5.5.2　简单的三角恒等变换(一)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕半角的正弦、余弦、正切公式展开，通过“思考”环节中α与α/2的倍角关系，引导学生从二倍角余弦公式推导半角公式，搭建前后知识的逻辑支架。 其亮点在于结合数学抽象与逻辑推理，通过“明辨是非”辨析符号问题，典例一题多解强化运算能力，“解题有招”总结化简证明方法，助力学生提升三角恒等变换技能，教师可直接用于课堂教学提升效率。

5.5.2　简单的三角恒等变换(一) 【学习目标】 1.能运用二倍角的余弦公式推导半角的正弦、余弦、正切公式.(数学抽象、逻辑推理) 2.能利用三角恒等变换对三角函数式进行化简、求值及证明.(数学抽象、数学运算) 1.半角公式 正弦 sin=± 余弦 cos=± 正切 tan=± 2.半角的有理公式 tan ,即已知整角的正弦、余弦可求半角的正切.半角的有理公式不含被开方数,且不涉及符号问题,所以求解题目时,使用相对方便. [思考] 1.α与有什么关系? 提示:倍角关系. 2.如何分别用sin2,cos2,tan2表示cos α? 提示:cos α=1-2sin2=2cos2-1=. [点睛] (1)半角公式中的正弦、余弦公式实际上是由二倍角的余弦公式变形得到的. (2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式,即只需知道cos α的值及相应的α的条件,便可求出sin,cos,tan. (3)对“半角”的理解应是广义的,不能仅限于是α的一半,其他如α是2α的一半,是的一半,是3α的一半等,这里面蕴含着换元思想,半角是相对而言的,描述的是两个角之间的数量关系. (4)半角公式中的±不能去掉,若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留±两个符号;若给出α的具体范围时,则先求的所在范围,然后根据所在的范围选用符号. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)cos .( ) 提示:cos =±. (2)存在α∈R,使得cos cos α.( ) 提示:如cos 时成立. × √ (3)若α是第一象限角,则tan .( ) 提示:若α是第一象限角,则是第一、三象限角,tan 为正. √ 类型1 利用半角公式求值(数学抽象) 【典例1】(教材提升·P225例7)已知sin α=-,π<α<,求sin,cos,tan的值. 【解析】因为π<α<,sin α=-,所以cos α=-,且<<, 所以sin,cos=-=-,tan=-2. 【解题有招】 利用半角公式求值的思路 (1)观察角:已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍. (2)明范围:依据已知角的范围,确定相应半角的范围. (3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan ,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2,cos2计算. (4)下结论:结合(2)求值. 【即学即练】 (一题多解)已知sin (α+)=,α∈(π,).则tan =　　　　.  【解析】因为sin (α+)=-cos α=,所以cos α=-. 方法一:因为α∈(π,),所以∈(,),则sin >0,cos <0, 所以sin ,cos =-=-,则tan =-2. 方法二:tan =-2. 方法三:tan α=,解得tan 或-2, 因为α∈(π,),所以∈(,),则tan <0,故tan =-2. 答案:-2 类型2 三角函数式的化简问题(数学抽象) 【典例2】(多选)(2025·景德镇高一检测)化简下列各式,正确的是(　　) A.=tan α B.=tan α C.-=4 D.2cos 20°cos 40°cos 80°= √ √ 【解析】选BD.A.=|tan α|,选项A错误. B.=tan α,选项B正确. C.-=2+>4,选项C错误. D.2cos 20°cos 40°cos 80°= =,选项D正确. 【解题有招】 化简问题中的“三变” (1)变角:寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式; (2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切; (3)变式:分析式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等. 提醒:涉及开方运算时一定要注意角的范围. 【即学即练】 化简:2+. 【解析】原式=2+ =2+=2|sin 4+cos 4|+2|cos 4|. 由于π<4<,所以sin 4<0,cos 4<0,sin 4+cos 4<0, 所以原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4=-2sin 4-4cos 4. 类型3 三角恒等式的证明问题(逻辑推理) 【典例3】(一题多解)求证:+. 【证明】方法一:左边=++=右边. 所以原式成立. 方法二:左边= ==右边. 所以原式成立. 【解题有招】 三角恒等式证明的五种常用方法 执因索果法 证明的形式一般化繁为简 左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子 拼凑法 针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同 比较法 设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1” 分析法 从被证明的等式出发,逐步探求使等式成立的条件,一直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立 【即学即练】 证明:. 【证明】左边= ==右边,所以原等式成立. 教材深一度 积化和差与和差化积公式 (链接教材P226练习T4,5) 1.积化和差公式 (1)sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]; (3)cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]; (4)sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 2.和差化积公式 (1)sin θ+sin φ=2sincos; (2)sin θ-sin φ=2cossin; (3)cos θ+cos φ=2coscos; (4)cos θ-cos φ=-2sinsin. 积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式转化为θ,φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作关于x,y的方程,则原问题转化为解方程(组)求x,它们都体现了化归思想. 【典例4】(1)(一题多解)求值:sin 20°+cos 50°+sin 60°-sin 80°= (　　) A. B. C. D.1 【解析】选C.方法一:原式=sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80° =2sin 30°cos(-10°)+sin 60°-sin 80°=cos 10°+sin 60°-cos 10°=sin 60°=. 方法二:原式=(sin 20°-sin 80°)+cos 50°+=2cossin+cos 50°+ =-2cos 50°sin 30°+cos 50°+=-cos 50°+cos 50°+. √ (2)(一题多解)求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值. 【解析】方法一:sin220°+cos250°+sin 20°cos 50° =(1-cos 40°)+(1+cos 100°)+[sin 70°+sin(-30°)] =+(cos 100°-cos 40°+sin 70°) =+(-2sin 70°sin 30°+sin 70°)=+(-sin 70°+sin 70°)=. 方法二:sin220°+cos250°+sin 20°cos 50° =(1-cos 40°)+cos 50°(cos 50°+sin 20°) =(1-cos 40°)+cos 50°(sin 40°+sin 20°) =(1-cos 40°)+cos 50°·2sin 30°cos 10° =(1-cos 40°)+cos 50°cos 10° =(1-cos 40°)+(cos 60°+cos 40°) =. 方法三:令A=sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°, B=cos220°+sin250°+cos 20°sin 50°. 则A+B=2+sin 70°,A-B=-cos 40°+cos 100°+sin(-30°)=-sin 70°-, 两式相加得2A=,即A=, 故sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°=. $