上运动时，设xs时两只小猫与点O组 成的三角形面积为1800cm2, 1 由题意，得2×3x·(100-2x)=1800, 整理，得x2-50x十600=0， 解得x1=20,x2=30. ②当小猫C在OB上运动时，设ys时两只小猫与点O组 成的三角形面积为1800cm, 由题意，得号×3y·(2y-10)=180, 整理，得y2一50y一600=0， 解得y1=60,y2=一10（舍去）. 综上所述，在20s,30s或60s时，两只小猫与点O组成的 三角形面积是1800cm2 竞赛思维空间 1.C[解析]原方程可化为x2一4xy+(19y2一151)=0. ,方程x2-4xy十19y2=151有实数根， .△=16y2-4(19y2-151)=-60y2+4×151≥0， <-品 1 y是整数，y=-3,-2,-1,0,1,2,3. 当y=0时，原方程可化为x2=151, x=土√15I(由于x为整数，所以舍去)； 当y=1时，原方程可化为x2-4x一132=0， ∴x=2士234（由于x为整数，所以舍去）； 当y=一1时，原方程可化为x2+4x一132=0， .x=一2士2√34（由于x为整数，所以舍去）； 当y=2时，原方程可化为x2一8x一75=0， .x=4士√91（由于x为整数，所以舍去）； 当y=一2时，原方程可化为x2+8x-75=0, .x=一4士√91（由于x为整数，所以舍去）； 当y=3时，原方程可化为x2-12x+20=0, x=2或x=10: 套22 当y=一3时，原方程可化为x2+12x十20=0， ∴.x=一2或x=10. 小防为2安5成 y=-3 满足方程x2-4xy十19y2=151的整数对(x,y)为(2， 3),(10,3),(一2，-3)，（-10，-3)，共有4对.故选C 2.①③[解析]当m=0时，x=一1，方程只有一个解，① 正确； 当m≠0时，方程mx2+x一m十1=0是一元二次方程， △=1-4m(1-m)=1-4m+4m2=(2m-1)2≥0，方程有 两个实数解，②错误； 把mx2十x一m+1=0分解为(x+1)(m,x一m十1)=0， 当x=-1时，m-1-m+1=0,即x=-1是方程mx2+ x一m+1=0的根，③正确.故正确的是①③. 3.由题意，得△=[-2(k+1)]2-4(k2+2)≥0， 解得k≥2： 又x1十x2=2(k+1),x1x2=k2+2, .(x1+1)(x2十1)=x1x2十(x1十x2)+1=k2十2+ 2(k+1)+1=k2+2k+5. (x1+1)(x2十1)=8，.k2+2k+5=8, 解得=-3或k=1.“≥2k=1 4.方程有两个不相等的实数根， .∴.△=[2(m-2)]2-4(m2-3m+3)=-4m+4>0， ∴.m<1. 又m是不小于-1的实数，.-1≤m<1. 由题，得x1十x2=-2(m-2)=4-2m,x1·x2=m2- 3m+3. (1)x+x号=6，.(x1十x2)2-2x1x2=6, 即(4-2m)2-2(m2-3m+3)=6. 整理，得m2-5m十2=0，解得m= 5±W√17 2 -1≤m<1,∴.m= 5-√/17 2 ②r-+ mx2 =mx1（1-x2)+mx2(1-x1) (1-x1)(1-x2) _m[(x1十x2)-2x1x2] 1-(x1十x2)+x1x2 m[4-2m-2m2+6m-6] 1-4+2m+m2-3m+3 -2m(m-1)2 =2-2m. m2-m 当m=0时，方程为x2-4x十3=0，解得x=1或x=3,此 时T没有意义 7-2-2mm=1-子 ,-1≤m<1,且m≠0， T “-1≤1-2<1且1-20. 解得0<T≤4且T≠2. 第二十四章提优测评卷 1.A[解析]根据题意，得m2一m=0且m一1≠0，解得m= 0.故选A. 2.D 3.B[解析]由题意，得最小数为(x一7)，则x(x一7)=588. 故选B 4.C 5.C[解析]，关于x的方程a(x十m)2十b=0的解是 x1=一2，x2=1(a,m,b均为常数，a≠0)，∴.在方程 a(x十m+2)2+b=0中，x+2=-2或x+2=1,解得 x1=一4，x2=一1.故选C 6.B[解析]由等腰三角形的边长分别为α，b,2,可分为 以下两种情况讨论： ①当a=2或b=2时，，a,b是关于x的一元二次方程 x2一6x十n一1=0的两根， .把x=2代入x2-6x十n-1=0,得22-6×2+n-1= 0,解得n=9.当n=9时，方程的两根是2和4，而2,4,2不 能组成三角形，∴n=9不符合题意； ②当a=b时，方程x2一6x十n一1=0有两个相等的实 数根，.△=(-6)2-4(n一1)=0，解得n=10.当n= 10时，方程的两根是3和3,3,3,2能组成三角形，∴.n= 10符合题意.故选B. 7.B[解析]：关于x的一元二次方程x2-2x一a=0的两 根分别记为x1,x2,.x1十x2=2,x1·x2=一a. x1=-1,.x2=3,∴.x1·x2=-3=-a,a=3,.原 式=3-(-1)2-32=3-1-9=-7.故选B. 8.C[解析]设该群一共有x人，则每人收到(x一1)个红 包，依题意，得x(x一1)=56， 整理，得x2一x一56=0， 解得x1=8,x2=一7（不符合题意，舍去） 即这个群一共有8人.故选C. 9.A 10.C[解析]根据题意，王老师共赠送了x张签名卡，同学 之间共赠送了x(x一1)张签名卡，.x(x一1)十x= 2304.故选C 1.D[解析]设停车场内车道的宽度为x米，则两排停车位 可合成长为(45一x)米、宽为(25一x)米的矩形，根据停车 位的占地面积为530平方米列方程得(45一x)(25一x)= 530.故选D. 12.C[解析]x1是关于x的一元二次方程x2一25x 1=0的实数根，∴.x1一25x1一1=0，.x1=25x1十1， ∴.x-24x1+x2=25x1+1-24x1+x2=x1+x2+1. x1,x2是关于x的一元二次方程x2-25x一1=0的两 个实数根，∴.x1十x2=25,,x2一24x1+x2=25+1= 26.故选C 13.8或9[解析]当4为腰长时，将x=4代入x2一6.x+ n=0,得4一6×4十n=0,解得n=8.当n=8时，原方程 为x2-6x十8=0，解得x1=2,x2=4. 2+4>4,n=8符合题意；当4为底边长时，关于x的 方程x2一6x十n=0有两个相等的实数根， .△=(-6)2-4×1×n=0,解得n=9.当n=9时，原方 程为x2一6x十9=0，解得x1=x2=3. ,3+3=6>4,.n=9符合题意，.n的值为8或9. 14.5[解析]设x=a2+b2(x≥0)，则原方程可转化为x2- 2x一15=0，整理，得(x一5)(x十3)=0，所以x-5=0或 x十3=0，解得x=5或x=一3（舍去） 素养考向换元的实质是转化，关健是构造元和设元，理 论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新 对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、 复杂问题简单化，变得容易处理， 答案6D详解 15.5[解析]设每轮每人向x人发送宣传标语，依题意得 x十x(x十1)=35，解得x1=5,x2=一7（不合题意，舍去）. 16.14[解析]设女兵方队共有x排，则每排有(x+11)人， 根据题意得x(x+11)+2=352,整理得x2+11x 350=0,解得x1=14,x2=一25（不合题意，舍去），即女兵 方队共有14排. 17.(1)△=m2-4(m-2)=(m-2)2+4>4, ∴.不论m取任何实数，此方程都有两个不相等的实数根. (2)由题意，得x1十x2=-m,x1·x2=m一2， ∴.x1十x2十x1·x2=-m+m-2=-2. 18.(1)(x+1)(x-2)=-2, 整理得x2-x=0,则x(x一1)=0， .x=0或x一1=0，∴.x1=0,x2=1. (2)3x(x-1)=2x-2, 则3x(x-1)=2(x-1), .3x(x-1)-2(x-1)=0, ∴.(x-1)(3x-2)=0, .x-1=0或3x-2=0, 2 x1=1,z2=3 19.(1)△ABC是等腰三角形，理由如下： 把x=1代人方程(a十c)x2-2bx十(a-c)=0,得a+ c-2b十a一c=0, .2a=2b,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形 (2):△ABC是等边三角形，.a=b=c,且a≠0. :(a+c)x2-2bx+(a-c)=0, ∴.(a+a)x2-2ax+a-a=0, 即x2-x=0,解得x1=0,x2=1. 故这个一元二次方程的根是x1=0,x2=1. 20.设有x个队参加了报名， 由题意，得2》-6， 整理，得x2-x-132=0, ∴.(x-12)(x+11)=0, 解得x1=12,x2=-11(负值舍去). 故有12个队参加了报名. 21.(1)是[解析]，当x=1时，x2-4x+3=1-4+3=0, .一元二次方程x2-4x十3=0是“A方程”. (2)①，该方程是“A方程”， 即x=-1为方程-x2+bx十c=0的解， .-1-b+c=0,∴.b=c-1. ②.b=c-1, ∴.b2-6c=(c-1)2-6c=c2-2c+1-6c =c2-8c+1=(c-4)2-15. (c-4)2≥0， .当c=4时，代数式b2-6c有最小值，最小值为-15. 22.(1)设二、三这两个月的月平均增长率为x, 依题意得64(1十x)2=100, 解得x1=0.25=25%,x2=一2.25（不符合题意，舍去）. 故二、三这两个月的月平均增长率为25%. (2)设该商品每件降价y元，则每件盈利(60一y一40)元， 月销售量为10+20×兰=(100+10)件. 依题意，得(60-y-40)(100+10y)=2240, 整理得y2一10y十24=0，解得y1=4,y2=6. ,要尽可能让利于顾客，∴y=6, :502×100%-i0×10%=90% 60 23 今实验班提优训练数学九年级上HBY 故该店按原售价的9折出售，商场月获利2240元： 23.(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x, 由题意，得32(1十x)2=50, 解得x1=0.25=25%,x2=一2.25（不符合题意，舍去）. 故该市参加健身运动人数的年均增长率为25%. (2)设购买的这种健身器材的套数为m套， 240000÷1600=150(套)，.m>100, 由题意，得m(1600-m100×40)=24000, 10 整理，得m2-500m+60000=0, 解得m1=200,m2=300. 当m=200时，1600-m100×40=1600-400= 10 1200>1000,符合题意； 当m=300时，1600-m,100×40=1600-800= 10 800<1000,不符合题意，舍去. 故购买的这种健身器材的套数为200， 24.(1)观点一[解析]观点一：设销售量为y千克，销售单 价为x元， 设销售量与销售单价的函数关系为y=kx十b, 代A10.e1w得十名8e得合n3 ∴.销售量与销售单价的函数关系为y=一20x十300， 将(10,100)代入得一20×10+300=一200+300=100， 观点二：从表格可得，销售单价从8元涨至9元（涨1元） 时，销售量从140千克减至120千克（减少20千克）； 从9元涨至10元（涨1元），销售量从120千克减至 100千克（减少20千克），.观点二错误 符合一次函数关系，观点一正确。 综上所述，观点正确的是观点一 (2)(一2x+300)千克[解析]由(1)中的一次函数关系， 可知每天的销售量为（一20x十300）千克. (3)由题意，得进价的165%为5×165%=8.25（元）， .x≤8.25，由题意，得(x-5)(-20x+300)=420, 整理，得(x-8)(x一12)=0，解得x=8或x=12. x≤8.25，x=8, .这种水果的单价应定为8元 第二十五章 图形的相似 25.1比例线段 1.B[解析]A.5X6≠4×10，这四条线段不成比例，故不符 合题意； B.3×4=2×6,这四条线段成比例，符合题意； C.3×4≠1×2，这四条线段不成比例，故不符合题意； D.2X3≠√2×√3，这四条线段不成比例，故不符合题意. 故选B. 2C[解折：C-AB-AC,S-2,4AC>C, BC=(1-5,-1)AB=35×20=(30-105)米 2 2 故选C 5 4 3.9 5。a-ba-13a [解析]由比例的性质，得6=3a.a+b ,5 a+13a 24 13_8×13=4 18=13×18=9 13 4(1)设4=b_c 4-3-5 =k(k≠0)， 设良法是求代数式值的一种常用方法 ∴.a=4k,b=3k,c=5k, :a+26_4k+6k10k a-3646-9k=-56=-2. (2)设a=4k,b=3k,c=5k(k≠0)， 依题意，有4十3k十5k=72,解得k=6, ..a=24,b=18,c=30, .2a-b+c=2×24-18+30=60. 5.D[解析]由题意，可得2(x-y)=3x,即2x-2y=3x, .-2y=x,∴名=-2.故选D. y 6.C[解析]设雕像下部高为xm,则雕像上部高为(2一 x)m,根据题意，雕像的上部与下部的高度比等于下部与 全部的高度比，得号-2，即x-2(2-.故选C x 7.8或20[解析].m-3|+5(m+2n-7)2=0,且|m 3引≥0，m+2n-7yP≥0m=3,m=2.=含设 BC=3k,AC=2k,如图(1)，当点C在线段AB上时，2k+ 36=10,A=2,AC=4,BC=6,AD=CD=2AC= 2,.BD=2十6=8；如图(2)，当点C在BA的延长线上 时，可得3k一2k=10,.k=10,.AC=20,BC=30, ∴AD=CD=号AC=10,∴BD=AD+AB=10+10 20.综上所述，BD的长为8或20. D A D C B C A B (1) (2) (第7题) 8.(1)由条件可得a=4b, .a-2b=4b-2b=6,∴.b=3, ∴.a=12. (2)由条件可知c2=ab=36且c>0,.c=6. 9设生生-生-， 24 没弟法是解决此美求值问题所使用的通用方法 所以a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8, 把a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8代人a十b+c=12, 可得3k-4+2k-3+4-8=12,解得=3， ∴.a=5,b=3,c=4, .b2+c2=9+16=25,a2=25, ∴.b2+c2=a2,.△ABC是直角三角形且b,c为直角边， 1 △ABC的面积=2bc=2X3X4=6. 10.(1)21W2[解析]设这张A4规格打印纸的长为xcm,根 √2x 据题意，得1=2' 解得x=21V2, 所以这张A4规格打印纸的长为21√2cm. (2)设长方形纸张的长为W2xcm,宽为xcm, 2x2=18√2，第二十四章提优测评卷 答案P22 时间：120分钟满分：120分 第I卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1.已知关于x的一元二次方程(m一1)x2一2x+m2一m=0有一根为0，则m的值是(). A.0 B.1 数 C.0或1 D.0或-1 2.(2026·湖南郴州资兴期中)将一元二次方程2x2=7x一5化成一般形式后，若二次项系数为2，则常 别 数项是( A.7 B.-7 C.-5 D.5 3.图(1)为2025年1月份的日历表，如图(2)，某同学任意框出了其中的四个数字，如果框出的 4个数中，最大数x与最小数的积为588，那么根据题意可列方程为(). 日 一二三四五六 1234 5 67891011 12131415161718 戡 19202122232425 262728293031 (1) (2) (第3题) A.x(x-6)=588 B.x(x-7)=588 C.x(x-8)=588 D.x(x-5)=588 4.已知关于x的方程kx2一(2k一1)x十k一2=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( A.>-I 4 B C.k>- 4且k≠0 D,<4且k≠0 5.关于x的方程a(x十m)2十b=0的解是x1=-2,x2=1(a,m,b均为常数，a≠0)，则方程a(x十m十 2)2+b=0的解是( ). A.x1=-2,x2=1 B.x1=1,x2=3 C.x1=-4,x2=-1 D.无法求解 6.分类讨论思想等腰三角形的边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2一6x十n一1 =0的两根，则n的值为(). A.9 B.10 C.9或10 D.8或10 7.已知关于x的一元二次方程x2一2x一a=0的两根分别记为x1,x2,若x1=一1，则a一x一x 的值为(). A.7 B.-7 C.6 D.-6 7 8.(2026·湖北武汉江汉区期中改编)某家庭群规定，过节时，群内的每个人都要发红包，并保证群内其他 人恰好都能抢到（自己不能抢自己发的）红包.抢红包结束后，群内有人共收到56个红包，则 该群一共有( A.6人 B.7人 C.8人 D.9人 9.若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个 两位数是( A.23 B.34 C.23或34 D.-23或-34 10.(2026·广东东莞期中)王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签 名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成 立的是( ). A. x(x-1D+x=2304 B.x(x,1D=2304 2 2 C.x(x-1)+x=2304 D.x(x-1)=2304 11.(2026·宁夏吴忠期末)如图是某停车场的平面示意图，停车场长为45米，宽为25米.停车场内车 道的宽都相等，若停车位的占地面积为530平方米.求车 45米 道的宽度.设停车场内车道的宽度为x米，根据题意所列 车道 车位 方程为(). 宽度 25米 车道 A.(45-2x)(25-x)=530 宽度 车道 B.(45-x)(25-2x)=530 停车位 宽度 C.(45-x)(25+x)=530 出口 (第11题) D.(45-x)(25-x)=530 12.(2025·东营中考)若x1,x2是关于x的一元二次方程x2一25x一1=0的两个实数根，则代数式 x-24x1+x2的值为(). A.0 B.25 C.26 D.-1 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13.若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2一6x十n=0的两个根，则n的值 为 14.已知实数a,b满足(a2十b2)2一2(a2+b2)一15=0，则a2十b2的值为 15.(2026·唐山路北区十一中月考)小明发起垃圾分类宣传实践活动，他先通过手机向x名同学发送宣 传标语，收到宣传标语的人也按小明发送的人数再加1人向外转发（转发的人均不相同），这 次转发后，除小明外共有35人手机上收到该宣传标语，则小明给 人发送了宣传标语. 16.(2026·四川成都锦江区盐道街中学月考)建国70周年阅兵式中，三军女兵方队共352人，其中领队 2人，方队中每排的人数比排数多11，则女兵方队共有 排 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17.(7分)已知关于x的方程x2十mx十m一2=0. 8 (1)求证：不论取任何实数，此方程都有两个不相等的实数根； (2)设这个方程的两根分别是x1,x2,求x1十x2十x1·x2的值. 18.(8分)(2026·广东深圳实验学校月考)解方程： (1)(x+1)(x-2)=-2; (2)3x(x-1)=2x-2. 19.(8分)(2026·湖北武汉汉阳区月考)已知关于x的一元二次方程(a十c)x2一2bx十(a一c)=0,其中 a,b,c分别为△ABC三边的长， (1)如果x=1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 9 第二十四章提优测评卷 20.(8分)(2025·广东江门江海区期中)列方程解应用题：学校举行乒乓球比赛，有若干个队报名，比赛 采取单循环制（每两个队要比一场），一共比了66场，有多少个队参加了报名？ 21.(9分)(2026·江苏扬州仪征期中)定义：如果关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(ac≠0)有一个 根是a,那么我们称这个方程为“A方程”. (1)判断：一元二次方程x2-4x+3=0 (填“是”或“不是”)“A方程”. (2)已知关于x的一元二次方程一x2十bx十c=0(c≠0). ①当b,c满足什么关系时，该方程是“A方程”？ ②若方程是“A方程”，求代数式b2一6c的最小值， 实验班提优训练数学九年级上HBJY 10 22.(9分)某商场今年初以每件40元的进价购进一种商品，当商品销售价为60元时，一月份销售 64件，二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高.在售价不变的基础上，三月底的销售量达 到100件，设二、三月份这两个月的平均销售增长率不变. (1)求二、三这两个月的月平均销售增长率 (2)从四月起，商场决定采用降价促销，经调查发现，该商品每降价2元，销售量增加20件，为 尽可能让利于顾客，赢得市场，该店按原售价的几折出售，商场月获利2240元？ 23.(11分)新夔彝#“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参 加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人. (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购 买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元.但最 低售价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的 套数. 11 24.(12分)(2026·唐山迁安期中)某水果店销售一种成本价是5元/千克的水果，若以7元/千克售出 时，每天可以卖出160千克，经过几次调整价格，老板发现，销售价格影响了当天的销售量，设 销售单价为x元/千克.下表是近三天的销售单价与销售量： 销售单价/元 8 9 10 销售量/千克 140 120 100 (1)关于销售单价与销售量之间有下面两种观点： 观点一：每天的销售量与销售单价之间符合一次函数关系； 观点二：每天的销售单价每涨1元，销售量就会减少10千克 以上观点正确的是 (2)用含x的代数式表示每天的销售量为 (3)物价局规定：这种水果的每千克售价不得超过进价的165%，若该水果店每天销售这种水 果获利420元，则这种水果的单价应定为多少元？ 12