第二十四章 一元二次方程全章高频重点题型突破（十五大高频+九大重难题型，专项训练）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 以“概念-解法-应用”为逻辑主线，通过分级题型构建从基础到综合的完整训练体系，突出数学思维与应用意识的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|15题型|定义辨析、解法选择、根的判别式应用|从概念（定义/一般式）到技能（解方程/求参数），再到简单应用（传播/增长率问题）| |核心提升|9题型|换元法、配方法、构造方程思想|深化含参问题、几何综合、新定义题型，强化逻辑推理与模型意识| |综合攻坚|15综合题|动态几何分析、营销利润建模|融合跨知识点综合应用，培养数学眼光与问题解决能力|

第二十四章 一元二次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 一元二次方程的定义 题型2 一元二次方程的一般式 题型3 由一元二次方程的定义求参数 题型4 一元二次方程的解及其求参 题型5 用合适的方法解一元二次方程 题型6 根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 题型7 根据一元二次方程根的情况求参数 题型8 换元法解一元二次方程 题型9 一元二次方程根与系数的关系 题型10 传播问题 题型11 增长率问题 题型12 与图形有关的问题 题型13 营销问题 题型14 动态几何问题 题型15 其他问题 核心提升：重难题型归纳 题型1 由一元二次方程的解求参综合 题型2 配方法的应用 题型3 换元法解一元二次方程综合 题型4 一元二次方程的含参问题 题型5 构造一元二次方程问题 题型6 一元二次方程根与系数关系综合 题型7 一元二次方程与几何图形结合 题型8 一元二次方程的销售利润问题 题型9 一元二次方程的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 一元二次方程的定义 1．（25-26九年级上·河北·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列方程中，一元二次方程共有（    ）个． ①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25九年级上·河北·阶段检测）下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． ◆题型2 一元二次方程的一般式 4．（25-26九年级上·河北保定·期末）将方程化为一元二次方程的一般形式后，其一次项和常数项分别是（    ） A．， B．，10 C．8x， D．8x，10 5．（25-26九年级上·河北保定·期末）将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）一元二次方程化为一般形式后二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______． ◆题型3 由一元二次方程的定义求参数 7．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．0 8．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．不能确定 9．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． ◆题型4 一元二次方程的解及其求参 10．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．2025 B．－2026 C．2026 D．4052 11．（25-26九年级上·河北保定·期末）若为方程的一个解，则代数式的值为（    ） A．2007 B．2019 C．2025 D．2026 12．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知是方程的一个根，代数式的值是______． ◆题型5 用合适的方法解一元二次方程 13．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）解方程： (1)； (2) 14．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）解下列方程： (1) (2) 15．（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）用适当方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) ◆题型6 根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 16．（2026·河北廊坊·一模）已知方程，下列说法正确的是（   ） ①该方程没有实数根；②是该方程的一个根；③该方程的两个实数根的积为 A．只有① B．只有② C．只有③ D．②③ 17．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若c是方程的一个根，则一定有成立； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若，则它有一根为； ④若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的______． 18．（25-26八年级下·河北张家口·期末）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． ◆题型7 根据一元二次方程根的情况求参数 19．（2026·河北邯郸·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D．且 20．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 21．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，方程的根都为正整数，求此时方程的根． ◆题型8 换元法解一元二次方程 22．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测）若，则的值是（   ） A．或2 B．4 C．或4 D．2 23．（2025九年级上·河北·专题练习）我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是___． 24．（25-26九年级上·河北保定·期中）阅读理解 在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化、明朗化．在解高次或多元方程时，换元法可以帮助我们降低方程的次数或减少未知数的个数，使方程变得更易于解决． 比如：方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，通常用换元法求方程的解，过程如下： 设，那么，于是原方程可化为， 解得，， 当时，，∴， 当时，，∴， ∴原方程有四个根：，，，． 学以致用 用换元法解下列方程： (1)． (2)． ◆题型9 一元二次方程根与系数的关系 25．（2026·河北邯郸·二模）已知，是关于的一元二次方程的两个根，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D．无实数根 26．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段检测）若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________． 27．（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． ◆题型10 传播问题 28．（25-26九年级上·全国·课后作业）某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 29．（25-26九年级上·福建厦门·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了个人． （1）第二轮被传染上流感人数是______；（用含的代数式表示） （2）在进入第二轮传染之前，如果有名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有人患病的情况发生，并说明理由． 30．（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． ◆题型11 增长率问题 31．（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降到81元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得____________．若第三次降价的百分率与前两次相同，则经过三次降价后，顾客一共节省了________元． 32．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）某种商品原价是125元，经过两次降价，价格下降了． (1)求价格降到了多少元； (2)已知每次下降的百分率相同，那么每次下降的百分率是吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出每次下降的百分率． 33．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段检测）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． ◆题型12 与图形有关的问题 34．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）项目化学习 项目背景：学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），请你和数学小组一起参与实验田的设计． 数据测量：该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米．设实验田的长为米． 问题解决： (1)的长为_____米（用含的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 35．（25-26八年级上·河北·课后作业）小明和同桌小聪在课后自主复习时，对一道思考题进行了探索．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时点到墙底端的距离为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么点将向外移动多少米． (1)请你将小明对思考题的解答补充完整： 解：设点将向外移动，即． 则，． 在中，，，可得方程 _____， 解方程，得_____，_____ 答：点将向外移动_____ (2)解完思考题后，小聪提出了下面两个问题： ①在思考题中，将“下滑”改为“下滑”，那么该题的答案会是吗？为什么？ ②在思考题中，梯子的顶端从点处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题． 36．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，利用一面墙（墙长米），用总长度49米的木栏围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米宽的小门，设木栏的长为x米． (1) 米（用含x的代数式表示）； (2)若矩形围栏的面积为210平方米，求木栏的长？ (3)矩形围栏的面积是否可能达到240平方米？请说明理由． ◆题型13 营销问题 37．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）石家庄市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售某款头盔，进价为元/个，经市场调查，发现当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上每上涨元，则月销售量将减少个，设售价在元/个的基础上涨了元． (1)请用含的代数式表示每个头盔的利润； (2)设月销量为个，请写出销量与涨价之间的函数表达式； (3)为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 38．（25-26九年级上·广东深圳·期末）某市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，平均每天可售出件． (1)求平均每次降价每件盈利减少的百分率； (2)为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，每件应降价多少元？ 39．（25-26九年级上·河北保定·期中）某店一型号台灯的成本价为30元，若以每台40元出售，平均每月能售出600台，经过一周试销售，发现售价在40元至70元范围内，平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ (3)正式销售后每台台灯的利润率不得高于，该店每月能否获得12250元的利润？若能，则台灯的售价应定为多少？若不能，请说明理由． ◆题型14 动态几何问题 40．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在矩形中，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (2)当为何值时，的面积为？ 41．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在矩形中，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动（点停止移动时，点也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)用的式子表示______，______； (2)当为何值时，四边形的面积为？ (3)当为何值时，两点间的距离为13cm？ 42．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？ (3)在点M、N运动过程中，能否得到以A、B、C其中一个点为顶点，以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． ◆题型15 其他问题 43．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段检测）《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．小明对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．一株椽的价钱为27文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 44．（25-26九年级上·河北邢台·期末）为防控疫情，我们应该做到有“礼”有“距”，于是用“碰肘礼！代替“握手”的问候方式逐渐流行． 某次会议上，每两个参会者都相互行了一次“碰肘礼”，经统计共碰肘28次，若设有人参加这次会议，则可列方程为__________，__________． 45．（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径．经市场调查发现：搭建一个面积为公顷的大棚，所需建设费用（万元）与与成正比例，比例系数为，内部设备费用（万元）与成正比例，比例系数；. (1)直接写出与x之间的关系式：________________； _____________________ (2)若种植公顷蔬菜需种子，化肥农药的开支万元，收获的蔬菜年均可卖万元．某农户准备用不超过万元的资金来种植大棚蔬菜，希望当年获得万元的收益（扣除修建和种植成本），请你帮他估算应该修建多少公顷的大棚？ (3)在（）条件下、除种子、化肥、农药的开支需要每年支出外，其他设施三年内都不需要增加投资，并可以继续使用，请你帮他计算三年的纯收益共有多少万元？ ◆题型1 由一元二次方程的解求参综合 46．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____________． 47．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 48．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． ◆题型2 配方法的应用 49．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 50．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 51．（25-26八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． ◆题型3 换元法解一元二次方程综合 52．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）若，其中为实数且，，则____________． 53．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）关于的方程的根是，（，，均为常数且），则关于的方程的所有实根之和是______． 54．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根． （1）当时，则的值是________； （2）当时，则的值是________． ◆题型4 一元二次方程的含参问题 55．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知二次方程的两根一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为________． 56．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 57．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． ◆题型5 构造一元二次方程问题 58．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知，且，，则__________． 59．（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 60．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； 用换元法解方程：． (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，则的值 (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，求的值 ◆题型6 一元二次方程根与系数关系综合 61．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 62．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 63．（2026·福建福州·模拟预测）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． ◆题型7 一元二次方程与几何图形结合 64．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，，．有一动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是．在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线方向移动，速度是．若设P出发后时间为t秒． (1)用含t的代数式分别表示线段的长度，并写出相应的t的取值范围． (2)连接，求使面积为时相应的t的值． (3)问是否存在这样的时间t，使平分或者的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 65．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 66．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； (2)在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； (3)如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； (4)设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． ◆题型8 一元二次方程的销售利润问题 67．（2025九年级下·湖北宜昌·专题练习）某工厂每月生产800件产品，每件产品的成本为100元，分配给线上旗舰店和线下直营店两个渠道销售．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：．线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动；月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完，超过400件的部分，因礼品已送完，则需要一次性投入成本为5000元的广告进行宣传 (1)设线上旗舰店的月销售量为a件，线下直营店的月销售量为b件，分别用含a、b的代数式表示： ①线上销售的a件产品的利润为 元； ②若，则线下销售的b件产品的利润为 元；若，则线下销售的b件产品的利润为 元． (2)假设工厂每月生产的800件产品可全部售完，请你设计一种分配方案，使得销售总利润为46200元．（注：要有解答过程） 68．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)某水果市场9月底以25元的价格从基地批发500千克“阳光玫瑰”放在冷库内，冷库存放一天需费用100元（储藏时间不超过12天），此时“阳光玫瑰”市场价为30元每千克，因国庆黄金周的到来，此后每千克“阳光玫瑰”的市场价格每天上涨1.5元，但是，平均每天还有10千克“阳光玫瑰”变质丢弃．若市场经理想获得4500元的利润，需将“阳光玫瑰”储藏多少天后一次性售出． 69．（25-26九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． (1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ (2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ ◆题型9 一元二次方程的新定义问题 70．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 71．（24-25九年级上·北京·开学考试）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根。 其中正确的有_________（填正确的序号） 72．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，若实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如若实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、，且，满足、，则的值为___________； (2)若关于的方程有两个实数根，，若满足，求的值； (3)已知实数、、满足、，且，求的最大值． 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 2．（2026·安徽淮南·一模）关于的一元二次方程有两实数根，其中一根为，则这两根之积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设1人每次能教会名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河北沧州·三模）定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河北张家口·一模）嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 6．（2026·河北邢台·二模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是________． 7．（25-26九年级上·河北唐山·期中）某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边长为___________米； 8．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，将一边长为的正方形纸片沿裁剪线（图中虚线）剪成四块，恰能拼成一个矩形，则其中的值为______． 9．（25-26九年级下·山东枣庄·阶段检测）已知不相等的实数a、b满足，则__． 10．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为1．其中正确的是_______．（写出所有正确说法的序号） 11．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）解下列一元二次方程： (1) (2) 12．（25-26八年级下·河北张家口·期末）某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．设降价元． (1)若每天获得900元的利润，请你帮忙计算每件应降价多少元？ (2)该服装店能否通过降价销售的方式保证每天获得1640元的利润？并说明理由． 13．（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该一元二次方程总有实数根； (2)若方程的两根一正一负，求的取值范围． 14．（2026九年级上·河北·学业考试）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同根方程”．例如，和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同根方程”． (1)请判断一元二次方程与是否属于“同根方程”，说明理由； (2)关于的一元二次方程与为“同根方程”，求的值． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十四章 一元二次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 一元二次方程的定义 题型2 一元二次方程的一般式 题型3 由一元二次方程的定义求参数 题型4 一元二次方程的解及其求参 题型5 用合适的方法解一元二次方程 题型6 根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 题型7 根据一元二次方程根的情况求参数 题型8 换元法解一元二次方程 题型9 一元二次方程根与系数的关系 题型10 传播问题 题型11 增长率问题 题型12 与图形有关的问题 题型13 营销问题 题型14 动态几何问题 题型15 其他问题 核心提升：重难题型归纳 题型1 由一元二次方程的解求参综合 题型2 配方法的应用 题型3 换元法解一元二次方程综合 题型4 一元二次方程的含参问题 题型5 构造一元二次方程问题 题型6 一元二次方程根与系数关系综合 题型7 一元二次方程与几何图形结合 题型8 一元二次方程的销售利润问题 题型9 一元二次方程的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 一元二次方程的定义 1．（25-26九年级上·河北·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 2．（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列方程中，一元二次方程共有（    ）个． ①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的定义一一判定即可． 【详解】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； ②ax2+bx+c＝0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； ③不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； ④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； ⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； ⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程． 综上所述，一元二次方程共有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3．（24-25九年级上·河北·阶段检测）下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，逐一验证选项即可． 【详解】解：A、未说明，当时，方程不是一元二次方程，故A错误； B、方程含有，两个未知数，故B错误； C、方程中含有分式，不是整式方程，故C错误； D、方程，整理得，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义，故D正确． ◆题型2 一元二次方程的一般式 4．（25-26九年级上·河北保定·期末）将方程化为一元二次方程的一般形式后，其一次项和常数项分别是（    ） A．， B．，10 C．8x， D．8x，10 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需先将方程化为的形式，再确定一次项和常数项即可． 【详解】∵原方程为， ∴展开左右两边得， 移项得， 合并同类项化为一般形式， ∴一次项是，常数项是， 故选：A． 5．（25-26九年级上·河北保定·期末）将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将原方程所有项移至等号左边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程化成一般形式是， 故选：． 6．（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）一元二次方程化为一般形式后二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，把方程整理成一般形式，进而根据一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴方程化为一般形式后二次项系数为，一次项系数为，常数项为， 故答案为：，，． ◆题型3 由一元二次方程的定义求参数 7．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程．据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：A． 8．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，其一般形式是（））是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列方程和不等式求解的值． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且． 由，得． 由，得． ∴． 故选：． 9．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. ◆题型4 一元二次方程的解及其求参 10．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．2025 B．－2026 C．2026 D．4052 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，将方程的根代入原方程，通过移项即可求出代数式的值。熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键，直接代入方程变形即可求解，无需复杂计算。 【详解】是一元二次方程的一个根， 将代入方程得：， 移项得：． 故选：C． 11．（25-26九年级上·河北保定·期末）若为方程的一个解，则代数式的值为（    ） A．2007 B．2019 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键． 将代入方程得到，代入所求代数式求解即可． 【详解】解：∵为方程的一个解， ∴，即， ∴ ． 故选：D． 12．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知是方程的一个根，代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ， 故答案为：． ◆题型5 用合适的方法解一元二次方程 13．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)， 【分析】（1）运用配方法求解方程即可； （2）运用十字相乘法求解方程即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ， 解得，． 14．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于正确掌握因式分解法． （1）利用因式分解法解一元二次方程，即可解题； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可解题． 【详解】（1）解：， 整理得， 因式分解得， 即， 则或， 解得，； （2）解：， 因式分解得， 则或， 解得，． 15．（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）用适当方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握相关解法是解题的关键． （1）将方程进行变形，利用开平方法进行求解即可； （2）利用配方法进行求解即可； （3）利用配方法进行求解即可； （4）利用因式分解法进行求解即可； 【详解】（1）解： ， （2）解： ， （3）解： ， （4）解： ， ◆题型6 根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 16．（2026·河北廊坊·一模）已知方程，下列说法正确的是（   ） ①该方程没有实数根；②是该方程的一个根；③该方程的两个实数根的积为 A．只有① B．只有② C．只有③ D．②③ 【答案】D 【详解】解：原方程为 ，其中 ． 判断①：∵ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根，①说法错误． 判断②：将 代入方程左边，得 方程右边， ∴ 是该方程的一个根，②说法正确． 判断③：将原方程因式分解得 ，解得方程两个根为 ，两根的积为 ， ∴ ③说法正确． 综上，②③正确． 17．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若c是方程的一个根，则一定有成立； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若，则它有一根为； ④若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的______． 【答案】②③④ 【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：若c是方程的一个根，则， ∴， ∴或，故①错误； 若方程有两个不相等的实根，则， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故②正确； 若，则，即： ∴，即：， ∴它有一根为，故③正确； 若，则， 即：， ∵，∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解，解题的关键是掌握代数式，等式的变形． 18．（25-26八年级下·河北张家口·期末）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 【答案】(1)错误；错误． (2)． 【分析】（1）由乘积为5的两个因数有无数种情况从而可判断嘉嘉错误，通过移项分析发现琪琪对的分析是错的； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或是错误的； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法错误； （2）解： 移项得：， 提取公因式得：， ∴或， ． ◆题型7 根据一元二次方程根的情况求参数 19．（2026·河北邯郸·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义以及判别式与根的关系，列不等式求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， 整理，得， 解得， ∴，且． 20．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【分析】此题考查一元二次方程的定义和根的判别式，解一元一次不等式，根据方程有实数根需满足判别式大于等于0，且二次项系数不为0，由此求解的取值范围． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴，且， ，， ． 故答案为：． 21．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，方程的根都为正整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有两个实数根，得到，列出不等式进行求解即可； （2）根据为正整数，得到或，分别解一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ∵该方程有两个实数根， ， 解得． （2）由（1）知：， ∵为正整数， ∴当时， 方程化为：， 解得，， ∵方程的根都为正整数， ∴此时不符合题意，舍去； 当时，方程化为， 解得，符合题意， ，此时方程的根为． ◆题型8 换元法解一元二次方程 22．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测）若，则的值是（   ） A．或2 B．4 C．或4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，涉及换元法、因式分解法解一元二次方程等知识，采用换元法转化成一元二次方程求解是解决问题的关键．令，将条件中的等式转化为一元二次方程，采用十字相乘法因式分解求解即可得到答案． 【详解】解：令， 则可化为， 即， ， 解得或， ， ，即的值是， 故选：D． 23．（2025九年级上·河北·专题练习）我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是___． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据已知方程的解，通过代换法求解新方程． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因为方程的解是，， 所以或，即或， 解得或． 故答案为：，． 24．（25-26九年级上·河北保定·期中）阅读理解 在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化、明朗化．在解高次或多元方程时，换元法可以帮助我们降低方程的次数或减少未知数的个数，使方程变得更易于解决． 比如：方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，通常用换元法求方程的解，过程如下： 设，那么，于是原方程可化为， 解得，， 当时，，∴， 当时，，∴， ∴原方程有四个根：，，，． 学以致用 用换元法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查换元法解方程． （1）通过换元将高次方程转化为二次方程求解； （2）通过换元处理绝对值，转化为二次方程求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程化为． ∵， ∴， ∴，； 当时，， 即， ∴， ∴，； 当时，， 即， ∵， ∴无实数根； 故原方程的解为，； （2）解：设，则，且， 原方程化为， 即． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，即， ∴，． ◆题型9 一元二次方程根与系数的关系 25．（2026·河北邯郸·二模）已知，是关于的一元二次方程的两个根，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，先通过判别式判断方程根的情况，再根据根与系数的关系得到两根之和、两根之积，逐一判断选项即可． 【详解】解：方程的判别式为：， 方程有两个不相等的实数根，即， 故选项A、D错误； 根据根与系数的关系得：，， 为任意实数， ，不是固定值， 故选项B错误，选项C正确． 26．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段检测）若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系； 首先把m、n代入方程，可得，，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，求出，用整体代入法计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，， ，， ， ∴ ， 故答案为：． 27．（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由（1）知，则原方程变为， 设这个方程的两个根是，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得． ◆题型10 传播问题 28．（25-26九年级上·全国·课后作业）某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 【答案】(1)每轮平均1人会传染8人 (2)三轮传染后，患病的人数会超过700 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． （1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意，得，解得（不合题意，舍去）． 故每轮平均1人会传染8人． （2）解：三轮传染后的人数为． ， ∴三轮传染后，患病的人数会超过700． 29．（25-26九年级上·福建厦门·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了个人． （1）第二轮被传染上流感人数是______；（用含的代数式表示） （2）在进入第二轮传染之前，如果有名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有人患病的情况发生，并说明理由． 【答案】（1）；（2）会；理由见解析 【分析】（1）一个人患流感，则经过一轮传染后患病的总人数为人，然后每个人又传染人，表示出第二轮传染上流感的人数即可； （2）因进入第二轮传染之前，有名患者被及时隔离（未治愈），则第二轮后共有人患流感，而此时患流感的人数为人，根据这个等量关系列出方程，若能求出正整数解，则会有人患病的情况发生． 【详解】解：（1）根据题意：第二轮被传染上流感人数是：， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：，（舍）， ∵为正整数， ∴第二轮传染后会有人患病的情况发生． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有四位患者被及时隔离（未治愈）列出方程并求解． 30．（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． ◆题型11 增长率问题 31．（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降到81元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得____________．若第三次降价的百分率与前两次相同，则经过三次降价后，顾客一共节省了________元． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．此题可设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来单价的，第二次降价后的单价是原来单价的，根据题意列方程求得；再计算经过三次降价后每瓶零售价，据此求解即可． 【详解】解：根据题意可列方程： ， 解得或（舍去）， 经过三次降价后每瓶零售价为， ， 经过三次降价后，顾客一共节省了元． 故答案为：；． 32．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）某种商品原价是125元，经过两次降价，价格下降了． (1)求价格降到了多少元； (2)已知每次下降的百分率相同，那么每次下降的百分率是吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出每次下降的百分率． 【答案】(1)80元 (2)不是，每次下降的百分率为 【分析】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）价格下降了，那么实际价格为原来的，据此列式求解即可； （2）设每次下降的百分率是x，根据两次降价后价格从125元变为80元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：元， 答：价格降到了80元； （2）解：不是，每次下降的百分率为，理由如下： 设每次下降的百分率是x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴每次下降的百分率为． 33．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段检测）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)①55元；②不能实现，说明见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，根据经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①根据使月销售利润达到11250元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； ②根据使月销售利润达到12500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①由题意得：， 解得：，， 当时，月销售量为个； 当时，月销售量为个， 因需要尽快减少库存，故应选择销售量大的方案，所以，舍去， ， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为55元； ②不能实现，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数根， 不能实现利润为12500元． ◆题型12 与图形有关的问题 34．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）项目化学习 项目背景：学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），请你和数学小组一起参与实验田的设计． 数据测量：该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米．设实验田的长为米． 问题解决： (1)的长为_____米（用含的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【答案】(1) (2) (3)不能 【分析】本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据题意列出即可； （2）根据题意建立方程，解方程求出的值，再根据位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米即可求解； （3）根据题意建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可判断． 【详解】（1）解：由题意得：（米）， 得（米）， 故答案为：． （2）解：由题意得：， 整理得， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 则的值为． （3）解：假设该实验田的面积能为240平方米， 则， 整理得， ∵，方程没有实数根， ∴假设不成立． 答：该实验田的面积不能为240平方米． 35．（25-26八年级上·河北·课后作业）小明和同桌小聪在课后自主复习时，对一道思考题进行了探索．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时点到墙底端的距离为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么点将向外移动多少米． (1)请你将小明对思考题的解答补充完整： 解：设点将向外移动，即． 则，． 在中，，，可得方程 _____， 解方程，得_____，_____ 答：点将向外移动_____ (2)解完思考题后，小聪提出了下面两个问题： ①在思考题中，将“下滑”改为“下滑”，那么该题的答案会是吗？为什么？ ②在思考题中，梯子的顶端从点处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题． 【答案】(1)，，（舍去），； (2)①不会是，理由见解析；②有可能，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，解一元二次方程． （1）仔细审题，根据已知的解答步骤可知的长度，只要将其代入中即可得到方程，求解即可解答问题，注意x的取值范围； （2）①只需将（1）中的长度变为米，列方程求解即可解答； ②假设有可能相等，设这个相等的距离为x，根据勾股定理列出关于x的方程，然后进行求解，看得到的解是否有意义即可完成解答． 【详解】（1）解：设点将向外移动，即． 则，． 在中，，， 可得方程， 解方程，得，（舍去） 答：点将向外移动． 故答案为：，，（舍去），； （2）解：①不会是米．理由如下： 设点B将向外移动x米，即． 则，． 在中，，， 可得方程， 解方程，得，（舍去）． 点将向外移动，不是； ②设下滑的距离与向外移动的距离均为x米， 则，， ∵米，米，米，， ∴， 解得或（舍去）， 故当梯子的顶端从A处下滑米时，点B向外也移动米， 即梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等． 36．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，利用一面墙（墙长米），用总长度49米的木栏围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米宽的小门，设木栏的长为x米． (1) 米（用含x的代数式表示）； (2)若矩形围栏的面积为210平方米，求木栏的长？ (3)矩形围栏的面积是否可能达到240平方米？请说明理由． 【答案】(1) (2)木栏的长为10米 (3)矩形围栏的面积不可能达到240平方米，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列出代数式即可； （2）根据矩形围栏的面积为210平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）根据矩形围栏的面积为240平方米，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：的长为x米，则（米）， 故答案为：； （2）由（1）可知，米， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：木栏的长为10米； （3）矩形围栏的面积不可能达到240平方米，理由如下： 由（1）可知，米， 依题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 矩形围栏的面积不可能达到240平方米． ◆题型13 营销问题 37．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）石家庄市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售某款头盔，进价为元/个，经市场调查，发现当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上每上涨元，则月销售量将减少个，设售价在元/个的基础上涨了元． (1)请用含的代数式表示每个头盔的利润； (2)设月销量为个，请写出销量与涨价之间的函数表达式； (3)为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)元 (2) (3)40元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用，熟练掌握利润、销量与售价之间的数量关系，以及根据题意列方程和函数表达式是解题的关键． （1）利润售价进价，已知原售价元，涨价元，进价元，用含的代数式表示利润． （2）销量随涨价而减少，原销量个，每涨元销量减个，据此列出销量与涨价的函数关系． （3）月销售利润单个利润销量，代入前两问的表达式，列方程求解，再根据让顾客得到实惠的条件选择较小的涨价幅度，计算实际售价． 【详解】（1）解：每个头盔的利润为（元）； （2）解：； （3）解：根据题意，得， ， ， ， ， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴取， 实际售价为（元）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为40元/个． 38．（25-26九年级上·广东深圳·期末）某市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，平均每天可售出件． (1)求平均每次降价每件盈利减少的百分率； (2)为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，每件应降价多少元？ 【答案】(1)平均每次降价每件盈利减少的百分率为 (2)若商场每天要盈利元，每件应降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，进行列式计算，即可作答． （2）结合每件盈利元，平均每天可售出件，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设平均每次降价每件盈利减少的百分率为， 根据题意，得， 解得（舍去）或， 答：平均每次降价每件盈利减少的百分率为． （2）解：设每件应降价元， 根据题意，得， 解得，， 尽快减少库存，且一件女款上衣每降价元，每天可多售出件 答：若商场每天要盈利元，每件应降价元． 39．（25-26九年级上·河北保定·期中）某店一型号台灯的成本价为30元，若以每台40元出售，平均每月能售出600台，经过一周试销售，发现售价在40元至70元范围内，平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ (3)正式销售后每台台灯的利润率不得高于，该店每月能否获得12250元的利润？若能，则台灯的售价应定为多少？若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为每台50元 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，求一次函数的解析式，解一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解题意，设台灯数量（台）与售价上涨（元）之间满足的函数关系为，再代入点和，进行计算，即可作答． （2）因为实现平均每月10000元的销售利润，且结合进行列式计算，即可作答． （3）与（2）同理，得出，解得．因为每个台灯的利润率不得高于成本价的，所以，解得，即可作答． 【详解】（1）解：由图可知，设平均每天售出的台灯数量（台）与售价上涨（元）之间满足的函数关系为， ∵函数过点和， ∴将点和代入， 得， 解得， ∵售价在40元至70元范围内， ， 与的函数表达式为． （2）解：由题意，得， 整理，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ， ∴为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为每台50元． （3）解：不能．理由如下： 由（2）可知，当该店每月获得12250元的利润时，， 整理，得， 解得． ∵每个台灯的利润率不得高于成本价的， ， 即． ， ∴不可能满足题意． ◆题型14 动态几何问题 40．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在矩形中，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (2)当为何值时，的面积为？ 【答案】(1)能，秒 (2)秒或秒 【分析】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）根据题意能表示，，然后在中利用勾股定理列方程即可求解； （2）将的面积组合为矩形的面积(面积+面积+面积)，列方程求解即可。 【详解】（1）解：，则 在中，， 即， ， 解得或（舍去）， ∴； 答：能，当为4秒时的长度为； （2）解：矩形面积为， 面积为， 面积为， 面积为， 则面积为 令， 即， 解得或 答：当为2秒或4秒时，的面积为 41．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在矩形中，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动（点停止移动时，点也停止移动）．设移动时间为，连接． (1)用的式子表示______，______； (2)当为何值时，四边形的面积为？ (3)当为何值时，两点间的距离为13cm？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方，一元二次方程的应用、勾股定理的应用； （1）根据题意直接列出代数式； （2）根据梯形的面积为，列出一元一次方程，解方程，即可求解． （3）可通过构建直角三角形来求解．过作于，如果设出发秒后，．那么可根据路程速度时间，用未知数表示出的值，然后在直角三角形中，求出未知数的值． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为，，； （2）解：∵， ∴， 依题意，， 素 解得： （3）解：设出发秒后、两点间的距离是． 则，，作于，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 解得：或． 42．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形？ (3)在点M、N运动过程中，能否得到以A、B、C其中一个点为顶点，以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【答案】(1)12秒 (2)4秒 (3)能，4秒或8秒或16秒或秒 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及勾股定理，一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握等边三角形的性质以及勾股定理是解题的关键． （1）设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形，根据等边三角形的性质可得，列出方程，即可求解； （3）分两种情况，结合等边三角形的性质以及勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：设点M、N运动t秒后，M、N两点重合， 由题意得，， 解得：； （2）解：设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形， 如图1， 根据题意得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点M、N运动4秒后，可得到等边； （3）解：由（2）得，点M、N运动4秒后，可得到等边， 即是以为底边的等腰三角形， 当点M、N在边上运动时，可以得到以为底的等腰三角形， 当秒时，为以为底的等腰三角形， 由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图2，假设是等腰三角形， ∴， ， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ∴ ∴， 设当点M、N在边上运动时，M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ∴， 由题意得，， 解得：． 如图3，当时，过点B作于H， ∵， ∴，， 在中，， 即， 解得： （负值舍去）， 综上所述，以为底边的等腰三角形时，M、N运动的时间为4秒或8秒或16秒或． ◆题型15 其他问题 43．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段检测）《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．小明对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．一株椽的价钱为27文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 根据题意，找出等量关系，列方程求解，对各选项进行分析即可． 【详解】解：设这批椽一共有x株， 根据题意得，， 即， 解得，，（舍去）， ∴这批椽一共有株， ∴一株椽的价钱为：（文）； ．设这批椽的数量为株，则，说法正确，不符合题意； ．一株椽的价钱为文，说法不正确，符合题意； ．一株椽的价钱为文，说法正确，不符合题意； ．这批椽一共有株，说法正确，不符合题意． 故选：． 44．（25-26九年级上·河北邢台·期末）为防控疫情，我们应该做到有“礼”有“距”，于是用“碰肘礼！代替“握手”的问候方式逐渐流行． 某次会议上，每两个参会者都相互行了一次“碰肘礼”，经统计共碰肘28次，若设有人参加这次会议，则可列方程为__________，__________． 【答案】 8 【分析】利用碰肘的总次数参会人数（参会人数，即可得出关于的一元二次方程，再解这个方程即可求解． 【详解】解：依题意得， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴ 故答案为：；8． 【点睛】本题考查了一元二次方程和应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 45．（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径．经市场调查发现：搭建一个面积为公顷的大棚，所需建设费用（万元）与与成正比例，比例系数为，内部设备费用（万元）与成正比例，比例系数；. (1)直接写出与x之间的关系式：________________； _____________________ (2)若种植公顷蔬菜需种子，化肥农药的开支万元，收获的蔬菜年均可卖万元．某农户准备用不超过万元的资金来种植大棚蔬菜，希望当年获得万元的收益（扣除修建和种植成本），请你帮他估算应该修建多少公顷的大棚？ (3)在（）条件下、除种子、化肥、农药的开支需要每年支出外，其他设施三年内都不需要增加投资，并可以继续使用，请你帮他计算三年的纯收益共有多少万元？ 【答案】(1)； (2)公顷 (3)万元 【分析】（）根据成正比例的定义列出函数式即可； （）根据题意列出方程求出的值，进而结合资金不超过万元解答即可求解； （）根据（）的结果列出算式计算即可求解； 本题考查了列函数式，一元二次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：；； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵某农户准备用不超过万元的资金来种植大棚蔬菜， ∴， 整理得，， 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； ∴， 答：应该修建公顷的大棚； （3）解：万元， 答：他三年的纯收益共有万元． ◆题型1 由一元二次方程的解求参综合 46．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____________． 【答案】－2026 【分析】因为a是方程的根，所以可将a代入方程得到关于a的等式，作为化简代数式的核心依据．利用得到的等式对代数式的前两项进行降次化简．利用得到的等式变形得到的表达式，代入分式中化简，最后合并化简后的两部分结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴， 对所求式前两项提取公因式： ∵， 代入分式部分： ∵， ∴等式两边同除以得： ， ∴， 将以上结果代入原式： ． 47．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，关键是利用方程根的定义进行转化；可先将已知方程的根代入原方程，再通过代数变形推导，找到满足第二个方程的根. 【详解】解：∵ 关于的方程有一个实数根为， ∴ 将代入方程得： ， 整理得：， 将上式两边同时除以，得： ， 变形为：， 对比方程，可知当时，方程成立， ∴ 方程必有实数根为． 故答案选：B． 48．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设，则，进而得到，即是方程的根，进而得到是方程的根，由得到，根据可知，是方程的两个根，则或，排除，进而根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵， ∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得， 即， ∵， ∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故选：D． ◆题型2 配方法的应用 49．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 50．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 51．（25-26八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1)是 (2) (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； (4)当时，的最小值为 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）解： 略 （4）解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． ◆题型3 换元法解一元二次方程综合 52．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）若，其中为实数且，，则____________． 【答案】 【分析】先对第二个方程变形，整理得到关于的一元二次方程，该方程与已知关于的方程形式相同，结合条件可知和是该一元二次方程的两个不同根，计算可得两者的和． 【详解】解：已知，，且，． 由可得，若，等式左边为，不成立． 将两边同时除以， 得：， 移项整理得：， 因此和都是一元二次方程的根． 对因式分解， 得， 解得方程的两个根为，． ∵，因此和为方程两个不同的根． ． 53．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）关于的方程的根是，（，，均为常数且），则关于的方程的所有实根之和是______． 【答案】 【分析】先对所求方程进行整理配方，通过换元法得到所求方程的根与已知方程根的关系，求出所求方程的两个实根即可解答． 【详解】解：对方程进行整理： ， 配方得： ， 变形得： ， 令，则原方程变为， 已知方程的根为，， 因此，， 即或 解得，， 所有实根之和为． 54．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根． （1）当时，则的值是________； （2）当时，则的值是________． 【答案】 / 【分析】（1）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，再解方程即可； （2）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，化简后两边同时除以，将方程转化为，解方程即可． 【详解】解：（1）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵，为正实数， ∴． （2）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵n、t均为正实数， ∴． ◆题型4 一元二次方程的含参问题 55．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知二次方程的两根一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【分析】由二次方程和根的判别式解不等式组得出实数m的取值范围． 【详解】解：是二次方程， ，解得． 二次方程有两根， ． 即． 或． 解，得． 解，得且，不合题意舍去． 实数m的取值范围为． 56．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 57．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 【答案】7 【分析】首先把方程进行整理，根据一元二次方程的求根公式得，再根据x，m均是整数且，得m为完全平方数，即可求解． 【详解】解：将方程整理得：， ∴， ∴当时，方程根为，     ∵，均是整数且， ∴为完全平方数， ∴，1、4、9、16、25、36． ∴符合条件的整数m的个数为7． ◆题型5 构造一元二次方程问题 58．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知，且，，则__________． 【答案】 【详解】解：当时，方程左边， ． 将方程的两边同时，得． ，即， 为一元二次方程的两个不相等的解， ∴由韦达定理得． 59．（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 【答案】(1) (2)-1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． 由题意得出是方程的两个不相等的实数根，据此知，将其代入计算即可； 把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 故答案为：． （2）解：把两边同时除以，得 ． 又， 实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 60．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； 用换元法解方程：． (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，则的值 (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，求的值 【答案】(1)整体（或转化、化归）；5； (2)2或 (3)6 【分析】本题考查了换元法解方程和一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意利用换元法解方程即可； （2）仿照题意利用韦达定理进行求解即可； （3）设，则可得，进一步得到，再证明，推出，由 ，可得，即． 【详解】（1）解：材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体的数学思想方法， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 故的值为5； ， ， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 解得； （2）实数m，n满足：， 当时，， 当实数m，n是方程的两个不相等的实数根， ， ， 的值为2或； （3）设， ， ， ， 整理得， ， ， ， ， ， ， ． ◆题型6 一元二次方程根与系数关系综合 61．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； (2) (3)的最大值为 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 62．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)当或时，方程是理想方程 (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可； （2）根据理想方程的定义求解即可； （3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或． 63．（2026·福建福州·模拟预测）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【答案】(1) (2) (3) 证明： ∵①，②， ①②得：， 整理得：， ∵， ∴， 等式两边同时除以得：，即， ∴ 将代入①得：， 整理得：， 移项整理得：， 同理，将代入②，整理得， ∵， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴. 【分析】（1）代入，利用求根公式求出方程的正根即可； （2）将已知等式变形，得到和是原一元二次方程的两个不相等根，利用根与系数的关系求出的值； （3）对两个已知等式作差，结合得到的关系式，再推导出，是新一元二次方程的两个根，利用根与系数关系证明结论. 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， ∴， ∴， ∴“黄金分割数”为； （2）解：∵，， 将两边同时除以，得， ∵， ∴， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （3）略 ◆题型7 一元二次方程与几何图形结合 64．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，，．有一动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是．在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线方向移动，速度是．若设P出发后时间为t秒． (1)用含t的代数式分别表示线段的长度，并写出相应的t的取值范围． (2)连接，求使面积为时相应的t的值． (3)问是否存在这样的时间t，使平分或者的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)当时， 的面积为 (3)存在，或 【分析】（1）根据题意得出时，，当时，，当时，，当时，，即可求解； （2）分两种情况分析：当P在线段 上时，当P在延长线上时，作出相应图形，然后利用面积建立方程求解即可； （3）分两种情况分析：当平分时，当平分的外角时，利用角平分线的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理解三角形求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：∵， 动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是， ∴， ∴时，， 当时，， ∴ ∵P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发， ∴当时，， 当时，， ∴； （2）根据题意得：点 P在线段上时，;当点P在延长线上时，， 的面积 ， ①当P在线段 上时： ， 整理得： ， ， ∴方程无实数根； ②当P在延长线上时： ， 整理得：， 解得： ∵此时P在延长线上， ∴,即 舍去，符合题意； 答：当时， 的面积为； （3）存在， 当平分时，过点P作 于点D，如图所示： ∵平分 ， 在 中，， ， ∵， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 当平分的外角时，过点P作 于点D，如图所示： 同理得， ，， ， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 综上可得：或． 65．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 66．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； (2)在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； (3)如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； (4)设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． 【答案】(1)， (2) (3)的值为7 (4)2秒 【分析】本题主要考查动点线段长，面积问题，熟悉一次及二次函数是解题的关键． （1）根据题意写出线段长即可； （2）先求矩形的面积，再利用得出面积表达式，再代入求解，注意取舍； （3）分点在线段上和点在线段上，结合图形得到面积求解； （4）分，，，，，结合图形判断即可； 【详解】（1）当点在边上运动时， ， 则， ； （2）矩形的面积为， ， 则， 又五边形的面积为25， 所以，即，解得或， 又时，点不在边上， 所以的值为1； （3）点沿的路线运动到点的过程中， ①当点在线段上时，，， 此时是的高， ，解得， 当时，， 故点不在线段上，不符合题意； ②当点在线段上时， ，，， ， 解得或， 时，，符合题意； 时，，不符合题意， ， 综上，当的面积为1时，求的值为7． （4）当时，在线段上，如图，易得点在外部， 当时，在线段上，如图， 此时， 当时，过点， 所以此时点在外部， 当时，在中点，在中点，如图， 此时在上， 当时， ，如图， 当时，过点， 所以此时点在内部， 当时，此时在线段上， 此时点在外部， 综上，时，此时点在内部，共2秒． ◆题型8 一元二次方程的销售利润问题 67．（2025九年级下·湖北宜昌·专题练习）某工厂每月生产800件产品，每件产品的成本为100元，分配给线上旗舰店和线下直营店两个渠道销售．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：．线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动；月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完，超过400件的部分，因礼品已送完，则需要一次性投入成本为5000元的广告进行宣传 (1)设线上旗舰店的月销售量为a件，线下直营店的月销售量为b件，分别用含a、b的代数式表示： ①线上销售的a件产品的利润为 元； ②若，则线下销售的b件产品的利润为 元；若，则线下销售的b件产品的利润为 元． (2)假设工厂每月生产的800件产品可全部售完，请你设计一种分配方案，使得销售总利润为46200元．（注：要有解答过程） 【答案】(1)①；②， (2)应分配线上旗舰店销售160件，线下直营店销售640件 【分析】本题考查一元二次方程的应用、一元二次方程根的判断式、列代数式， （1）①根据总利润等于一件的利润乘以总销售量列代数式即可；②若，利用线下销售总利润等于一件的利润减去赠送礼品的成本，再乘以销售总量列式即可；若，总利润为前400件的利润与超出400件部分的利润之和，再减去广告成本，即可； （2）设线上旗舰店的月销售量为m件，则线下直营店的月销售量为件，分两种情况：当时或当，根据总销售利润列方程求解即可． 【详解】（1）解：①线上销售的a件产品的利润为：元， 故答案为：； ②由题意得，若，则线下销售的b件产品的利润为：元， 若，则线下销售的b件产品的利润为：元； 故答案为：；； （2）解：设线上旗舰店的月销售量为m件，则线下直营店的月销售量为件， 当，即时，， 整理得，， ∵， ∴该方程没有实数根， 当，即时，， 整理得，， 解得，， ∴， ∴应分配线上旗舰店销售160件，线下直营店销售640件，使得销售总利润为46200元． 68．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)某水果市场9月底以25元的价格从基地批发500千克“阳光玫瑰”放在冷库内，冷库存放一天需费用100元（储藏时间不超过12天），此时“阳光玫瑰”市场价为30元每千克，因国庆黄金周的到来，此后每千克“阳光玫瑰”的市场价格每天上涨1.5元，但是，平均每天还有10千克“阳光玫瑰”变质丢弃．若市场经理想获得4500元的利润，需将“阳光玫瑰”储藏多少天后一次性售出． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，根据“2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩”列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设将“阳光玫瑰”储藏y天后一次性售出，根据“销售额成本利润”，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（舍）， 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为． （2）解：设将“阳光玫瑰”储藏y天后一次性售出， ， 解得，（舍）， 答：需将“阳光玫瑰”储藏10天后一次性售出． 69．（25-26九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． (1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ (2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 【答案】(1)总共生产了袋手工汤圆 (2)促销时每袋应降价4元 【分析】（1）设总共生产了袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可； （2）设促销时每袋应降价元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可． 【详解】（1）设总共生产了袋手工汤圆， 依题意得， 解得， 经检验是原方程的解， 答：总共生产了袋手工汤圆 （2）设促销时每袋应降价元， 当刚好10天全部卖完时， 依题意得， 整理得： ， ∴方程无解 ∴10天不能全部卖完 ∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为 ∴依题意得， 解得（舍去） ∵要促销 ∴ 即促销时每袋应降价4元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论． ◆题型9 一元二次方程的新定义问题 70．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题在新定义的基础上，考查了解二元一次方程组，一元二次方程的解，求代数式的值等知识，解决问题的关键是利用降次的方法化简代数式．先由定义求得，的值，进而知道是的根，可知，那么有，那么，那么，进而得出结果． 【详解】解：由题意得，， ， 是关于的方程的根， 是方程的根， ， ， ， ； 故选：A． 71．（24-25九年级上·北京·开学考试）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根。 其中正确的有_________（填正确的序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对②③进行判断；利用反例对④进行判断． 【详解】解：的倒方程为，把代入方程得，解得，所以①正确； 当时，一元二次方程的根的判别式，也为一元二次方程，此方程的根的判别式△，所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以②正确； 一元二次方程无解，则，即，一元二次方程的倒方程为的根的判别式，则它的倒方程也无解，所以③正确； 一元二次方程有两个不相等的实数根，则，当，时，为一元一次方程，它的倒方程只有一个实数解，所以④错误． 故答案为：①②③ 72．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，若实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如若实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、，且，满足、，则的值为___________； (2)若关于的方程有两个实数根，，若满足，求的值； (3)已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据实数、是一元二次方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可； （2）先将，代入求出，再由一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （3）将、看作是方程的两实数根，再由一元二次方程根的判别式得不等式，结合即可求解． 【详解】（1）解：实数、，且，满足、， 实数、（）是一元二次方程的两根， ， 故答案为：； （2）解：方程两个实数根，，若满足， ，无解或， ， ， ，， ． （3）解：，， 将、看作是方程的两实数根； ， 而， ， ， 即， 的最大值为1． 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 2．（2026·安徽淮南·一模）关于的一元二次方程有两实数根，其中一根为，则这两根之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，先将已知根代入方程求出参数的值，再由根与系数的关系计算两根之积即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入方程得， 解得， 关于的一元二次方程为， ∴两根之积为． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设1人每次能教会名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元二次方程． 根据传播模型，初始1人会做，第一节课后增加x人，第二节课后每个会做的人教会x人，总人数为． 【详解】解：初始会做人数为1， 第一节课后，会做人数变为， 第二节课，新教会人数为， ∴会做的总人数为． 故选：B． 4．（2026·河北沧州·三模）定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新运算规则整理出一元二次方程，再利用方程有实数根可得判别式，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 整理得 ， ∵该一元二次方程有实数根， ∴ ， 解得 . 5．（2026·河北张家口·一模）嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为， ∵该方程一个根为， ∴将代入得， 解得， 甲：∵原方程为， ∴将代入原方程得， 解得， ∴是原方程的根，甲说法正确； 乙：由题意得，， 代入得， ， 当时，，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确． ∴甲、乙都对． 6．（2026·河北邢台·二模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，将所求代数式变形后，结合根与系数的关系得到的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：是一元二次方程的根， ，即． ． ，是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得． 代入，得 ． 7．（25-26九年级上·河北唐山·期中）某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边长为___________米； 【答案】15 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意设菜地垂直于墙的一边的长为为x米，则根据图并利用长×宽=面积，建立方程并求解即可． 【详解】解：设菜地垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为米， 由题意列方程可得：， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 所以菜地垂直于墙的一边的长为15米． 故答案为：15． 8．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，将一边长为的正方形纸片沿裁剪线（图中虚线）剪成四块，恰能拼成一个矩形，则其中的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由图形观察可知，拼成的矩形的长为，宽为，从而得，然后解方程并检验即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由图形观察可知，拼成的矩形的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 由题可知， ∴， 故答案为：． 9．（25-26九年级下·山东枣庄·阶段检测）已知不相等的实数a、b满足，则__． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，根据题意可得a、b可看作关于x的方程的两实数解，则由根与系数的关系可得，再把原式可变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵不相等的实数a、b，且满足， ∴a、b可看作关于x的方程的两实数解， ∴， ∴ ， 故答案为： 10．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为1．其中正确的是_______．（写出所有正确说法的序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，解本题的关键在理解题意，正确作出判断． 通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法①；根据解方程，得出，，再结合“倍根方程”的定义，得出或，进而得出或，然后再用十字相乘法分解，再把，代入，即可判断说法②；通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法③；根据“倍根方程”的定义，设，再根据一元二次方程根与系数的关系，得出，进而得出，解出即可判断说法④． 【详解】解：①解方程得：， ∴方程不是倍根方程，故①不正确； ②∵是倍根方程，且，， ∴或， ∴或， ∴，故②正确； ③∵， 解方程得：，， ∴，故③正确； ④∵方程是倍根方程， ∴设， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即方程的一个根为1． 故④正确． 综上所述，说法正确的为：②③④． 故答案是：②③④ 11．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）对二次三项式十字相乘分解因式； （2）提取公因式分解因式，分别令每个因式等于0即可得到方程的根． 【详解】（1）解： 因式分解得 或 解得， （2）解： 提取公因式得 整理得 或 解得， 12．（25-26八年级下·河北张家口·期末）某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．设降价元． (1)若每天获得900元的利润，请你帮忙计算每件应降价多少元？ (2)该服装店能否通过降价销售的方式保证每天获得1640元的利润？并说明理由． 【答案】(1)每件应降价元； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程求解，结合降价幅度不超过元的条件舍去不符合题意的解得到结果； （2）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程，通过判断方程是否存在实数解即可得到结论． 【详解】（1）解：设降价元，根据题意，降价元后，每件盈利为元，每天销售量为件，且． 可得方程 ， 整理得 ． 解得 ， ， 不符合题意，舍去. 因此每件应降价元． （2）解：假设能获得每天元的利润， 根据题意得 ， 整理得， 配方得， 任何实数的平方都不为负数， 该方程没有实数解，因此该服装店不能通过降价销售的方式保证每天获得元的利润. 13．（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该一元二次方程总有实数根； (2)若方程的两根一正一负，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据根的判别式证明即可； （2）根据根与系数的关系得到两根之积，进而根据“两根一正一负”作答即可． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴无论为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）解：两根之积， ∵方程的两根一正一负， ∴两根之积， 即， 解得：． 14．（2026九年级上·河北·学业考试）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同根方程”．例如，和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同根方程”． (1)请判断一元二次方程与是否属于“同根方程”，说明理由； (2)关于的一元二次方程与为“同根方程”，求的值． 【答案】(1)这两个方程是“同根方程”，见解析 (2)的值为1或4 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得；结合题意，将分别代入，从而计算得的值；再经检验符合的值是否符合题意，从而完成求解． 【详解】（1）解：这两个方程是“同根方程”， 理由：解，得，， 解，得，， 一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， 这两个一元二次方程为“同根方程”； （2）解：解，得，， 一元二次方程与为“同根方程”， 当相同的实数根为时，将代入，得，解得，此时一元二次方程的另一个根为，符合题意； 当相同的实数根为时，将代入，得，解得，此时一元二次方程的另一个根为，符合题意； 综上，的值为1或4． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 【答案】(1) (2)-1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． 由题意得出是方程的两个不相等的实数根，据此知，将其代入计算即可； 把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 故答案为：． （2）解：把两边同时除以，得 ． 又， 实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $