3.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 3.3.2抛物线几何性质应用同步练（高二数学人教A版选择性必修第一册），新授课使用。以分层设计构建"基础巩固-综合应用-思维提升"路径，通过问题情境培养数学抽象、逻辑推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|抛物线定义、焦点弦长、切线判定|单选形式直接考查性质应用，如过点切线条数判断，强化概念理解| |进阶层|中点坐标、距离公式、垂直关系|多选与填空结合，如焦点弦性质综合判断，提升条件分析能力| |提升层|轨迹方程、最值问题|解答题要求完整推理，如四边形面积最值求解，培养数学建模与运算能力|

3.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线几何性质的应用 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.过点（2，4）的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有（　 ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 2.过抛物线C：y2＝12x的焦点作直线l交C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1＋x2＝6，则｜AB｜等于（　 ） A.16 B.12 C.10 D.8 3.过点（0，1）与抛物线y2＝mx（m＞0）只有一个公共点的直线有（　 ） A.1条 B.2条 C.3条 D.由m的取值确定 4.若动点M（x，y）到点F（4，0）的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是（　 ） A.x＋4＝0 B.x－4＝0 C.y2＝8x D.y2＝16x 5.设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且｜OE｜＝，则p等于（　 ） A.2 B.3 C.6 D.12 6.（多选）过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线交抛物线C于A，B两点，则（　 ） A.｜AB｜的最小值为4 B.以线段AB为直径的圆与y轴相切 C.＋＝1 D.当＝3时，直线AB的斜率为± 二、填空题 7.已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积为 . 8.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，y轴被以AB为直径的圆所截得的弦长为6，则｜AB｜＝ . 9.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为 . 三、解答题 10.设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系Oxy内的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（0，）的距离比点P到x轴的距离大. （1）求点P的轨迹方程； （2）若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且｜AB｜＝2，求实数k的值. 11．如图，已知抛物线y2＝4x，其焦点为F. (1)求以M(1，1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程； (2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值． 解析版 一、选择题 1.过点（2，4）的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有（　B　） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：点（2，4）在抛物线y2＝8x上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点. 2.过抛物线C：y2＝12x的焦点作直线l交C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1＋x2＝6，则｜AB｜等于（　B　） A.16 B.12 C.10 D.8 3.过点（0，1）与抛物线y2＝mx（m＞0）只有一个公共点的直线有（　C　） A.1条 B.2条 C.3条 D.由m的取值确定 4.若动点M（x，y）到点F（4，0）的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是（　D　） A.x＋4＝0 B.x－4＝0 C.y2＝8x D.y2＝16x 解析：依题意可知，点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，所以其方程为y2＝16x.故选D. 5.设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且｜OE｜＝，则p等于（　A　） A.2 B.3 C.6 D.12 解析：由题意可知F（，0），则直线AB为y＝x－，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得相减得－＝2p（x1－x2）⇒y1＋y2＝2p，因为E为线段AB的中点，所以E（，），即E（，p），因为E在直线AB：y＝x－上，所以E（，p），又因为｜OE｜＝，所以p＝2. 6.（多选）过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线交抛物线C于A，B两点，则（　ACD　） A.｜AB｜的最小值为4 B.以线段AB为直径的圆与y轴相切 C.＋＝1 D.当＝3时，直线AB的斜率为± 解析：由题得F（1，0），由焦点F作直线交抛物线C于A，B两点，设直线方程为x＝ky＋1， 所以消去x并整理得y2－4ky－4＝0，而Δ＝16（k2＋1）＞0， 所以yA＋yB＝4k，yAyB＝－4，故xA＋xB＝k（yA＋yB）＋2＝4k2＋2，xAxB＝k2yAyB＋k（yA＋yB）＋1＝1， 因为｜AB｜＝xA＋xB＋p＝4k2＋4，故当k＝0时，｜AB｜min＝4，A正确； 以线段AB为直径的圆，圆心为（，），即（2k2＋1，2k），半径为2k2＋2， 显然该圆与抛物线准线x＝－1相切，与y轴相交，B错误； 由＋＝＋ ＝＝＝1，C正确； 由＝3， 得（1－xA，－yA）＝3（xB－1，yB）， 故所以则3xB＋＝4，可得xB＝或xB＝1， 当xB＝1时，显然＝不合题意；当xB＝时，如图，B（，－），A（3，2）， 所以直线AB的斜率为k＝，根据对称性易知，k＝－也满足，D正确. 二、填空题 7.已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积为　2　. 解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝4x1，＝4x2， 所以（y1＋y2）（y1－y2）＝4（x1－x2）. 因为x1≠x2，所以＝＝1. 所以直线AB的方程为y－2＝x－2， 即y＝x. 将其代入y2＝4x，得A，B的坐标为（0，0），（4，4）， 所以｜AB｜＝4.又F（1，0）到y＝x的距离为， 所以S△ABF＝××4＝2. 8.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，y轴被以AB为直径的圆所截得的弦长为6，则｜AB｜＝　10　. 解析：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0）， 易知当直线l的斜率不存在时不满足题意， 故设直线AB的方程为y＝k（x－1）， 设A（x1，y1），B（x2，y2）. 则 即k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0， 故x1＋x2＝， 故AB中点的横坐标为＝＝1＋， ｜AB｜＝x1＋x2＋p＝＋2. 故（）2＝32＋（1＋）2， 解得k2＝， 故｜AB｜＝＋2＝10. 9.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为　x＝－　. 解析：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），∵P为C上一点，PF与x轴垂直， ∴P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为±p，不妨设P（，p）. ∵Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，∴Q在点F的右侧. 又∵｜FQ｜＝6，∴Q（6＋，0）， ∴＝（6，－p）. ∵PQ⊥OP，∴＝×6－p2＝0， ∵p＞0，∴p＝3，∴C的准线方程为x＝－. 三、解答题 10.设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系Oxy内的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（0，）的距离比点P到x轴的距离大. （1）求点P的轨迹方程； （2）若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且｜AB｜＝2，求实数k的值. 解：（1）过点P作x轴的垂线且垂足为点N， 则｜PN｜＝y，由题意知｜PM｜－｜PN｜＝， ∴＝y＋， 化简得x2＝2y，故点P的轨迹方程为x2＝2y. （2）由题意设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立消去y并整理得x2－2kx－2＝0， ∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2. ∵｜AB｜＝ ＝＝2， ∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1， ∴k＝±1. 11．如图，已知抛物线y2＝4x，其焦点为F. (1)求以M(1，1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程； (2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值． 解：(1)由题意知，以M(1，1)为中点的弦所在的直线斜率存在． 设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则y12＝4x1，y22＝4x2， kPQ＝＝＝2， ∴所求直线方程为2x－y－1＝0. (2)依题意知，直线m，n的斜率存在且均不为0，设直线m的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立，得 消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 设其两根为x3，x4，则x3＋x4＝＋2. 由抛物线的定义可知， |AB|＝2＋x3＋x4＝＋4， 同理可得|CD|＝4k2＋4， ∴四边形ACBD的面积S＝(4k2＋4)(＋4)＝8(2＋k2＋)≥32，当且仅当k＝±1时等号成立，此时所求四边形ACBD面积的最小值为32. 页 学科网（北京）股份有限公司 $