5.5.2简单的三角恒等变换（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角恒等变换，核心内容包括半角公式、积化和差与和差化积、辅助角公式。课堂导入通过复习二倍角公式，提出用α的三角函数表示α/2的三角函数的问题，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以问题驱动公式推导，如半角公式由二倍角余弦换元得出，辅助角公式通过构造三角函数模型推导，体现数学思维中的推理与化归。例题分层设计，从基础计算到实际应用，小结“学海拾贝”系统梳理公式与思想，帮助学生提升运算能力和逻辑推理，为教师提供结构化教学资源。

第五章 三角函数 5.5.2简单的三角恒等变换 5.5三角恒等变换 【新教材】人教A版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 ① 能利用二倍角的余弦公式推导出半角公式，掌握半角的正弦、余弦、正切公式，理解公式中符号的选取规则； ② 理解辅助角公式的推导逻辑，会用辅助角公式对 asinx+bcosx 型三角式进行化简、求最值； ③ 了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能运用公式完成简单的三角化简、求值计算。 感受三角公式之间内在的逻辑联系，体会三角恒等变换的工具性，培养严谨的运算习惯。 复习回顾：我们已经学习两角和差公式、二倍角公式。 这里是用 α 表示 2α 的三角函数。 如果反过来，我们想用 α 的三角函数，表示 的三角函数，该怎么办？ 思考： 目标一：半角公式 由二倍角公式 可得 即 把两式的两边分别相除，得 半角公式 上面三个公式，称作半角公式．在半角公式中，根号前面的正负号由 角所在的象限确定． 符号的规则 当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角函数值的符号． 若给出角 α 的范围 (即某一区间) 时, 可先求出 的范围, 再根据 的范围来确定各函数值的符号. 若没有给出确定符号的条件, 则在根号前保留正、负两个符号. 第一象限 第一，三象限 第二象限 第一，三象限 第三象限 第二，四象限 第四象限 第二，四象限 因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会存在所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,所以进行三角恒等变换时,常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择适当的公式. 这是三角恒等变换的一个重要特点. 公式运用 1、求 ，， 的值． sin 15° = = = = = 牛刀小试 因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会存在所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,所以进行三角恒等变换时,常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择适当的公式. 这是三角恒等变换的一个重要特点. 公式运用 1、求 ，， 的值． cos 15° = = = = = 牛刀小试 公式运用 2、已知 ， 是第四象限的角， 试求 由于 是第四象限的角，则 且 为第二、四象限的角，从而 牛刀小试 公式运用 3、求证： 证明 同理 可以看成正切半角公式的补充 牛刀小试 公式运用 4、已知 ，且 ，求 ． 解析1 ，即是第二象限角, 本题有两个思路： ① 的值． ② 或 的值． 解析2 ，即 是第三象限角. . 或 . 牛刀小试 目标二：积化和差与和差化积 求证: sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]; sinθ+sinφ=2sin cos . 推导 两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同 ？ （1）左边是两个角正弦与余弦的积，右边是两角和与两角差正弦和的一半； （2）左边是两个角正弦的和，右边是两角和差一半的正弦与余弦积的2倍． 证明: （1）因为sin(𝛼+𝛽)=sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽， sin(𝛼−𝛽)=sin𝛼cos𝛽−cos𝛼sin𝛽， 将以上两式的左右两边分别相加，得sin(𝛼+𝛽)+sin(𝛼−𝛽)=2sin𝛼cos𝛽， 即sin𝛼cos𝛽= [sin(𝛼+𝛽)+sin(𝛼−𝛽)]． 推导 由（1）可得．① 设，，那么，． 把的值代入①，即得． 如果不用（1）的结果，如何证明 ？ 推导 证明：因为 所以   证明用到了换元的方法. 如把 α+β 看作 θ, α-β 看作 φ, 从而把包含 α, β 的三角函数式转化为 θ, φ 的三角函数式. 或者, 把 sinαcosβ 看作 x, cosαsinβ 看作 y, 把等式看作 x, y 的方程, 则原问题转化为解方程 (组)求 x. 它们都体现了化归思想. 积化和差 sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]; sinαsinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)]; cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]; cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]. 和差化积 cos 5x cos 3x = = (cos 8x + cos 2x) 牛刀小试 牛刀小试 牛刀小试 目标三：辅助角公式 asinx+bcosx 能化成一个角的三角函数值吗？ 分析 令 则 其中 辅助角公式应用 1、求下列函数的周期，最大值和最小值： ； ． 分析: 便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是 ，利用和角公式将其展开，可化为 的形式. 反之，利用和（差）角公式，可将 转化为 的形式，进而就可以求得其周期和最值了. 解: (1) 因此, 所求周期为, 最大值为2, 最小值为-2 . 牛刀小试 辅助角公式应用 1、求下列函数的周期，最大值和最小值： ； ． 分析: 便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是 ，利用和角公式将其展开，可化为 的形式. 反之，利用和（差）角公式，可将 转化为 的形式，进而就可以求得其周期和最值了.  设 ，则 。 于是 ，，于是 ，所以 。 取 ，则 ，。由 可知，所求周期为 ，最大值为 5，最小值为 。 牛刀小试 辅助角公式应用 2、如图, 在扇形 OPQ 中, 半径 OP=1, 圆心角 ∠POQ=, C 是扇形弧上的动点, 矩形 ABCD 内接于扇 形. 记 ∠POC=α, 求当角 α 取何值时, 矩形 ABCD 的面 积最大? 并求出这个最大面积. 解: 在 中 在 中, 所以 设矩形 的面积为 , 则 牛刀小试 辅助角公式应用 2、如图, 在扇形 OPQ 中, 半径 OP=1, 圆心角 ∠POQ=, C 是扇形弧上的动点, 矩形 ABCD 内接于扇 形. 记 ∠POC=α, 求当角 α 取何值时, 矩形 ABCD 的面 积最大? 并求出这个最大面积. 由 , 得 , 所以当 , 即 时, . 因此, 当 时, 矩形 的面积最大, 最大面积为 . 牛刀小试 目标四：针对训练 举一反三 1.已知 为锐角，，则 A. B. C. D. 答案: D 解析: 因为，且为锐角, 所以.故选D.   举一反三 2.已知，且，则 A. B. C. D. 答案：D 解析: 本题考查余弦的半角公式.由 ，得 所以 举一反三 3.在中，若，则的形状一定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 答案：B 解析：由已知得， 因为，所以，所以. 又，所以，所以.无法判断其是不是等边三角形，也无法判断其是不是直角三角形，所以一定是等腰三角形. 举一反三 4.已知，，求，的值. 答案： 解析： 举一反三 5.已知，，求，的值. 答案： 解析： 目标五：小结 学海拾贝 1. 半角公式（由二倍角余弦换元推导） ，令 ，则 易错警示：正负号由 所在象限决定。 学海拾贝 2. 辅助角公式 其中 ，用于化简、求周期最值。 学海拾贝 3. 积化和差、和差化积 由两角和、两角差公式相加、相减变形得到，实现“乘积↔和差”的转化，用于化简求值。 4、数学思想 三角恒等变换核心：角的变换、函数名变换、式子结构变换；多用换元、化归，注意公式成立条件、符号判断。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $